江苏省东台市五烈中学2012届高三上学期期中考试

江苏省东台市五烈中学2012届高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．集合{}0,2A =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4A B ⋃=，则实数a 的值为 ． 2．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 5α=-，则x 的值为 ．3．若复数12,1z a i z i =-=+（为虚数单位），且12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的 值为 ．4．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ． 5．“N M >”是“N M 22loglog >”成立的 条件；必要不充分6．盐城市教育局为了调查学生在盐城摸底考试中数学答卷中的有关信息，从上次考试的10000名考生的数学试卷中用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则10000人的数学成绩在[140,150]段的约是________人．7．函数)4(log 2x y -=的定义域是 . .8．函数2sin(2),,662y x x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域为 9．已知A B C △的面积是30，内角A B C 、、所对边分别为a b c 、、，1213cos A =,若1c b -=，则a 的值是 .510．函数)sin()(ϕω+=x x f )20,0,(πϕω≤≤>∈R x 的部分图象如图，则ϕ=________ 11.已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为________.12．若点P 是曲线2ln y x x =-上一点，且在点P 处的切线与直线2y x =-平行，则点PBADCFE（第16题）的横坐标为________13．方程210x x =-的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = _ 14．若函数()23k k h x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是15．（本小题满分14分）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-()x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（Ⅱ）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．求0cos 2x 的值．16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ．17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值； （2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.18．已知平面直角坐标系xOy 中，A (4＋23，2)，B (4,4)，圆C 是△OAB 的外接圆． (1)求圆C 的方程；(2)若过点(2,6)的直线l 被圆C 所截得的弦长为43，求直线l 的方程．19．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。

已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足2(04)4(),()6(4)2xx y m f x f x x x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪>⎪-⎩其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。

（I ）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（II ）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m 的值。

20．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．江苏省东台市五烈中学2012届高三期中考试数学参考答案一、填空题 1． 2± 2． 10 3． 1- 4．145．必要不充分 6． 800 7．(,3]-∞8． [-2，-1] 9． 510． 4,4πϕπω==11.72512．1 13．2 14．[)2,-+∞ 二、解答题15．解：（Ⅰ）由()2cos 2cos 1f x x x x =+-得())()22sin cos 2cos 12cos 22sin 26fx x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭．所以函数的最小正周期为22T ππ==．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 所以2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()fx 为增函数，而在,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 为减函数，所以2sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭为最大值，72sin 126f ππ⎛⎫===- ⎪⎝⎭为最小值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()002sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又由已知()065f x =，则03s i n 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此0cos 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，于是00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 00cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431525210=-⨯+⨯= 16．本小题满分14分）（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，∵AE ⊂平面ABE ∴AD ⊥AE ． ∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ……4分又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ．…………7分 （2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC =BE ，∴F 是EC 中点．在△ACE 中，FG ∥AE ，…………11分 ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． …………14分 17．（1）sin()2cos ,sin ,cos 0,tan 063A A A A A A A A πππ+=∴=≠=<<∴=（2）在三角形中,22221cos ,3,2cos 8,3A b c a b c bc A c a ==∴=+-==G BAD C FE由正弦定理得：sin sin c AC=，而sin ,3A ==1sin 3C ∴=.（也可以先推出直角三角形）(也能根据余弦定理得到1cos ,0sin 33C C C π=<<⇒=)18．解：(1)设圆C 方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧F ＝04D ＋4E ＋F ＋32＝0(4＋23)D ＋2E ＋F ＋32＋163＝0解得D ＝－8，E ＝F ＝0.所以圆C ：(x －4)2＋y 2＝16.(2)当斜率不存在时，l ：x ＝2被圆截得弦长为43，符合题意； 当斜率存在时，设直线l ：y －6＝k (x －2)，即kx －y ＋6－2k ＝0，因为被圆截得弦长为43，所以圆心到直线距离为2，所以|4k ＋6－2k |1＋k2＝2，解得k ＝－43，所以直线l ：y －6＝－43(x －2)，即4x ＋3y －26＝0.故所求直线l 为x ＝2，或4x ＋3y －26＝0.19．解：（1）当m=4时，8(04)4()24(4)2x x y f x x x +<≤⎧⎪==⎨>⎪-⎩ -----------------2分当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化 ∴当04x <≤时，84y x =+≥，得4x = 当4x >时，2442y x =≥-，解得48x <≤故自来水达到有效净化一共可持续5天 -------------------6分 （2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化 即前4天和后3天的自来水达到最佳净化 ∴当04x <≤时，4(2)104x m ≤+≤在04x <≤恒成立，得168408m x m x ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤⎪+⎩在04x <≤恒成立，∴1023m ≤≤ ----------------------9分 当47x <≤时，64102m x ≤≤-在47x <≤恒成立，同理得103m =即投放的药剂质量m 的值为103------------------13分20．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）解：⑴()2323f x ax bx '=+-．…………………………………………………………2分根据题意，得()()12,10,f f =-⎧⎪⎨'=⎪⎩即32,3230,a b a b +-=-⎧⎨+-=⎩解得10a b =⎧⎨=⎩……………………3分所以()33f x x x =-．………………………………………………………………4分⑵令()0f x '=，即2330x -=．得1x =±．因为()12f -=，()12f =-，所以当[]2,2x ∈-时，()max 2f x =，()min 2f x =-．………………………………6分 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥．所以c 的最小值为4．……………………………………………………………………8分 ⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为()00,x y ．则30003y x x =-．因为()20033f x x '=-，所以切线的斜率为2033x -．………………………………9分则2033x -=300032x x mx ---，………………………………………………………………11分即32002660x x m -++=．因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解．所以函数()32266g x x x m =-++有三个不同的零点．则()2612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．则()()0022g g >⎧⎪⎨<⎪⎩ ，即6020m m +>⎧⎨-+<⎩，解得62m -<<．…………………………………16分。