2020版高考数学一轮复习课后限时集训47抛物线文含解析北师大版
(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习坐标系文课后训练题含解析
课后限时集训(五十九)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．[解] 设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．[解] (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.4．在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或|OA |＝|OD |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心， 故直线被圆所截得的弦长为2.B 组 能力提升1．已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 曲线C 2化为x 26＋y 22＝1，(*) 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式 得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. ∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.2．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[解] (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. ∴ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。
北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习课后限时集训47抛物线含解析
课后限时集训(四十七)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为()A．14B．－14C．4D．－4B[由y＝ax2，变形得x2＝1a y＝2×12a y，∴p＝12a.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－14a＝1，解得a＝－1 4.]2．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是() A．x＝－4 B．x＝4C．y2＝8x D．y2＝16xD[依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，∴点M的轨迹的方程为y2＝16x，故选D.] 3．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是()A．3 B．4C．6 D．8C[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以点C的横坐标是x1＋x22＝6.]4．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是()A．y＝4x2B．y＝12x2C．y2＝6x D．y2＝12xD[设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则准线方程为x＝－p2，由题知1＋p2＝4，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝12x，故选D.]5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()A ．627B ．1827C ．427D ．227C [设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.] 二、填空题6．(2019·泰安期末)若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是________．9 [根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]7．(2019·营口期末)直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝________. ±3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝±3.]8．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1,0) [由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a >0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]三、解答题9．(2019·襄阳模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，M (0,4)，动点P 到点F 的距离与到直线y ＝－14的距离相等． (1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．[解] (1)设P (x ，y )，由题意得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋14，化简得y ＝x 2.∴点P 的轨迹方程为x 2＝y .(2)假设存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值，设P (t ，t 2)，则以PM 为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＋422＝t 2＋(t 2－4)24，∴以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为 l ＝2t 2＋(t 2－4)24－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋42－a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －154t 2－a 2＋4a 若a 为常数，则对于任意实数y ，l 为定值的条件是a －154＝0，即a ＝154时，l ＝152. ∴存在定直线y ＝154，以PM 为直径的圆与直线y ＝154的相交弦长为定值．10．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解] (1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2. ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223， ∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．B 组 能力提升1．(2019·鸡西模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l .设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( )A ．5 B.41 C ．41－2 D ．4B [由题意得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41.]2．(2019·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23C ．34D ．43A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2120°＝8p 3，所以x 1＋x 2＝5p 3.又x 1x 2＝p 24，可得x 2＝32p ，x 1＝p 6，则|AF ||BF |＝p 6＋p232p ＋p 2＝13.故选A ．] 3．(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线C 2：x 23－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点重合，若点F 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为1，则C 1的焦点F 到其准线的距离为________．4 [根据题意，双曲线的一个焦点为(b 2＋3，0)，它到一条渐近线y ＝b3x 的距离为|b b 2＋3|b 2＋3＝b ＝1，所以焦点F (2,0)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2，故C 1的焦点F 到其准线的距离为4.]4．(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝5的两个交点之间的距离为4.(1)求p 的值；(2)设过抛物线C 1的焦点F 且斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与圆C 2交于C ，D 两点，当k ∈[0,1]时，求|AB |·|CD |的取值范围．[解] (1)由题意知，交点坐标为(－2,1)，(2,1)，代入抛物线C 1：x 2＝2py ，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线C 1方程为x 2＝4y ，故抛物线C 1的焦点F (0,1)．设直线方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C 1：x 2＝4y 联立化简得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·(4k )2－4×(－4)＝4(1＋k 2)．∵圆心C 2到直线y ＝kx ＋1的距离为d＝11＋k2，∴|CD|＝25－d2＝25－11＋k2＝25k2＋41＋k2.∴|AB|·|CD|＝4(1＋k2)×25k2＋41＋k2＝8(1＋k2)(5k2＋4)＝85k4＋9k2＋4.又k∈[0,1]，∴|AB|·|CD|的取值范围为[16,242]．。
高三数学一轮复习课时规范练47抛物线文含解析北师大版
课时规范练47 抛物线基础巩固组1.(2020福建厦门一模)若抛物线x 2=ay 的焦点到准线的距离为1,则a=( )A.2B.4C.±2D.±42.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=4√2x 的焦点,P 为抛物线C 上一点,若|PF|=4√2,则△POF 的面积为( ) A.2 B.2√2C.2√3D.43.(2020河北唐山一模,文8)抛物线x 2=2py (p>0)上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3,则p=( ) A.8 B.6 C.4 D.2 4.F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点P 在抛物线上,点Q 在抛物线的准线上,若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|PQ|=( ) A.92B.4C.72D.35.(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A.2512 mB.256mC.95mD.185m6.已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的准线为l ,圆C :(x -p 2)2+y 2=4,l 与圆C 交于A ,B 两点,圆C 与E 交于M ,N两点.若A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,则E 的方程为( ) A.y 2=x B.y 2=√3x C.y 2=2xD.y 2=2√3x7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,l 与x 轴的交点为P ,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ,垂足为A'.若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35,则抛物线C 的方程为 ( )A.y 2=xB.y 2=2xC.y 2=4xD.y 2=8x8.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,则|AC|+|BD|的最小值为 .9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l :x=-1,点M 在抛物线C 上,点M 在准线l 上的射影为A ,且直线AF 的斜率为-√3,则△AMF 的面积为 .10.已知F 为抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点,曲线C 1是以F 为圆心,p4为半径的圆,直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,则|RS ||PQ |= .综合提升组11.(2020广东广州一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()A.6B.8C.10D.1212.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为()A.116B.3 C.113D.613.(2020河北衡水中学三模,理14)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B 两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=,直线AB的斜率为.14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16D.16316.(2020江西上饶三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练47 抛物线1.C ∵x 2=ay ,∴p=a 2=1,∴a=±2.故选C .2.C 利用|PF|=x P +√2=4√2,可得x P =3√2.∴y P =±2√6.∴S △POF =12|OF|·|y P |=2√3.故选C .3.C 设A (x 0,y 0),由题意得y 0+p 2=3,即p=6-2y 0,又因为x 02=2py 0,所以x 02=2(6-2y 0)y 0,化简得x 02+4y 02=12.又因为点A 到原点的距离为3,所以x 02+y 02=9,解得x 02=8,y 02=1.又由题可得y 0=1,代入x 02=2py 0有p=4.故选C.4.A 记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P 作准线的垂线,垂足为M ,则|PF|=|PM|.由△QFK ∽△QPM ,得|FK ||MP |=|QF ||QP |,即1|MP |=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A .5.D 建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x 2=-2py ,p>0,因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p ,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m .故选D .6.C 如图,圆C :(x -p 2)2+y 2=4的圆心C (p2,0)是抛物线E :y 2=2px (p>0)的焦点.∵圆C :(x -p 2)2+y 2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,∴点A ,N 关于直线x=p2对称, 即x N +x A =p2×2=p ,∴x N =32p ,∴|NA|=32p-(-p 2)=2,即2p=2,则E 的方程为y 2=2x.故选C .7.C 过点F 作FF'⊥AA',垂足为F'.设|AF'|=3x ,因为cos ∠FAA'=35,所以|AF|=5x ,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x ,则|A'F'|=2x=p ,故x=p 2.四边形AA'PF 的面积S=(|PF |+|AA '|)·|FF '|2=(p+52p)·2p2=14,解得p=2,故抛物线C 的方程为y 2=4x.8.2 由题意知F (1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 9.4√3 设准线l 与x 轴交于点N ,则|FN|=2.∵直线AF 的斜率为-√3, ∴∠AFN=60°, ∴∠MAF=60°,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|, ∴△AMF 是边长为4的等边三角形. ∴S △AMF =√34×42=4√3.10.215 {x 2=2py ,2√3x -6y +3p =0⇒12y 2-20py+3p 2=0.因为直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,所以y P =p 6,y S =32p.由直线2√3x-6y+3p=0过抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点F ,所以|RS|=|SF|-p4=y S +p2−p4=y S +p4,|PQ|=|PF|-p4=y P +p2−p4=y P +p 4,|RS ||PQ |=|SF |-p 4|PF |-p 4=3p 2+p 4p 6+p 4=74512=215.11.B 由已知得抛物线C :y 2=6x 的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32. 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为|AF|=3|BF|,所以x 1+32=3x 2+32,|y 1|=3|y 2|. 所以x 1=3x 2+3,x 1=9x 2, 所以x 1=92,x 2=12.所以|AB|=x 1+32+x 2+32=8.故选B . 12.A 圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0可化为(x-6)2+y 2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BC ⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C 2的一条直径,故B (6,-5),C (6,5). 将B 点坐标代入抛物线方程得25=12p ,故p=2512,抛物线方程为y 2=256x. 联立{y 2=256x ,x 2+y 2-12x +11=0,消去y 得x 2-476x+11=0, 解得x=116或x=6(舍去), 故A 点横坐标为116.故选A .13.4 2 过点A ,B ,M 分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A 1,B 1,M 1,则|MM 1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA 1|+|BB 1|=4. 根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA 1|+|BB 1|=4.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y 12=4x 1,y 22=4x 2,得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2),则直线AB 的斜率为k=y 1-y2x 1-x 2=4y 1+y 2=42×1=2.14.解(1)设抛物线方程为x 2=2py (p>0).∵以A 为圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F ,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x 2=4y. (2)由题知直线m 的斜率存在, 设其方程为y=kx+6,由{y =kx +6,x 2=4y 消去y 整理得x 2-4kx-24=0,显然,Δ=16k 2+96>0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则{x 1+x 2=4k ,x 1·x 2=-24. 由x 2=4y ,得y=x 24,∴y'=x2.抛物线在点P (x 1,x 124)处的切线方程为y-x 124=x 12(x-x 1),令y=-1,得x=x 12-42x 1,可得点R (x 12-42x 1,-1),由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR , ∴x 224-1x 2=-1-1x 12-42x 1,即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,整理得(x 1x 2)2-4〖(x 1+x 2)2-2x 1x 2〗+16+16x 1x 2=0,∴(-24)2-4〖(4k )2-2×(-24)〗+16+16×(-24)=0,解得k 2=14,即k=±12, ∴所求直线m 的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.C 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y 1+y 2+2,因为y 1+y 22=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos ∠AFB=|AF |2+|BF |2-|AB |22|AF ||BF |=3(|AF |2+|BF |2)-2|AF ||BF |8|AF ||BF |≥6|AF ||BF |-2|AF ||BF |8|AF ||BF |=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB 最大时,△AFB 为等边三角形,AB ∥x 轴. 不妨设此时直线AD 的方程为y=√3x+1,由{y =√3x +1,x 2=4y ,消去y ,得x 2-4√3x-4=0,所以x 1+x 3=4√3, 所以y 1+y 3=√3(x 1+x 3)+2=14. 所以|AD|=16.故选C .16.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴p2=1,解得p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为-1k ,∴直线AB 的方程为y=k (x-1). 联立{y 2=4x ,y =k (x -1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4k .设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =y Mk +1=2k 2+1,∴M (2k 2+1,2k ).同理可得N (2k 2+1,-2k ).∴|NF|=√(2k 2+1-1)2+(-2k )2=2√k 2(k 2+1),|MF|=2√1+k 2k 2,∴|MF|·|NF|=2√1+k 2k 2×2√k 2(1+k 2)=4×1+k 2|k |≥4×2√|k |·1|k |=8,当且仅当|k|=1|k |,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8.。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训10函数的图像文含解析北师大版20190627270
课后限时集训(十)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．为了得到函数y ＝log 2x －1的图像，可将函数y ＝log 2x 的图像上所有的点( ) A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位D ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位A [y ＝log 2x －1＝log 2(x －1)12＝12log 2(x －1)，将y ＝log 2x 的图像纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，可得y ＝12log 2(x －1)的图像，也即y ＝log 2x －1的图像．故选A ．]2．(2019·江西九校联考)函数y ＝x 33x －3－x 的图像大致是()A B C DB [由函数y ＝x 33x －3－x 是偶函数，排除D.由函数的定义域是{x |x ≠0}，排除A ．又当x ＝3时，y ＝2727－127＞1，排除C ，故选B.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (1－x )的图像是( )C [先作函数f (x )的图像，然后作出f (x )的图像关于y 轴对称的图像，得到函数y ＝f (－x )的图像，再把所得图像向右平移1个单位得到y ＝f (1－x )的图像，故选C ．]4．设1＜a ≤3,1＜x ＜3，则关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3B [x 2－5x ＋3＝－a ，令f (x )＝x 2－5x ＋3，x ∈(1,3)．g (x )＝－a ，a ∈(1,3]，在同一直角坐标系中，画出f (x )，g (x )的图像，如图所示．由图像知，方程的实数解只有一个，故选B.]5．(2019·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A ．f (2)＞f (3)B ．f (2)＞f (5)C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)＞f (6)D [由题意知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称．则f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，又函数f (x )在(4，＋∞)上是减函数，则f (5)＞f (6)，即f (3)＞f (6)，故选D.]二、填空题6．设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是________．②③ [y ＝2x －1x －2＝x －＋3x －2＝2＋3x －2，图像如图所示，可知②③正确．]7．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．(0，＋∞) [在同一直角坐标系中分别画出函数f (x )＝|x |与g (x )＝a －x 的图像，如图所示．由图像知a ＞0.]8．偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 3 [由题意知f (－1)＝f (1)＝f (3)＝3.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图像；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图像为：(2)由函数的图像可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图像知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}．B 组 能力提升1．(2019·乌鲁木齐模拟)函数y ＝x ＋a x|x |(a ＞1)的图像的大致形状是( )A B C DA [当x ＜－1时，y ＜0，排除B ，D ，当x →＋∞时，x ＋1|x |＝1＋1x→1，a x→＋∞，则y →＋∞，排除C ．故选A ．]2．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)B [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故观察图像可知f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.]3.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f xcos x＜0的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 结合f (x )的图像知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x ＜0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f xcos x为偶函数，所以f xcos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.]4．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞)．。
2022届北师大版高考数学一轮复习抛物线含解析
抛物线[A 组 基础保分练]1．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到点C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析：设A （x ，y ），由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12．又因为点A到y 轴的距离为9，即x ＝9，所以9＋p2＝12，解得p ＝6．答案：C2．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A ．4 B ．9 C ．10 D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10． 答案：C 3．（2021·安阳模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′．若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos ∠F AA ′＝35，则抛物线C 的方程为（ ） A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x解析：过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′．设|AF ′|＝3x ，因为cos ∠F AA ′＝35，故|AF |＝5x ，则|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ，则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2．四边形AA ′PF 的面积S＝（|PF |＋|AA ′|）·|FF ′|2＝⎝⎛⎭⎫p ＋52p ·2p2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．答案：C4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于（ ）A ．4B ．92C ．5D ．6解析：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k （x －1）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2（x B＋1），即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92．答案：B5．（2021·合肥检测）已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．2 2 D ．4解析：双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p22＝1，解得p ＝2． 答案：B 6．（2021·广东六校联考）抛物线y ＝2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（ ）A ．118B ．54C ．32D ．1解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，由题意知y 0≥b＞0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝2x 2，整理得2x 2－kx －b ＝0，Δ＝k 2＋8b ＞0，x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－b 2，则|AB |＝1＋k 2·k 24＋2b ，点M 的纵坐标y 0＝y 1＋y 22＝x 21＋x 22＝k 24＋b ．因为弦AB 的长为3，所以1＋k 2·k 24＋2b ＝3，即（1＋k 2）⎝⎛⎭⎫k 24＋2b ＝9，故（1＋4y 0－4b ）（y 0＋b ）＝9，即（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝36．由基本不等式得，（1＋4y 0－4b ）＋（4y 0＋4b ）≥2（1＋4y 0－4b ）（4y 0＋4b ）＝12，当且仅当⎩⎨⎧b ＝18，y 0＝118时取等号，得1＋8y 0≥12，y 0≥118，故点M 的纵坐标的最小值为118．答案：A 7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，－2），则此抛物线的标准方程为_________．解析：依题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py （p ＞0），因为焦点坐标为（0，－2），所以－p2＝－2，解得p ＝4．故所求的抛物线的标准方程为x 2＝－8y ． 答案：x 2＝－8y 8．直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），且与C 交于A ，B 两点，则p ＝ ，1|AF |＋1|BF |＝_________． 解析：由p2＝1，得p ＝2．当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1，代入y 2＝4x ，得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k （x －1）（k ≠0），代入抛物线方程，得k 2x 2－2（k 2＋2）x ＋k 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF |·|BF |＝x 1＋x 2＋2（x 1＋1）（x 2＋1）＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1．综上，1|AF |＋1|BF |＝1．答案：2 19．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．（1）求抛物线的方程；（2）若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解析：（1）抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ．（2）∵点A 的坐标是（4，4），由题意得B （0，4），M （0，2）．又∵F （1，0），∴k F A ＝43．∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34．又F A 的方程为y ＝43（x －1），故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45． 10．（2021·襄阳联考）动点P 到定点F （0，1）的距离比它到直线y ＝－2的距离小1．设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作曲线C 的切线，且两切线相交于点M ． （1）求曲线C 的方程；（2）求证：AB →·MF →＝0． 解析：（1）由已知得动点P 在直线y ＝－2的上方，条件可转化为动点P 到定点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，∴动点P 的轨迹是以F （0，1）为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，故其方程为x 2＝4y ．（2）证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0． 设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ．∴直线AM 的方程为y －14x 2A ＝12x A （x －x A ），①直线BM 的方程为y －14x 2B ＝12x B （x －x B ）．② ①－②，得14（x 2B －x 2A ）＝12（x A －x B ）x ＋12（x 2B －x 2A ）， ∴x ＝x A ＋x B 2＝2k ．将x ＝x A ＋x B2代入①，得y －14x 2A＝12x A x B －x A 2＝14x A x B －14x 2A， ∴y ＝14x A x B ＝－1，∴M （2k ，－1）．∵MF →＝（－2k ，2），AB →＝（x B －x A ，k （x B －x A ））， ∴AB →·MF →＝－2k （x B －x A ）＋2k （x B －x A ）＝0．[B 组 能力提升练]1．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝36x C ．y 2＝4x 或y 2＝36x D ．y 2＝8x 或y 2＝32x解析：因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点到抛物线对称轴的距离为6，所以可设该点为P （x 0，±6）．因为P 到抛物线焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以根据抛物线的定义得x 0＋p 2＝10．① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0．② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，所以抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x ． 答案：C 2．（2021·武汉模拟）已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A （5，3），M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：由题意知，当|MA |＋|MF |的值最小时，△MAF 的周长最小．设点M 在抛物线的准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|MD |＝|MF |，因此|MA |＋|MF |的最小值即|MA |＋|MD |的最小值．根据平面几何的知识可得，当D ，M ，A 三点共线时，|MA |＋|MD |最小，最小值为x A －（－1）＝5＋1＝6．又|F A |＝（5－1）2＋（3－0）2＝5，所以△MAF 周长的最小值为6＋5＝11． 答案：B 3．（2021·河北六校模拟）抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为_________． 解析：设满足题意的圆的圆心为M ． 根据题意可知圆心M 在抛物线上． 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，则x M ＝6－p2．又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8．∴抛物线方程为y 2＝16x ． 答案：y 2＝16x 4．（2021·成都摸底）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF ||BF |－|AF |＝1，则抛物线C 的标准方程为_________．解析：如图，设直线l 与x 轴交于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ，则|DF |＝p ．由抛物线的定义知|BE |＝|BF |．设|BE |＝|BF |＝m ，因为△AEB ∽△ADF ，所以|AF ||AB |＝|DF ||BE |，即|AF ||AF |－|BF |＝|DF ||BF |，所以|AF ||AF |－m ＝p m ，所以|AF |＝pm p －m．由|AF ||BF |－|AF |＝1，得pmp －m m －pm p －m＝1，解得p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x ．答案：y 2＝2x5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，若|AO |＝|AF |＝32．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．解析：（1）因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y ．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b （b ≥0），代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0＜b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2b 3＋b 2（0＜b ≤1）．设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，函数单调递增，所以当b ＝1时，△OPQ 的面积取最大值为2．6．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）和定点M （0，1），设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N ． （1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解析：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ①，x 1x 2＝－2p ②．（1）由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ，所以－2p ＝－1，所以p ＝2．（2）易得直线AN ：y －y 1＝x 1p （x －x 1），直线BN ：y －y 2＝x 2p（x －x 2），联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p（x －x 1），y －y 2＝x 2p （x －x 2），结合①②式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N （pk ，－1）．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y ．[C 组 创新应用练]1．（2021·兰州模拟）设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点M （4，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝（ ）A ．34B ．45C ．56D ．25解析：由抛物线方程y 2＝8x ，得焦点F 的坐标为（2，0），准线方程为x ＝－2．如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为E ，N ．设直线AB 的方程为y ＝k （x －4）（k ≠0），则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝8x ，消去y 并整理得k 2x 2－（8k 2＋8）x ＋16k 2＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝16．由抛物线的定义知|BF |＝|BN |＝x 2＋2＝4，所以x 2＝2，所以x 1＝8，所以|AE |＝x 1＋2＝10．因为BN ∥AE ，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BN ||AE |＝410＝25．答案：D2．已知抛物线x ＝18y 2的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），抛物线的准线交x 轴于点K ，则|AF ||AK |最小时，直线AK 的斜率为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．2 2解析：x ＝18y 2可化为y 2＝8x ．如图，过A 作准线的垂线，垂足为A 1．因为|AF |＝|AA 1|，所以|AF ||AK |＝|AA 1||AK |＝sin ∠AKA 1．若|AF ||AK |最小，则sin ∠AKA 1最小，即∠AKA 1最小．数形结合可得，直线AK 与抛物线y 2＝8x 相切时，∠AKA 1最小．设直线AK 的方程为y ＝k （x ＋2），且k ＞0，与y 2＝8x 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x ，消去x ，得ky 2－8y ＋16k ＝0，由Δ＝64－64k 2＝0，得k ＝1．答案：A。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训1集合文含解析北师大版
课后限时集训(一)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2 C．0 D．0或4A[由题意知方程ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解或两个相等的根．当a＝0时，方程无实根，则a≠0，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4，故选A.]2．(2019·济南模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{－1,1}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{－1,1,3}C．{－3，－1,1} D．{－3，－1,1,3}C[A＝{－3,1}，B＝{－1,1}，则A∪B＝{－3，－1,1}，故选C.]3．(2019·重庆模拟)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{x|3x－x2≥0}，则A∩B的子集的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．8C[B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{0,2}，故其子集的个数是22＝4个．]4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5B[当m＝2时，n＝3或4，此时x＝6或8.当m＝3时，n＝4，此时x＝12.所以B＝{6,8,12}，故选B.]5．设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2B[满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．]6．(2019·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( )A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]7．(2019·青岛模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018＜0}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [A ＝{x |1＜x ＜2 018}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ⊆B ，则a ≤1.]9．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则A ∩B ＝________.{x |x ≥0} [A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}．]10．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．－2或1 [由A ∩B ＝{－1,2}得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.]B 组 能力提升1．(2019·潍坊模拟)已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( )A ．N ⊆MB ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝(3,10)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43 D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]D [由M ＝{x |lg x ＜1}得M ＝{x |0＜x ＜10}；由－3x 2＋5x ＋12＝(－3x －4)(x －3)＜0得N ＝x ⎪⎪⎪ x ＜－43或x ＞3，所以∁R N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －43≤x ≤3，则有M ∩(∁R N )＝(0,3]，故选D.] 2．(2019·南昌模拟)在如图所示的Venn 图中，设全集U ＝R ，集合A ，B 分别用椭圆内图形表示，若集合A ＝{x |x 2＜2x }，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则阴影部分图形表示的集合为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |1≤x ＜2} D [由x 2＜2x 解得0＜x ＜2，∴A ＝(0,2)，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，阴影部分图形表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}，故选D.]3．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [由A ∩B ≠∅，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.]4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(－∞，4] [当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]。
(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习参数方程文课后训练题含解析
课后限时集训(六十)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解] (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．2．(2019·南昌模拟)已知直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝22，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ(φ为参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；(2)若曲线C 2为曲线C 1关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线C 1、曲线C 2上的动点，点P 的坐标为(2,2)，求|AP |＋|BP |的最小值．[解] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴22ρcos θ＋22ρsin θ＝22，即ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos φy ＝－2＋2sin φ，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.(2)∵点P 在直线x ＋y ＝4上，根据对称性，|AP |的最小值与|BP |的最小值相等， 又曲线C 1是以(－1，－2)为圆心，半径r ＝2的圆， ∴|AP |min ＝|PC 1|－r ＝2＋12＋2＋22－2＝3，则|AP |＋|BP |的最小值为2×3＝6.3．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.4．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t(其中t 为参数，m 为常数)．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝152，求实数m 的值； (2)若m ＝1，点P 的坐标为(1,0)，求1|PA |＋1|PB |的值．[解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 转化为普通方程可得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12t ，y ＝32t代入x 2＋(y －1)2＝1并整理可得t 2－(m ＋3)t ＋m 2＝0，(*)由条件可得Δ＝(m ＋3)2－4m 2＞0，解得－33＜m ＜ 3. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝m ＋3，t 1t 2＝m 2≥0，|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝m ＋32－4m 2＝152， 解得m ＝32或36. (2)当m ＝1时，(*)式变为t 2－(1＋3)t ＋1＝0，t 1＋t 2＝1＋3，t 1t 2＝1，由点P 的坐标为(1,0)知P 在直线上，可得1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝1＋ 3. B 组 能力提升1．(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值．[解] (1)由C 1消去参数t ，得曲线C 1的普通方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1. 同理曲线C 2的普通方程为x 264＋y 29＝1.C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C 2表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ，又C 3的普通方程为x －2y －7＝0， 则M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|3sin θ－4cos θ＋13| ＝55|5sin(θ－φ)＋13|⎝⎛⎭⎪⎫其中φ满足tan φ＝43. 所以d 的最小值为855.2．(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1(t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ1－cos 2θ. (1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知与直线l 平行的直线l ′过点M (2,0)，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|AB |.[解] (1)由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝3t ＋1得其普通方程为3x －y －3＋1＝0.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线方程得3ρcos θ－ρsin θ－3＋1＝0.由ρ＝2cos θ1－cos 2θ可得ρ2(1－cos 2θ)＝2ρcos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，故曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)∵直线l 的倾斜角为π3，∴直线l ′的倾斜角也为π3.又直线l ′过点M (2,0)，∴直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ′，y ＝32t ′(t ′为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程可得3t ′2－4t ′－16＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t ′1，t ′2.由根与系数的关系知t ′1t ′2＝－163，t ′1＋t ′2＝43，∴|AB |＝|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋16×43＝4133.。
版高考数学一轮复习 核心素养测评五十四 10.7 抛物线 文(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学
核心素养测评五十四抛物线(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020·某某模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.x2=4yD.x2=8y【解析】选D.因为动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y=-2的距离相等.由抛物线的定义得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=3,则直线AF的斜率为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),由|PF|=3,得|PA|=3,则x P=2,代入y2=4x,得y P=2.所以A(-1,2),所以k AF==-.3.(2020·聊城模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|= ( )A. B. C. D.【解析】选C.由抛物线方程y2=4x,知焦点F(1,0),准线l:x=-1,如图,设l与x轴交点为K,过B作BM⊥l,交l于M,则易知BM∥KF,所以△ABM∽△AFK,设|BF|=m,由=3,可知|AB|=2m,所以|KF|=|AF|=m,又由方程知|KF|=2,所以m=2,即m=,所以|AB|=2m=.4.(2020·某某模拟)已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为( )A.3B.2C.4D.2【解析】选A.抛物线标准方程为x2=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,则|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).5.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为( )A.x2=yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y【解析】选D.设点M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y得x2-2ax+2a=0,所以==3,即a=3,所以所求的抛物线方程是x2=3y.6.已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.F,0,那么M4-,4在抛物线上,即16=2p4-,即p2-8p+16=0,解得p=4.7.在直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N 分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NFR=60°,则|NR|= ( )世纪金榜导学号A.2B.C.2D.3【解析】选A.根据题意,如图所示:连接MF,QF,抛物线的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),准线为x=-1,则|FH|=2,由抛物线定义可得|PF|=|PQ|,由PQ⊥l,得:PQ∥FR,所以∠QPF=∠NFR,又∠NFR=60°,所以∠QPF=60°,所以△PQF为等边三角形,由M,N分别为PQ,PF的中点,得|MN|=|QF|,MN∥QF,且MF⊥PQ,又QH⊥PQ,QM∥HF,故四边形HFMQ为矩形,故|QM|=|HF|=2,又在Rt△QMF中,|QF|===4,故|MN|=|QF|=2,又PQ∥RF,|PN|=|NF|,所以|NR|=|MN|=2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知点P(-3,3),过点M(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=.【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设A,B,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,则k1+k2=+=+=+=+=-1.答案:-19.已知抛物线x2=4y焦点为F,经过F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,以下四个结论:①x1x2=-4,②|AB|=y1+y2+1,③∠A1FB1=,④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的是.【解析】抛物线x2=4y焦点为F(0,1),易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,①正确;|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=y1+y2+2,②不正确;=(x1,-2),=(x2,-2),所以·=x1x2+4=0,所以⊥,∠A1FB1=,③正确;AB的中点到抛物线的准线的距离d=(|AA1|+|BB1|)=(y1+y2+2)=(kx1+1+kx2+1+2)=(4k2+4)≥2.当k=0时取得最小值2,④正确.答案:①③④10.(2020·某某模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,若△MAB的内切圆圆心为(1,t),则直线l的斜率为. 世纪金榜导学号【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,由题意知,直线l斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=my+n(m≠0),代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4n,又由△MAB的内切圆圆心为(1,t),可得k MA+k MB=+=+=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l 的斜率为-1.答案:-1(15分钟35分)1.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( )A. B.3 C. D.2【解析】选B.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=4,所以|PQ|=3d,不妨设直线PF的斜率为-=-2,因为F(2,0),所以直线PF的方程为y=-2(x-2),与y2=8x联立得x=1,所以|QF|=d=1+2=3.2.(5分)抛物线y=x2上一点M到x轴的距离为d1,到直线-=1的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )A. B. C.3D.2【解析】选D.因为点M到抛物线x2=4y的准线的距离为d1+1等于M到抛物线x2=4y的焦点的距离|MF|,则d1+d2+1的最小值即为焦点F到直线-=1的距离.由题意知F(0,1),所以(d1+d2)min=-1=2.【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|= ( )A.8B.4C.6D.3【解析】选D.设Q到l的距离为d,则|QF|=d,因为=2,所以|PQ|=3d,所以直线PF的斜率为±2,因为F(1,0),所以直线PF的方程为y=±2(x-1),与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),所以|QF|=d=1+2=3.3.(5分)(2019·某某模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于M,N点,若l1与直线l2的斜率的乘积为-1,则|AB|+|MN|的最小值为( )A.14B.16C.18D.20【解析】选B.可得F(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=+2=4+,因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-,同理可得|MN|=x3+x4+p=+2=4+4k2,所以|AB|+|MN|=4++4+4k2=8++4k2≥8+2=16.当且仅当k=±1时取等号.4.(10分)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标.(2)求△PAB的面积.【解析】(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).由题意知圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·,直线PA的方程为tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),则S(t)=|AP|·d=.5.(10分)(2019·某某模拟)已知抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4.(1)若直线l与抛物线E相切,求直线l的方程.(2)设Q(4,0),k>0,直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),若存在点C,使得四边形OACB为平行四边形(O为原点),且AC⊥QC,求x2的取值X围. 世纪金榜导学号【解析】(1)根据题意,抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,若直线l与抛物线E相切,则k≠0且Δ=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-,所以,所求的直线方程为y=-x-4.(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有可得k2x2-8(k+1)x+16=0,因为k>0,所以Δ=64(k+1)2-64k2>0,则有x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-8=,word因为四边形OACB为平行四边形,则=+=(x1+x2,y1+y2)=,即C,因为AC⊥QC,则k AC·k QC=-1.又k QC==,又k AC=k OB==k-,所以·=-1,所以=k++2,又由k>0,则=k++2≥2+2=2(+1),当且仅当k=时等号成立,此时0<x2≤4(-1).故x2的取值X围为(0,4(-1)].。
高三北师大文科数学课时作业 第讲 抛物线 含解析
课时作业(四十八) [第48讲 抛物线](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．动点P 到点F (0，1)的距离比到x 轴的距离大1，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．点P 在抛物线y 2＝－2x 上移动，点Q (2，－1)，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A ．(2y ＋1)2＝4x －4B ．(2y －1)2＝－4x ＋4C ．(2y ＋1)2＝－4x ＋4D ．(2y －1)2＝4x －44．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝2，则a ＝________．能力提升5．[2012·皖南八校一联] 若直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则1m ＋1n的最小值为( ) A ．3＋2 2 B ．3＋ 2C.3＋222D.3＋226．[2012·泉州质检] 若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到双曲线x 2－y 2＝1的渐近线的距离为322，则p 的值为( ) A ．6 5B ．6C ．2 3D ．37．正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫－25，0 C.⎝⎛⎭⎫15，0 D.⎝⎛⎭⎫－15，0 8．如图K48－1所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝92x D ．y 2＝3x 9．[2012·黄冈中学模拟] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在10．[2012·宜春模拟] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．11．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则抛物线方程为________．12．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A (1，4)的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．13．[2012·邯郸一模] 设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，点M 在抛物线上，线段MF 的延长线与直线x ＝－14交于点N ，则1|MF |＋1|NF |的值为________． 14．(10分)一抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，又此抛物线与双曲线的一个交点为32，6，求该抛物线与双曲线的方程．15．(13分)已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．难点突破16．(12分)A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB .(1)求A ，B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点；(3)求弦AB 中点P 的轨迹方程；(4)求△AOB 面积的最小值．课时作业(四十八)【基础热身】1．B [解析] 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，又∵其准线方程为x ＝－p 2＝－2，∴p ＝4，所求抛物线方程为y 2＝8x .2．D [解析] 由题意知动点P 坐标到点F (0，1)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，∴点P 的轨迹是抛物线．3．C [解析] 设点P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝2x ，y 0－1＝2y ，即得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ＋1， ∵点P 在抛物线y 2＝－2x 上，∴(2y ＋1)2＝－2(2x －2)，即(2y ＋1)2＝－4x ＋4，故选C.4．－18 [解析] 抛物线方程为x 2＝y a ，因为准线方程为y ＝2，所以p 2＝2，所以p ＝4，于是1a ＝－2p ＝－8，所以a ＝－18. 【能力提升】5．C [解析] 抛物线的焦点为(1，0)，该点在直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)上，所以有2m ＋n ＝2，于是1m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝12⎝⎛⎭⎫n m ＋2m n＋3≥12(22＋3)．故选C. 6．B [解析] 抛物线焦点为F p 2，0，双曲线的渐近线为x ±y ＝0，根据对称性知，抛物线焦点到两条渐近线的距离相等，所以⎪⎪⎪⎪p 22＝322，解得p ＝6.故选B. 7．D [解析] 正数a ，b 的等差中项是92，所以a ＋b ＝9；又因为正数a ，b 的一个等比中项是25，所以ab ＝(25)2＝20；而a >b ，所以a ＝5，b ＝4.抛物线方程为y 2＝－45x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0，故选D. 8．D [解析] 过A ，B 分别作准线的垂线AA ′，BD ，垂足分别为A ′，D ，则|BF |＝|BD |.又2|BF |＝|BC |，所以在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又|AF |＝3，所以|AA ′|＝3，所以|AC |＝6，|FC |＝3.所以p ＝12|FC |＝32，所以y 2＝3x . 9．D [解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而过抛物线焦点的弦的最小长度(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．10.2＋1 [解析] 由题知⎩⎨⎧p 2＝a 2＋b 2，p ＝b 2a，解得离心率为2＋1. 11．x 2＝－8y [解析] 依题意，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，根据抛物线的定义，由点P (k ，－2)到焦点的距离为4可得p 2＝4－|－2|＝2，所以p ＝4，抛物线的方程为x 2＝－8y .12．4 [解析] 由抛物线定义得P 到准线的距离d 1等于点P 到焦点F (1，0)的距离|PF |，又点A (1，4)在抛物线外部，所以当点P ，A ，F 三点共线时，d 1＋d 2取得最小值|AF |，即最小值为4.13．2 [解析] 由题意知，该表达式的值为定值．过点F 作x 轴的垂线，设该垂线与抛物线的一个交点为M ，则直线MF 与y 轴没有交点，可理解为|NF |→＋∞，则1|NF |→0；由抛物线定义易得|MF |＝12，所以1|MF |＋1|NF |＝2.也可以用直接法解． 14．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x .∵抛物线过点32，6，∴6＝4c ·32. ∴c ＝1.故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34.故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1. 15．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， ∴点C 的轨迹方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1）消去x 后， 整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1. 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)．∴S △OAB ＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16. 【难点突破】16．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)，k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2. ∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0. ∵y 1≠0，y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2，(2)证明：∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，∴当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2. ∴k AB ＝2p y 1＋y 2， ∴直线AB ：y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)． ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2. ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2. ∵y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2. ∴AB 过定点(2p ，0)，设M (2p ，0)，当x 1＝x 2时，知AB 方程为x ＝2p ，过(2p ，0)． 由上可知，直线AB 过定点．(3)如图，设OA ：y ＝kx ，代入y 2＝2px 得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 2p k 2，2p k ，同理，以－1k代替k 得B (2pk 2，－2pk )， 设P (x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x 0＝pk 2＋1k 2，y 0＝p 1k－k ， ∵k 2＋1k 2＝1k－k 2＋2. ∴x 0p ＝y 0p2＋2，即y 20＝px 0－2p 2， ∴中点P 的轨迹方程为y 2＝px －2p 2.(4)S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM＝12|MO |(|y 1|＋|y 2|) ＝p (|y 1|＋|y 2|)≥2p |y 1y 2|＝4p 2.当且仅当|y 1|＝|y 2|＝2p 时等号成立．∴△AOB 的面积的最小值为4p 2.。
高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第六节 抛物线课时规范练(文,含解析)北师大版
学习资料第八章 平面解析几何第六节 抛物线课时规范练A 组—-基础对点练1．已知抛物线y 2＝错误!x ，则它的准线方程为( ）A ．y ＝－2B ．y ＝2C ．x ＝－错误!D 。
y ＝错误!解析:因为抛物线y 2＝错误!x ，所以p ＝错误!,错误!＝错误!，它的准线方程为x ＝－错误!。
答案:C2．过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是（ )A ．y 2＝－92x 或x 2＝错误!y B ．y 2＝错误!x 或x 2＝错误!yC ．y 2＝错误!x 或x 2＝－错误!yD ．y 2＝－错误!x 或x 2＝－错误!y解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P （－2，3），解得k ＝－92，m ＝错误!，∴y 2＝－错误!x 或x 2＝错误!y ，选A.答案：A3．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1）,则a ＝（ ）A ．1B ．错误!C ．2D 。
错误!解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝错误!y ，所以其焦点坐标为(0，错误!），则有错误!＝1，a ＝错误!，故选D.答案：D4．（2020·洛阳模拟）已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是（2，2），则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3 D.4解析：F 错误!，那么M 错误!在抛物线上，即16＝2p 错误!,即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4。
答案:D5．若抛物线y 2＝2px (p ＞0）上的点P （x 0,2）到其焦点F 的距离是P 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ）A 。
错误!B ．1C.错误!D。
2解析：根据焦半径公式|PF|＝x0＋错误!,所以x0＋错误!＝3x0，解得x0＝错误!，代入抛物线方程（错误!)2＝2p×错误!,解得p＝2.答案：D6．抛物线C：y2＝2px(p＞0）的焦点为F,P是C上一点，若P到F的距离是P到y轴距离的两倍，且△OPF的面积为1（O为坐标原点)，则p的值为（）A．1 B．2C．3 D.4解析：设点P(x，y),根据已知可得x＋错误!＝2x，解得:x＝错误!，|y|＝p，所以S△OPF＝错误!×错误!×p＝1，解得p＝2。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训7二次函数的再研究与幂函数文含解析北师大版
课后限时集训(七)(建议用时：60分钟)A 组 基础达标一、选择题1．(2019·孝义模拟)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，若当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [由题意知m 4＝－2，即m ＝－8，所以f (x )＝2x 2＋8x ＋3，所以f (1)＝2×12＋8×1＋3＝13，故选B.]2．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2 B [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m ＞0，解得m ＝2，故选B.] 3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2] D [f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，且f (0)＝f (2)＝3，f (1)＝2，则1≤m ≤2，故选D.]4．(2019·舟山模拟)已知a ，b ，c ∈R，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( )A ．a ＞0,4a ＋b ＝0B ．a ＜0,4a ＋b ＝0C ．a ＞0,2a ＋b ＝0D ．a ＜0,2a ＋b ＝0 A [由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)＞f (1)，所以f (x )先减后增，所以a ＞0，故选A ．] 5．若关于x 的不等式x 2＋ax ＋1≥0在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则a 的最小值是( ) A ．0B ．2C ．－52D ．－3C [由x 2＋ax ＋1≥0，得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立． 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，因为g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上为增函数， 所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52，所以a ≥－52.故选C ．] 二、填空题6．已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． P ＞R ＞Q [P ＝2－32＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 7．已知二次函数的图像与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．y ＝13x 2－2x ＋3 [由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图像与y 轴交于点(0,3)，所以3＝9a ，即a ＝13. 所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.] 8．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋b 满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________. 3 [由f (3)＝3得9＋3(a ＋1)＋b ＝3，即b ＝－3a －9.所以f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －3a －9.由f (x )≥x 得x 2＋ax －3a －9≥0.则Δ＝a 2－4(－3a －9)≤0，即(a ＋6)2≤0，所以a ＝－6，b ＝9.所以a ＋b ＝3.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)．(1)若函数f (x )的图像过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．[解] (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1. (2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －224.由g (x )的图像知，要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)由函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3知其对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. B 组 能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(0,2)C ．(－1，2－1)D ．(1－2，1)C [由题意知f (x )在[0，＋∞)上是增加的，且x ＜0时，f (x )＝1.则f (1－x 2)＞f (2x )可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＞0，1－x 2＞2x ，即⎩⎨⎧ －1－2＜x ＜－1＋2，－1＜x ＜1，解得－1＜x ＜2－1，故选C ．] 2．(2019·江淮十校模拟)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x)C ．f (b x )＞f (c x )D ．与x 有关，不确定A [由f (x ＋1)＝f (1－x )知函数f (x )的对称轴x ＝b 2＝1，所以b ＝2，由f (0)＝3得c ＝3. 当x ≥0时，1≤2x ≤3x ，则f (2x )≤f (3x )， 当x ＜0时，3x ＜2x ＜1，则f (2x )＜f (3x )． 综上知，f (2x )≤f (3x )，即f (b x )≤f (c x )，故选A ．] 3．已知点P 1(x 1,100)和P 2(x 2,100)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋10的图像上，则f (x 1＋x 2)＝________. 10 [由题意知x 1＋x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－b a ， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋10＝10.]4．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．[解] 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．f (x )的对称轴为x ＝－a 2. (1)当－a2＜－2，即a ＞4时， g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时a 不存在；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时， g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24≥0， 得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2＞2，即a ＜－4时， g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4，故－7≤a ＜－4.综上得－7≤a ≤2.。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训46椭圆文含解析北师大版2
课后限时集训(四十六)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2019·浦东新区模拟)方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞4B ．k ＝4C ．k ＜4D ．0＜k ＜4D [椭圆的标准方程为x 24＋y 2k＝1，焦点在x 轴上，所以0＜k ＜4.]2．(2019·大同月考)已知焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 23＝1的离心率为12，则m ＝( )A ．6B ． 6C ．4D ．2C [由焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 23＝1，可得a ＝m ，c ＝m －3.由椭圆的离心率为12，可得m －3m＝12，解得m ＝4.故选C ．]3．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B.x 24＋y 25＝1 C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D. 以上答案都不对C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.]4．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.]5．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 A [因为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，所以b ＜c ，则a 2＝b 2＋c 2＜2c 2，所以椭圆的离心率e ＝ca＞22.又因为e ＜1，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，故选A ．] 二、填空题6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．y 216＋x 24＝1 [∵c ＝23，a 2＝4b 2， ∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12，b 2＝4，a 2＝16. 又焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.]7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．120° [由题意知a ＝3，c ＝7.因为|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－722×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.]8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为________．35 [∵圆O 与直线BF 相切，∴圆O 的半径为bc a ，即OC ＝bca，∵四边形FAMN 是平行四边形，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得a ＋c 24a 2＋c 2b 2a 2b2＝1，∴5e 2＋2e －3＝0，又0＜e ＜1，∴e ＝35.]三、解答题9．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．[解] (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋－323＝2，或t 2＝－324＋223＝2512. 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 10．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .[解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.B 组 能力提升1．(2019·六盘水模拟)已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．4B ．6C ．8D ．12A [由|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A ．]2．(2018·中山一模)设椭圆：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．13C ．14D ．15B [如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且|OF ||FA |＝|OM ||AB |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.故选B.] 3．(2019·临沂模拟)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点A是椭圆C 的右顶点，椭圆C 的离心率为12，过点F 1的直线l 上存在点P ，使得PA ⊥x 轴，且△F 1F 2P是等腰三角形，则直线l 的斜率k (k ＞0)为________．33[法一：由题意知直线l 的方程为y ＝k (x ＋c )(k ＞0)，则P (a ，k (a ＋c ))．∵椭圆C的离心率e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，P (2c,3kc )，F 2(c,0)．由题意知|F 1F 2|＝|F 2P |，得(2c －c )2＋(3kc )2＝4c 2，得k 2＝13.∵k ＞0，∴k ＝33.法二：根据题意不妨设椭圆C ：x 24＋y 23＝1，P (2，t )(t ＞0)，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．由题意知|F 1F 2|＝|F 2P |，得(2－1)2＋t 2＝4，得t 2＝3，∵t ＞0，∴t ＝3，∴P (2，3)，∴k ＝3－02－－＝33.] 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，所以e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2，① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。
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课后限时集训(四十七)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A ．14 B ．－14C ．4D ．－4 B [由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a ＝1，解得a ＝－14.]2．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＝－5的距离小1，则点M 的轨迹方程是( )A ．x ＝－4B ．x ＝4C ．y 2＝8xD ．y 2＝16xD [依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x ＝－4的距离，因此点M 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，p ＝8，∴点M 的轨迹的方程为y 2＝16x ，故选D.]3．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]4．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为4，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝12x 2C ．y 2＝6xD ．y 2＝12xD [设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝－p 2，由题知1＋p2＝4，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝12x ，故选D.]5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( )A ．627B ．1827C ．427D ．227C [设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.] 二、填空题6．(2019·泰安期末)若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是________．9 [根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]7．(2019·营口期末)直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝________.±3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]8．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1,0) [由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a >0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]三、解答题9．(2019·襄阳模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，M (0,4)，动点P 到点F 的距离与到直线y ＝－14的距离相等．(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．[解] (1)设P (x ，y )，由题意得x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －142＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋14，化简得y ＝x 2.∴点P 的轨迹方程为x 2＝y .(2)假设存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值，设P (t ，t 2)，则以PM 为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＋422＝t 2＋t 2－24，∴以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为l ＝2t 2＋t 2－24－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋42－a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －154t 2－a 2＋4a若a 为常数，则对于任意实数y ，l 为定值的条件是a －154＝0，即a ＝154时，l ＝152.∴存在定直线y ＝154，以PM 为直径的圆与直线y ＝154的相交弦长为定值．10．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解] (1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223，∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．B 组 能力提升1．(2019·鸡西模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l .设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( )A ．5 B.41 C ．41－2 D ．4B [由题意得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41.]2．(2019·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23C ．34D ．43A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2120°＝8p 3，所以x 1＋x 2＝5p 3.又x 1x 2＝p24，可得x 2＝32p ，x 1＝p 6，则|AF ||BF |＝p 6＋p232p ＋p 2＝13.故选A ．]3．(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线C 2：x 23－y 2b2＝1(b＞0)的一个焦点重合，若点F 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为1，则C 1的焦点F 到其准线的距离为________．4 [根据题意，双曲线的一个焦点为(b 2＋3，0)，它到一条渐近线y ＝b3x 的距离为|b b 2＋3|b 2＋3＝b ＝1，所以焦点F (2,0)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2，故C 1的焦点F 到其准线的距离为4.]4．(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝5的两个交点之间的距离为4.(1)求p 的值；(2)设过抛物线C 1的焦点F 且斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与圆C 2交于C ，D 两点，当k ∈[0,1]时，求|AB |·|CD |的取值范围．[解] (1)由题意知，交点坐标为(－2,1)，(2,1)，代入抛物线C 1：x 2＝2py ，解得p ＝2. (2)由(1)知，抛物线C 1方程为x 2＝4y ，故抛物线C 1的焦点F (0,1)．设直线方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C 1：x 2＝4y 联立化简得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·k2－－＝4(1＋k 2)．∵圆心C 2到直线y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，∴|CD |＝25－d 2＝25－11＋k2＝25k 2＋41＋k2.∴|AB |·|CD |＝4(1＋k 2)×25k 2＋41＋k2＝8＋k2k 2＋＝85k 4＋9k 2＋4.又k ∈[0,1]，∴|AB |·|CD |的取值范围为[16,242]．。