高考数学抛物线
新高考数学抛物线知识点
新高考数学抛物线知识点抛物线作为数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程等领域。
在新高考数学考试中，抛物线也是一个重要的知识点。
本文将以新高考数学为背景，探讨抛物线的相关概念、性质和应用。
1. 抛物线的定义与基本方程抛物线是在平面上以某一点为焦点，与一条与焦点不重合的直线相切的点的轨迹。
在直角坐标系中，抛物线的方程是$y=ax^2+bx+c$，其中$(a\neq 0)$。
2. 抛物线的几何性质（1）焦点与准线：抛物线上的每一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
准线是抛物线对称轴上的一条水平直线。
（2）对称性：抛物线关于准线对称。
（3）定点：抛物线上的顶点是准线与抛物线的交点，也是抛物线的最值点。
（4）开口方向：抛物线开口的方向取决于二次项系数$a$的正负。
当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的相关公式（1）焦距公式：焦距$f=\dfrac{1}{4|a|}$。
焦点到准线的距离等于焦点到抛物线顶点的距离。
（2）焦点坐标：焦点的坐标为$(0, \dfrac{1}{4|a|})$。
（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。
（4）准线方程：准线的方程为$y=-\dfrac{1}{4a}$。
4. 抛物线的应用抛物线作为一种强大的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。
（1）物理学中的应用：抛物线可以用来描述自由落体和抛体运动的轨迹。
例如，投掷物体的运动轨迹可以近似为一个抛物线。
（2）工程学中的应用：抛物线在工程设计中有着重要的应用，如天桥的设计、悬索桥的设计等。
通过抛物线的性质和公式，工程师可以合理地设计结构，使得建筑物的受力分布更加均匀并且美观。
（3）经济学中的应用：抛物线可以用来描述成本和利润之间的关系。
例如，在经济学中，经济学家经常使用抛物线来分析成本与产量之间的关系，并确定生产的最佳产量。
高考数学抛物线必背知识点大全
高考数学抛物线必背知识点大全高考数学抛物线必背知识点抛物线：y = ax _ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca >0时开口向上a< 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a(x+h)_+ k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py关于圆的公式体积=4/3(pi)(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
(二)椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径_半径_AI_学数学的方法技巧有哪些1、重视课堂的学习效率课堂的学习效率非常重要，因为大多数的新知识和数学能力的培养都是在课堂上进行的。
所以在上课的时候要紧跟着老师的思路来开展思维。
课后要及时复习，不要把问题留到明天，有不懂的地方要及时请教老师或同学。
课后还要注重基础知识，要多记公式、定理，这都是学好数学的基础和关键。
2、养成良好的做题习惯要想学好数学，多做题是必不可免的。
高考数学——抛物线-考点复习
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. @#网
典例 2 抛物= 线 y2 2 px( p > 0) 上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值为 1，则 p =
1
A．
2
C．2
B．1 D．4
【答案】C
本题选择 C 选项. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合 抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.
3
B．
2 9
D．
4
8．曲线 y = 2x2 上两点 A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) 关于直线 y=
3
A．
2 5
C．
2
B． 2 D． 3
x
+
m 对称，且
x1
⋅
x2
=− 1 2
，则
m
的值为
9．已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的两个动点 A,B 始终满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 H 作抛
PF= x + p 或 PF= y + p ，使问题简化．
2
2
3
典例 1 平面内动点 P 到点 F (0, 2) 的距离和到直线 l ： y = −2 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为是
_____________.
【答案】 x2 = 8 y
【解析】由题意知，该点轨迹是以 F (0, 2) 为焦点，y = −2 为准线的抛物线，其中 p = 4 ，所以方程为 x2 = 8 y .
则 △OFM 的周长为
A． 4
B． 2 5 +1
C． 5 + 2 或 4
如何备考高考数学抛物线
如何备考高考数学抛物线高考数学抛物线是高考数学中的重要知识点，也是高中数学中的难点之一。
要想在高考中顺利通过抛物线这一关，就需要对抛物线的性质、图形、方程、对称性等方面进行深入的了解和掌握。
一、了解抛物线的性质1.定义：抛物线是平面上一条曲线，它的每一个点到抛物线所在的准线的距离等于这个点到抛物线焦点的距离。
2.标准方程：抛物线的标准方程为 y^2 = 4ax，其中 a 是抛物线的焦点到准线的距离，称为抛物线的参数。
当 a > 0 时，抛物线开口向右；当 a < 0 时，抛物线开口向左。
3.顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于对称轴上，坐标为 (0,0) 或 (0, -4a)。
4.对称性：抛物线具有轴对称性和中心对称性。
轴对称性指的是抛物线关于其对称轴对称，中心对称性指的是抛物线关于其顶点对称。
5.焦点和准线：抛物线的焦点位于对称轴上，坐标为 (a,0)，准线的方程为 x = -a。
二、掌握抛物线的图形1.对称轴：抛物线的对称轴是垂直于准线的直线，方程为 x = 0。
2.焦点和顶点：抛物线的焦点和顶点都在对称轴上，且焦点在顶点的正下方。
3.渐近线：抛物线的渐近线是平行于对称轴的直线，方程为 y = 0。
4.开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向右；当 a < 0 时，抛物线开口向左。
5.顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，坐标为 (0,0) 或 (0, -4a)。
三、熟悉抛物线的方程1.标准方程：y^2 = 4ax，其中 a 是抛物线的焦点到准线的距离，称为抛物线的参数。
2.顶点式：当抛物线的顶点在原点时，方程可以写成 y^2 = 4px 或 y^2= -4px，其中 p 是顶点到焦点的距离。
3.焦点式：当抛物线的焦点在原点时，方程可以写成 x^2 = 4py 或 x^2= -4py，其中 p 是焦点到顶点的距离。
四、了解抛物线的应用1.光学：抛物线在光学中有着广泛的应用，如反射镜、折射镜等。
高中数学抛物线-高考经典例题
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-==4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y 2=kxk>0时开口向右(k/4,0) x= ─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上(0,k/4) y= ─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程．C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y 2=－16x例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
高中数学抛物线的公式及复习技巧
高中数学抛物线的公式及复习技巧高中数学抛物线的公式1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。
2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。
3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。
4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。
高考数学复习技巧1、训练想像力。
有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。
同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。
现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。
所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。
2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。
为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
3、审题。
有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。
把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。
高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中数学答题技巧有什么1.检查关键结果。
高考数学复习点拨 简解抛物线问题的三种途径
简解抛物线问题的三种途径一、回归定义例 1 点(32)P ，在抛物线24y x =的内部，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M ，使MP MF +最小，并求此最小值． 解：过M 作准线l 的垂线MA ，垂足为A ，那么由抛物线的定义有MF MA =．MP MF MP MA +=+∴，显然当P M A ，，三点共线时，MP MF +最小． 此时，M 点的坐标为(12)，，最小值为4．二、设而不求例2 抛物线28y x =-的弦PQ 被点(11)A -，平分，求弦PQ 所在的直线方程．解：设PQ 的端点1122()()P x y Q x y ，，，，那么有21122288y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，， 两式相减得121212()()8()y y y y x x +-=--， ∴21214y y x x -=--，即4PQ k =-． 故弦PQ 所在的直线方程为14(1)y x -=-+，即4x y ++=．三、运用向量例3 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于A B ，两点，自A B ，向准线作垂线，垂足分别为A B ''，，求证：90A FB ''∠=°．证明：抛物线的焦点02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设A B ，两点的纵坐标分别为12y y ，，易得212y y p =-．又1222p p A y B y ⎛⎫⎛⎫''-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 那么12()()FA p y FB p y ''=-=-，，，， 故222120FA FB p y y p p ''=+=-=·， 那么FA FB ''⊥，即90A FB ''∠=°．。
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
|AM|+|MF|-1-2≥|AF|-1-2= ( + ) + -1-2=2.
当且仅当N,M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时,两个等号成立,
因此,|MN|+d的最小值为2.故选D.
(1)两个距离的转化:“到焦点的距离”和“到准线的距离”可以
互相转化,解题时要做到“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.
当x≥0时,因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所
以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以动
点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,所以抛
物线的方程为y2=8x.
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
求抛物线的标准方程的方法
根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
2=-20y或
x
(2)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程为
y2=-60x
.
解析:(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15,
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0),
所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.
考点二
抛物线的标准方程
[例2] (1)如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物
线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为
(
)
2
A.y =x
B.y2=9x
2
C.y =x
√
D.y2=3x
解析:(1)如图,设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,
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2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
抛物线
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y 2＝2px
(p >0)
y 2＝－2px (p >0)
x 2＝2py (p >0)
x 2＝－2py (p >0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点坐标 O (0,0)
对称轴 x 轴
y 轴
焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0
F ⎝⎛⎭
⎫－p
2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p
2 离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p 2
x ＝p 2 y ＝－p
2
y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
概念方法微思考
1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线．
2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫
a 4，0，准线方程是x ＝－a
4
.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线
y 2＝2px (p >0)的过焦点
F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编
2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6 答案 B
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.
3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y
解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .
4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )。