上海交通大学历年概率统计试卷

上海交通大学
概率论与数理统计试卷 2004—01
姓名： 班级： 学号： 得分: 一．判断题（10分，每题2分）
1。

在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 （ ） 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 （0,1) 分布，则Y X = （ ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望
)(X E 未必存在( ）
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时， 犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少 ( ） 二．选择题（15分，每题3分）
1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取
得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 。

(a ） r n r r n p p C ----)
1(11； （b ） r n r
r n p p C --)1(； (c ） 1111)1(+-----r n r r n p p
C ; (d) r n r p p --)1(。

2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P 。

（ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； （ｂ） )()(11-+-k k x F x F ； （ｃ） )(11+-<<k k x X x P ； （ｄ） )()(1--k k x F x F 。

3。

设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函
数 .
(ａ） 是连续函数； （ｂ) 恰好有一个间断点; （ｃ） 是阶梯函数； （ｄ) 至少有两个间断点。

4。

设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则
方差=-)23(Y X D .
(ａ) 40; （ｂ） 34； （ｃ) 25.6； （ｄ） 17.6 5。

设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结
论中正确的是 。

（ａ）
)(~/21
n t n
X -; (ｂ) )1,(~)1(4112n F X n
i i ∑=-； (ｃ)
)1,0(~/21
N n
X -； （ｄ） )(~)1(41212n X n
i i χ∑=-。

二. 填空题（28分，每题4分)
1. 一批电子元件共有100个， 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取
一个， 则第二次才取到正品的概率为
2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ,则随机变量X e Y 3=的概率密度函数
为=)(y f Y
3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则
)51(<<-X P ＝ 。

4。

设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为
⎩⎨⎧<<<=他其,
0;
10,,1),(x x y y x f
则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y
5。

设)(~m t X ，则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 ） 6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得
样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95％的单侧 置信区间上限为
7。

设X 的分布律为
X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-
已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为
三。

计算题（40分，每题8分)
1. 已知一批产品中96 ％是合格品. 检查产品时,一合格品被误认为是次品的 概率是0。

02；一次品被误认为是合格品的概率是0。

05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率
2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z 。

3．某商店出售某种贵重商品。

根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的。

用中心极限定理计算该商店一年内(52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本。

求常数 k ， 使∑=-n
i i X X k 1为σ 的无偏估计量。

5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X
（单位：kg)。

已知8=σ kg, 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品,测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ (%5=α）
(2) 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取
5个样品,测得其纤度为： 1。

31， 1.55, 1.34， 1.40， 1。

45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验。

四. 证明题（7分)
设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B 。

试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.
附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表
6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(2
05.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t
概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案
一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 。

二。

选择题（15分,每题3分） (ａ）（ｄ)(ｂ）（ｃ)（ｄ）。

三。

填空题(28分，每题4分）
1。

1/22 ； 2。

⎩
⎨
⎧≤>=0
00
)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ; 3。

0。

9772 ; 4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他
其0
)
2/(1)(x y x x x y f X
Y
；
5. ),1(m F 6。

上限为 15.263 。

7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分,每题8分)
1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件。

(2分）
9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分)
.998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分）
2. ⎩⎨
⎧>=-其他00
)(x e x f x
X λλ ⎩⎨⎧>=-其他
00
)(y e y f y
Y μμ (1分） 0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； （1分）
0≤z 时, ⎰
∞+-∞
-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(2
1
(2分)
)(232/3/3/0
]2/)[(2
1z z z x z x e e dx e μλμλλ
μλμ
λμ-------=
=
⎰
（2分）
所以
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>--=--0,
00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλ
μλμ
[ ⎪⎩⎪
⎨⎧≤>--=--0
,
00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλ
μλμ
] (2分)
3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P （1分)
则一年的销售量为 ∑==
52
1
i i
X
Y ，52)(=Y E , 52)(=Y D 。

（2分)
由独立同分布的中心极限定理，所求概率为
1522521852185252522)7050(-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分）
6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=。

(1分)
4。

注意到
()n i i X X n X X n
X X ---+--=
- )1(1
21)
2(1)(,0)(2
分σ
n
n X X D X X E i i -=-=-)
1(1,0~2分⎪⎭⎫
⎝⎛--σn n N X X i dz
e n n z X X E n
n z i 2
2
12121|||)(|σσ
π--∞+∞
-⎰-=-dz e n
n z
n
n z 22
120
121
2σσ
π--
∞
+⎰
-=)
3(122分σ
πn
n -=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑
∑==n
i i n
i i X X E k X X k E 1
1||||σπ
n
n kn 122-=σ
令=
5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H （1分）
检验用的统计量 )1,0(~/0
N n
X U σμ-=
,
拒绝域为 96.1)1(025.02
==-≥z n z U α。

（2分）
96.106.21065.010
/85702.5750>==-=
U ，落在拒绝域内，
故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . ［ 96.1632.0102.010
/92.5695710<==-=
U , 落在拒绝域外,
故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg 。

] (1分)
（2) 要检验的假设为 2
21220048.0:,048.0:≠=σσH H （1分)
［2
2122079.0:,79.0:≠=σσH H ］
检验用的统计量
)1(~)(220
2
5
1
2--=
∑=n X X
i i
χσ
χ，
拒绝域为 488.9)4()1(2
05.022==->χχχαn 或
711.0)4()1(2
95.02122
==-<-χχχαn (2分）
41.1=x [49.1=x ]
488.9739.150023.0/0362.02
0>==χ, 落在拒绝域内， ［711.0086.06241.0/0538.02
0<==χ，落在拒绝域内，］
故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 （7分) 由题设知
X 0 1 Y X + 0 1 2
P p q
P 2q pq 2 2p （2分)
)0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ；
）
分（2)
1(2-=
n n k π
X
Y
P
+Z
pq
Z
)1
P;
X
Y
=
P
(
,0
)0
=
(
(2=
)1
=
+
=
=
X
P
Y
P
=
+Z
P；
=
X
Y
Z
pq
)0
(
)1
(
=
2
)0
,1
+
=
(2=
=
Y
P
+Z
X
=
Y
P；
X
Z
pq
P
=
(
2
)1
(
=
)1
)1
=
,1
+
=
(2=
Y
X
=
+Z
P
Y
=
P；
X
Z
pq
P
(
)2
(
=
)0
)0
=
+
=
,2
(2=
X
+Z
P
P
Y
Y
=
P。

X
Z
p
(3=
(
)2
(
)1
=
)1
=
,2
=
+
=
X+与Z相互独立。

（5分）所以Y
一 是非题（请填写是或非。

共6分，每题1分）
1．若随机事件A 与B 独立，A 与C 独立，则A 与BC 必独立. （ ） 2．若概率(2008)0.109P X ==,则X 不可能是连续型随机变量。

（ )
3．等边三角形域上的二维均匀分布的边缘分布不是均匀分布。

（ )
4．若()1P X a ≥=，则随机变量X 的数学期望()E X 一定不小于数a 。

（ ） 5．总体均值μ的置信区间上限比样本观测值),,,(21n x x x 中的任一i x 都要大。

（ )
6．假设检验中犯第二类错误的概率是指)(11为伪接受H H P =β。

（ ）
二 填空题(共15分，每题3分）
7．设随机变量X 服从（1，3）上的均匀分布，则随机因变量ln Y X =的概率密度函数
为 ()Y f y =
.
8．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数3.0=p 的)10(-分布，则函数
{}Y X Z ,m ax =的分布律为。

9．对某一目标连续射击直至命中3次为止。

设每次射击的命中率为0.6,消耗的子弹数为X ，
则()______E X =，()______D X =。

10．设 2
)(,)(σμ==X D X E , 由切比雪夫不等式知， )10(σμ≥-X P 的取值区
间为 与 之间。

11．设(19,
,X X ）是来自正态分布)1,0(N 的简单随机样本，
3
6
9
2
2
21
4
7
()()()i i i i i i Y X X X ====++∑∑∑。

当k ＝ 时, kY 服从2
χ分布,()____,E Y =()_____D Y =。

三 选择题（共15分，每题3分）
12．设随机事件,A B 满足()().P B P B A =,则下面结论正确的是 . （ａ）()()()P AB P A P B =; (ｂ)()()()P AB P A P B =; （ｃ)(|)()P B A P A =; （ｄ）(|)()P A B P A =。

13．设~(,)X N a b ，分布函数为()F x ,则对任意实数c ，有 。

(ａ)()()0F a c F a c +--=; （ｂ）()()0F c a F c a +--=； （ｃ）()()1F a c F a c ++-=； （ｄ）()()1F c a F c a ++-=。

14．设随机变量X 与Y 的二阶矩都存在且独立同分布，记X Y ξ=-，,X Y η=+则ξ与
η 。

(ａ）相互不独立； （ｂ）相互独立； （ｃ）相关系数不为零; （ｄ）相关系数为零。

15．设 ,,,1n X X 为独立随机变量序列，),2,1( =i X i 的密度函数是(),i x
X f x e μμ-=
0;()0,0(0)i X x f x x μ>=≤>,()x Φ为标准正态分布函数,则下列选项中正确的
是 。

(ａ）lim }n
i n X n
P x μ→∞
-≤=∑()x Φ；（ｂ）1
2
/lim {}/n
i
i n X
n P x n μ
μ
=→∞
-≤=∑()x Φ；
（ｃ）1
2
1/lim {}1/n
i
i n X
P x μ
μ
=→∞
-≤=∑()x Φ；（ｄ）1
lim {
}n
i i n X n
P x n
μ=→∞
-≤=∑()x Φ。

我承诺，我将严格遵守考试纪律。

16．设总体~()X E λ，即密度函数
,0()0,
0x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，参数0λ>且已知，
12(,,
,)n X X X 为X 的样本，则统计量2n X λ服从的分布是 .
(ａ）2
()n χ； （ｂ）2
(2)n χ; （ｃ）()t n ; （ｄ）(2)t n .
四 计算题 （ 共56分, 每题8分)
17．已知某油田钻井队打的井出油的概率为0。

08，而出油的井恰位于有储油地质结构位置上的概率为0。

85，
而不出油的井位于有储油地质结构位置上的概率为0.45。

求钻井队
1）在有储油地质结构位置上打井的概率；2）在有储油地质结构位置上打的井出油的概率。

18．已知随机变量（,X Y ）的联合分布律， 1)求Z X Y =+的分布律；
2）在2Z ≤的条件下求X 的条件分布律。

X
Y
1 2 0 1/10 1/2 1/5
1/5
1
=-的分布函数与密度函数. 19．设随机变量,X Y为区间[0,1]上任意取的两个数，求Z X Y
20．国家宏观调控政策后，沧源路上某房地产中介公司每周卖出的住房套数服从参数为λ=的Poisson
0.5
分布，试用中心极限定理估计该房产中介一年(52周)能卖出20到30套住房的概率。

21．设总体X 的密度函数为 (),
(;)0,
x e x f x x λδλδ
δδ
--⎧≥=⎨
<⎩，其中,0δλ>为未知参数，
1,
,n X X 为取之总体X 的一个样本。

求参数,δλ的矩估计量与极大似然估计量。

22．设总体2
~(,)X N μσ，设11,
,,n n X X X +为其容量为1n +的样本,引入统计量
()
2
11
n
n i i U c X X +==-∑，
试确定常数c 使得U 为2
σ的无偏估计量。

23．据历史记载，上海1月份的平均最低气温为0.3C ，最近几年的上海1月份的平均最
(单位：o
C ；数据来源： 天气在线www 。

t7online 。

com ），试据此数据检验上海气候有无变暖？（05.0=α)
五．证明题 （本题8分) 24．设)(~n t X ，()t n α为
t 分布的上α分位点，(,)F n m α为 F 分布的上α分位点。

试证明： （1）)1(~2
n F X Y ，=； （2）2
1/2[()](1,).t n F n αα-=
附表： 标准正态分布数值表 2
χ分布数值表 t 分布数值表
(0.78)0.7823Φ= 2
0.05
(6)12.592χ= 0.05(6) 1.9432t = (0.87)0.8078Φ= 2
0.95
(6) 1.635χ= 0.05(7) 1.8946t =
(1.18)0.8810Φ= 2
0.05
(7)14.067χ= 0.025(6) 2.4469t = (1.20)0.8849Φ= 2
0.95
(7) 2.167χ= 0.025(7) 2.3646t =
概率统计(A 类）试卷A （评分标准) 2008.1。

9
一 是非题（6分,每题1分） 非 是 是 是 非 非
二 填空题（15分，每题3分) 7。

/2,0ln3
()0,
y Y e y f y ⎧<<=⎨⎩其他 ; 8。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛51.049.010； 9。

5，10/3 ；
10。

之间与01.00； 11。

1/3,9，54。

三 选择题（15分，每题3分） b c d a b
四。

计算题（56分,每题8分)
17．设事件{},A =打的井位于有储油地质结构位置上 {}.B =打的井出油
则 ()0.08P B =， ()0.85P A B =， ()0.45.P A B = ( 2分） 1）由全概率公式
()()()()()P A P B P A B P B P A B =+
0.080.850.920.450.482.=⨯+⨯= ( 3分）
2） 由贝叶斯公式得所求概率为
()()()
P AB P B A P A =
()()68
0.141()482P B P A B P A ==≈。

（ 3分）
18．1）12
3~1/107/101/5Z X Y ⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭； ( 3分）
2) (,2)5
(2)(,2),1,2(2)4
P X k Z P X k Z P X k Z k P Z =≤=≤=
==≤=≤。

（ 2分)
(1,2)(1,2)(1,1)P X Z P X X Y P X Y =≤==+≤==≤
(1,0)(1,1)(1,1)3/10P X Y P X Y P X Y ===+====≤=
条件分布律为
533(12),4108P X Z =≤=⨯= 515
(22).428
P X Z =≤=⨯= （ 3分）
19．(,)X Y 的联合密度为1,
[0,1],[0,1];(,)0,
x y f x y ∈∈⎧=⎨
⎩其他
， （ 1分)
Z 上的分界点为1,0,1.-分布函数为()()(,)Z x y z
F z P X Y z f x y dxdy -≤=-≤=
⎰⎰
1z <-时()0Z F z =；1z ≥时()1Z F z =; （ 1分）
10z -≤<时,11
20
1
()(1)2
z
Z x z F z dx d y z +-==+⎰
⎰
； ( 2分) 01z ≤<时，2
1
1
1
001()22
z
Z z x z z F z dx d y dx dy z -=+=+-⎰⎰⎰⎰。

( 2
分)
220,
1;1
1,10;
(1),10;
2
()()1,
01;11(1),01;0,21,1
Z Z z z z z z F z f z z z z z z <-⎧⎪+-≤<⎧⎪+-≤<⎪
⎪
=⇒=-≤<⎨⎨⎪⎪--≤<⎩⎪⎪≥⎩
其他
（ 2分）
20．令i X =
“第i 周卖出的房子数”，i=1,...,52，易知152,,X X 独立同分布.
由中心极限定理，该房产中介一年卖出的房子总数52
1
(26,26)~i
i X X N ==∑近似 ( 4
分)
从而
(2030)(0.78)( 1.18)0.78230.881010.6633
P X P ≤≤=≤≤=Φ-Φ-=+-= （ 4分） 21．（1）矩法估计（ 4分)：易知Y X δ=-服从参数为λ的指数分布，从而
2222
2
1ˆ
1
1
()1
1
1
1
()(
)ˆn
i i E X EX X D X EX X n X λδδλ
λ
δδλλλ
δ=⎧=⎪⎫-=⇒=
+≈⎪⎪⎪⎪⇒⎬⎨⎪⎪-=
⇒=
++≈⎪⎪⎭=-⎪⎩
∑ （2）极大似然估计( 4分）：设样本观测值为1,
,n x x ，则似然函数为
()1
(,),i n
x i i L e x λδλδλδ
--==≥∏
1
1
ln (,){ln ()}ln ()n
n
i
i
i i L x n x λδλλδλλδ===
--=--∑∑
1
ln (,)()0ln (,)0n
i i L n x L n λδδλλλδλδ=∂⎧=--=⎪⎪∂⇒⎨∂⎪=>⎪∂⎩
∑ 易知(,)L λδ关于δ的单增函数，要使(,)L λδ极大，δ要尽可能地大，故
1(1)
ˆmin{,,}:n X X X δ==，(1)1
1ˆ1()n
i i X X n λ==-∑为所求极大似然估计量.
22．2
221
11
1
()()2n
n
n i n i i i EU c E X
X c D X X n c σσ++===-=-==∑∑ （ 6
分）
1
2c n
⇒=
( 2分) 23．2
2.61, 1.80 1.34x s s ==⇒= ( 2分)
假设: 01:0.3,:0.3H H μμ=> ( 或01:0.3,:0.3H H μμ≤> ） （ 2分）
则取统计量
X t =
，在0H 为真条件下，~(6)t t ，
拒绝域 0.05{(6)}{ 1.9432}D t t t =>=>
代入数据计算得
ˆ 4.56 1.9432t
==>
从而拒绝0H ,即认为上海气候明显变暖。

( 4分) 五．证明题 （ 8分） 24．设~()X t n ，则
X =
~(0,1)Z N ，
令 222
22/1
()/()/Z Z Y X n n n n
χχ===， 则 ~(1,)Y F n 。

（ 4
分)
由t 分布定义 2
2
1(())(()P X t n P X t n ααα->=>= ( 2分)
2
2
22
21(())(())((1,))P X t n P Y t n P Y F n ααα-=>=>=>
21/2[()](1,).t n F n αα-= （ 2分)
一 是非题（共6分，每题1分）
1．在事件A 发生条件下, 事件B 与C 同时发生的概率为1，则必有A BC ⊂。

( ）
2．二维随机变量(,)X Y 在矩形域{(,),}G x y a x b c y d =<<<<上服从均匀分布，则
,X Y
相互独立.
（ ）
3．若连续随机变量X 的密度函数()f x 关于直线0x =对称，则数学期望必存在且为0. （ ）
4. 若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 必不相关. （ ）
5．若~(0,1)i X N , (1,2,,)i n =, 则222
212
~()n X X X n χ+++。

（ ）
6．12(,,,)m X X X 是总体(,)B n p 的样本，则1
1ˆm
i i p X nm ==∑是参数p 的无偏估计.
（ ）
二 填空题（共24分,每题3分）
7．()0.4P A =，()0.2()P A B P B A ==，则()______P AB =。

8．设随机变量),(~2
11σμN X ，),(~2
22σμN Y ,01>σ，02>σ,且23+=X Y 。

则数学期望=)(XY E 。

9．设随机变量),(Y X 服从区域22
2
≤+y x 上的均匀分布，则在1=Y 的条件下X 的
条件密度函数=)1|(|x f Y X。

10．二维随机变量(,)~(1,4;1,9;0.5)X Y N , 令
2Z X Y
=-，则。

),cov(Y Z
__________.
cov(,)0.53X Y ==
cov(2,)cov(2,)cov(,)2cov(,)cov(,)6()69
X Y Y X Y Y Y X Y Y Y D Y -=+=+=+=+__________。

11．在独立试验中,每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3 次的 概率为 。

12．设(4321X X X X ，，，)为取自总体)43(，N 的样本，则)
51(<<-X P ＝ 。

13．设(129,,
,X X X ）是来自正态总体~(,4)X N μ的简单随机样本，则
921()8.72_______i i P X X =⎛⎫
->= ⎪⎝⎭
∑. 14．某清漆的干燥时间服从正态分布(,0.36)N μ．现测得9个样品的平均干燥时间为6小时，则μ的置信度为0。

95的单侧置信区间上限为 .
(0,1)X N ,
(0.1)N
我承诺，我将严格遵守考试纪律。

?0.95
p
⎛⎫
⎪
>=
⎪
⎪
⎭
查表的 1.6450.95
p
⎛⎫
⎪
>-=
⎪
⎪
⎭
1.64560.95
pμ⎛⎫
<⨯+=
⎪
⎝⎭
＊．为了了解一台测量长度的仪器的精度,对一根长为30mm的标准金属棒进行6次重复测量，测得
结果如下：
30。

1 29。

9 29。

8 30。

3 30。

2 29。

6 假定测量值服从2
(,)
Nμσ，其中μ未知。

则μ的置信度为0。

95的置信区间为。

(1)
X
t n -，
(61)
X
t -
?0.95
p
⎫
⎪
<=
⎪
⎪
⎭
查表的
0.025
(61)0.95
p t
⎫
⎪
<-=
⎪
⎪
⎭
2.44690.95
p
⎫
⎪
<=
⎪
⎪
⎭
17（070802）．为了了解一台测量长度的仪器的精度，对一根长为30mm的标准金属棒进行6次重复测量，测得
结果如下：
30。

1 29.9 29。

8 30.3 30.2 29.6
假定测量值服从2
(,)
Nμσ，其中μ未知。

则2σ的置信度为0.95的置信区间为。

2
2
2
(1)
(1)
n S
n
χ
σ
-
-
2
2
(1)
(??)0.95
n S
p
σ
-
<<=
2
0.9750.025
2
(1)
((5)(5))0.95
n S
pχχ
σ
-
<<=
2
2
(1)(0.83112.833)0.95n S p σ-<
<= 222
(1)(1)()0.9512.8330.831
n S n S p σ--<<=
三 单项选择题（共15分，每题3分）
15．设A B ⊂，则下面正确的等式是
(ａ))(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()|(B P A B P =；
（ｃ）)()|(A P B A P =; （ｄ）)()()(A P B P A B P -=-。

16．设12(,,,)n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的样本，X 为样本均值，已知统计
量
∑=+-=n
i i X X X k Y 1
22)(是参数2μ的无偏点估计量，则常数=k
（ａ）
n 1； （ｂ)11
-n ； （ｃ)n
1
-
； （ｄ)11--n 。

17．设随机变量X 的分布函数()0.2()0.8(/20.5)F x x x =Φ+Φ-,()x Φ为标准正态分布函数，
则X 的数学期望=)(X E
（ａ）0。

2 ; (ｂ）0.4 ； （ｃ）0。

8 ； （ｄ)1 .
18．设 ,,,1n X X 为独立随机变量序列，),2,1( =i X i 服从指数分布(2)E ，()x Φ为
标准正态分布函数，x 为任一实数。

则下列选项中正确的是
（ａ）1lim }n i n i P X x →∞=≤=()x Φ；（ｂ)141
lim {}2n i
n i P X x n →∞=-≤=∑()x Φ; (ｃ)1
lim {4(2)}n
n i P X x →∞=-≤=∑()x Φ； （ｄ）12lim {()}n
i n i P X n x n →∞=-≤=∑()x Φ。

19．设12(,,
,)n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的样本，又2~(,)Y N μσ且
与i X )2,1(n i =相互独立，X 与2S 分别为样本均值和样本方差,则 (ａ
)
~(1)t n -； (
ｂ）~(1)t n -; （ｃ
~()t n ；
（ｄ）~()t n 。

四 解答题 ( 共48分， 每题8分)
20．某台机器正常工作时,所生产的一等品与二等品各为50%。

该机器不能正常工作时,生产的一等品为25%,二等品为75％.已知这台机器有10％的时间不能正常工作。

现从该机器在某特定的时间内生产的所有产品中随机地选取1件，查看后仍放回，共依次查看5件.
（1）如果该机器在此特定的时间内正常工作，试求取到的为4件一等品、1件二等品的概率；
（2）如果取到的为4件一等品、1件二等品，试求该机器在此特定时间内正常工作的概率。

21．设二维随机变量
(,)
X Y 的联合密度函数为
(1)
0,0(,)0
x y xe x y f x y -+⎧>>=⎨
⎩其他。

求随机变量Z X Y =的分布函数()F x 与密度函数()f x 。

19（08-7题）．学校某课程考试成绩分优秀、及格、不及格三种，优秀得3分、及格得2分、不及格得1分.根据以往统计参加考试的学生获优秀及格不及格的分别占20％、70%和10%。

现有100位学生参加考试,
（1）试用切贝雪夫不等式估计这100位学生考试总分在200分至220分的概率；
(2) 用中心极限定理近似计算这100位学生考试总分在200分至220分的概率
i X 是第i 个人的得分 i X 的分布为
()30.220.710.1 2.1i E X =⨯+⨯+⨯= 2222()30.220.710.1 4.7i E X =⨯+⨯+⨯=
()22()()0.29i i i D X E X E X =-=
100
1
()210i i E X ===∑
100
1
()100()29i i i D X D X ===∑
(1） 100
100100
1
1
1
(200220)(200210()220210)i
i i i i i P X
P X E X ===≤
≤=-≤-≤-∑∑∑
100
100100
1
2
1
1
()
(()10)10.7110i i i i i i D X P X E X ====-≤≥-
=∑∑∑
（2)
()100
1
210,29i
i X
N =∑（近似）
100
1
(200220)(1.87)( 1.87)(1.87)120.96931
i i P X φφφφφ=≤≤=-=--=-=⨯-∑
22．如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率,为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率p 的绝对误差小于10
p
,试用中心极限定理估计至少应该作多少次试验?
23．已知n X X X ，，，
21是取自于总体X 的样本，且X 的分布函数为 ⎩
⎨⎧<-=-其他，，；01)(22x x x F θθθ （θ〉0)， 232()0x x f x θθθ-⎧<=⎨⎩，；，其他
试求:(1)
θ的矩估计量θˆ;（2) θ的极大似然估计量L θˆ。

21
222()()220(2)221x E x xf x dx x dx θ
θ
ϑ
θθθθ+∞
-++∞
+∞
-====--=-+⎰
⎰
()2E X X θ=≈
所以θ的矩估计量
ˆ2
X
θ
≈ 似然函数 2323
23
1212(,,...,,)222n n L x x x x x x θθθθ---=⋅⋅⋅
233
3
121212ln (,,...,,)ln(2)ln 22ln 3(ln ln ...ln )
n n n n n L x x x x x x n n x x x θθθ---=⋅⋅
⋅=+-+++
122ln (,,...,,)0n n
L x x x θθθ
∂==∂不能做 233
3121212122,,,...,(,,...,,)(,)(,)...(,)0
n n n n
n n x x x x x x L x x x f x f x f x θθθθθθθθ---⎧⋅⋅
⋅<<<==⎨
⎩
233
312122,min(,,...,)
n n n n x x x x x x θθ---⎧⋅⋅⋅<=⎨⎩ 12min(,,...,)n x x x θ=
12min(,,...,)n X X X θ=
24．设随机变量（Y X ,）的分布律如下所示,求：(1) }),(max{Y X D ; (2） XY ρ。

25．化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得9包化肥的质量（单位：kg ）如下:
49.750.449.950.550.149.749.850.350.5
设每包化肥质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50 kg ？是否可以认为每包化肥的平均质量显著偏小于50 kg ？是否可以认为每包化肥的平均质量显著偏大于50 kg ？取(0.05)α=。

H0 : 50μ= 1
50H μ≠
(91)X t -
0.0252(8)(8) 2.306W t t α⎫⎪=>==⎬⎪⎭
1
2
21150.1
1()1n
i i n i i X x n S x x n S =====--=
∑∑
0.89X =, 因为 0.89 2.306<，所以接受H0认为化肥的平均质量为50 kg 。

H0 ： 50μ≥ 1
50H μ<
(91)X t -
0.05(8)(8) 1.8595X W t t α⎧⎫⎪=<-=-=-⎬⎪
⎭
0.89 1.8595X =>-， 不认为显著偏小于50 kg 。

H0 : 50μ≤ 1
50H μ>
(91)X t -
0.05(8)(8) 1.8595X W t t α⎧⎫⎪=>==⎬⎪
⎭
0.89 1.8595X =<， 不认为显著偏大于50 kg 。

五．证明题 （本题7分)
26．设连续型随机变量X 的数学期望存在,)(x F 为X 的分布函数.已知对常数a , 恒有()1P X a ≥=.证明：（1）a x ≤时，0)(=x F ；（2）()E X a ≥。

附表： 标准正态分布数值表 2
χ分布数值表 t 分布数值表
9772.0)2(=Φ 2
0.05
(8)15.507χ= 0.05(8) 1.8595t = 6915.0)5.0(=Φ 2
0.975
(8) 2.18χ= 0.025(8) 2.306t = 8413.0)1(=Φ 2
0.05
(9)16.919χ= 0.05(9) 1.8331t = (1.96)0.975Φ= 2
0.975
(9) 2.70χ= 0.025(9) 2.2622t =
概率统计试卷(A 类) (评分标准） ［方框内为B 卷答案］
2009.7。

1
一 是非题(共6分，每题1分）
非 是 非 是 非 是 [ 是 非 非 是 非 是 ］ 二 填空题(共24分，每题3分）
7．0.32[0.42]； 8．2121μμσσ-； 9．⎩
⎨⎧≤≤-=其他01
15.0)1|(|x X f Y X ；
10．3-
[3]； 11．3
2
)1(4p p -； 12．9772.0)4()2(≈-Φ-Φ；
13. 0.975 14。

392.6]608.5[ 。

三 单项选择题（共15分，每题3分）
d d c a b [ c c d b a ］ 四 解答题 （ 共48分, 每题8分)
20． 设事件A 表示“机器正常工作”，事件B 表示“该机器生产的是一等品”，则
()0.9()0.1(|)(|)0.5P A P A P B A P B A ==== (|)0.25(|)0.75
P B A P B A ==
（2分）
设事件C 表示“在选取的5个产品中有4个一等品和1个二等品"，则由()C A A ⊂⋃，
得
(1
）
156.032
5
)5.01()5.0()|(445==
-=C A C P （2分）
（2）()()(|
)()(|)P C P A P C A P A P C A =+
()()4
4
115
5
()(|)(|)()(|)(|)P A C P B A P B A P A C P B A P B A =+
545[0.9(0.5)0.1(0.25)0.75]50.028420.1421.
=+≈⨯=
（2分）
所以该机器在该特定时间内正常工作的概率为
5
()(|)0.9(0.5)(|)0.9897
()0.02842
P A P C A P A C P C ===
（2分） 21
．
解
：
当
z ≤时，
()0
Z F z =;
（1分）
当0z
>时, ()()()(,)Z xy z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy ≤=≤=⋅≤=
⎰⎰
(1)00
1z x y z
x dx xe dy e +∞
-+-==-⎰⎰
（3分)
所
以
密
度
函
数
0()0
z
Z e z f z z -⎧>=⎨
≤⎩
（4分） 22．设
n
次试验中尖头朝上有
X
次，则
~(,)
X B n p ，
(),()(1)E X np D X np p ==-（2分）
(|
|)0.9510
A n p
P p n -<≥
（2分）
(0.95
P
⇒<<≥
(0.95
⇒Φ-Φ≥
210.950.975
⇒Φ-≥⇒Φ≥
1.96
⇒≥
2
(1)19.6
p
n
p
-
⇒≥
（4分）
23．
⎩
⎨
⎧
<
≤
=
-
x
x
x
x
f
X
θ
θ
θ
θ
2
)
;
(
~
3
2
(2分）
(1）X
5.0
ˆ=
θ；（3分)
（2) }
min{
ˆ
2
1n
L
X
X
X，
，
，
=
θ. （3分）
24．（1）2275
.0
400
91
})
,
(max{=
=
Y
X
D；(4分）
（2) 20006
.0
91
299
33
-
=
-
=
XY
ρ。

（4分)
25．设01
:50;:50
H H
μμ
=≠。

（2分）
检验统计量~(1)
X
T t n
=-拒绝域W：
0.025
(8) 2.306
T t≥=，
92
22
11950.1,0.112588
i i x s x x ===-=∑，
0.89 2.306T =
=<， （4
分）
拒绝域 T W ∉因为当0H 为真时，T W ∉， 所以接受0H . （2
分）
五．证明题 (本题7分）
26。

（1） 1()1()()1F a P X a P X a -=-<=≥=()0F a ⇒=，由()F x 的单调不减 ()0,F x x a ⇒=≤ （4分)
（2）设)(x f 为X 的密度函数；()()0,f x F x x a '⇒==≤,从而
()()E X x f x dx +∞
-∞
=⎰()a
x f x dx +∞
=⎰
()a
a f x dx +∞
≥⎰
()a
a f x dx
+∞=⎰
()a f x dx a
+∞
-∞
==⎰
（3分)
一 单项选择题（每题3分，共15分）
1．已知)(1x f 为标准正态分布的密度函数,)(2x f 为区间)3,1(-上均匀分布的密度函数， 随机变量X 的密度函数为⎩⎨
⎧>≤=0
),
(0),()(21x x f b x x f a x f ；（0>a ，0>b ）,则
（A ） 3=+b a ； （B ） 432=+b a ; （C) 1=+b a ； （D ） 132=+b a 。

2．设随机变量X 的分布函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<≤<=-1,110,
2/10,
0)(x e x x x F x ,则概率==)1(X P （A ）0； （B ）2/1; （C ）12/1--e ； （D)11--e 。

3．设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,方差为02
>σ。

令∑==n
i i X n Y 1
1，则
(A) Cov(n
Y X 2
1),σ=
； (B ） Cov(2
1),σ=Y X ；
(C) 212)(σn n Y X D +=
+; （D) 2
11)(σn
n Y X D +=-。

4．设),,(91X X 为来自总体),(2
σμN 的简单随机样本,2
,σμ均未知，则μ的
置信度为99％的置信区间是 （A ）))8(3,)8(3(025.0025.0t S X t S X +-
; （B ）))9(3
,)9(3(025.0025.0t S
X t S X +-; (C ）))9(3,)9(3(01.001.0t S X t S X +-； （D ）))8(3
,)8(3(005.0005.0t S
X t S X +-。

5．设,A B 为样本空间Ω（A ）1； （B ）)(B P ； （C ）)(A B P ； （D ）)(A B P . 二 填空题（共18分，每题3分）
6．设随机变量X 服从均匀分布)1,1(-U ,则X Y e =的密度函数
()Y f y ⎧
=⎨⎩。

7．若),(Y X 的联合分布列为
),(Y X )0,1(- )2,1(- )4,1(- )0,0( )2,0( )4,0(
P 0.1 0.2 0.1 0.3 0。

2 0。

1
(,)F x y 为),(Y X 的联合分布函数，则(0,2)F = 。

8．设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数0.4p =的)10(-分布,设XY Z =,则Z 的概率分布 为。

9．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则(
)
=>
)(X D X P .
10．设方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则=-)23(Y X D . 11．设),,,(4321X X X X 是取自正态总体),0(2
σN 的简单随机样本，其中0>σ，已知
243221)/(X X X kX ++服从F 分布，则k ＝ 。

三 是非题（每题1分，共7分。

请填写是或非)
12．设随机事件,A B 的概率分别为1.0)(=A P ，9.0)(=B P ，则Ω=⋃B A 。

（ ）
我承诺，我将严
格遵守考试纪律。

13．不论连续型随机变量X 的密度函数)(x f 是否连续，X 的分布函数)(x F 总是连续的。

（ ）
14．若二维随机变量 )0;4,1;2,1(~),(-N Y X ，则)6,0(~N Y X +。

( )
15．方差)(X D 不存在的分布，其数学期望()E X 也不存在. ( )
16．在假设检验中，当假设0H 为真假时，拒绝接受0H ，称为犯第一类错误。

（ ）
17．对任一分布的未知参数均可以通过矩估计方法进行估计. ( ）
18．设样本),,,(21m X X X 来自总体),(p n B ，则∑==m i i X m X 1
1是参数p 的无偏估计量。

( ）
四 解答题 （每题9分，共54分）
19．一盒手机中有10只手机,其中有7只是新的，3只是旧的,现从中不放回随机抽取，每次取一只。

(1）若共取两次,已知取出的手机中有一只是新手机，试求另一只也是新手机的概率； （2)设X 为取到新手机时的抽取次数，试求数学期望)(X E .
20．设随机变量),(Y X 服从正态分布)2
112
1
00(；
，；，N ，其密度函数
2
2
22),(y y x x
Ae y x f -+-=， +∞<<∞-y x ,。

试求：（1）常数A ； （2）协方差),(Y X COV ;(3）条件密度函数)|(|x y f X Y 。

21．设随机变量2,01,01,
(,)~(,)0,
y x y X Y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其他， 。

求+Z X Y =的密度函数
()Z f z 。

22．高校某课程考试，成绩分优秀、合格、不合格三种，优秀、合格、不合格的各得3分、2分、1分。

根据以往统计，每批参加考试的学生中，优秀、合格、不合格的各占20%、70%、10%。

现有100位
学生参加考试。

（1)试用切比雪夫不等式估计100位学生考试总分在200分至220分之间的概率;
(2）试用中心极限定理计算100位学生考试总分在200分至220分之间的概率。

23．设总体X 的分布函数为 1,
11/,()1,0,x x F x x θ>⎧-=⎨≤⎩
其中未知参数
121,(,,,)n X X X θ>
为取自总体X 的简单随机样本.求：（1）θ的矩估计量θˆ；(2)θ的最大似然估计量L
θˆ.
24．某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。

今在生产的一批导线中抽取
22根,测得样
本标准差0。

007。

设总体2
~(,)X N μσ，能认为这批导线的标准差显著偏大吗？用假设检验的方法给
出检验结论（显著性水平0.05α=）。

五．证明题 （本题6分)
25．若随机变量,,X Y Z 两两不相关,且方差存在。

证明：方差
()()()()D X Y Z D X D Y D Z ++=++
附： 概率分布数值表
(1.18)0.8810Φ=
9686
.0)86.1(=Φ
0.05(21) 1.7207t =
0.05(22) 1.7171t =
20.025(21)35.479
χ=
2
0.025(22)36.781
χ=
2
0.05(21)32.671χ=
2
0.05(22)33.924χ=
概率统计（B 类）试卷A (评分标准) 2010。

7。

7
一．选择题（15分，每题3分） B C A D B 。

二．填空题（18分，每题3分）
6．11/(2),()0,
Y y e y e f y -⎧<<=⎨⎩其他； 7． 0。

8 ； 8．0
1~0.840.16Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ;
9．1
-e
; 10．25.6； 11．2
3σ。

三．是非题（7分，每题1分） 非 是 是 非 是 非 非。

四。

解答题（54分,每题9分）
19．(1） 设事件 =A {两个中至少有一只是新手机}，=B ｛两只都是新手机}，则A B ⊂， =)(A B P 22
7101122
73710
/()()
()()()/C C P AB P B P A P A C C C C ===+7/15
1/2
7/157/15
=+；
（4分） （2
）
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛120/1120/730/710/74321
~X ， 8/3)(=X E 。

（9分)
20。

（1） π
1
=
A ；
（3分）
（2）
)
,(Y X COV ＝
2
1；
(5分）
（2）2
)(|1)(),()|(y x X X Y e x f y x f x y f --==π
，+∞<<∞-y 。

(其中+∞<<∞-x ）
(9分）
21．由卷积公式 ()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞
-∞
=-⎰
（或其他方法）
(3分）
20
121
2(),
01()2()2,
120,
.
z
Z z z x dx z z f z z x dx z z z -⎧
-=≤≤⎪⎪
=-=-≤≤⎨
⎪⎪⎩
⎰⎰
，
，
其他 （9分）
22．设i X 为第i 位学生的得分)100,2,1( =i ，则总得分∑==
100
1
i i
X
X ，且
,1.2)(=i X E 29.0)(=i X D ,021)(=X E 29)(=X D （3分） （
1
）
71.0100
29
1)10210()220200(=-
≥<-=<<X P X P ;
（6分）
（2） )29
210
200(
)29
210
220(
)220200(-Φ--Φ≈<<X P ()186.12-Φ=
.9372.019686.02=-⨯=
（9分）
23．(1) 由于 1
1
()()1
E X x f x dx x dx x θθθ
θ+∞
+∞
+-∞
=
=⋅
=-⎰
⎰
， 令
1
X
θθ=-，解得
θ的矩估计量为
ˆ.1
X
X θ=
-
（4分）
（2)似然函数为
1
121
,1(1,2,,),
()()()0,n
n
i i n i x i n L f x x x x θθθ+=⎧>=⎪
==⎨⎪⎩
∏
其他
(6分）
令1
ln ()ln 0n
i i d L n x d θθθ==-=∑，得θ的最大似然估计量为 1
ˆln n
i
i n
X
θ
==∑。

（9分) 24
．
（
1)
假
设
22201:0.005,:0.005H H σσ≤>
（2分）
0H 为真，检验统计量2
2
22
(1)~(1)
n S n χχσ
-=
-，拒绝域
22
0.05:(21)32.671W χχ≥=,（4分）
2
22
22
(1)210.00741.1632.6710.005
n S χσ
-⨯=
==>，
（8分）
拒绝0H ，所以有理由认为这批导线的标准差显著偏大。

（9分） 五．证明题 25
．
()()()()2[cov(,)cov(,)cov(,)]D X Y Z D X D Y D Z X Y X Z Y Z ++=+++++
（3分）
因为,,X Y Z 两两不相关,故cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X Z Y Z ++=， 所
以
()()()()D X Y Z D X D Y D Z ++=++
（6分）
一 是非题（请填写是或非。

共7分，每题1分)
1． 设0)(>A P ，0)(>B P ， 若随机事件,A B 相互独立，则,A B 必相容。

( )
2．若随机变量X 的密度函数2
)(cx bx a e
x f ++=，（c b a ,,均为常数）,则X 服从正态分布.
（ ）
3．设随机变量)(g 1X 与)(g 2Y 相互独立，其中21,g g 为连续函数，那么X ， Y 也相互独立。

（ ）
4．若随机变量X 的数学期望()E X 不存在，则其方差)(X D 可以存在. （ )
5．设正态总体X 各阶矩存在，2S 为),,,(21m X X X 的样本方差，则
1
)]([2)(2
2
-=
m X D S D 。

( ) 6．},,,max{ˆ21n
X X X =θ是均匀分布)1,(θU 中参数θ的极大似然估计量。

（ )
7．在假设检验问题中，当样本容量n 增大时,可以使得犯两类错误的概率βα,同时减小。

（ ）
二 填空题（共18分，每题3分）
8．两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率是9/1,且A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则P (A ）=_________。

9．设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x X ，则X
e Y 2=的密度函数是
()Y f y ⎧
=⎨⎩。

10．设22
12(,)~(,;,;)X Y N μσμσρ，则当
ρ= 时，()/2X Y +与(2)/3
X Y -不相关。

11．设随机变量X 与Y 满足：()()2E X E Y =-=-，()4()4D Y D X ==，0.5ρ=-,由切比雪夫不等式估计)6(≥+Y X P 。

12．设1216(,,,)X X X 是来自正态总体)4,0(N 的简单随机样本，当a = 时,统
计量
∑==16
1
2i i X a Y 服从自由度为 的 分布。

13．设总体X 服从正态分布值50=x ，样本方差252
=S ，则2σ的置信度为0。

95的置信区间是________________________。

三 选择题（共15分，每题3分)
14．当事件A 与B 同时发生时C 也发生，则下列式子中成立的是 . )(A )()(B A P C P ⋂=； )(B 1)()()(-+≤B P A P C P ；
)(C )()(B A P C P ⋃=； )(D 1)()()(-+≥B P A P C P .
15
（X ， Y ）= X ， IV ） min( X ,Y ） = X
中成立的个数是（ ）。

我承诺，我将严
格遵守考试纪律。

)(A 0； )(B 1； )(C 2； )(D 3。

16．设 ，
，21X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列，且),2,1(X i =i 服从参数为2的指数分布，则下面正确的是 。

)(A )(lim 1n x x n n X P n i i Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→; )(B )(2lim 1n x x n n X P n i i Φ=⎪⎪⎭⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞
→；
)(C )(22lim 1n x x n X P n i i Φ=⎪⎪⎭⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞
→； )(D
)(22lim 1n x x n X P n i i Φ=⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞
→。

其中(x)Φ是标准正态分布的分布函数。

17．设总体),(~2
σμN X ，X 为样本),(21X X 的均值，则下列μ的无偏估计中最有效
的是 。

)
(A 212121X X +； )(B 213`231X X +; )(C 22121X X +; )(D 23
2
31X X +。

18．在假设检验中，显著性水平α是指 。

)(A (P 接受00H H 假)α=； )(B (P 接受10|H H 假)α=； )(C (P 拒绝00H H 真)α=； )(D (P 拒绝10|H H 真)α=。

四 计算题 （ 共54分，每题9分)
19．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。

出厂的产品4件装一箱,每箱装正品的个数是等可能的,并以箱为单位出售。

由于疏忽,有一批产品未经检验就直接装箱出厂,某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求：
（1）取出的一件是正品的概率； （2）在（1）发生时这一箱里没有次品的概率。

20．一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率：第一台等于0.9,第二台等于0。

8,第三台等于0.7， 假设各台机床是否需要工人管的是相互独立的，求在一小时内需要工人管的机床台数X 的概率分布,以及X 的方差)(X D .
21．设X 与Y 是两个相互独立同分布的随机变量，且⎩⎨⎧>=.,
0,
10,/10)(~2他其x x x f X 求
/Z X Y =的分布函数()Z F z 。

22．独立地
n
次测量一个物理量，每次测量产生的随机误差)1,1(~-U i ε，
),,2,1(n i =。

（1)若取n 次测量的算术均值X 作为测量结果，利用中心极限定理求X 与真值μ的差的绝对值小于正数η的概率； (2）计算（1)中, 当36n =，6/1=η时概率的近似值。

23．设总体X 服从拉普拉斯分布
,,21),(∞<<∞-=-
x e x f x
λ
λ
λ 其中,0>λ若取得
样本值),,(21n x x x ，试求（1)|)(|X E ；（2)参数λ的极大似然估计值λˆ；（3）λ
ˆ是否为参数λ的一致估计值？ 请说明理由.
24．为考察硝酸钠的可溶程度, 对5种温度观察它在100mL 的水中溶解的硝酸钠的重量，获得数据如下
(1） 求线性回归直线方程x b a y
ˆˆˆ+=及误差方差的无偏估计； （2） 检验线性回归是否显著（05.0=α）。

五．证明题 （6分） 25
．
设
)
,,(21n X X X 是取自指数分布总体
X
的样
本,⎪⎩
⎪⎨
⎧<≥=---.0,0,
0,)(~1
1x x e x f X x θθ)0(>θ。