20080815高二数学(1.1正弦定理和余弦定理)
高中数学必修五 1.1 正弦定理和余弦定理 教学课件 PPT (4)
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
C
b
a
A
c
B
四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
b A
或 （推论）
C a=?
c
B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边；
2.已知三边，求三个角。
例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
转化：在 △ABC中，
B
AB 8km, AC 3km, A 600,
求a。
C A
例2：在△ABC中，已知 a=2,b= ， 求A。
解：
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知 a=2 ,b= ， 解三角形。
解：由例2可知 A=45°
方法一：
方法二：
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 为a、b、c,若AB AC = BA BC = 1，c = 2.
（1）判断ABC的形状； （2）若 AB AC 6，求ABC的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
正弦定理和余弦定理详细讲解
高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >b解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC ·2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a cA C=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===，∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b cB C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+． 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
高二数学度末复习正弦定理和余弦定理知识点
高二数学度末复习正弦定理和余弦定理知识点学习是劳动，是充满思想的劳动。
查字典数学网为大伙儿整理了正弦定理和余弦定理知识点，让我们一起学习，一起进步吧！余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
是勾股定理在一样三角形情形下的推广。
a=b+c-2bccosA余弦定理证明如上图所示，△ABC，在c上做高，依照耀影定理，可得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式能够得到：将两式相加：向量证明正弦定理和余弦定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做那个角的正弦。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直截了当运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言进展的障碍。
许多幼儿当众说话时显得可怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆那个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，排除幼儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的适应。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的爱好，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地关心和鼓舞他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清晰，声音响亮，学会用眼神。
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理第7讲正弦定理与余弦定理[学生用书P82]1．正弦定理和余弦定理2.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bc sin A＝ac sin_B＝ab sin C；(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．余弦定理的推导过程如图，设＝a，＝b，＝c.则c＝a－b，所以|c|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C.即c2＝a2＋b2－2ab cos C.同理可证a2＝b2＋c2－2bc cos A.b2＝c2＋a2－2ca cos B.3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解1. 在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( )A．3 B．6C．2 D．3B [解析] 由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.2. 在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )A．90° B．120°C．135° D．150°B [解析] cos B＝＝＝.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( ) A．无解 B．有两解C．有一解 D．解的个数不确定B [解析] 因为＝，所以sin B＝·sin A＝×sin 45°＝.又因为a<b，所以B有两解．4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．[解析] 依题意可得sin B＝，又S△ABC＝ac sin B＝42，则c＝14.[答案] 145．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．[解析] 在△ABC中，∠A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cos，即a2＝b2＋c2＋bc.因为a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以＝1.[答案] 1利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83] 利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下两个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数结合．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )A. B.C．－ D．－(2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．【解析】(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝c sin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C.(2)因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C ＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.【答案】(1)C (2)利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[题点通关]角度一由已知求边和角1．(2017·兰州市实战考试)在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝，则b＝( )A．14 B．6C. D.D [解析] b sin A＝3c sin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故选D.角度二解三角形与三角函数结合2．(2017·河北省五校联盟质量检测)已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋b2＝6ab cos C，且sin2C＝2sin A sinB.(1)求角C的值；(2)设函数f(x)＝sin－cos ωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范围．[解] (1)因为a2＋b2＝6ab cos C，由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2ab cos C，所以cos C＝，又sin2C＝2sin A sin B，则由正弦定理得c2＝2ab，所以cos C＝＝＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)f(x)＝sin－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，由已知可得＝π，所以ω＝2，则f(A)＝sin，因为C＝，所以B＝－A，因为0＜A＜，0＜B＜，所以＜A＜，所以0＜2A－＜，所以f(A)的取值范围是(0，]．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P83] [典例引领](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是( )A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解析】(1)由正弦定理得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以∠A＝.即△ABC为直角三角形．(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号，所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因为sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.【答案】(1)A (2)C若将本例(1)条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．[解] 法一：由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[通关练习]1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是( )A．两直角边不等的直角三角形B．顶角不等于90°或60°的等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形C [解析] 由2A＝B＋C，知A＝60°.又cos A＝，所以＝，所以b2＋c2－2bc＝0，即(b－c)2＝0，所以b＝c.故△ABC为等边三角形．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．[解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.(*)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－，所以A＝120°.(2)由(*)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．与三角形面积有关的问题[学生用书P84][典例引领](2017·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解】(1)由题设得ac sin B＝，即c sin B＝.由正弦定理得sin C sin B＝.故sin B sin C＝.(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bc sin A＝，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－sin 2A.(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．[解] (1)由cos(B＋C)＝－sin 2A可得，－cos A＝－sin 2A，所以cos A＝×2sin A cos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，故sin A＝，从而A＝.(2)因为A＝，故cos A＝，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即49＝25＋c2－5c，所以c2－5c－24＝0，解得c＝－3(舍去)，c＝8，所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×8×＝10.[学生用书P85])——正、余弦定理的应用(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tan C的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．[思维导图](1)(2)(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.(3分)又由A＝，即B＋C＝π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sin C cos C，解得tan C＝2.(6分)(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝.(8分)因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，所以sin B＝.(9分)由正弦定理得c＝，(10分)又因为A＝，bc sin A＝3，所以bc＝6，(11分)故b＝3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．(2)计算准确，争取得满分①公式运用要准确，这是计算正确的前提．②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．[学生用书P280(独立成册)]1．(2017·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )A. B．－C. D．－B [解析] 由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.2．(2017·重庆适应性测试(二))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 依题意得cos C＝＝，C＝60°.因此，△ABC的面积等于ab sin C＝××＝，选B.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形A [解析] 已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sinB cos A，所以sin(A＋B)＜sin B cos A，即sin B·cos A＋cos B sin A－sin B cos A＜0，所以cos B sin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则的值为( )A．1 B．2C．3 D．4A [解析] 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，因为a＝4，b＝5，c＝6，所以＝＝2··cos A＝2××＝1.5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b sin A－a cos B＝0，且b2＝ac，则的值为( )A. B.C．2 D．4C [解析] 在△ABC中，由b sin A－a cos B＝0，利用正弦定理得sin B sin A－sin A cos B＝0，所以tan B＝，故B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.6．(2017·哈尔滨一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 当C取最大值时，cos C最小，由cos C＝＝＝≥，当且仅当c＝时取等号，且此时sin C＝，所以当C取最大值时，△ABC的面积为ab sin C＝×2c×1×＝.7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．[解析] 由面积公式，得S＝bc sin A，代入得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.[答案] 28．(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．[解析] 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BC sin∠CBD＝.因为BD ＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，则cos∠CDB＝＝.[答案]9．(2017·贵阳市监测考试)在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．[解析] 由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．[答案] 直角三角形10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________．[解析] 因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A ＋sin C.因为＝＝，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.[答案] －11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A.(1)求B；(2)若cos A＝，求sin C的值．[解] (1)在△ABC中，由＝，可得a sin B＝b sin A.又由a sin 2B＝b sin A，得2a sin B cos B＝b sin A＝a sin B，所以cos B＝，所以B＝.(2)由cos A＝，可得sin A＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sin A＋cos A＝.12．(2017·河南省八市重点高中质量检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C －sin B)c.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．[解] (1)由已知及正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝.又A∈(0，π)，故A＝.(2)由正弦定理＝，a＝2，b＝2，A＝，得sin B＝.又B∈，故B＝或.若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab＝2；若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab sin C＝.13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为( )A．2 B．3C．2 D．2B [解析] 由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.14．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2a sin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．[解析] 由2a sin B＝b及正弦定理得2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.因为AD是内角平分线，所以＝＝＝.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝，BD＝.[答案]15．(2017·武汉市调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.(1)若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为，求a，c.[解] (1)因为b＝1，所以a＋＝4cos C＝4×＝，所以2c2＝a2＋1.又A＝90°，所以a2＝b2＋c2＝c2＋1，所以2c2＝a2＋1＝c2＋2，所以c＝，a＝，所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝×1×＝.(2)因为S△ABC＝ab sin C＝a sin C＝，所以sin C＝，因为a＋＝4cos C，sin C＝，所以＋＝1，化简得(a2－7)2＝0，所以a＝，从而c＝2.16．(2017·高考全国卷丙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解] (1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.。
高中正弦定理和余弦定理公式
当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则有正弦定理和余弦定理：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA；b^2 = c^2 + a^2 - 2cacosB；c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC可以通过变形得到以下公式：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc；cosB = (c^2 + a^2 - b^2) / 2ac；cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab同时还有以下关系：a = 2RsinA；b = 2RsinB；c = 2RsinCa:b:c =asinB = bsinA；bsinC = csinB；asinC = csinAABC的面积S = absinC = bcsinA = acsinB = r其中r为三角形内切圆半径，可以通过S = (a + b + c)r得到。
选择题：1.在△ABC中，已知a = 2，b = 6，A = 45°，则满足条件的三角形有2个。
2.在△ABC中，A = 60°，AB = 2，且△ABC的面积为3，则BC的长为3.3.已知在△ABC中，a = x，b = 2，B = 45°，若三角形有两解，则x的取值范围是2＜x＜22.4.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是(8,10)。
注：原文中存在格式错误，已经进行修正。
整理得2c=b+bc，因为c≠0，所以等式两边同时除以c，得到2=c+b，解得c=2/(b+1)。
在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且△ABC的面积为315，b-c=2，cosA=1/4，求a的值。
解析：由cosA=1/4，得到sinA=√15/4，S△ABC=bcsinA=bc*√15/4=315，因此bc=24.又因为b-c=2，所以b^2-2bc+c^2=4，联立解得b^2+c^2=52.由余弦定理得，a=b+c-2bccosA=52-2*24*(1/4)=64，因此a=8.在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=π/4，b^2-a^2=c^2/2.1)求tanC的值；2)若△ABC的面积为3，求b的值。
三角形中的正弦定理与余弦定理
三角形中的正弦定理与余弦定理正文：三角形中的正弦定理与余弦定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它包含了很多重要的定理和公式。
在三角形的研究中，正弦定理和余弦定理是两个非常重要且常用的公式。
它们可以帮助我们计算三角形的各种属性，如边长、角度等。
本文将详细介绍这两个定理的含义、推导过程，并给出实际应用的一些例子。
一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边与三个对应的正弦值之间存在一定的关系。
设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB、sinC分别为三个角的正弦值。
这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的比例关系。
如果我们已知了三角形的一个角度和两个对应的边长，就可以利用正弦定理来计算第三个边的长度。
例如，已知三角形ABC中，角A的度数为30°，边AB的长度为3，边AC的长度为4，我们可以利用正弦定理求解边BC的长度。
根据正弦定理，我们有：BC/sinA = AC/sinC代入已知条件，得到：BC/sin30° = 4/sinC进一步计算可得：BC = 4*sin30°/sinC ≈ 4*0.5/sinC = 2/sinC通过这个简单的计算过程，我们可以求解出BC的长度。
正弦定理在实际应用中非常有用，可以帮助我们解决各种与三角形边长相关的问题。
二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边与一个对应的角度之间存在一定的关系。
设三角形的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个定理实际上是在说明了三角形的三个边的长度与对应的角度之间存在一定的关系。
利用余弦定理，我们可以计算三角形的一个边长，当已知该边的两个对应角度和另一边的长度时。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为3，边AC的长度为4，角C的度数为60°，我们可以利用余弦定理来计算边BC的长度。
正弦定理和余弦定理详细讲解
高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab.3．S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r.4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝bsin A bsin A<a<b a ≥b a>b 解的个数一解两解一解一解[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A>B?a>b?sin A>sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC 中，10c ，45A，30C ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a c AC，∴sin 10sin 45102sin sin 30c A aC，∴180()105B A C ，又sin sin b cBC，∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B bC．总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在ABC 中，已知032.0A ，081.8B ，42.9a cm ，解三角形。
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
第1讲正弦定理和余弦定理-
第1讲 正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .双基自测1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )．A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．562．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 35．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【训练1】(2013北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】(2013·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】(2013·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2013辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.。
【高中数学】正弦定理和余弦定理
c
2ac
c
直角，则△ABC 为直角三角形．
4．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边．若 bsin A＝3csin B，a＝3，
cos
B＝2，则 b＝( ) 3
A．14
B．6
C. 14D. 6解析：选 D ∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9
所以 sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以 cos A(sin B－sin A)＝0，
所以 cos A＝0 或 sin B＝sin A，
所以 A＝π或 B＝A 或 B＝π－A(舍去)， 2
所以△ABC 为等腰或直角三角形．
6
6
3
又 a＝ 3，由正弦定理得 a ＝ b ， sin A sin B
3
b
即 sin
2π＝sin
π，解得 b＝1.
3
6
[答案] (1)2 2 (2)1 3
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC 的周长为( )
Csin Bcos A＝1sin B，即 sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝1sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝1，
2
2
2
即 sin B＝1.∵a>b，∴A>B，即 B 为锐角，∴B＝π.
2
6
6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2(bcos A
正弦定理和余弦定理讲解
一、学习目标1. 掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能应用这些公式解斜三角形.2. 能正确理解实际问题中仰角、俯角、视角、方位角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.3. 能熟练应用正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、几何等方面的问题.4. 在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能力.二、重点、难点重点：正、余弦定理及其证明；用正弦定理、余弦定理解三角形. 难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.三、考点分析本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的.正、余弦定理是我们学习三角形相关知识的延续和发展，这些定理进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求角三解形的重要工具，本章内容经常会与三角部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.1. 正弦定理 （1）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在ABC ∆中R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆半径）， 上式对任意三角形均成立.（2）利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角； ②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角. 2. 余弦定理（1）余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在ABC ∆中，Cab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 余弦定理还有另一种形式：若令︒=90C ，则222b ac +=，这就是勾股定理.abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=（2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3. 在解三角形问题时，须掌握的三角关系式在ABC ∆中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.（1）π=++C B A ；（2）C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；（3）2cos 2sinC B A =+，2sin 2cos CB A =+； （4）C ab S sin 21=∆，A bc S sin 21=∆，B ac S sin 21=∆.4. 实际应用问题中的有关名词、术语（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（2）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角. （3）方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角. （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 5. 须熟悉的三角形中的有关公式解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：c b a P ++=（P 为三角形的周长） a ah S 21=（a h 表示a 边上的高）A bcB acC ab S sin 21sin 21sin 21===R abcS 4=（可用正弦定理推得） )(21c b a r S ++=（r 为内切圆半径）此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式. 6. 关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题的过程中将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即表示了在ABC ∆中，已知a 、b 和A ∠时解三角形的各种情况当A ∠为锐角时，当A ∠为直角或钝角时知识点一：正弦定理与余弦定理例1：已知∆ABC 中，∠A ︒=60，a =sin sin sin a b cA B C++++思路分析：可通过设一参数k(k>0)使sin sin a b A B =sin ck C==，证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b cA B C++++即可. 解题过程：设sin sin a bA B =()0sin >==k k Cc 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k CA B C ++++=k又sin aA=k ==︒=260sin 3，所以sin sin sin a b cA B C ++++=2解题后反思：∆ABC 中，等式sin sin abAB=sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++恒成立.（1）定理的表示形式：sin sin abAB =sin cC==()0sin sin sin a b ck k A B C++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形的两角和任一边，求其他两边及一角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边及角.例2：在∆ABC 中，已知=a c ︒=45B ，求b 及A 的值. 思路分析：本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件. 解题过程：∵2222cos =+-ba c ac B=222+-⋅cos45°=2121)+-= 8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 2222221,22+-=b c a A bc ∴︒=60A .解法二：∵︒⋅==45sin 2232sin sin B b a A 2.4+1.4=3.8，21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ， 即︒0＜A ＜︒90 ∴︒=60A解题后反思：使用解法二时应注意确定A 的取值范围.例3：在△ABC 中，已知a=3，b =2，B =45°，求A 、C 及c .思路分析：这是一道已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC 是否有解，有几个解，亦可用余弦定理求解. 解题过程：∵B =45°<90°，且b <a ，∴△ABC 有两解：由正弦定理得：sin A =23245sin 3sin =︒=bBa ， ∴A =60°或120°.①当A =60°时，C =75°⇒c =22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=B C b . ②当A =120°时，C =15°⇒c =22645sin 15sin 2sin sin -=︒︒=B C b . 故A =60°，C =75°，c =226+或A =120°，C =15°，c =226-. 解题后反思：因sin A =sin(π－A )，故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应.知识点二：三角形中的几何计算例4：已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.思路分析：利用正、余弦定理可以进行边角互化，解题时要注意有意识地进行边角关系的统一.解题过程：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R=2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°. （2）ABC S ∆=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ）=3sinAcosA+3sin 2A =23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max =233. 解题后反思：求最值往往是先建立函数关系式，然后借助函数的方法去求解.例5：在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+A C B . （1）求角A 的度数；（2）若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.思路分析：在三角形的求解中，会经常用到π=++C B A ，显然把B C +转化成A π-可是解题过程更为简便. 解题过程：（1）由272cos 2sin42=-+A C B 及︒=++180C B A ，得： ()[]271cos 2cos 122=+-+-A C B ，()5cos 4cos 142=-+A A即01cos 4cos 42=+-A A ，21cos =∴A ， ︒<<︒1800A ，︒=∴60A （2）由余弦定理得：bca cb A 2cos 222-+=21cos =A ，212222=-+∴bc a c b ，()bc a c b 322=-+∴. 3=a ，3=+c b 代入上式得：2=bc由⎩⎨⎧==+23bc c b 得：⎩⎨⎧==2c a b 或⎩⎨⎧==12c b .解题后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用得比较广泛，应熟练掌握这些定理.此外，还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.知识点三：应用性问题例6：如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为︒75，︒30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为︒60，AC=0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ≈1.414≈2.449）思路分析：解斜三角形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解. 解题过程：在△ADC 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=︒30，所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB即AB=2062315sin 60sin +=︒︒AC ，因此，BD=。
《正弦定理余弦定理》课件
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基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
正弦定理和余弦定理课件PPT
在钝角三角形 ABC 中，a＝1，b＝2，c＝t，且 C 是最大角，则 t 的取值范围是________．
[错解] ∵△ABC 是钝角三角形且 C 是最大角，∴C>90°， ∴cosC<0，∴cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， ∴a2＋b2－c2<0，即 1＋4－t2<0. ∴t2>5.又 t>0，∴t> 5， 即 t 的取值范围为( 5，＋∞)．
sin A
3
y 4sin x 4sin( 2 x) 2 3 3
4 3 sin(x ) 2 3， 6
A ,0 B x 2 .
3
3
故 x ( , 5),sin(x ) (1 ,1］,
6 66
62
∴y的取值范围为 (4 3,6 3］.
正、余弦定理的综合应用 【名师指津】正、余弦定理的综合应用
(2)由于 a:b:c＝1: 3:2， 可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝32x×2＋43xx2×－2xx2＝ 23，故 A＝30°. 同理可求得 cosB＝12，cosC＝0，所以 B＝60°，C＝90°.
已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1 和 2x＋ 1(x>1)，求这个三角形的最大角．
∵∠ADC＝45°，DC＝2x， ∴在△ADC 中，根据余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos45°， AC2＝4x2－4x＋2， 又 AC＝ 2AB， ∴AC2＝2AB2， 即 x2－4x－1＝0，解得 x＝2± 5. ∵x>0，∴x＝2＋ 5，即 BD＝2＋ 5.
名师辨误做答
第一章
解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
高中数学-1正弦定理和余弦定理精品课件同步导学新人教B版必修.pptx
(2)利用平面几何知识证明 设 O 为△ABC 外接圆(其半径为 R)的圆心，连接 BO 并 延长交⊙O 于 A′，连接 A′C， 则∠A＝∠A′，如图(1)， 或∠A′＝180°－∠A，如图(2)，
图(1)
图(2)
∠A为锐角
图 形
∠A为钝角或直 角
∠A为锐角
∠A为钝角或直角
关 系式
①a ＝bsinA ②a≥b
• 已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根 之和，且a、b为△ABC的两边，∠A、∠B分别为边a、b的对 角，试判断该三角形的形状．
• 【思路点拨】 先由根与系数的关系列出等式，再用正弦 定理将边转化为角，利用角的关系判断三角形的形状．
• 【解析】 设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得x1 ＋x2＝bcos A，x1·x2＝acos B．依题意得bcos A＝acos B．根据 正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径) ， • ∴2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B， • 即sin Acos B－cos Asin B＝0， • ∴sin (A－B)＝0. • ∵0＜∠A、∠B＜π，∴－π＜∠A－∠B＜π， • ∴∠A－∠B＝0，即∠A＝∠B， • ∴该三角形为等腰三角形．
• 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可先判 断解的情况，若有解，再求出另一边的对角的正弦值，然后 根据该正弦值求角，需对角的情况加以讨论，看是否有解， 如果有解是一解还是两解，若有解，再由三角形的内角和定 理求出第三个角，然后利用正弦定理求出第三边．
2．(1)在△ABC 中，已知 A＝45°，a＝2，b＝ 2， 求 B； (2)在△ABC 中，已知 a＝10，b＝8，A＝70°，求 B； (3)在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求角 A、 C 和边 c.
高中数学备课教案三角函数的正弦定理与余弦定理
高中数学备课教案三角函数的正弦定理与余弦定理高中数学备课教案三角函数的正弦定理与余弦定理导言：三角函数是高中数学中非常重要的内容之一，其中正弦定理与余弦定理是解决三角形问题时经常使用的工具，本教案旨在帮助学生掌握正弦定理与余弦定理的概念、应用方法以及解题技巧，提高解决实际问题的能力。
一、正弦定理正弦定理是三角形解题常用的定理，它能够帮助我们在已知两边和非夹角的情况下求解第三边或角的值。
1.1 概念在△ABC中，a、b和c分别表示三角形的三边长度，A、B和C表示对应边的夹角，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 应用方法根据正弦定理，我们可以利用已知条件求解未知量。
下面通过一个具体的例子来说明应用方法：例题：已知△ABC，AB = 8cm，AC = 10cm，∠B = 60°，求BC的长度。
解：根据正弦定理，可以得到：8/sin60° = BC/sinB通过简单的计算，可以得出BC ≈ 6.93cm。
因此，BC的长度约为6.93cm。
二、余弦定理余弦定理在三角形解题中也扮演着重要的角色，它可以帮助我们在已知三边长度的情况下求解非夹角的值。
2.1 概念在△ABC中，a、b和c分别表示三角形的三边长度，A、B和C表示对应边的夹角，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab*cosC2.2 应用方法通过余弦定理，我们可以解决各种使用三边长度求解夹角或边长的问题。
以下是一个例子：例题：已知△ABC，AB = 5cm，AC = 7cm，BC = 6cm，求∠A的大小。
解：根据余弦定理，可以得到：5² = 6² + 7² - 2*6*7*cosA通过简单的计算，可以得出cosA ≈ 0.866。
然后利用cosA的值查表或使用计算器，可以得到∠A ≈ 30°。
因此，∠A的大小约为30°。
高中数学§1.1 正弦定理和余弦定理优秀课件
引申探究1
本例(1)中，假设将条件变为a＝bcos C，判断△ABC的形状.
解 ∵a＝bcos C，∴sin A＝sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C，∴cos Bsin C＝0， ∵sin C>0，∴cos B＝0. ∵B∈(0，π)，∴B＝π2. ∴△ABC为直角三角形.
②假设AC＝2，∠ADB＝30°，求sin∠CAD的值.
解 设∠CAD＝θ，那么∠ABD＝60°－θ，AD＝2cos θ，
在△ABD 中，由正弦定理得sin26c0o°s－θ θ＝si2n 330°，
化简得
cos
θ＝
3 2 sin
θ，
代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 sin2θ＝47，
又 θ 为锐角，所以 sin θ＝277，
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcos C＋ccos B
＝asin A，那么△ABC的形状为
A.锐角三角形
√B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1， 即 A＝π2，∴△ABC 为直角三角形.
)
√
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 利用正弦、余弦定理解三角形
例 1 (1)(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C ＝60°，b＝ 6，c＝3，则 A＝___7_5_°___.
解析 如图，由正弦定理，
高二数学期末复习正弦定理和余弦定理知识点
高二数学期末复习正弦定理和余弦定理知识点
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余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值干系的数学定理。
是勾股定理在一般三角形环境下的推广。
a=b+c-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：
运用同样的方法可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的双方和此中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC办理角之间的转换干系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
余弦定理
是展现三角形边角干系的重要定理，直接运用它可办理一类已知三角形双方及夹角求第三边或者是已知三个边求角的标题，若对余弦定理加以变形并适当移于别的知识，则使用起来更为方便、灵敏。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
以上便是正弦定理和余弦定理知识点的所哟内容，查字典数学网希望可以帮助大众进步成绩。
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2.在三角形的六个基本元素中，已知哪 三个元素可以解三角形？ 一边两角，两边一角，三边. 3.针对上述类型，分别用哪个定理求解 为宜？ 已知一边两角：正弦定理； 已知两边及夹角：余弦定理； 已知两边及对角：正弦定理； 已知三边：余弦定理.
思考3：设△ABC的外接圆半径为R，则
a sin A 等于什么？
思考4：如图，若∠A为钝角，上述结论 还成立吗？ 若∠A为直角呢？
B A
a = 2R sin A
O
a
C D
探究（二）：正弦定理的变式拓展
思考1：在三角形中有“大边对大角”原 理，如何利用正弦定理进行理论解释？
思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪 些变形？
C b A a B
思考2：若∠A为锐角，过点A作单位向量 uuu r uuu uuu uuu r r r i，使i⊥ A B ,则向量i与 A C ,A B , BC 的 夹角分别是什么？
C i A b a B
uuu r 思考3：由 i ?A C 可得什么结论？
i
A
uuu r i ?(A B
C
uuu r BC )
3.余弦定理及其推论共有六个基本公式， 应用时要注意适当选取，有时可结合正 弦定理求解.
作业：P8练习：1，2.
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.2
余弦定理
第二课时
知识整理 1.余弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么？
c = a + b - 2ab cosC 2 2 2 a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B
小结作业 1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素，已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形. 2.正弦定理的外在形式是公式，它由三 个等式组成即
a b a c b c = = = sin sin C sin sin C ， A sin A sin B ， B
每个等式都表示三角形的两个角和它们 的对边的关系.
a b c = = sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
2.在解三角形中，利用正弦定理可以解 决哪两类问题？ 已知两角和一边解三角形； 已知两边和其中一边的对角解三角形.
a 3.在正弦定理中， A 有什么几何意义？ sin
利用正弦定理可以得到哪些相关结论？ 这需要我们作进一步了解和探究，加深 对正弦定理的理性认识.
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
2.若已知三角形的两边及其夹角或已知 三边，能否用正弦定理解三角形？
3.对于上述问题，需要建立一个新的数 学理论才能解决，这是我们要研究的课 题.
探究（一）：余弦定理的推导 思考1：根据平面几何中两个三角形全等 的判定定理，确定一个三角形可以是哪 些条件？ 边、角、边 角、边、角
3.利用正弦定理可以解决两类解三角形 的问题：一类是已知两角和一边解三角 形；另一类是已知两边和其中一边的对 角解三角形.对于第二类问题，要注意确 定解的个数.
作业：
P4 练习 ：1, 2.
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.1
正弦定理
第二课时
问题提出 1.正弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么？
b +c - a cos A = 2bc
2 2
2 2 2
c +a - b cos B = 2ca
2 2
2
a +b - c cosC = 2ab
2
b +c - a cos A = 2bc
2
2
2
c +a - b cos B = 2ca
2 2
2
2
2
a +b - c cosC = 2ab
2
思考3：上述三个公式是余弦定理的推论， 如何通过三边的大小关系判断∠A是锐角、 直角C，bsinC)
x
b
C a B
B(a，0)
c = a + b - 2ab cosC
2
2
2
思考7：通过类比，a2，b2分别等于什么？
c = a + b - 2ab cosC 2 2 2 a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B
C=66.2°，b≈80.1cm，c≈74.1 cm.
例2 在△ABC中，已知a=20cm， b=28cm，A=40°，解三角形. sinB≈0.8999，B≈64°，C=76°， c≈30 cm；或B≈116°，C=24°，c≈13 cm. 例3 在△ABC中，已知a=60cm， b=50cm，A=38°，解三角形. sinB≈0.5131，B≈31°，C=111°， c≈91 cm
知识探究（一）：正弦定理的形成
思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC 分别等于什么？ C b a A c B
思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？ C
b
A
a
c
B
a b c = = sin A sin B sin C
例4 在△ABC中，已知
t an A - t an B b+ c ，求角A的值. = t an A + t an B c
120°
小结作业 1.正弦定理是以三角形为背景的一个基 本定理，它不仅可以用来求三角形的边 角值，而且可以在三角变换中实现边角 转化，是解决三角形问题的一个重要工 具. 2.正弦定理的应用具有一定的灵活性， 在处理三角形的边角关系时，利用 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可达 到化边为角的目的.
边、边、边
思考2：在△ABC中，已知边a，b和角C， 从向量的角度考虑，可以求出什么？
A
b
c
uuu uuu uur r r A B = CB - CA
B
C
uuu r uuu r 思考3：c边的长即为 | A B |，向量 A B uur uuu r 与 CA CB ， 有什么关系？ uuu uuu uur r r 思考4：如何将 A B = CB - CA 转化为c与
思考4：若已知边a，b和角A，能直接用 余弦定理求边c吗？ A
b
c
C
a
B
思考5：结合正弦定理， 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC 可作什么变形？
sin C = sin A + sin B - 2 sin A sin B cosC
2 2 2
理论迁移 例1 在△ABC中，已知b=60cm， c=34cm，A=41°，解三角形. a2≈1676.82，a≈41cm，sinC≈0.544， C≈33°，B≈106°. 例2 在△ABC中，已知a=134.6cm， b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形. cosA≈0.5543，A≈56°20′， cosB≈0.8398，B≈32°53′， C≈90°47′.
思考8：上述三个等式称为余弦定理.如 何用文字语言描述余弦定理？ 三角形中任何一边的平方，等于其他 两边的平方和，减去这两边与其夹角的 余弦的积的两倍.
2
2
2
探究（二）：余弦定理的变式
思考1：在△ABC中，若已知边a，b和角C， 如何求边c和角A，B？
A
b
c a B
C
思考2：已知三角形的三边a，b，c，求 三内角A，B，C，其计算公式如何？
思考4：设△ABC的外接圆半径为R，则其 1 面积公式 S = ab sin C 可以作哪些变形？ 2
1 2 S = abc = 2R sin A sin B sin C 4R
思考5：在△ABC中，设∠A的平分线交BC
AB BD = 边于点D，则 A C CD（角平分线定理），
你能用正弦定理证明这个结论吗？
a
a，b，C的关系？
思考5：根据上述推导可得， 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC ，此式对任意三角 形都成立吗？ A
b
c
C
a
B
uuu uuu uur r r A B = CB - CA
思考6：如图所示建立直角坐标系，点A， B的坐标分别是什么？ 根据两点间的距离公式可得什么结论？
A
B
D
C
理论迁移 例1 在钝角△ABC中，已知AB= 3 ， AC=1，B=30°，求△ABC的面积.
3 4
例2 在△ABC中，已知 ab 60 3 ， sinB=sinC，且△ABC的面积为 15 3， 求c边的长. 2 15
例3 在△ABC中，已知acosB=bcosA， 试确定△ABC的形状. 等腰三角形
3.正弦定理不是万能的，如已知三角形 的三边长，利用正弦定理就不能求出三 个内角，因此我们还需要建立新的理论. 欲知后事如何，且听下回分解.
作业： P10习题1.1 A组：2. B组：2.
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.2
余弦定理
第一课时
问题提出
1.正弦定理的外在形式是什么？其数学 意义如何？
a b c a+b a+c b+ c = = = = = sin A sin B sin C sin A + sin B sin A + sin C sin B + sin C
a + b+ c = = 2R sin A + sin B + sin C