数学建模---非线性规划模型
数学建模---非线性规划
基础部数学教研室
数学 建模
（3）编写主程序文件如下 [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fu n2')
求得当 x1 值y
10.6511。
0.5522, x2
1.2033, x3
0.9478 时，最小
基础部数学教研室
数学 建模
其中 f ( x ) 是目标函数， A, b, Aeq , beq , lb, ub 是相应维数的 矩阵和向量， c( x ), ceq( x ) 是非线性向量函数。
基础部数学教研室
数学 建模
Matlab 中的命令是 [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco n,options) x 的返回值是决策向量 x 的取值，fval 返回的是目标函 数的取值。fun 是用 M 文件定义的函数 f ( x ) ；x0 是 x 的初 始 值 ， 可 以 任 意 选 取 ； A,b,Aeq,beq 定 义 了 线 性 约 束 Ax b, Aeq x beq ， 如 果 没 有 线 性 约 束 ， 则 A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]；lb 和 ub 是变量 x 的下界和上界， 如果上界和下界没有约束，即 x 无下界也无上界，则 lb=[]， ub=[]，也可以写成 lb 的各分量都为-inf，ub 的各分量都为 inf ； nonlcon 是 用 M 文 件 定 义 的 非 线 性 向 量 函 数 c( x ), ceq( x ) ；options 定义了优化参数，可以使用 Matlab 缺省的参数设置。
hj ( x ) gi ( x )
数学建模 非线性规划
T
X
,
M
T
(
X
k
,
M
k
)
；
3、若存在 i 1 i m ，使 gi X k ，则取Mk>M(Mk1 M, 10)
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * X k .
m
计算时也可将收敛性判别准则 gi X k 改为 M min0, gi X 2 0 .
返回(3）．
9
内点法的特点：
1．初始点必须为严格内点 2．不适于具有等式约束的数学模型 3．迭代过程中各个点均为可行设计方案 4．一般收敛较慢 5．初始罚因子要选择得当 6．罚因子为递减，递减率c有0<c<1 外点法的特点：
1．初始点可以任选，但应使各函数有定义 2．对等式约束和不等式约束均可适用 3．仅最优解为可行设计方案 4．一般收敛较快 5．初始罚因子要选择得当 6．罚因子为递增，递增率c’有c’>1
小点的向量关于向量与由这一点指向极即等值面上一点处的切函数梯度即为曲面法方处的法向量为该等值面在点21共轭方向法对于极小化问题法为共轭方向法是正定矩阵称下述算其中共轭方向取定一组确定点依次按照下式由任取初始点满足直到某个至多经过求解上述极小化问题可知利用共轭方向法由定理共轭梯度法如何选取一组共轭方向
2
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( En )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
D X | gi X 0,hj X 0,X En
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
2014年数学建模B作业：非线性规划和目标规划
2014年数学建模B作业：非线性规划和目标规划
Ⅱ-1 非线性规划
某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末交40台，第二季末交60台，第三季末交80台。
工厂的最大生产能力为每季100台，每季的生产费用是2
x
x
f+
=（元），其中x为该季生产发动机的台
)
(x
2.0
50
数，若工厂生产多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮费，每台发动机每季的存贮费为4元。
问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存货）？
Ⅱ-2 目标规划
某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A，B，C。
这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产1台A，B，C型号的笔记本电脑分别需要5，8，12（h）公司装配线正常的生产时间是每月1700h。
公司营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别是每台 1000，1440，2520（元），而公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出，公司经理考虑以下目标：
第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；
第二目标：优先满足老客户的需求，A，B，C三种型号的电脑50，50，80（台）同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；
第三目标：限制装配线的加班时间，不允许超过200h
第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，A，B，C型号分别为100，120，100（台），再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子；
第五目标：装配线的加班时间尽可能少。
请列出相应的目标规划模型。
并求解。
数学建模中的非线性规划问题
数学建模中的非线性规划问题在数学建模领域中，非线性规划问题是一类重要且常见的问题，它在实际应用中具有广泛的意义和价值。
非线性规划问题的研究和解决，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。
非线性规划问题可以简单地理解为在约束条件下寻找一个或多个使目标函数最优化的变量取值。
与线性规划问题不同，非线性规划问题在目标函数和约束条件中可能存在非线性项，因此其求解难度较大。
不同于线性规划问题的凸性、单调性等属性，非线性规划问题涉及到更多的数学工具和分析方法。
在实际应用中，非线性规划问题的出现非常普遍。
例如，在生产中，企业需要在有限的资源条件下使利润最大化，这就需要解决一个非线性规划问题。
除此之外，非线性规划问题还广泛应用于交通、能源、金融等领域。
不仅如此，非线性规划问题还可以用于统计数据拟合、函数逼近等问题的求解。
因此，研究和解决非线性规划问题具有非常重要的实际意义。
在解决非线性规划问题时，常用的方法主要包括精确解法和近似解法。
精确解法主要包括拉格朗日乘子法、KKT条件等，通过求解一系列方程和方程组来确定最优解。
这类方法通常适用于问题结构相对简单、目标函数和约束条件有良好性质的情况。
然而，对于问题结构复杂、目标函数和约束条件非常复杂的情况，精确解法往往效率较低，难以求解。
因此，在实际应用中，近似解法更为常见。
近似解法主要包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。
这些方法通常基于局部优化思想，通过不断迭代和优化，逐步靠近最优解。
这类方法适用于一般性的非线性规划问题，具有较强的鲁棒性和适应性。
但是，这些方法也有其局限性，如收敛速度慢、易陷入局部最优等。
除了上述方法外，还有一些新的研究方法和算法被提出，如混合整数非线性规划、次梯度法、粒子群优化等。
这些方法在某些特定问题中表现出较好的运用效果，并有望在未来的研究中得到更广泛的应用。
总之，非线性规划问题在数学建模中占据重要地位，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。
数学建模(线性规划).
1）模型建立。
①决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资 额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4) 四个项目的投资额为xij（万元）。 ②目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z， 为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2
表1.3 三个货舱装载货物的最大容许量和体积
前舱 重量限制/t 10
中舱 16
后舱 8
体积限制/m3
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息 如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。
表1.4 四类装运货物的信息
货物1 货物2 货物3 货物4
质量/t 18 15 23 12
空间/(m3/t) 480 650 580 390
利润(元/t) 3100 3800 3500 2850
应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？
1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要 求，我们可做如下假设：
①每种货物可以分割到任意小； ②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； ③多种货物可以混装，并保证不留空隙。 2）模型建立。 ①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重 量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。
年份
1 x11
2 x21 x23 x24
3 x31 x32 x34
4 x41
5
项目
投资限额/万 元
A B C D
年年末回收的本利之和，于是， 目标函数为 ③约束条件 z 1.15x41 1.25x32 1.40 x23 1.06 x54
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模课程规划方案
数学建模课程规划方案一、课程目标数学建模课程旨在通过学习数学模型的构建、求解和分析，培养学生的综合能力，为将来从事研究、开发、管理等领域打下坚实的数学基础。
二、适用对象数学建模课程适用于各级各类高校理工类专业的学生，不限于数学、物理、计算机科学等专业背景。
同时，该课程也适用于热爱数学、对实际问题感兴趣的学生。
三、教学内容1. 线性规划模型线性规划模型是数学建模的基础。
我们将介绍线性规划的概念、求解方法、对偶模型等内容，并通过实际问题进行演示。
2. 非线性规划模型非线性规划模型是线性规划的推广。
我们将介绍非线性规划的概念、求解方法、全局优化等内容，并通过实际问题进行演示。
3. 整数规划模型整数规划模型是非线性规划的推广。
我们将介绍整数规划的概念、求解方法、混合整数规划等内容，并通过实际问题进行演示。
4. 动态规划模型动态规划模型是求解最优化问题的一种方法。
我们将介绍动态规划的概念、基本原理、应用领域等内容，并通过实际问题进行演示。
5. 概率统计模型概率统计模型是数学建模的重要工具。
我们将介绍概率统计的概念、常用分布、假设检验等内容，并通过实际问题进行演示。
6. 数据挖掘模型数据挖掘模型是现代数学建模的热门领域。
我们将介绍数据挖掘的概念、分类、聚类等内容，并通过实际问题进行演示。
四、课程评估为了检测学生对数学建模的掌握程度，我们将采取以下方式进行评估：1. 课堂测验每个章节结束后，将进行一次小测验，测试学生对该章节内容的理解。
2. 独立思考项目每个学生都需要完成一个独立思考项目，并且需要在课堂上进行展示。
3. 小组实践项目每个小组需要完成一个实践项目，并且需要在课堂上进行展示。
4. 期末考试期末考试将占课程成绩的半数以上。
五、课程教材数学建模课程推荐以下教材：1.Bertsimas D.和Freund R.《线性优化》2.Bazaraa M.S.，Shetty C.M.和Shapiro S.《非线性规划：理论和算法》3.Nemhauser G.L.和Wolsey L.A.《整数和混合整数优化》4.Bellman R.《动态规划》5.Walpole R.E.和Myers R.H.《概率与统计》6.Han J.和Kamber M.，《数据挖掘：概念和技术》六、课程要求1.学生要掌握每一章节的基本概念，并能够熟练运用相关技术解决实际问题。
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案一、教学内容本节课的教学内容选自《数学建模》教材的第五章，主要内容包括线性规划模型的建立、图与网络模型的建立、整数规划模型的建立以及非线性规划模型的建立。
通过本节课的学习，使学生掌握数学建模的基本方法和技巧，培养学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 让学生掌握线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的团队协作能力和创新意识。
三、教学难点与重点1. 教学难点：线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立及求解。
2. 教学重点：线性规划模型的建立和求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个工厂生产安排的问题为例，引入线性规划模型的建立和求解。
2. 知识点讲解：（1）线性规划模型的建立：讲解目标函数的设定、约束条件的确定以及线性规划模型的标准形式。
（2）图与网络模型的建立：讲解图的概念、图的表示方法以及网络模型的建立。
（3）整数规划模型的建立：讲解整数规划的概念和建立方法。
（4）非线性规划模型的建立：讲解非线性规划的概念和建立方法。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解模型建立和求解的过程。
4. 随堂练习：让学生分组讨论并解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：1. 线性规划模型：目标函数约束条件标准形式2. 图与网络模型：图的概念图的表示方法网络模型的建立3. 整数规划模型：整数规划的概念整数规划的建立方法4. 非线性规划模型：非线性规划的概念非线性规划的建立方法七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的条件，建立线性规划模型，并求解。
（2）根据给定的条件，建立图与网络模型，并求解。
（3）根据给定的条件，建立整数规划模型，并求解。
（4）根据给定的条件，建立非线性规划模型，并求解。
2. 答案：（1）线性规划模型的目标函数为：Z = 2x + 3y，约束条件为：x + y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
数学建模---非线性规划模型
6.4.3 问题的分析
i i i i i i i
当购买Si的金额为xi（i=0~n），投资组合 x=（x0，x1，…，xn）的净收益总额
R( x) Ri ( xi )
n i 0
（6 ）
整体风险：
Q( x) max Qi ( xi )
资金约束：
1i n
n
（7）
（8 ）
F ( x) f i ( xi ) M
二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x , , f p x gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
T
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131
模型的假设
1. 2.
3.
4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模四大模型归纳
四类基本模型1优化模型1.1数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。
1.3图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题（MST）、旅行商问题（TSP）、图的着色问题。
1.4概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。
1.5组合优化经典问题多维背包问题（MKP）背包问题：n个物品，对物品i，体积为W i，背包容量为W。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n个物品，对物品i，价值为P i，体积为W i，背包容量为W。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP难问题。
二维指派问题（QAP）工作指派问题：n个工作可以由n个工人分别完成。
工人i完成工作j的时间为d j。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n台机器要布置在n个地方，机器i 与k之间的物流量为f ik，位置j与l之间的距离为d jl，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
旅行商问题（TSP）旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d ij，找一条经过n个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
车辆路径问题（VRP）车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
车间作业调度问题（JSP）车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
数学建模常用算法
数学建模常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的过程。
在数学建模中，常用的算法有很多种，下面将介绍一些常见的数学建模算法。
1.最优化算法:-线性规划算法:如单纯形法、内点法等，用于求解线性规划问题。
-非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等，用于求解非线性规划问题。
-整数规划算法:如分支定界法、割平面法等，用于求解整数规划问题。
2.概率统计算法:-蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式，得出问题的概率分布。
-贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率，通过数据更新后验概率。
-马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。
3.图论算法:-最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，用于求解两点之间的最短路径。
-最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等，用于求解图中的最小生成树。
- 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等，用于求解网络流问题。
4.插值和拟合算法:-多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等，用于通过已知数据点拟合出多项式模型。
-最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。
-样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据，构造连续的插值函数。
5.遗传算法和模拟退火算法:-遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程，优化问题的解。
-模拟退火算法:模拟固体退火过程，通过随机策略进行，逐步靠近全局最优解。
6.数据挖掘算法:- 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等，用于将数据分为不同的类别。
-分类算法:如朴素贝叶斯算法、决策树算法等，用于通过已知数据的类别预测新数据的类别。
- 关联分析算法: 如Apriori算法、FP-growth算法等，用于发现数据集中的关联规则。
以上只是数学建模中常用的一些算法，实际上还有很多其他算法也可以应用于数学建模中，具体使用哪种算法取决于问题的性质和要求。
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
下面将对这些算法模型进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。
它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。
在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。
整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。
3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。
与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。
非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。
它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。
5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。
图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。
它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。
遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。
总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
大学生数学建模--常用模型与算法
数学建模常用模型与算法一、常用模型☐（一）、评价模型：☐AHP(层次分析法)（确定权重)、模糊评价、聚类分析、因子分析、主成份分析、回归分析、神经网络、多指标综合评价、熵值法(确定权重)等☐（二）、预测模型：☐指数平滑法、灰色预测法、回归模型、神经网络预测、时间序列模型、马尔科夫预测、差分微分方程☐（三）、统计模型：☐方差分析、均值比较的假设检验☐（四）、方程模型：☐常微分方程、差分方程、偏微分方程、以及各种方程的求解（数值解和解析解）☐（五）运筹优化类：☐线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、图论模型（最短路、最大流、遍历问题等）、排队论、对策论、以及各种模型的算法☐(六)其他模型：☐随机模拟模型、等二、十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）。
数学建模常用模型及算法
数学建模常用模型及算法数学建模主要是通过现实世界的数据，利用一定的数学方法和算法，借助计算机，使用一定的软件工具，结合相应的算法去建立一定的数学模型，从而对实际问题进行研究和解决，称之为数学建模。
常用的数学建模模型有基于概率的模型、基于最优性的模型、非线性规划模型、组合优化模型、灰色系统模型、网络流模型、层次分析模型、模糊系统模型等等，而常用的数学建模算法可以分为局部搜索算法、精确算法、启发式算法等三大类。
一、基于概率的模型1. 最大熵模型：是一种最大化熵的统计学方法，应用熵来描述不确定度，并在要求最大熵原则的条件下确定参数，从而最大程度的推广模型中的统计分布，从而达到优化的目的。
2. 贝叶斯模型：贝叶斯模型是基于概率的统计模型，用于描述各种随机现象，主要是通过贝叶斯公式结合先验概率以及似然度来推测结果，求出客观事件发生的概率。
二、基于最优性的模型1. 模糊优化方法：模糊优化方法是以模糊集，而不是确定性集，对优化问题加以解决，是一种基于最优性的模型。
它将目标函数和约束条件分解成模糊函数，然后形成模糊优化模型，用模糊图的方法求得最优解，使问题的解决变得更加容易和有效率。
2. 模拟退火算法：模拟退火算法通过数值模拟来求解最优性模型，是一种模拟对象的能量计算的算法，其本质为元胞自动机和目标函数的计算，基于物理反应速率理论实现，利用“热量”的概念，从而模拟从温度较高到低温过程，求解最终最优解。
三、非线性规划模型1. 单约束模型：单约束模型旨在求解目标函数，给定一个约束条件，求解一个最优解。
2. 线性规划模型：线性规划模型利用线性函数来描述算法模型，尝试求得最大或最小的解。
四、组合优化模型1. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种组合优化模型，它能够模拟热力学反应，并利用物理反应速率理论来求解组合优化问题，从而使问题更加容易解决。
2. 遗传算法：遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，通过模拟种群的变异和进化过程，来搜索出最优的解。
数学建模30种经典模型matlab
一、概述数学建模是数学与实际问题相结合的产物，通过建立数学模型来解决现实生活中的复杂问题。
Matlab作为一个强大的数学计算工具，在数学建模中具有重要的应用价值。
本文将介绍30种经典的数学建模模型，以及如何利用Matlab对这些模型进行建模和求解。
二、线性规划模型1. 线性规划是数学建模中常用的一种模型，用于寻找最优化的解决方案。
在Matlab中，可以使用linprog函数对线性规划模型进行建模和求解。
2. 举例：假设有一家工厂生产两种产品，分别为A和B，要求最大化利润。
产品A的利润为$5，产品B的利润为$8，而生产每单位产品A 和B分别需要8个单位的原料X和10个单位的原料Y。
此时，可以建立线性规划模型，使用Matlab求解最大化利润。
三、非线性规划模型3. 非线性规划是一类更加复杂的规划问题，其中目标函数或约束条件存在非线性关系。
在Matlab中，可以使用fmincon函数对非线性规划模型进行建模和求解。
4. 举例：考虑一个有约束条件的目标函数，可以使用fmincon函数在Matlab中进行建模和求解。
四、整数规划模型5. 整数规划是一种特殊的线性规划问题，其中决策变量被限制为整数。
在Matlab中，可以使用intlinprog函数对整数规划模型进行建模和求解。
6. 举例：假设有一家工厂需要决定购物哪种机器设备，以最大化利润。
设备的成本、维护费用和每台设备能生产的产品数量均为已知条件。
可以使用Matlab的intlinprog函数对该整数规划模型进行建模和求解。
五、动态规划模型7. 动态规划是一种数学优化方法，常用于多阶段决策问题。
在Matlab 中，可以使用dynamic programming toolbox对动态规划模型进行建模和求解。
8. 举例：考虑一个多阶段生产问题，在每个阶段都需要做出决策以最大化总利润。
可以使用Matlab的dynamic programming toolbox对该动态规划模型进行建模和求解。
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（10）
2.
假定投资的平均收益率为 r ，则投资M的收 益 h r M ，若要求总的收益R（x）大于等于 h，即R（x）≥h，则模型（9）可转化为
min Q ( x ) s .t R ( x) h F ( x) M x0
第三节 非线性规划模型
在数学规划问题中，当目标函数或约束 函数中至少有一个是非线性函数时称这类问 题为非线性规划。 一、非线性规划的一般（标准）形式 f , g i i 1, , m , h j j 1, , l 均为 R n 上 设 的实值函数
min NLP s.t . f x g i x 0, i 1, , m h j x 0, j 1, , l
P 收入 支出 销售收入 sx 2 s z kxy 2 ky z ky ( x 2 ) z ( c dz ez
2
成本 广告费
)( a bx )( x 2 ) z
我们期望利润P达到最大，即
max P ( c dz ez 2 )( a bx )( x 2 ) z x.z s .t x 0 , z 0
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆 一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少， 并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并 获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告投入一定 的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因 子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销 战略预期的利润最大？
S5
S6
8.1
14
1.2
39
7.6
3.4
270
397
S7
40.7
68
5.6
178
S8
S9 S10 S11
31.2
33.6 36.8 11.8
33.43
53.3 40 31
3.1
2.7 2.9 5.1
220
475 248 195
S12
S13 S14 S15
9
35 9.4 15
5.5
46 5.3 23
ci ( xi ) pi xi
(i 0 ~ n )
（2）
对Si投资的净收益
对Si投资的风险
R i ( x i ) ri x i c i ( x i ) ( ri p i ) x i
Qi ( xi ) qi xi
（3）
（4） 对Si投资所需资金（投资金额xi与所需的手续费 ci（xi）之和）即 （5） f ( x ) x c ( x ) (1 p ) x
第三节 多目标规划模型 在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇 到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的 最优问题 一、引例 例2.9 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿 元的资金可用于投资，并有 m 个项目可供选择。如果 对第 i 个项目投资的话，需用资金 a i亿元，并可获得 收益c i亿元，试确定最佳投资方案。 解 所谓最佳投资方案系指：投资最少；收益最大。 若令目标函数为求：投资最少：收益最大.
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131模型的假设1 2.3.4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
5
, e 4 . 25595 10
10
其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅 能求极小值，为此将优化模型转化为
min( P ) z ( c dz ez )( a bx )( x 2 )
2
s .t
x 0, z 0
且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。
1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80
符号说明及问题的分析
设x表示售价（单位：元），y表示预期销售量
（单位：桶），z表示广告费（单位：元），k表示 销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s 获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期 销售量 y 随着售价x 的加而单调下降，而销售增长 因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告 费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加 时反而有所回落，为此可用Mathematica画出散点图.
由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学 模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活 中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。 模型求解 首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数a， b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。
图-3
图-4
即：
a 50422 .2 , b 5133 . 33 c 1 .01875 , d 4 .09226 10
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00
表2
预期销售量（桶） 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000
广告费（元）
销售增长因子
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x , , f p x g i x 0, i 1, 2, ....., m s .t . h j x 0, j 1, 2, ....., l
试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净 收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用 以下数据进行计算。
Si S1 S2 S3 S4 ri（%） 9.6 18.5 49.4 23.9 qi（%） 42 54 60 42 pi（%） 2.1 3.2 6.0 1.5 ui（元） 181 407 428 549
多目标规划数学模型
我们的想法是净收益总额R（x）尽可能大，而 整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数学 模型可归为多目标规划模型，即
R ( x) max Q ( x) min F ( x) M s .t x 0
（9）
模型（9）属于多目标规划模型为了对其求解， 可把多目标规划转化为单目标规划。 1. 假定投资的平均风险水平 q ，则投资M的风 险 k q M ，若要求整体风险Q（x）限制在风险k 以内，即Q（x）≤k，则模型（9）可转化为
M（元）：公司现有投资总额 Si（i=0~n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0 表 示存入银行）； xi（i=0~n）：公司购买Si金额； ri（i=0~n）：公司购买Si的平均收益率； qi（i=0~n）：公司购买Si的平均损失率； p（i=0~n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。
6.4.3 问题的分析
图1
图2
从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于 一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条 二次曲线。为此可令： y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是特定参数。 模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘 以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润。
max s .t 0 . 05 x 0 0 . 27 x1 0 .19 x 2 0 . 185 x 3 0 .185 x 4 x 0 1 .01 x1 1 . 02 x 2 1 .045 x 3 1 .065 x 4 1 0 . 025 x1 k 0 . 015 x 2 k 0 . 055 x 3 k 0 . 026 x 4 k xi 0 (i 0 ~ 4 )
问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、…） Si（i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估 算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预 测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散 总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若
（11）
3.
假定投资者对风险—收益的相对偏好参数为ρ， 则模型（9）可转化为
min Q ( x ) (1 ) R ( x ) F ( x) M s .t x0
（12）
4.
将总收益R（x）与整体风险Q（x）相比，则 模型（9）可化为：
max s .t R(x) Q( x) F ( x) M x 0
（13）
模型求解 由于模型（10）中的约束条件Q（x）≤k，即
1 i n
max Q i ( x i ) k
(i 1 ~ n )
所以此约束条件可转化为：
Qi ( xi ) k
max s .t
这时模型（10）转化为如下的线性规划
(r
i0 n i0
1， 对 A i 投 资 xi 0，对 A i不 投 资 目标函数为求； m 投资最少： min f1 a i x i
若令
i 1
i 1, 2, , m
收益最大：
约束函数为：
min f 2 ci x i