数学建模习题——线性规划

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此

表四

问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

解：设利润函数为M(x),投资A 、B 、C 、D 、E 五种类型的证券资金分别为12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知

12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400

225 1.4()9154325(),,,,0

M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥

利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045];

A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];

b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[];

vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：

即12345218.1818,0,736.3636,0,45.4545x x x x x ===== 因此，应投资A 证券218.1818万元，B 证券0万元，C 证券736.3636万元，D 证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。

（2）设借到资金y 万元，则由题设条件可知：

12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0450.027********

225 1.4()9154325(),,,,00100

M x x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y =++++-++++≤+++≥++++≤++++++++≤++++≥≤≤

利用MATLAB 求最优解，代码如下

c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045 0.0275]; A=[1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;4 10 -1 -2 -3 0;0 0 0 0 0 1];

b=[1000;-400;0;0;100]; Aeq=[]; beq=[];

vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：

即 12345240,0,810,0,50,100x x x x x y ======

所以经理应借出100万元用于投资，应投资A 证券240万元，B 证券0万元，C 证券810万元，D 证券50万元，最大利润为30.07万元。

（3）在1000万元资金的条件下：

（Ⅰ）若证券A 的税前收益增加为4.5%，根据MATLAB 运行结果(运行结果与第（1）问的运行结果相同)可知所投资的各种证券值不变，所以投资不用改变。

（Ⅱ）若证券C 的税前收益减少为4.8%，MATLAB 运行结果如下：

即12345336,0,0,648,16x x x x x ===== 所以投资应该改变。