数学建模非线性规划模型用MATLAB++LINGO

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对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切 ，且 X X * ，都有 f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的 X D 局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X *时，若则称 是 f X *X* f X f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）． 定义2
D
时，满
SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤 1、任意给定初始点X0，取M1>1，给定允许误差 0 ，令k=1；
m in T X , M T ( X k , M k )
min T X , M 的最优解，设为Xk=X(M )，即 2、求无约束极值问题X k E n
k 3、若存在 i 1 i m ，使 gi X ，则取Mk>M( M k 1 M , 10)
非线性规划
讲义大纲:
1.非线性规划的定义和相关概念. 2.常用的求解非线性规划的方法. 3.MATLAB求解非线性规划及例题. 4.lingo求解非线性规划及例题. 5.练习.
非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非 线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
SUTM内点法（障碍函数法）
考虑问题：
min f X s.t. g X 0 i
i 1,2,..., m
(1)
设集合D 0 X | g i X 0, i 1,2,, m ，D 0是可行域中 所有严格内点的集合。
构造障碍函数 I X , r ：I X , r f X r ln g i X
2 2 min 0 , g X M h X i j i 1 j 1
(2)
将问题（ 1 ）转化为无约束问题： min T X , M n
X E
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 X 足各 gi X 0, hi X 0 ，故罚项=0，不受惩罚．当 X D 时， gi X 0或hi X 0 的约束条件，故罚项>0，要受惩罚． 必有


定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当 * * 时，若 f X f X ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点 X X （严格全局最优解）． 返回
m in f X
gi X 0 i 1,2,..., m ; s.t. （1） h j X 0 j 1,2,..., l. 其中 X x1, x2 ,, xn T E n，f , gi , h j 是定义在 En 上的实值函
数，简记: f : En E1, gi : En E1, h j : En E1
i 1 m
1 或 I (X , r) f (X ) r i 1 g i X
m
其中称r ln gi X 或 r
i 1 i 1
m
m
1 为障碍项，r为障碍因子 gi X
X D
这样问题（ 1 ）就转化为求一系列极 值问题： k min0 I X , rk 得 X （rk）
内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差
0，取 r1 0,0 1；
0
(2) 求出约束集合 D 的一个内点 X
(3) 以
D ，令k 1 ；


非线性规划的基本解法
SUTM外点法
1、罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
返回
罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把
约束问题转化为一系列无约束最优化问题，
进而用无约束最优化方法去求解．这类方法
称为序列无约束最小化方法(Sequential
Unconstrained Minization Technique)．
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小 于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般 形式．
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( E n )称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即 D X | gi X 0,h j X 0, X E n 问题(1)可简记为 min f X ．
例题.min x2 s.t. x>=1 显然本问题的最优解为x*=1
用SMT外点法: T(x,M)=x2+M[min(0,x-1)]2 2 x 当x X = 2 2 当x X x M x 1
求minT(x,M).本题可由 T’(x,M)=2x+2M(x-1)=0,解得: x=M/(1+M),M趋于无穷. 可知x从小于1趋于1,罚函数从外部趋于最优解.
简称为SUMT法．其一为SUMT外点法，其
二为SUMT内点法．
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
gi X 0 s.t. h j X 0
m
i 1,2,..., m; j 1,2,...,l.
l
(1)
可设：T X , M f X M
X E n
；

k
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * X k . 计算时也可将收敛性判别准则
gi X

改为 M min0, gi X 2 0 .
i 1
m
罚函数法的缺点是：每个近似最优解Xk往往不是容许解，
而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用； 在解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大， 可能导致错误．