线性规划问题 及其数学模型

a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
s.t
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
x1 0, x2 0,L , xn 0
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【例1.2】配料问题一饲养场饲养动物出售，每只动 物每天至少需要700克蛋白质, 30克矿物质，100毫克
x13 x23 15
xij 0(i 1, 2, j 1, 2,3)
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问题中要确定的未知量，表
•基本概念
明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定
• 决策变量（D和ec控is制io。n variables）
• 目标函数（Objective function） • 约束条件（Constraint cond它it是io决n策s）变量的函数
第一节 线性规划问题 及其数学模型
❖ 线性规划问题的提出 ❖ 线性规划的基本概念 ❖ 线性规划的数学模型 ❖ 线性规划问题的标准形式
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•问题的提出
【例1.1】 :生产计划问题某工厂生产 I.II 两种 产品。每件产品的利润，所耗A.B材料，设备及 这两种材料，设备的限额如表
I
设备
1
原材料 A 4 原材料 B 0
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线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。
• 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大
化或最小化
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线性规划模型的一般形式
max(min)Z c1x1 c2 x2 ... cn xn a11x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1 .a..2.1.x..1.....a..2.2.x..2...............a..2.n.x..n......(...,....).b. 2 am1x1 am2 x2 ... amn xn (, )bm x1, x2 ,..., xn 0
• 可行解（ Feasible sol指ut决io策n变）量取值时受到的
• 可行域（Feasible regi各常o种表n)资达源为条含件决的策限变制量，的通等 • 最优解（Optimal solution)式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值
满足约束条件的决策 变量的取值
满足约束条件的决 策变量的取值范围
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min Z c1x1 c2 x2 L cn xn
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
s.t
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
x1 0, x2 0,L , xn 0
•第i种资源的拥有量为bi ;i=1,2,…，m,
生产一个单位第j种产品需要消耗第i种资源的数量为aij;
第 i种产品的单价（或利润产值等）为cj 。j=1,2，…,n。
•设x1、x2、…、xn 分别表示n种产品的产量，则其 数学模型为：
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max Z c1x1 c2 x2 L cn xn
30 100
x1, x2 , x3, x4 0
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•上述模型推广到一般情况为：
•每只动物每天至少需要有m种不同营养成分bi； •有n种饲料可供选用，每公斤第j种饲料所含第i种
营养成分量为aij;
•第j种饲料的单价为cj 。 i=1,2,…，m, j=1,2，…,n。
•设x1、x2、…、xn 分别表示n种产品的产量，则其 数学模型为：
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1、 x2 0
I
设备 1 原材料 A 4 原材料 B 0
利润 2
II 资源限量 2 8 台时 0 16kg 4 12kg
【解】设 x1、x2、 x3、 x4分别表示四种饲料的采购 量，那么该问题的数学模型可以表示为：
min Z 0.8x1 1.2x2 0.6x3 2x4
3x1 2x2 x3 5x4 700
s.t
0.x51 x1
0.5x2 0.2x3 .2x4 x2 0.3x3 2.5x4
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【解】设xij表示从砖厂Ai运至现场Bj的数量(i=1，2; j=1,2，3),则其数学模型如下：
min Z 5x11 14x12 7x13 6x21 18x22 9x23
x11 x12 x13 23
x21 x22 x23 27
s.t
x11 x21 17 x12 x22 18
维生素。现有四种饲料可供选用，各种饲料每公斤 营养成分含量及单价如下表所示；
饲料
营养成分
ⅠⅡ
蛋白质
32
矿物质
1 0.5
维生素
0.5 1
单价 (元/公斤） 0.8 1.2
Ⅲ Ⅳ 需要量
1
5 700克
0.2 2 30克
0.3 2.5 100毫克
0.6 2
四种饲料各采购多少，才能使总费用最小？
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3
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该计划的数学模型
目标函数 max Z 2x1 3x2
x1 2x2 8
约束条件s.t
4x1 16 4x2 12
x1, x2 0
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•上述问题推广到一般情况如下：
•有m种不同资源（例如原材料，动力资源，资金，劳力 等）可以用来生产n种不同产品。假设有关的数据为：
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
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如何安排生产 使利润最大
？
产品 I
产品 2
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• 第1步 -确定决策变量
•设 x1 ——I的产量
x2 ——II的产量
z ——利润
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
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【例1.3】运输问题设有两个砖厂A1 、A2 ，产量分别为 23万块、27万块，现将其产品联合供应三个施工现场 B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万块、18万块、15 万块。各产地到各施工现场的单位运价如下表：
现场
砖厂
B1
B2
B3
A1
5
14
7
A2
6
18
9
问如何调运才能使总运费最省？