数学建模 线性规划模型

数学建模线性规划模型

数学建模教案,线性规划模型

一、问题的提出

在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。

例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少,

初步分析可以先考虑两种“极端”的情况:

(1)全部截出长为698mm的甲件，一共可截出 EQ F(4000,698) ?5件，残料长为510mm。 (2)全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 EQ F(4000,518) ?7件，残料长为374mm。由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少,把截取条件数学化地表示出来就是:

698 x + 518y ? 4000

x ，y都是非负整数

目标是使:z = EQ F(698x + 518y,4000) (材料利用率)尽可能地接近或等于1。(尽可能地大)

该问题可用数学模型表示为:

目标函数 : max z = EQ F(698x + 518y,4000)

满足约束条件: 698 x + 518y ? 4000 ， (1)

x ，y都是非负整数 . (2)

例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。

I II

设备

1 2 8台数

原材料A

4 0 16kg

原材料B

0 4 12kg

该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多,

这问题可以用以下的数学模型来描述:设 x, x分别表示在计划期内产品I、II 的产量。 1 2

因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为:

x + 2x ? 8 . 1 2同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式:

4 x ? 16 1

4 x ? 12. 2

该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x、x以得到最大 1 2的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2x + 3 x。综上所述，该计划问题可用数学模型表 1 2

示为:

目标函数 : max z = 2x + 3 x 1 2

满足约束条件: x + 2x ? 8 1 2

4 x ? 16 1

4 x ? 12. 2

x ，x ? 0 1 2

该模型的特征是:

(1)有一组决策变量(x ,x ,…,x )表示某一方案;这组决策变量的值就代表一个具体 1 2n

方案。一般这些变量取值是非负的。

(2)存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性等式(不等式)来表示。

(3)有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数(称为目标函数)来表示。按问题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化。

满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型。其一般形式为: 目标函数 : max(min) z = c x + c x + …+ c x 1122nn

ax + ax +….+ ax ? (= , ?) b 11 112213 n1

ax + ax +…. + ax ? (= , ?) b 21 122223 n2

满足约束条件: … …

ax + a x +….+ a x ? (= , ?) b m1 1m22m3 nm

x ,x ,…, x ? 0 1 2 n

二、穷举法

以例1为例介绍穷举法。

先根据(1)求出x 所有可能的取值为:0、1、2、3、4、5，再由(1)把相应y 的最大值求出，对应为7、6、5、3、2、0，依此计算住z值如下表: x 0 1 2 3 4 5

y 7 6 5 3 2 0

z 90.65% 95.15% 99.65% 91.20% 95.70% 87.25%

由表可知，在一根圆钢上截取2个甲件和5个乙件，可以得到最高的材料利用率99.65%。

例2作为课后练习。

三、图解法

1、用二元一次不等式表示平面区域

y

y y y

o x o x o x o x ax + by > c ax +by < c ax +by >c ax +by < c a>0, b >0 a >0, b<0 a>0, b<0 a>0, b<0 2( 图解法

图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。现对例1进行图解。条件(1)、(2)对应的恰好是图1中斜线下方和两条坐标轴在第一象限中的三角形AOB 内的整点(即横、纵坐标都是整数的点)。当整点越靠近直线AB，残料就越少(若AB恰好过其中一个整点，则该整点坐标所对应的截料方法一定是无残了的最佳截料方法)。比较C、D、E、F、G、H，知E(2，5)距直线AB最近，故知取x =2，y = 5是材料利用率最高的截料方法。

在以x、x为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x, x ? 0 是指第一象限(及x 轴正半轴、 1212

y轴正半轴)。每一个约束条件都表示一个半平面。若约束条件 x + 2x? 8 是代表以直线 1 2

x + 2x = 8为边界的左下 1 2

方的半平面。 x4x = 16 2 1

若同时满足x + 2x ? 8，4 x ? 16， 1 21x + 2x = 8 4x =12 1 22

4 x ? 12和x ，x ? 0约束的点， QQ 2 1 24 3

必然在由这三个半平面围成的区域内。 3 Q 2

由例1的所有约束条件为半平面围成 2

的区域见右图阴影部分。阴影区域中 1

的每一个点(包括边界点)都这个线 Q x 11性规划问题的解。 o

再分析目标函数max z = 2x + 3 x，在这坐标平面上，它表示以 z为参

数、– EQ 1 2

F(2,3) 为斜率的一族平行直线 :

x = – EQ F(2,3) x + EQ F(z,3) 21

位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称它为“等值线”。当z 值由小变大时，

直线x = – EQ F(2,3) x + EQ F(z,3) 沿其法线方向(法线方向是指与直线垂直的方向)21