2018版高中数学必修二同步讲义(人教A版)第三章直线与方程3.1.2Word版含答案

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程疑难规律方法 Word版含答案

直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．．根据倾斜角求斜率例如图，菱形的∠＝°，求两条对角线与所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定与的倾斜角，再利用公式＝θ.解∵在菱形中，∠＝°，∴∠＝°，∠＝°.又菱形的对角线互相平分，∴∠＝°，∠＝°.∴∠＝°－∠＝°.∴＝°＝，＝°＝－.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．．利用两点斜率公式例直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴的负方向平移个单位，恰好与原直线重合，求直线的斜率.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点，经过相应的平移后得到一个新点，它也在直线上，则直线的斜率即为的斜率．解设(，)是直线上任意一点，按平移后，点的坐标移动到(－，＋)．∵点也在直线上，∴＝＝－.评注①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(，)沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向移动个单位，坐标由(，)变为(＋，＋)．②直线过两点(，)，(，)，若＝，≠，则倾斜角等于°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．．利用待定系数法例如果直线沿轴负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，求直线的斜率．分析本题可以利用例的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解设直线的方程为＝＋.把直线左移个单位，上移个单位后直线方程为－＝(＋)＋，即＝＋＋＋.由条件，知＝＋＋＋与＝＋为同一条直线的方程．比较系数，得＝＋＋，解得＝－.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．直线方程中的“缺陷”．斜截式中斜率“缺陷”。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1 含答案精品

3.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋40° B ．α－140° C ．140°－αD ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以 k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值．解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 反思与感悟斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．解如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．解如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为．答案 92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角．解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率答案 D解析倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析由题意知|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7) D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．0答案 A解析如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于．答案 12解析由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为．答案 (3,0)或(0,3)解析由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是．答案 (－2,1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为．答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°<α<180°. ∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)． (1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？ (2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( ) A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．解考虑临界状态，令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2，由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33，故直线PM 的倾斜角为45°，直线PN 的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.3.1~3.3.2 Word版含答案

两条直线的交点坐标
两点间的距离
学习目标.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系
思考直线上的点与其方程＋＋＝的解有什么样的关系？
答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．
思考已知两条直线与相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
思考由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案()若方程组无解，则∥；
()若方程组有且只有一个解，则与相交；
()若方程组有无数解，则与重合．
梳理()两直线的交点
几何元素及关系代数表示
点(，)
直线：＋＋＝
点在直线上＋＋＝
直线与的交点是
()两直线的位置关系
方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个
直线与的位置关系相交重合平行
知识点二两点间的距离
已知平面上两点(，)，(，)．
思考当≠，＝时，＝？
答案＝－.
思考当＝，≠时，＝？
答案＝－.
思考当≠，≠时，＝？请简单说明理由．
答案如图，在△中，＝＋，所以＝.
即两点(，)，(，)间的距离＝.。

2018版高中数学必修二同步讲义(人教A版)第三章直线与方程3.3.1-3.3.2Word版含答案

3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系知识点二两点间的距离已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．答案如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q |2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.类型一两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1 直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是________．答案 (1,2)解析联立两方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以两直线的交点坐标为(1,2)．命题角度2 根据交点求参数的值或其范围例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．答案 (－32，2)解析由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎨⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴－32<a <2.引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？解由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎨⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.反思与感悟解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23， ∴－23<k <2.故选C.类型二求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3(x ＋35)，即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得(2＋112)x ＋(112－3)y ＋(2×112－3)＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3 直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y ＝0 C ．x ＋2y ＝0 D ．x －2y ＝0答案 B解析设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0，因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线方程为2x －y ＝0. 类型三两点间的距离公式及其应用例4 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解 (1)方法一 ∵|AB |＝ (3＋3)2＋(－3－1)2＝52， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练4 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．解设P (x,0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2， |PB |＝(x －2)2＋(－7)2， ∵|P A |＝|PB |，∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2.1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13)B ．(13，1)C ．(1，13)D ．(－1，－13)答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案 C解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或－5.3．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________．答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________．答案 2x ＋y －4＝0解析设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标．解由题意得A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)，则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4. 又点A 在第四象限，∴x ＝－4(舍)， ∴A (4，－3)．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1)答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上都不对答案 C解析联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－363＋2k ，∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－363＋2k ＝0，∴k ＝±6(经检验知符合题意)．3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M 的线段的中点是(1,0)，那么点M 到原点的距离为( ) A ．41 B.41 C.39 D ．39答案 B解析设M (x ，y )，由题意得⎩⎨⎧1＝－2＋x 2，0＝5＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，∴M (4，－5)．则M 到原点的距离为(4－0)2＋(－5－0)2＝41.4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12。

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3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系知识点二两点间的距离已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．答案如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q |2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.类型一两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1 直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是________．答案 (1,2)解析联立两方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以两直线的交点坐标为(1,2)．命题角度2 根据交点求参数的值或其范围例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．答案 (－32，2)解析由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴－32<a <2.引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？解由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.反思与感悟解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2.故选C.类型二求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3(x ＋35)，即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得(2＋112)x ＋(112－3)y ＋(2×112－3)＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0答案 B解析设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.类型三两点间的距离公式及其应用例4如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．解(1)方法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练4 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值．解设P (x,0)，|PA |＝(x ＋1)2＋(－2)2，|PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|PA |＝|PB |， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|PA |＝(1＋1)2＋4＝2 2.1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13)B ．(13，1)C ．(1，13)D ．(－1，－13)答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案 C 解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或－5.3．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________．答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________．答案 2x ＋y －4＝0解析设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标．解由题意得A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)，则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4.又点A 在第四象限，∴x ＝－4(舍)， ∴A (4，－3)．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1)答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上都不对答案 C解析联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－363＋2k ，∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－363＋2k ＝0，∴k ＝±6(经检验知符合题意)．3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M 的线段的中点是(1,0)，那么点M 到原点的距离为( ) A ．41 B.41 C.39 D ．39答案 B解析设M (x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2＋x 2，0＝5＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，∴M (4，－5)．则M 到原点的距离为(4－0)2＋(－5－0)2＝41.4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12 C.⎣⎡⎦⎤－14，12 D.⎝⎛⎦⎤－14，12 答案 A解析直线y ＝－x ＋2与两坐标轴的交点为A (0,2)、B (2,0)，直线y ＝kx ＋2k ＋1恒过定点P (－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k 满足：k PB <k <k PA ，即－14<k <12.5．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A ．x －3y ＋7＝0 B ．x －3y ＋13＝0 C ．x －3y ＋6＝0 D ．x －3y ＋5＝0 答案 B解析直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点为(－1,4)，与3x ＋y －1＝0垂直，得斜率为13，由点斜式，得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0，故选B.6．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0 D ．－4答案 B解析两直线互相垂直，－m 4×25＝－1，m ＝10，又垂足坐标为(1，p )，代入直线10x ＋4y －2＝0，得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12，所以m －n ＋p ＝20，故选B.7．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)、B (a,0)和C (a 2，32a )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形答案 C解析 ∵|AB |＝2|a |，|AC |＝(a 2＋a )2＋(32a －0)2＝3|a |， |BC |＝(a 2－a )2＋(32a －0)2＝|a |， ∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴△ABC 为直角三角形．8．直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)答案 C解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝2.故选C. 二、填空题9．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________.答案 2解析因为k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 10．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2解析首先方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2.11．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．答案 2 6解析 |BD |＝12|BC |＝2， |AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝2 5.在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB |＝22＋(25)2＝2 6. 12．若直线l ：y ＝kx －3与直线l 1：2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．答案 (30°，90°)解析直线l 1：2x ＋3y －6＝0过A (3,0)，B (0,2)，而l 过定点C (0，－3)，由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧k >k AC ，k >0， ∴l 倾斜角α的范围是(30°，90°)．三、解答题13．过点(3,5)作直线4x ＋3y －2＝0的垂线，求垂足坐标．解设与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋C ＝0，又∵直线过点(3,5)，∴3×3－4×5＋C ＝0，∴C ＝11，∴过点(3,5)与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋11＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －2＝0，3x －4y ＋11＝0，得垂足坐标为(－1,2)．四、探究与拓展14．已知x ，y ∈R ，S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4 D. 2答案 B解析 S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，过点A (1，－1)的直线为x ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，x ＝1即为所求．当直线l 的斜率存在时，设过A (1，－1)的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34， ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.2.1 Word版含答案

直线的点斜式方程
学习目标.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
知识点一直线的点斜式方程
思考如图，直线经过点(，)，且斜率为，设点(，)是直线上不同于点的任意一点，那么，应满足什么关系？
答案由斜率公式得＝，
则，应满足－＝(－)．
思考经过点(，)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点斜率不存在的直线为＝.
梳理
点斜式
已知条件点(，)和斜率
图示
方程形式－＝(－)
适用条件斜率存在
知识点二直线的斜截式方程
思考已知直线的斜率为，且与轴的交点为(，)，得到的直线的方程是什么？答案将及点(，)代入直线方程的点斜式得：＝＋.
思考方程＝＋，表示的直线在轴上的截距是距离吗？可不可以为负数和零？答案轴上的截距不是距离，可以是负数和零．
思考对于直线：＝＋，：＝＋.
①∥⇔＝且≠，
②⊥⇔＝－.
梳理
斜截式
已知条件斜率和直线在轴上的截距
图示
方程式＝＋
适用条件斜率存在。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.1.2 Word版含答案

两条直线平行与垂直的判定学习目标.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．知识点一两条直线平行的判定思考如图，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？答案α与α之间的关系为α＝α；对于与之间的关系，当α＝α≠°时，＝，因为α＝α，所以α＝α，即＝.当α＝α＝°时，与不存在．思考对于两条不重合的直线与，若＝，是否一定有∥？为什么？答案一定有∥.因为＝⇒α＝α⇒α＝α⇒∥.梳理类型斜率存在斜率不存在前提条件α＝α≠°α＝α＝°对应关系∥⇔＝∥⇐两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定思考如图，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？答案α＝°＋α，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．思考已知(°＋α)＝－，据此，如何推出思考中两直线的斜率、之间的关系？答案因为α＝°＋α，所以α＝(°＋α)，由于(°＋α)＝－，α＝－，即αα＝－，所以·＝－.思考如果两直线的斜率存在且满足·＝－，是否一定有⊥？如果⊥，一定有·＝－吗？为什么？答案当·＝－时，一定有⊥.不妨设<，即α为钝角，因为·＝－，则有αα＝－，所以α＝－＝(°＋α)，则α＝°＋α，所以⊥.当⊥时，不一定有·＝－，因为如果直线和分别平行于轴、轴，则不存在，所以·＝－不成立．梳理。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.2.1Word版含全面版

直线的点斜式方程学习目标 1.认识由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 .3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实责问题．知识点一直线的点斜式方程思虑 1如图，直线l 经过点 P0 (x0，y0)，且斜率为k，设点 P(x，y)是直线 l 上不同样于点P0的任意一点，那么x， y 应知足什么关系？y－ y0答案由斜率公式得k＝，那么 x，y 应知足 y－y0＝k(x－x0 )．思虑 2经过点 P0(x0， y0)的所有直线可否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能够用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.梳理点斜式条件点 P(x0， y0)和斜率 k图示方程形式y－ y0＝ k(x－ x0)适用条件斜率存在知识点二直线的斜截式方程思虑 1直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为 (0， b)，获得的直线l 的方程是什么？答案将 k 及点 (0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝ kx＋ b.思虑 2方程 y＝ kx＋ b，表示的直线在 y 轴上的截距 b 是距离吗？ b 可不能够够为负数和零？答案y 轴上的截距 b 不是距离，能够是负数和零．思虑 3对于直线 l 1：y＝ k1x＋ b1， l 2：y＝ k2x＋ b2.①l1∥ l2 ? k1＝ k2且 b1≠ b2，② l1⊥ l2 ? k1k2＝－ 1.梳理斜截式条件斜率 k 和直线在y 轴上的截距b图示方程式适用条件y＝ kx＋ b 斜率存在种类一直线的点斜式方程例 1写出以下直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线y＝ 2x＋7 平行；(2)经过点 C(－ 1，－ 1)，且与 x 轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．解 (1) 由题意知，直线的斜率为 2，因此其点斜式方程为 y－ 5＝ 2(x－ 2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝ tan 0 ＝°0，因此直线的点斜式方程为y－(－1)＝ 0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，因此直线的方程为x＝ 1，该直线没有点斜式方程．反思与感悟(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y－ y0＝ k(x－ x0)可表示过点 P(x0， y0)的所有直线，但直线 x＝ x0除外．追踪训练 1(1)经过点 (－ 3,1)且平行于 y 轴的直线方程是 ________．(2)直线 y＝ 2x＋ 1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转90°后获得直线 l ，那么直线 l 的点斜式方程是________．3(3)素来线 l1过点A(－ 1，－ 2)，其倾斜角等于直线l 2： y＝3 x 的倾斜角的 2 倍，那么 l 1的点斜式方程为 ________．答案 (1) x＝－ 3(2) y－ 3＝－1(x－ 1) 2(3)y＋ 2＝3(x＋ 1)剖析(1) ∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在，∴ 直线方程为x＝－ 3.1 (2)由题意知，直线l 与直线y＝ 2x＋1 垂直，那么直线l 的斜率为－ 2.由点斜式方程可得l 的方程为1y－ 3＝－ 2(x－ 1)．(3)∵直线l2的方程为y＝33x，设其倾斜角为α，那么tan α＝33，∴α＝ 30°，那么直线l1的倾斜角为2× 30°＝60°，那么 l 1的点斜式方程为y＋ 2＝ tan 60 (x°＋ 1)，即y＋ 2＝3(x＋ 1)．种类二直线的斜截式方程例 2 (1) 倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________ ．(2)直线 l 1的方程为 y＝－ 2x＋ 3，l 2的方程为 y＝ 4x－ 2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距同样，求直线 l 的方程．(1)答案y＝3x＋ 3 或 y＝3x－ 3剖析∵直线的倾斜角是60°，∴ 其斜率k＝ tan 60＝°3，∵ 直线与y 轴的交点到原点的距离是3，∴ 直线在y 轴上的截距是3或－3，∴ 所求直线方程是y＝3x＋ 3 或 y＝3x－ 3.(2)解由斜截式方程知直线l 1的斜率k1＝－ 2，又由于 l ∥l 1，因此 k l＝－ 2，由题意知l2在 y 轴上的截距为－2，因此直线l 在 y 轴上的截距b＝－ 2，由斜截式可得直线l 的方程为y＝－ 2x－2.引申研究本例 (2) 中假设将“直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相等〞改为“直线 l 与 l 1垂直且与 l 2在 y 轴上的截距互为相反数〞，求 l 的方程．解∵l 1⊥ l ，直线 l 1： y＝－ 2x＋ 3，∴ l 的斜率为1，2∵ l 与 l 2在 y 轴上的截距互为相反数，直线 l2： y＝ 4x－ 2，∴ l 在 y 轴上的截距为2，1∴直线 l 的方程为 y＝2x＋ 2.反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝ 0 时， y＝ b 表示与 x 轴平行 (或重合 )的直线．(2)截距不同样于平常生活中的距离，截距是一个点的横(纵 )坐标，是一个实数，能够是正数，也能够是负数和零，而距离是一个非负数．追踪训练2直线l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为63 的三角形，求l 的斜截式方程．1解设直线方程为y＝6x＋b，那么当 x＝ 0 时， y＝b；1y＝ 0 时， x＝－ 6b.由可得2·|b| |·－ 6b|＝ 3，即 6|b|2＝ 6，∴ b＝±1.故所求直线 l 的斜截式方程为y＝1x＋ 1 或 y＝1x－ 1. 66种类三平行与垂直的应用例 3(1) 当 a 为何值时，直线l1： y＝－ x＋ 2a与直线 l2：y＝ (a2－ 2)x＋ 2 平行？(2)当 a 为何值时，直线l1： y＝(2a－ 1)x＋ 3 与直线 l 2： y＝ 4x－ 3 垂直？解(1) 由题意可知，k l＝－ 1，k l2－ 2，＝a12a2－ 2＝－ 1，∵ l1∥ l2，∴解得 a＝－ 1.2a≠ 2，故当 a＝－ 1 时，直线l 1： y＝－ x＋ 2a 与直线 l 2：y＝ (a2－ 2)x＋ 2 平行．(2)由题意可知，k l1＝2a－1， k l2＝4，∵l1⊥l2，3∴ 4(2a－1) ＝－ 1，解得 a＝8.3故当 a＝时，直线l1：y＝ (2a－ 1)x＋ 3 与直线 l2：y＝ 4x－3 垂直．反思与感悟设直线 l1和 l 2的斜率 k1， k2都存在，其方程分别为l1： y＝ k1x＋ b1， l2： y＝ k2x ＋b2，那么： (1)l 1∥l 2? k1＝ k2，且 b1≠ b2；(2)k1＝ k2，且 b1＝ b2 ? 两条直线重合； (3) l1⊥ l2 ? k1·k2＝－ 1.追踪训练 3 直线2与直线1y＝ 3x＋5l： y＝(a － 2)x＋2a＋ 9y＝－ x＋ 1 垂直，且与直线2在 y 轴上的截距同样，求 a 的值．21解由题意知： (a － 2) ×(－ )＝－ 1，解得 a＝±2.经检验知a＝－ 2 吻合题意．1．方程 y＝ k(x－ 2)表示 ()A ．经过点 ( － 2,0)的所有直线B ．经过点 (2,0) 的所有直线C．经过点 (2,0) 且不垂直于 x 轴的所有直线D．经过点 (2,0) 且除去 x 轴的所有直线答案C剖析易考据直线经过点(2,0) ，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．直线 y＝ kx＋ b 经过第一、三、四象限，那么有 ()A ． k>0， b>0B． k>0， b<0C．k<0 ， b>0D． k<0， b<0答案B剖析∵ 直线经过第一、三、四象限，∴ 图形以以下图，由图知，k>0， b<0.3．直线 l 过点 P(2,1) ，且直线 l 的斜率为直线x－4y＋ 3＝ 0 的斜率的2 倍，那么直线 l 的方程为 ________．答案x－ 2y＝ 0剖析由 x－ 4y＋3＝ 0，得 y＝1x＋3，其斜率为1，444故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点 P(2,1)，1因此直线l 的方程为y－ 1＝2(x－ 2)，即 x－ 2y＝0.4．直线l1： y＝ 2x＋3a， l2： y＝ (a2＋ 1)x＋ 3，假设 l 1∥ l 2，那么 a＝________.答案－ 1剖析由于 l1∥ l2，因此 a2＋ 1＝ 2， a2＝ 1，因此 a＝±1，又由于 l 1∥ l2，两直线l 1与 l 2不能够重合，那么 3a≠ 3，即 a≠ 1，故 a＝－ 1.5．直线l 的方程为y－ m＝ (m－ 1)(x＋ 1)，假设l 在y 轴上的截距为7，那么m＝ ______.答案4剖析直线 l 的方程可化为y＝(m－ 1)x＋ 2m－ 1，∴2m－ 1＝7，得 m＝ 4.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋ b 不但形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率， b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和 b 的值，直线的图象就如数家珍．因此，在解决直线的图象问题时，常经过把直线方程化为斜截式方程，利用k， b 的几何意义进行判断．课时作业一、选择题1．过点 (4，－ 2)，倾斜角为150 °的直线方程为 ()3A ． y－ 2＝－3 (x＋ 4)3B ．y－ (－ 2)＝－3 (x－ 4)3C．y－ (－ 2)＝3 (x－ 4)3D． y－ 2＝3 (x＋ 4)答案B剖析由题意知 k＝ tan 150 °＝－3，因此直线的点斜式方程为y－ (－ 2)＝－333 ( x－ 4)．22．经过点 (－ 1,1)，斜率是直线y＝2 x－ 2斜率的 2倍的直线方程是 ()A ． y＝－ 1B ．y＝ 1C．y－ 1＝ 2(x＋ 1)D． y－ 1＝ 2 2(x＋ 1)答案C2剖析由方程知直线的斜率为 2，∴ 所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝ 2(x＋ 1)．3．直线 y＝ ax－1的图象可能是 () a答案B剖析依照斜截式方程知，斜率与直线在 y 轴上的截距正负相反．4．与直线 y ＝ 2x ＋ 1 垂直，且在 y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程为 ()1A ． y ＝ 2x ＋ 4B ． y ＝2x ＋ 41 C ．y ＝－ 2x ＋ 4 D ． y ＝－ 2x ＋ 4答案 Dy ＝ kx ＋ 4，又由 2k ＝－ 1，得 k ＝－ 1剖析由题意可设所求直线方程为2， ∴ 所求直线方程为1y ＝－ 2x ＋ 4.5．以下四个结论：y － 2①方程 k ＝与方程 y － 2＝ k(x ＋ 1)可表示同素来线；②直线 l 过点 P(x 1， y 1)，倾斜角为 90°，那么其方程为 x ＝x 1； ③直线 l 过点 P(x 1， y 1)，斜率为 0，那么其方程为 y ＝ y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确的个数为 () A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 答案 B剖析① 中方程：k ＝y － 2中 x ≠ －1；④ 中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④x ＋ 1错误， ②③ 正确．6．直线 kx －y ＋ 1－ 3k ＝0，当 k 变化时，所有的直线恒过定点 () A ． (1,3) B ． (－ 1，－ 3) C ．(3,1) D ． (－3，－ 1)答案 C剖析直线 kx －y ＋ 1－ 3k ＝ 0 变形为 y －1＝ k(x － 3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1) ．7．假设原点在直线l 上的射影是P(－ 2,1)，那么直线l 的方程为()A ． x ＋ 2y ＝ 0B ． y －1＝－ 2(x ＋ 2)C ．y ＝ 2x ＋ 5D ． y ＝ 2x ＋ 3C剖析∵ 直线OP的斜率为－12，又OP ⊥ l ，∴ 直线l 的斜率为2，∴ 直线l 的点斜式方程为y－ 1＝ 2(x ＋2)，化简，得 y ＝ 2x ＋5，应选 C.二、填空题8．在 y 轴上的截距为－ 6，且与 y 轴订交成 30°角的直线方程是 ________．答案y ＝3x － 6 或y ＝－3x － 6剖析由于直线与y 轴订交成 30°角，因此直线的倾斜角为60°或 120°，因此直线的斜率为3或－3，又由于在 y 轴上的截距为－ 6，因此直线方程为 y ＝ 3x － 6 或 y ＝－ 3x － 6.9．直线 y ＝ (3－ 2k)x － 6 不经过第一象限，那么 k 的取值范围为 ________．答案[ 3，＋∞ ) 2y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，那么－6≤0，剖析由题意知，需知足它在得3－ 2k ≤ 0，3k ≥ 2.10．与直线l ： y ＝ 3 x ＋ 1 平行，且在两坐标轴上截距之和为1 的直线 l 1 的方程为4________________ ．答案y ＝ 3x － 34剖析依照题意知直线l 的斜率 k ＝ 3，433故直线 l 1 的斜率 k 1＝4，设直线 l 1 的方程为 y ＝4x ＋ b 1，那么令 y ＝ 0 得它在 x 轴上的截距 4a 1＝－b 1.3∵ a 1＋ b 1＝－ 4 1 b 1＝ 1， ∴ b 1＝－ 3.b 1＋ b 1＝－ 333 ∴ 直线 l 1 的方程为 y ＝ 4x － 3.11．斜率为 3，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12 的直线方程是 ________．4 答案y ＝3x ±34剖析设所求直线方程为y ＝ 3x ＋ b ，4令 y ＝0 得 x ＝－4b，34 ＋216b 2由题意得 |b|＋－ b b ＋＝ 12，3945|b|＋ 3|b|＋ 3|b|＝12， 4|b|＝ 12， ∴ b ＝ ±3，3∴ 所求直线方程为 y ＝ 4x ±3.三、解答题12．△ ABC 的三个极点坐标分别是A(－ 5,0)， B(3，－ 3)， C(0,2) ，求 BC 边上的高所在的直线方程．解设 BC 边上的高为 AD ，那么 BC ⊥AD ，∴ k AD ·k BC ＝－ 1，即 2＋ 3＝－ 1，解得 k ＝3·k ADAD.0－ 35∴ BC 边上的高所在的直线方程为y － 0＝ 3(x ＋ 5)，5即 y ＝3x ＋ 3.513．直线 l 的斜率与直线 3x － 2y ＝ 6 的斜率相等，且直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1，求直线 l 的方程．解由题意知，直线 l 的斜率为 3，2 故设直线 l 的方程为 y ＝3x ＋ b ，22l 在 x 轴上的截距为－ 3b ，在 y 轴上的截距为 b ，因此－ 2b － b ＝ 1， b ＝－ 3，35因此直线 l 的方程为 y ＝3x －3.25四、研究与拓展14．将直线 y ＝ x ＋ 3－ 1 绕它上面一点 (1， 3)沿逆时针方向旋转 15°，所获得的直线方程是 ________．答案 y ＝ 3x剖析由 y ＝ x ＋ 3－ 1 得直线的斜率为 1，倾斜角为 45°.∵ 沿逆时针方向旋转 15°后，倾斜角变成 60°，∴ 所求直线的斜率为3.又 ∵ 直线过点 (1， 3)，∴ 由直线的点斜式方程有 y － 3＝ 3(x － 1)，即 y ＝ 3x.15．直线 l 的方程为 3x ＋4y － 12＝ 0，求 l ′的方程，使得：(1)l′与 l 平行，且过点 (－ 1,3)；(2)l ′与 l 垂直，且 l ′与两坐标轴围成的三角形面积为 4.解 (1) ∵直线 l 的方程为 3x＋ 4y－ 12＝ 0，∴直线 l 的斜率为－3 4.∵l′与 l 平行，∴直线 l′的斜率为－3 . 43∴直线 l ′的方程为y－ 3＝－4(x＋ 1)，即 3x＋ 4y－ 9＝ 0.4(2)∵ l′⊥ l，∴ k l′＝3.设 l ′在 y 轴上的截距为 b，那么 l ′在 x 轴上的截距为－3 b，4由题意可知，1346，S＝ |b| |·－b|＝ 4，∴ b＝±3 24∴直线 l ′的方程为 y＝4x＋46或 y＝4x－4 6. 3333只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程章末复习课 Word版含答案

学习目标.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．
．直线的倾斜角与斜率
()直线的倾斜角α的范围是°≤α<°.
()＝
()斜率的求法：
①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．
．直线方程的几种形式的转化
．两条直线的位置关系
设：＋＋＝，：＋＋＝，则
()平行⇔－＝且－≠；
()相交⇔－≠；
()重合⇔＝λ，＝λ，＝λ(λ≠)或＝＝(≠)．
．距离公式
()两点间的距离公式．
已知点(，)，(，)，
则＝.
()点到直线的距离公式．
①点(，)到直线：＋＋＝的距离＝；
②两平行直线：＋＋＝与：＋＋＝的距离＝.
类型一待定系数法的应用
例直线被两条直线：＋＋＝和：－－＝截得的线段的中点为(－)，求直线的方程．
解方法一设直线与的交点为(，)，由已知条件，得直线与的交点为(－－，－)，并且满足即
解得
因此直线的方程为＝，
即＋＋＝.
方法二设直线的方程为－＝(＋)，
即－＋＋＝.
由
得＝.
由
得＝.
则＋＝－，。

2018年秋人教A版高中数学必修2课件第三章直线与方程 3-2-1 精品

(3)过点(2,1)且平行于 y 轴的直线方程为 x＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率 k＝12，故所求的直线方程为 y＝21x.
直线的斜截式方程
[例2] (1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
[活学活用] 若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程： (1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，即方程为x＋y－3＝0.
(2)平行于 x 轴的直线的斜率 k＝0，故所求的直线方程为 y ＝1.
[活学活用] 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是 60°，在 y 轴上的截距是 5； (3)直线在 x 轴上的截距为 4，在 y 轴上的截距为－2.
解：(1)y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝ 3，∴y＝ 3x＋5. (3)∵直线在 x 轴上的截距为 4，在 y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k＝－0－2－40＝12，∴y＝12x－2.
3.2
直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
点斜式、斜截式
[导入新知]
1．直线的点斜式方程 (1)定义：如右图所示，直线l过定点P(x0， y0)，斜率为k，则把方程_y_－__y_0_＝__k_(_x－__x_0_)__叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如右图所示，过定点 P(x0，y0)，倾斜角是 90°的直线没有点斜式，其方程为 x－x0＝0，或___x_＝__x_0___.

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程习题课 Word版含答案

学习目标.能熟练求出两直线的交点坐标.理解直线过定点的含义.能解决简单的对称问题.体会坐标法的基本思想．知识点一两直线的交点坐标已知直线：：＋＋＝；：＋＋＝，点(，)．()若点在直线：＋＋＝上，则有：＋＋＝.()若点是直线与的交点，则有：知识点二两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个直线与的位置关系相交重合平行知识点三两点间的距离公式()条件：点(，)，(，)．()结论：＝.()特例：点(，)到原点()的距离＝.类型一直线恒过定点问题例求证：不论取什么实数，直线(－)＋(＋)－(－)＝都经过一定点，并求出这个定点坐标．证明方法一对于方程(－)＋(＋)－(－)＝，令＝，得－－＝；令＝，得＋＋＝.解方程组得两条直线的交点坐标为(，－)．将点(，－)代入方程组左边，得(－)×＋(＋)×(－)－(－)＝.这表明不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．方法二将已知方程(－)＋(＋)－(－)＝整理为(＋－)＋(－＋＋)＝.由于取值的任意性，有解得所以不论取什么实数，所给直线均经过定点(，－)．反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题()方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．()方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为＋＋＋λ(＋＋)＝，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成－＝(－)的形式，则表示所有直线必过定点(，)．跟踪训练不论为何实数，直线(－)＋(－)＝－恒过的定点坐标是．答案(，－)解析方法一取＝，得直线＝－.取＝，得直线＝.故两直线的交点为(，－)，下面验证直线(－)＋(－)＝－恒过点(，－)．。

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.2 Word版含答案

3.2.2直线的两点式方程学习目标1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一直线方程的两点式思考1已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．答案y －y 1＝y2－y1x2－x1(x －x 1)，即y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1.思考2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．梳理知识点二直线方程的截距式思考1过点(5,0)和(0,7)的直线能用x5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x5＋y7＝1. 思考2已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a0－a ，即x a ＋yb ＝1. 梳理知识点三线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x1＋x22，y ＝y1＋y22.类型一直线的两点式方程例1已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．解(1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M (52，－3)，又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程．解k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为(52，－3)，由点斜式方程可得y ＋3＝52(x －52)，即10x －4y －37＝0.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案－2解析由直线方程的两点式得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 类型二直线的截距式方程命题角度1与三角形有关的直线方程例2过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是() A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0 答案A解析设所求的直线方程为xa ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为xa ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．跟踪训练2直线l 过点P (43，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l 的方程．解设直线l 的方程为xa ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意知，a ＋b ＋a2＋b2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，b1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a2＝125，b2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0. 命题角度2判断直线的条数例3过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有() A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数多条答案B解析当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ，当截距不为零时，设直线方程为xa ＋yb＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1，|a|＝|b|，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－4，即直线方程为x 2＋y2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B.反思与感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．跟踪训练3过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有() A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数多条答案B解析设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为xa ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 类型三直线方程的应用例4设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎨⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1.故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．反思与感悟(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解． (2)根据斜率和截距的取值列式求解．跟踪训练4已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．解直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－(－5)＝－38，过点A (－5,0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)，即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.1．直线x－2＋y－3＝1在x 轴，y 轴上的截距分别为()A ．2,3B ．－2，－3C ．－2,3D ．2，－3 答案B2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2 答案A解析代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为() A ．x ＝2B ．y ＝2 C ．x ＝3D ．x ＝6 答案B解析由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________．答案2x －y ＋1＝0解析AB 的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.5．直线l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ，所以直线l 的方程为xa ＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l 上，所以1a ＋26－a ＝1，解得a 1＝2，a 2＝3，当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0.1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．课时作业一、选择题1．下列说法正确的是()A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程xa ＋yb＝1表示D ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示答案D解析斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D. 2．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则() A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限答案B解析依题意知，直线l 的截距式方程为x－a ＋y－b ＝1(a >0，b >0)，显然直线l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B. 3．直线xa2－yb2＝1在y 轴上的截距是()A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案B解析令x ＝0得，y ＝－b 2.4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0 答案B解析因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.5．过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是() A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案B解析设直线方程为xa ＋y－a ＝1或y ＝kx ，将P (2,3)代入求出a ＝－1或k ＝32.所以所求的直线方程为x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0.6．利用斜二测画法，作出直线AB 的直观图如图所示，若O ′A ′＝O ′B ′＝1，则直线AB 在直角坐标系中的方程为()A ．x ＋y ＝1B ．x －y ＝1C ．x ＋y2＝1D ．x －y2＝1答案D解析由斜二测画法可知在直角坐标系中，A (1,0)，B (0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x －y2＝1.7．两条直线l 1：xa －yb ＝1和l 2：xb －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y－b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．二、填空题8．已知直线xa ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为________．答案±2解析由xa ＋y 6＝1知S ＝12|a |·|6|＝6，所以a ＝±2.9．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______．答案x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)得x ＋2y －1＝0.10．过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为________．答案x ＝3y ＝－211．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是__________________________________________________________．答案x2＋y6＝1解析设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)．则l 的方程为x2＋y6＝1.三、解答题12．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解设所求直线方程为xa ＋yb ＝1.∵直线过点P (－5，－4)， ∴－5a ＋－4b ＝1，①于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10.② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.13．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解(1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋52，y0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0＋72，y0＋32，因为M 在y 轴上，所以x0＋52＝0，得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.四、探究与拓展14．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为________．答案x ＋y ±6＝0，x －y ±6＝0解析因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a ，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a ，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15．已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1,2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．解作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2)．设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x0＋12－y0＋22＋3＝0，y0－2x0－1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝4，即A 1点坐标为(－1,4)．由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，∴由直线的两点式方程得y －4－2－4＝x ＋11＋1，即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.。

2018学年高中数学人教A版课件必修二第三章直线与方程 3-1 3-1-2 精品

(2)①当两直线斜率都存在，即 m≠－32且 m≠1 时，有 k1＝21m－＋m3，k2＝mm－＋12. ∵两直线互相垂直，∴21m－＋m3×mm－＋12＝－1.∴m＝－1. ②当 m＝1 时，k1＝0，k2 不存在，此时亦有两直线垂直．当 2m＝－3，m＝－32时，k1 不存在，k2＝mm＋－21＝－－3232＋－21＝－15，l1 与 l2 不垂直．综上可知，实数 m＝±1.
() A．垂直
B．平行
C．重合
D．以上都不正确
【解析】过点( 3， 6)，(0,3)的直线的斜率 k1＝ 63－－30＝ 2－ 3；过点( 6， 2)，(2,0)的直线的斜率 k2＝ 26－－02＝ 3＋ 2.因为 k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．
【答案】 A
3．已知直线 l1 的倾斜角为 60°，直线 l2 的斜率 k2＝m2＋ 3－4，若 l1∥l2，则 m 的值为________．
(4)由题意知 l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2.
1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．
【答案】－1 7
5．已知四点 A(2,2＋2 2)，B(－2,2)，C(0,2－2 2)，D(4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形 ABCD 的形状．(说明理由)
【导学号：09960100】

【解】 ∵kAB＝2－－22＋－22 2＝ 22， kBC＝2－0－2－2－22＝－ 2， kAD＝2－42－＋22 2＝－ 2， kCD＝2－42－－02 2＝ 22， ∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-2-3 含答案精品

3.2.3 直线的一般式方程学习目标 1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．思考3 当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示怎样的直线？B ＝0呢？答案当B ≠0时，由Ax ＋By ＋C ＝0，得y ＝－A B x －C B ，所以该方程表示斜率为－AB ，在y 轴上截距为－CB的直线；当B ＝0时，A ≠0，由Ax ＋By ＋C ＝0，得x ＝－CA ，所以该方程表示一条垂直于x 轴的直线．梳理直线的一般式方程知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系梳理类型一直线的一般式方程命题角度1 求直线的一般式方程例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过点A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3，－1. 解 (1)由直线方程的点斜式得y －3＝3(x －5)，即3x －y －53＋3＝0.(2)由斜截式得直线方程为y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(3)由两点式得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(4)由截距式得直线方程为x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.反思与感悟 (1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，CA 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B ，CB 的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．跟踪训练1 根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是－12，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；(2)经过点B (4,2)，且平行于x 轴的直线方程为________________； (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32和－3的直线方程为________________；(4)经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________．答案 (1)x ＋2y ＋4＝0 (2)y －2＝0 (3)2x －y －3＝0 (4)x ＋y －1＝0 命题角度2 由含参数的一般式求参数例2 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3(舍去)．∴m ＝－53.(2)由直线l 化为斜截式方程得y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝－2.反思与感悟 (1)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需满足A ，B 不同时为0.(2)令x ＝0可得在y 轴上的截距．令y ＝0可得在x 轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程注意验根．跟踪训练2 若方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线，则实数a 满足______．答案 a ≠－2解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5a ＋6＝0，a 2＋2a ＝0，得a ＝－2，∵方程(a 2＋5a ＋6)x ＋(a 2＋2a )y ＋1＝0表示一条直线， ∴a ≠－2.类型二由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直命题角度1 利用两直线的位置关系求参数例3 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.反思与感悟对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l 1与l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练3 已知直线l 1：ax ＋2y －3＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y －a ＝0，求满足下列条件的a 的值． (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解 (1)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋1)－3×2＝0，2×(－a )－(－3)(a ＋1)≠0，解得a ＝2.(2)a ×3＋2×(a ＋1)＝0，得a ＝－25.命题角度2 求平行、垂直的直线方程例4 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解方法一 (1)l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为 y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为 y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠－12)．将(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.反思与感悟一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪训练4 已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0. 求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．解 (1)将与直线l 平行的直线方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0，又过点A (2,2)，所以3×2＋4×2＋C 1＝0，所以C 1＝－14. 所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)将与l 垂直的直线方程设为4x －3y ＋C 2＝0，又过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋C 2＝0，所以C 2＝－2，所以直线方程为4x －3y －2＝0.1．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 答案 C解析直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 2．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0答案 D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．4．已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，(1)若l 1∥l 2，则m ＝________； (2)若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 (1)－1 (2)12解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m (m －2)＝0，2m 2≠6×3，得m ＝－1.(2)由题意知1×(m －2)＋m ×3＝0，得m ＝12.5．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l 的方程．解由题意，设l 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，将点(1,2)代入l 的方程 3＋4×2＋C ＝0，得C ＝－11， ∴直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0.1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k 1＝k 2且b 1≠b 2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，或A 1C 2－A 2C 1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k 1k 2＝－1.(2)一般地，设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误．课时作业一、选择题1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 D解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)．2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝0答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1 D ．－3，－1答案 D解析原方程化为x 1a ＋y1b ＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又∵ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－ab ＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 120°，∴a ＝－3，故选D.4．两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1 答案 D解析令m ×m ＝1×1，得m ＝±1.当m ＝1时，要使x ＋y －n ＝0与x ＋y ＋1＝0平行，需n ≠－1. 当m ＝－1时，要使－x ＋y －n ＝0与x －y ＋1＝0平行，需n ≠1.5．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝3x C ．x －3y ＋2＝0 D ．x ＋3y －2＝0答案 B解析如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°. ∴l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3， ∴l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .6．在同一直角坐标系中表示直线ax －y ＝0与x －y ＋a ＝0(a ≠0)正确的是( )答案 C解析若a >0，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴正半轴上，直线x －y ＋a ＝0过第一、二、三象限，而直线ax －y ＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a <0，则直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点在y 轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y ＝ax 过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C 正确．7．若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或1 D ．－1或2答案 D解析当直线ax ＋y －2－a ＝0过原点时，可得a ＝－2. 当直线ax ＋y －2－a ＝0不过原点时，由题意知，当a ＝0时，直线l 与x 轴无交点，当a ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为2＋a a ，与在y 轴上的截距2＋a 相等，可得2＋aa ＝2＋a ，解得a ＝1，或a ＝－2. 综上知，a ＝－2或1. 所以直线l 的斜率为－1或2. 二、填空题8．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．答案－415解析把(3,0)代入已知方程，得(a ＋2)×3－2a ＝0， ∴a ＝－6，∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415.9．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0解析由题意可设与直线3x －4y －7＝0垂直的直线的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，令y ＝0，得x ＝－c4，令x ＝0，得y ＝－c3，则S △＝12|－c 4·(－c3)|＝6，得c 2＝122，c ＝±12，∴直线l 的方程为4x ＋3y －12＝0或4x ＋3y ＋12＝0.10．若直线mx －y ＋(2m ＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．答案 (－2,1)解析由y ＝mx ＋2m ＋1，得y －1＝m (x ＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．11．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A (a,0)(其中a ∈R )和B (0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l ：y ＝x ＋1，则a 的值为________．答案 1解析根据题意可知机器人在线段AB 的中垂线上运动，且轨迹与直线l ：y ＝x ＋1平行，由此可得AB ⊥l ，因此k AB ·k l ＝－1，即1－00－a ×1＝－1，解得a ＝1.三、解答题12．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0.13．(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0.①若这两条直线垂直，求k 的值；②若这两条直线平行，求k 的值．解 ①根据题意，得(k －3)×2(k －3)＋(4－k )×(－2)＝0，解得k ＝5±52. ∴若这两条直线垂直，则k ＝5±52. ②根据题意，得(k －3)×(－2)－2(k －3)×(4－k )＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k ＝3或k ＝5.(2)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程．解设直线方程为2x －y ＋c ＝0，设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为－c 2和c ， ∴S △＝12×|－c 2|×|c |＝9，解得c ＝±6. ∴所求直线方程为2x －y －6＝0或2x －y ＋6＝0.四、探究与拓展14．已知坐标平面内两点A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是_____．答案 3解析由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3. 15．经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ，又直线过点A (1,2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a＝1. ∵直线过点A (1,2)，则得a ＝3或a ＝－1.即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.。

2018年秋高中数学人教A版必修2课件：第3章直线与方程3.2.1 精品

么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程
呢？
1.直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k， y－y0＝k(x－x0) 叫做直线 l 的点斜式方程，简称点斜则把方程 ______________ 式．
(2)说明：如下图所示，过定点 P(x0，y0)，倾斜角是 90° 的
[解析] (1)y－5＝3(x＋2)． (2)k＝tan135°＝－1，∴y＋3＝－(x－2)． (3)y＝－1. (4)x＝1.
直线的斜截式方程
写出下列直线的斜截式方程：导学号 92180693 (1)斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是 60° ，在 y 轴上的截距是 5； (3)倾斜角是 150° ，在 y 轴上的截距是 0.
次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截
距，一次函数表示直线，但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式．
导学号 92180694 写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30° ，在 y 轴上截距为 3，________.
[解析] (1)y－5＝4(x－2)，y＝4x－3. (2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2. y＝x＋1.
课堂典例讲练
直线的点斜式方程
求满足下列条件的直线的点斜式方程：导学号 92180691 (1)过点 P(－4,3)，斜率 k＝－3； (2)过点 P(3，－4)，且与 x 轴平行； (3)过 P(－2,3)、Q(5，－4)两点．
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章
直线与方程

2018年秋高中数学人教A版必修2课件：第3章直线与方程3.1.1 精品

义求解．如图，当 l 向上方向的部分在 y 轴左侧时，倾斜角为 90° ＋α；当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时，倾斜角为 90° － α，故选 D．
已知两点坐标求倾斜角和斜率
已知坐标平面内三点 A(－1,1)、B(1,1)、C(2， 3 ＋1). 导学号 92180625 (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
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第三章
直线与方程
为缓解日益严重的交通压力，各地都加大了基础设施建设的力度，先后投资发展轨道交通与城市高架桥建设，如图是高架桥的效果图，纵横交错的桥梁远远看去如一条条直线，有的
相互平行，有的相互垂直，高架桥两边的护拦是平行的，而路
(2)已知直线 l1 的倾斜角为 α1，则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2 的倾斜角 α2 为________. 导学号 92180623
[ 解析 ]
(1) 因为直线 l 的倾斜率为 β － 15°，所以 0°≤β －
15°<180°，即15°≤β<195°. (2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180° －α1.
[ 解析] 6－3 ∵k2＝kMN＝＝1， 8－5
∴直线 l2 的倾斜角为 45° . 又∵l1、l2、l3、l4 的倾斜角之比为 1:2:3:4， ∴这四条直线的倾斜角分别为 22.5° 、45° 、67.5° 、90° .
课堂典例讲练
直线的倾斜角的理解
(1)已知直线 l 的倾斜角为 β－15° ，则下列结论中正确的是( ) B．15° <β<180° D．15° ≤β<195° A．0° ≤β<180° C．15° ≤β<180°

【小初高学习】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.1~

3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；(3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点(2)两直线的位置关系知识点二两点间的距离已知平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．思考1 当x 1≠x 2，y 1＝y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|x 2－x 1|.思考2 当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？答案 |P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考3 当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|P 1P 2|＝？请简单说明理由．答案如图，在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2＝|P 1Q |2＋|QP 2|2，所以|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.即两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.类型一两直线的交点问题命题角度1 代数法判断两直线的位置关系例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1 直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是________．答案 (1,2)解析联立两方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以两直线的交点坐标为(1,2)．命题角度2 根据交点求参数的值或其范围例2 已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是________．答案 (－32，2)解析由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－32，a <2.∴－32<a <2.引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？解由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.反思与感悟解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2 若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >－23B ．k <2C ．－23<k <2D ．k <－23或k >2答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－kk ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2<k <2，k <－2或k >－23，∴－23<k <2.故选C.类型二求过两条直线交点的直线方程例3 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3(x ＋35)，即15x ＋5y ＋16＝0. 方法二设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得(2＋112)x ＋(112－3)y ＋(2×112－3)＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解．解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0答案 B解析设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.类型三两点间的距离公式及其应用例4如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．解(1)方法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练4 已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值．解设P (x,0)，|PA |＝(x ＋1)2＋(－2)2，|PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|PA |＝|PB |， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1,0)， ∴|PA |＝(1＋1)2＋4＝2 2.1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13)B ．(13，1)C ．(1，13)D ．(－1，－13)答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 答案 C 解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或－5.3．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为________．答案17解析 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为(－1－0)2＋(5－1)2＝17.4．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________．答案 2x ＋y －4＝0解析设所求直线方程为3x －y ＋4＋λ(x ＋y －4)＝0，即(3＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－4λ＝0， ∴k ＝3＋λ1－λ＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x ＋y －4＝0.5．点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标．解由题意得A 点的纵坐标为－3，设A (x ，－3)，则(x －0)2＋(－3－0)2＝5，x ＝±4.又点A 在第四象限，∴x ＝－4(舍)， ∴A (4，－3)．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1)答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.2．已知两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( ) A ．－24 B ．6C ．±6D ．以上都不对答案 C解析联立两条直线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得x ＝k 2－363＋2k ，∵两直线交点在y 轴上，∴k 2－363＋2k ＝0，∴k ＝±6(经检验知符合题意)．3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M 的线段的中点是(1,0)，那么点M 到原点的距离为( ) A ．41 B.41 C.39 D ．39答案 B解析设M (x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2＋x 2，0＝5＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，∴M (4，－5)．则M 到原点的距离为(4－0)2＋(－5－0)2＝41.4．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，12 B.⎣⎡⎭⎫－14，12 C.⎣⎡⎦⎤－14，12 D.⎝⎛⎦⎤－14，12 答案 A解析直线y ＝－x ＋2与两坐标轴的交点为A (0,2)、B (2,0)，直线y ＝kx ＋2k ＋1恒过定点P (－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k 满足：k PB <k <k PA ，即－14<k <12.5．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A ．x －3y ＋7＝0 B ．x －3y ＋13＝0 C ．x －3y ＋6＝0 D ．x －3y ＋5＝0 答案 B解析直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点为(－1,4)，与3x ＋y －1＝0垂直，得斜率为13，由点斜式，得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0，故选B.6．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A ．24 B ．20 C ．0 D ．－4答案 B解析两直线互相垂直，－m 4×25＝－1，m ＝10，又垂足坐标为(1，p )，代入直线10x ＋4y －2＝0，得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12，所以m －n ＋p ＝20，故选B.7．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)、B (a,0)和C (a 2，32a )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形答案 C解析 ∵|AB |＝2|a |，|AC |＝(a 2＋a )2＋(32a －0)2＝3|a |， |BC |＝(a 2－a )2＋(32a －0)2＝|a |， ∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴△ABC 为直角三角形．8．直线x ＋y －1＝0上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)答案 C解析设所求点的坐标为(x 0，y 0)，有x 0＋y 0－1＝0，且(x 0＋2)2＋(y 0－3)2＝2，两式联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝2.故选C. 二、填空题9．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________.答案 2解析因为k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2. 10．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2解析首先方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2.11．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．答案 2 6解析 |BD |＝12|BC |＝2， |AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝2 5.在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB |＝22＋(25)2＝2 6. 12．若直线l ：y ＝kx －3与直线l 1：2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．答案 (30°，90°)解析直线l 1：2x ＋3y －6＝0过A (3,0)，B (0,2)，而l 过定点C (0，－3)，由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧k >k AC ，k >0， ∴l 倾斜角α的范围是(30°，90°)．三、解答题13．过点(3,5)作直线4x ＋3y －2＝0的垂线，求垂足坐标．解设与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋C ＝0，又∵直线过点(3,5)，∴3×3－4×5＋C ＝0，∴C ＝11，∴过点(3,5)与4x ＋3y －2＝0垂直的直线方程为3x －4y ＋11＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －2＝0，3x －4y ＋11＝0，得垂足坐标为(－1,2)．四、探究与拓展14．已知x ，y ∈R ，S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4 D. 2答案 B解析 S ＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，过点A (1，－1)的直线为x ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，x ＝1即为所求．当直线l 的斜率存在时，设过A (1，－1)的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则与已知直线平行)，则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34， ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。