二次函数归类辅导 培优

初三尖子班辅导资料十三
必考点1 二次函数图象上点的坐标特征
1. 点112233(1,),(3,),(5,)P y P y P y -均在二次函数2
2y x x c =-++的图象上，
则123,,y y y 的大小关系是( )
A. 321y y y >>
B. 312y y y >=
C. 123y y y >>
D. 123y y y => 2.已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＞0）的图象上三个点的坐标分别为A （﹣1，y 1），B （2，y 2），C （4，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）
A ．y 3＞y 1＞y 2
B ．y 3＞y 2＞y 1
C ．y 2＞y 1＞y 3
D ．y 2＞y 3＞y 1
3.已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ＞0）过A （﹣2，y 1），B （﹣3，y 2），C （1，y 2），D （√3，y 3）四点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 2＞y 1＞y 3
C ．y 1＞y 3＞y 2
D ．y 3＞y 2＞y 1
4.若二次函数y ＝a 2x 2﹣bx ﹣c 的图象，过不同的六点A （﹣1，n ）、B （5，n ﹣1）、C （6，n +1）、D （√2，y 1）、E （2，y 2）、F （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 1＜y 3＜y 2
C ．y 2＜y 3＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3 必考点2 二次函数图象与系数关系
5.抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③c ﹣a ＝2；④方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个．
6.函数y ＝x 2+bx +c 与y ＝x 的图象如图所示，有以上结论：
①b 2﹣4c ＞0；②b +c +1＝0；③3b +c +6＝0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0．正确的是 （填序号）
必考点3二次函数与一元二次方程的关系
7.已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+3
2
=0的根的情况是
（）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根
8.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）
A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4
9.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）
A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0
必考点4二次函数与解不等式
10.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，
且k≠0）的图象如图所示，交于点M（−3
2，2）、N（2，﹣2），则关于x的不等式ax
2+bx+c
﹣kx﹣m＜0的解集是．
11.如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，
B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．
12.已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，
则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为．
必考点5构建二次函数解决最值问题
13.如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．
14.如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．
15.如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
16.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．
①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？
必考点6二次函数新定义问题
17.我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4B．3C．2D．1
必考点7二次函数的应用（面积问题）
18.如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圈，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长a＝6米，设花圃的一边AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）若边BC不小于3米这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
19.某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm，总占地面积为ym2．
（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？
必考点8二次函数的应用（利润问题）
20.小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）121416
每周的销售量y（本）500400300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
21.新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y 1（盒）与售价x （元）之间的关系为y 1＝400﹣8x ；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的
1415，若使两种口罩的利润总和最高，此时的
定价应为多少？
必考点9二次函数的综合（存在性问题）
22.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）直接写出B点的坐标；
（2）求该二次函数的解析式；
（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P坐标，若不存在说明理由．
24.如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．
25.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．。