山东省潍坊市初三上册期末练习数学试卷(有答案)

B C
D E
A
潍坊市九年级第一学期期末练习含答案
数 学
学校 班级 姓名 成绩
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置． 1．抛物线2
(1)3y x =-+的顶点坐标是
A ．(1，3)
B ．(1-，3)
C ．(1-，3-)
D ．(1，3-) 2．如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，D
E ∥BC 交AC 于E 点，则△ADE 与△ABC 的面积比为 A ．11 B ．12 C ．13
D ．14
3．方程2
0x x -=的解是
A ．0x =
B ．1x =
C ．1201x x ==，
D ．1201x x ==-， 4．如图，在△ABC 中，∠A =90°．若AB =8，AC =6，则cos C 的值为 A ．3
5
B ．
45
C ．
34
D ．43
5．下列各点中，抛物线244y x x =--经过的点是
A ．(0，4)
B ．(1，7-)
C ．(1-，1-)
D ．(2，8) 6．如图，O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为 A ．40︒ B ．50︒
C ．80︒
D ．100︒
7．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是
A ．1cm
B ．3cm
C ．6cm
D ．9cm 8．反比例函数3y x
=的图象经过点（1-，1y ），（2，2y ），则下列关系正确的是 A ．12y y <
B ．12y y >
C ．12y y =
D ．不能确定
9．抛物线()2
1y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是
C
A B
A
B C
O
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
10．当温度不变时，气球内气体的气压P （单位：Pa ）是气体体积V （单位：m 3）的函数，下表记录了一
组实验数据：
P 与V 的函数关系可能是 A ．96P V =
B ．16112P V =-+
C ．21696176P V V =-+
D ．96P V
=
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．已知A ∠为锐角，若sin 2
A =
，则A ∠的大小为 度．
12．请写出一个图象在二，四象限的反比例函数的表达式 ．
13．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，
利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA =3OD ，OB =3OC ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线
段l 的两个端点上，若 3.2CD =cm ，则AB 的长为 cm ． 14．如图，在平面直角坐标系Oy 中，以原点为位似中心，线段AB
与线段A B ''是位似图形，若A (1-，2)，B (1-，0)，A '(2-，
则B '的坐标为 ．
15．若关于的方程2
0x mx m -+=有两个相等实根，则代数式2
2m
．
16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
E
C
I
画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C （与点A 不重合）处，使其一直角边经过点A ，
另一条直角边与圆交于B 点，连接AB ；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A 重合，使一条直角边经过点B ，画出另一条直角边所在的直线
AD ．
所以直线AD 就是过点A 的圆的切线．
请回答：该画图的依据是______________________________________________________．
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：2
2sin 30
-°0(π3)--+．
18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，E 是BC 上一点，ED ⊥AB ，垂足为D ． 求证：△ABC ∽△EBD ．
19．若二次函数2
y x bx c =++的图象经过点(0 1)，
和(1 2)-，两点，求此二次函数的表达式．
20．已知蓄电池的电压U 为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函
数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电的用电器的限制电流不能超过10A ，那么用电器的可变电阻R 应控制在什
么范围？请根据图象，直接写出结果 ．
21．已知矩形的一边长为，且相邻两边长的和为10．
（1）求矩形面积S 与边长的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求矩形面积S 的最大值．
22．如图，热气球探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯
角为60°，热气球与楼的水平距离AD 为100米，试求这栋楼的高度BC ．
23．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中P A=PD，如图1所示，则tan BAP
∠的值为；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan BAP
∠的值．
图1 图2
24．如图，直线4(0)
y ax a
=-≠与双曲线
k
y
x
=只有一个公共点A(1，2-)．
（1）求与a的值；
（2）若直线+(0)
y ax b a
=≠与双曲线
k
y
x
=有
两个公共点，请直接写出b的取值范围．
25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM 是⊙O 的切线；
（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO 与AM 交于N
写出求ON 长的思路．
26．有这样一个问题：探究函数1(1)(2)(3)2
y x x x x =---+的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
① 当函数为1(1)2y x x =
-+时，y 随x 增大而
（填“增大”或“减小”
）； ② 当函数为1(1)(2)2
y x x x =--+时，它的图象与直线y x =的交点坐标为
；
（2）当函数为1(1)(2)(3)2
y x x x x =
---+时，
下表为其y 与的几组对应值．
的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：
．
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443y mx mx m =-++的顶点为A ． （1）求点A 的坐标；
（2）将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''． ①直接写出点O '和A '的坐标；
②若抛物线2443y mx mx m =-++与四边形AOO A '' 有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取 值范围．
28．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点P 是△ABC 内一点，且2
PAC PCA α
∠+∠=
．连接PB ，试探究
P A ，PB ，PC 满足的等量关系．
P A
B C
P'
A
B C P
（1）当α=60°时，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP '△，连接PP '，如图1所示．
由ABP △≌ACP '△可以证得'APP △是等边三角形，再由30PAC PCA ∠+∠=︒可得
图1 图2
∠APC 的大小为 度，进而得到CPP '△是直角三角形，这样可以得到P A ， PB ，PC 满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究P A ，PB ，PC 满足的等量关系，
并给出证明；
（3）P A ，PB ，PC 满足的等量关系为 ．
29．定义：点P 为△ABC 内部或边上的点，若满足△P AB ，△PBC ，
△P AC 至少有一个三角形与△ABC 相似（点P 不与△ABC 顶点重合），则称点P
为△ABC 的自相似点．
例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC =∠A ，∠PCB =∠ABC ，则
△
BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．
在平面直角坐标系Oy 中，
（1）点A 坐标为(2
，)， AB ⊥轴于B 点，在E (2，1)，F (32
2
)，G (12
2
)
这三个点中，其中是△AOB 的自相似点的是 （填字母）； （2）若点M 是曲线C ：k y x
=
（0k >，0x >）上的一个动点，N 为轴正半轴上一个
动点；
① 如图2
，k =M 点横坐标为3，且NM = NO ，若点P 是△MON 的自相似点，求点P 的坐标；
② 若1k =，点N 为(2，0)，且△MON 的自相似点有2个，
则曲线C 上
满足这样条件的点M 共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．
P
B C
A
图1
潍坊市九年级第一学期期末练习
数 学 答 案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
11．45；
12．1
y x =-（答案不唯一）；
13．9.6；
14．（2-，0）； 15．1；
16．90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解：原式=221
12-⨯-+ -------------------------------------------4分
． -------------------------------------------------5分 18．证明：∵ED ⊥AB ，
∴∠EDB =90°． -------------------------------------------1分 ∵∠C =90°， -----------------------------------------------2分
∴∠EDB =∠C ． ------------------------------------------3分 ∵∠B =∠B ， ---------------------------------------------4分 ∴ABC △∽EBD △． ----------------------------------5分
19．解：∵二次函数2y x bx c =++的图象经过（0，1）和（1，2-）两点，
∴121c b c =⎧⎨-=++⎩
，． --------------------------------------------------2分
解得41b c =-⎧⎨=⎩，
．
-------------------------------------------------------4分
∴二次函数的表达式为241y x x =-+． --------------------------------------5分 20．（1）解：设反比例函数的表达式为()0I U
U R
=≠， 由图象可知函数()0I U
U R
=
≠的图象经过点（9，4）
， E
C
A D B
∴49
U =
． ----------------------------------------------------------1分
∴36U =． -----------------------------------------------------------2分
∴反比例函数的表达式为36
I R
=
（0R >）． ------------------------3分 （2） 3.6R ≥．（答 3.6R >得1分，其它错误不得分） -------------------------5分 21．解：（1）()10S x x =-， -----------------------------------------------------2分
其中010x <<； ---------------------------------3分
（2）()10S x x =-=()2
525x --+． -------------------------------------------------------4分
∴当5x =时，S 有最大值25． ---------------------------5分
22．解：∵90ADB ADC ∠=∠=°，30BAD ∠=°，60CAD ∠=°，AD =100， -------------------2分
∴在Rt ABD △
中，tan 3
BD AD BAD =⋅∠=
， --------------3分 在Rt ACD △
中，tan CD AD CAD =⋅∠=. --------------4分
∴3
BC BD CD =+=
． ------------------------------------------5分 23．（1）1． ----------------------------------------------2分
（2）解法一：
B P C
A D
----------------------------------3分
∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=°．
∵AP =AD =6，AB =3，
∴在Rt ABP △
中，BP ==． ---------------------4分
∴tan BAP BP
AB
∠==． ----------------------------------5分 解法二：
B P C
A D
---------------------------------------------------3分
∵矩形ABCD ， ∴90B C ∠=∠=°．
∵PD =AD =BC =6，AB =CD =3，
∴在Rt CPD △
中，CP = -----------------------4分
∴6BP BC CP =-=-
∴在Rt ABP △
中，tan 2BAP BP
AB
∠=
= ------------------5分 24．（1）∵直线4y ax =-与双曲线y k
x
=
只有一个公共点A （1，2-）， ∴2421
a k
-=--=⎧⎪
⎨⎪⎩，． -------------------------------------------1分 ∴22a k ==-⎧⎨⎩，．
（2）4b <-或4b >．（答对一个取值范围得1分） ----------------------------5分 25．（1）证明：∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，
∴BC BD =．
∴11
2
CAD ∠=∠．
∵AM 是∠DAF 的角平分线，
∴21
2
DAF ∠=∠．
∵180CAD DAF ∠+∠=°， ∴1290OAM ∠=∠+∠=°． ∴OA ⊥AM ．
∴AM 是⊙O 的切线．-------------------------------------------------2分
（2）思路：①由AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，可得BC BD =，AC AD =，
1132
CAD AC AD ∠=∠=
∠=，；
②由60D ∠=°，=2AD ，可得ACD △为
2
1M
N
F
A
C D E
B
O
----------------------------------------------------2分 --------------------------------------------------------------------------------------------------3
分 5
4
32
1M
N
F
A
O
边长为2的等边三角形，1330∠=∠=°；
③由OA OC =，可得3430∠=∠=°； ④由3120CAN OAN ∠=∠+∠=°，可得
5430∠=∠=°，2AN AC ==；
⑤由OAN △为含有30°的直角三角形，可求ON 的长．
（本题方法不唯一） ------------------------------------------------5分
26．（1）①增大； ------------------------------------------------------------------------1分 ②（1，1），（2，2）； -------------------------------------------------------3分
（2）①
--------------------------------------------------------------------------------4
分
（2）该函数的性质：
①y 随的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限； ③函数的图象与轴y 轴各有一个交点． ……
（写出一条即可） --------------------------------------------------------5分
27．（1）∵()()2
244323y m x x m x =-++=-+，
∴抛物线的顶点A 的坐标为（2，3）． --------------------------------2分 （2）O '（2，0）， --------------------------------------------------------3分
A '（4，3）
． -----------------------------------------------------------------4分 （3）依题意，0m <． --------------------------------------5分
将（0，0）代入2
443y mx mx m =-++中，
得3
4
m =-. --------------------------------------------6分
∴3
04
m -<<． --------------------------------------7分
28．（1）150， -----------------------------------------------------1分
222PA PC PB +=． ----------------------------------3分
（2）如图，作120PAP '∠=°，使AP AP '=，连接PP '，CP '．过点A 作AD ⊥PP '于D 点． ∵120BAC PAP '∠=∠=°， 即BAP PAC PAC CAP '∠+∠=∠+∠， ∴BAP CAP '∠=∠． ∵AB =AC ，AP AP '=，
∴BAP CAP '△≌△. --------------------------------4分 ∴P C PB '=，180302
APD AP D PAP '∠=∠='
-∠=°．
∵AD ⊥PP '， ∴90ADP ∠=°.
∴在Rt APD △中，cos PD AP APD AP =⋅∠=. ∴2PP PD '==． ∵60PAC PCA ∠+∠=°，
∴180120APC PAC PCA ∠=∠-∠=-°. ∴90P PC APC APD '∠=∠-∠=°． ∴在Rt P PC '△中，222P P PC P C ''+=.
∴2223PA PC PB +=． -------------------------------------------------------6分 （3）22
224sin 2
PA PC PB α
+=． ----------------------------------------------7分
29．（1）F ，G ．（每对1个得1分） ------------------------------------------------2分 （2）①如图1，过点M 作MH ⊥轴于H 点． ∵M 点的横坐标为3，
D
P'P
B C
A
∴3
y =
=
∴3M （.
∴OM =OM 的表达式为3
y x =． ∵MH ⊥轴，
∴在Rt △MHN 中，90MHN ∠=°，222NH MH MN +=．
设NM =NO =m ，则3NH OH ON m =-=-.
∴()2
2
23m m -+
=.
∴ON =MN =m =2． --------------------------------------------3分 如图2， 1PON △∽NOM △，过点1P 作1
PQ ⊥轴于Q 点， ∴11
PO P N =，1
12
OQ ON ==． ∵1P 的横坐标为1，
∴1y =
=.
∴11P ⎛ ⎝⎭
． ------------------------------------------------4分
如图3，2P NM NOM △∽△， ∴
2P N MN
ON MO
=
.
∴23
P N =
．
∵2P ，
x =. ∴2x =.
∴22P ⎛ ⎝⎭
． ------------------------------------------------------5分
综上所述，13P ⎛ ⎝⎭，或23⎛
⎝
⎭，．
②4．---------------------------------------------------------------------------------6分
（每标对两个点得1分）--------------------------------------------------------8分。