福建省永春县第一中学高二下学期期末考试数学(文)试卷有答案

永春一中高二年（文）期末考数学科试卷（2018.07）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若命题p ：32,1x x x ∃∈>-R ，则p ⌝为( )A ．32,1x x x ∀∈<-RB ．32,1x x x ∀∈-R ≤C ．32,1x x x ∃∈<-RD ．32,1x x x ∃∈-R ≤2．已知集合{|13}A x x =-<<，2{|280}B x x x =+->，则=B A ( )A ．∅B ．(1,2)-C ．(2,3)D ．(2,4) 3．若复数z 满足()3+4i 1i z =-(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z = ( )A ． 17i 55-- B ．17i 55-+C ．17i 2525-- D ．17i 2525-+4．为了得到函数121x y +=-的图象，只需把函数2x y =的图象上的所有的点( )A ．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 5．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续的曲线，若()f x 在区间(,)a b 上是增函数， 则( )A ．()f x 在(,)a b 上一定有零点B ．()f x 在(,)a b 上一定没有零点C ．()f x 在(,)a b 上至少有一个零点D ．()f x 在(,)a b 上至多有一个零点7．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，恒有(2)()f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()e 1x f x =-，则(2017)(2018)f f -+=( )A ．0B ．eC ．e 1-D ．1e - 8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的 图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)9．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q ，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )10．函数||e ()3xf x x=的部分图象大致为( )11．函数()()22log f x x x =-的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．设对函数f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)图像上任意一点处的切线为l 1，若总存在函数g (x )＝ax ＋2cos x 图像上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．(－1，2)C ．[－2，1]D ．(－2，1) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知幂函数()f x k x α=⋅的图像经过12,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，则k α+的值 ． 14．计算：26666(1log 3)log 2log 18log 4-+⋅＝ ．15．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________．16．若不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m 对任意x ∈R,a ∈(0,+∞)恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考 题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题（共60分） 17．（12分）B11 O xy -1 11O Dxy 1 1O Axy -1 11 O Cxy -1在△ABC 中，27AB =，6C π=，点D 在AC边上，且π3ADB ∠=． （1）若4BD =，求tan ABC ∠； （2）若3AD BC =，求△ABC 的周长． 18．（12分） 已知函数()3239f x x x x a =--+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为8，求它在该区间上的最小值．19．（12分）设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 且斜率为的直线l 与C 交于A ，B 两点，8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．（12分）近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1图2（1）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16]”为事件A ，试估计A 的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中x (单位：年)表示二手车的使用时间，y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格． 由散点图看出，可采用ea bxy +=作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表（表中ln i i Y y =，101110i i Y Y ==∑）：①根据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni i i nii u v nu vv u unu βαβ==-==--∑∑； ②参考数据： 2.951.750.550.65 1.85e 19.1,e 5.75,e 1.73,e 0.52,e 0.16--≈≈≈≈≈．21．（12分）已知函数21()xax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,－1)处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．选考题：共10分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13,1x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设l 与C 交于,P Q 两点，求POQ ∠．xyY101i ii x y =∑ 101i ii x Y =∑1021ii x=∑5.58.71.9301.4 79.75 38523．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数2()23f x x a x a =-+-+，2()4g x x ax =++，a ∈R ． （1）当1a =时，解关于x 的不等式()f x ≤4；（2）若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得不等式12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．永春一中高二年（文）期末考数学参考答案和评分细则评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDACDDDBCCA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．3214． 1 15．－7 16．(-∞,12)三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解法一：如图，已知π3ADB ∠=，π6C ∠=， 所以π6DBC ∠=，则BD CD =.………………1分 在△BCD 中，根据余弦定理，2222cos120BC BD CD BD CD =+-⋅， 所以3BC CD =. .......................................................... 2分（1）在△ADB 中，27AB =，4BD =，π3ADB ∠=， 由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 所以228164AD AD =+-，解得6AD =，所以10AC =， 在△ABC 中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠， 所以10271sin 2ABC=∠，57sin ABC ∠=， ................................... 4分由10AC =，43BC =，27AB =，在△ADB 中，由AD AB >，得60 ABD ADB∠>∠=︒，故πππ362ABC ABD DBC∠=∠+∠>+=，............. 5分所以cos14ABC∠==-，所以sintancos3ABCABCABC∠∠==-∠........................................ 7分（2）设CD x=，则BC=，从而3AD x==，故4AC AD DC x=+=．................................................... 9分在△ABC中，由余弦定理得2222cos30AB BC AC BC AC=+-⋅，因为AB=，所以)()2228442x x=+-⋅⋅，解得2x=．...... 11分所以6AD=．故△ABC周长为8+............................... 12分解法二：如图，已知π3ADB∠=，π6C∠=，所以π6DBC∠=，则BD CD=. ……1分在△BCD中，根据余弦定理，2222cos120BC BD CD BD CD=+-⋅，所以BC=........................................................... 2分（1）在△ADB中，AB=4BD=，π3ADB∠=，由余弦定理2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅∠，所以228164AD AD=+-，解得6AD=，.................................... 3分由余弦定理222cos2AB BD ADABDAB AD+-∠==⋅，又因为(0,π)ABD∠∈，所以sin14ABD∠=所以tan ABD∠= .................................................... 5分所以tanπtan tan6ABDABC ABD∠⎛⎫∠=∠+==⎪⎝⎭........... 7分（2）同解法一． .......................................................... 12分18．解析：(1)由题知： ()()()2369331f x x x x x =--=-⋅+' ................. 2分令()0f x '〉，则x<-1或x>3; 令()0f x '〈，则-1<x<3 ............................... 4分 所以减区间为（-1，3），增区间()()--13∞+∞，，，. ............................... 6分 (2)由(1)知f(x)在[]-2-1，上为增函数，在[]-12，上为减函数.所以()()max 11398f x f a =-=--++=,解得a=3 , .......................... 9分 则()21f -=, ()219f =-, ................................................ 11分 所以f(x)在[]-22，上的最小值为-19. ......................................... 12分19．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． ................. 1分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． ................................. 3分 △=216160k +>，故212224k x x k ++=． ...................................... 5分所以212224(1)(1)2k AB AF BF x x k+=+=+++=+． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． ............................... 6分 因此l 的方程为y =x –1． .................................................... 7分（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．............................................. 8分设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2.x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ ....................... 10分 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． ......... 12分 20．解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(]8,12的频率为0.0740.28⨯=，在(]12,16的频率为0.0340.12⨯= ........................... 3分所以()0.280.120.40P A =+=． ........................................... 4分 （2）①由a bxy e+=得ln y a bx =+，即Y 关于x 的线性回归方程为Y a bx =+． ... 5分因为1011022211079.7510 5.5 1.90.338510 5.510i i i ii x Y x Yb xx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑，()1.90.3 5.5 3.55a Y b x =-⋅=--⨯=所以Y 关于x 的线性回归方程为 3.550.3Y x =-， ............................. 7分 即y 关于x 的回归方程为 3.550.3e x y -= ........................................ 8分 ②根据①中的回归方程 3.550.3exy -=和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在(]04，的平均成交价格为 3.550.32 2.95e e 19.1-⨯=≈，对应的频率为0.2； 使用时间在(]48，的平均成交价格为 3.550.36 1.75e e 5.75-⨯=≈，对应的频率为0.36； 使用时间在(]812，的平均成交价格为 3.550.3100.55e e 1.73-⨯=≈，对应的频率为0.28； 使用时间在(]1216，的平均成交价格为 3.550.3140.65e e 0.52-⨯-=≈，对应的频率为0.12； 使用时间在(]1620，的平均成交价格为 3.550.318 1.85e e 0.16-⨯-=≈，对应的频率为0.04 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为()()0.219.10.36 5.754%0.28 1.730.120.520.040.1610%⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯0.290920.29=≈万元 .......................................... 12分21．解：（1）2(21)2()x ax a x f x e -+-+'=， ................................... 2分(0)2f '=． ............................................................... 3分因此曲线()y f x =在点(0,-1)处的切线方程是210x y --=． .................... 4分 （2）当1a ≥时，21()(1)x x f x e x x ee +-+≥+-+． ............................. 6分.......................................................................... 3分 令21()1x g x x x e+=+-+，则1()21x g x x e+'=++． ............................. 8分∵()g x '在R 上单调递增，且(1)0g '-=∴当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增；10分所以()(1)0g x g ≥-=． .................................................... 11分 故()0f x e +≥． .......................................................... 12分22．解法一：（1）由13,1,x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得l 的普通方程为313x y +=+，1分又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 所以l 的极坐标方程为()cos 3sin 13ρθθ+=+． ....... 3分由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=， .............................. 4分 所以C 的直角坐标方程为2220x y x +-=． .................................... 5分 （2）设,P Q 的极坐标分别为()()1122,,,ρθρθ，则12POQ θθ∠=-............... 6分 由()cos 3sin 13,2cos ,ρθθρθ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得()2cos cos 3sin 13θθθ+=+， ..... 7分 化为cos 23sin 23θθ+=，即π3sin 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， .......................... 8分 因为π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，即ππ7π2+666θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ263θ+=，或π2π263θ+=， ....... 9分 即12π,12π,4θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12π,4π,12θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12π=6POQ θθ∠=-． .......................... 10分解法2： （1）同解法一 .................................................... 5分 （2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ... 6分将l 的参数方程化为标准形式31,112x t y t ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩(其中t '为参数)，代入C 的直角坐标方程为2220x y x +-=得，2231311210222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''-++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得，20t t ''+=，解得0t '=或1t '=-． ................................... 8分设,P Q 对应的参数分别为12,t t '' ，则121PQ t t ''=-=．所以60PCQ ∠=︒， ...... 9分又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQ POQ ∠∠==︒ .......................... 10分 解法3： （1）同解法一 .................................................... 5分 （2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ... 6分 又由①得l 的普通方程为()3130x y +-+=， ............................... 7分 则点C 到直线l 的距离为32d =， ........................................... 8分 所以2211PQ d =-=，所以PCQ △是等边三角形，所以60PCQ ∠=︒， ........ 9分又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQ POQ ∠∠==︒ .......................... 10分 23．解：（1）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2 ,1,2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥2分当1x <-时，由()f x ≤4得，2x -≤4，解得21x -<-≤；当11x -<≤时，()f x ≤4恒成立； 当1x ≥时，由()f x ≤4得，2x ≤4，解得12x ≤≤． ........................... 4分 所以()f x ≤4的解集为{}22x x -≤≤． ...................................... 5分（2）因为对任意1R x ∈，都存在2R x ∈，使得不等式()()12f x g x >成立，所以()()min min f x g x >． ................................................... 6分因为()2223120a a a -+=-+>，所以223a a >-，且()()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥，…① 当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2min 23f x a a =-+． .................. 7分 又因为2222444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-- ⎪⎝⎭≥，…② 当2a x =-时，②式等号成立，即()2min 44a g x =-． ............................ 8分 所以222344a a a -+>-，整理得，25840a a -->， .......................... 9分解得25a<-或2a>，即a的取值范围为()2,2,5⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭．................. 10分。