数学：12.3《运用公式法》课件(鲁教版七年级下)
12.4.1 用公式法进行因式分解(课件)-2019-2020学年七年级数学下册同步精品课堂(青岛版)(共20张PPT)
a2 b2 ＝ (a b)(a b) a2 2ab b2 ＝ (a b)2 a2 2ab b2 ＝ (a b)2
2 课堂活动-巩固概念
a2 b2 ＝ (a b)(a b) a2 2ab b2 ＝ (a b)2 a2 2ab b2 ＝ (a b)2
另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负
4 当堂检测
1.因式分解：
（1）16x2+24x+9； 解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2； 2.计算下列各题：
（2）-x2+4xy-4y2.
(2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2.
把它们作为公式，就可以把具备平方差或完全平方式 形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫 做公式法.
2 课堂活动-知识讲解1
说出下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？
① x2 y2 ;② 16 b2 ; ③ x2 y2 ; ④ x2 y2 .
①②可用平方差公式进行因式分解， 能否运用平方差公式进行因式分解， 关键在于__能__写__成__某__两__式__平__方__差__的_形__式__.
(2)9m2 6mn n2 (3)x2 x 1 4
解
(1)25x2 20x 4
(2)9m2 6mn n2
5x2 2 5x 2 22 3m2 23m n n2
5x 22
3m n2
(3)x2 x 1 4
x2
2
x
1
1
2
2 2
鲁教版七年级下册数学课件8.3用公式法解一元二次方程(2)
3.x1
1; x2
3. 2
2，若两个连续的奇数的积是323，求这两个数
独立
作业
知识的升华
2. 用公式法解下列方程. 参考答案:
(1). 2x2-4x－1＝0； (2). 5x+2＝3x2 ；
1.x1
2 2
6
2.x1 2; x2
; x2
1 3
2
.
2
6
.
(3). (x-2)(3x-5) =1;
3.x1
11 6
13
;
x2
11 6
13
.
小结 拓展
回味无穷
v 用公式法解一元二次方程的一般步骤: v 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
课后 作业
1、必做：课本：P65习题8.7第1.2题 2、选做：《配套练习册》
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
023 23,即：x1= x2= 3
想一想 在例2中，两个方程的解有什么不同？
我最棒
,用公式法解下列方程
1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ; 4). 4x2+4x+10 =1-8x ；
1.x1 2; x2 4.
2.x1 2 6; x2 2 6.
3.x1
2;
x2
6 5
.
4.x1
x2
3 2
.
我最棒
,解题大师——规范正确!
公式法ppt课件
05
公式法的优缺点分析
优点分析
简洁明了
公式法通过简洁的公式和图表， 能够直观地展示复杂的概念和数
据，使观众更容易理解。
易于比较
公式法可以清晰地展示不同数据之 间的比例和差异，方便观众进行比 较。
易于记忆
公式法通常采用简洁的形式，方便 观众记忆，同时也有助于提高信息 传递效率。
缺点分析
过于抽象
公式法可能过于抽象，对于没有相关背景知识的 观众来说可能难以理解。
在公式法PPT中增加相 关的背景信息，帮助观 众更好地理解内容。
结合其他表现形式
除了公式和图表外，还 可以结合文字、图片、 动画等多种表现形式， 提高PPT的表现力和吸 引力。
06
公式法的未来发展与展望
公式法的发展趋势
1 2
公式法将不断优化
随着科学技术的进步，公式法将不断得到优化， 提高精度和效率，以满足更广泛的应用需求。
适用范围有限
公式法主要适用于可以量化的数据和概念，对于 一些难以量化的内容可能不太适用。
制作难度大
制作公式法的PPT需要较高的技术水平，如公式编 辑和图表设计等，需要花费较多时间和精力。
如何扬长避短
针对不同受众
针对不同受众，可以采 用不同的公式法PPT设 计，以更好地满足他们 的需求。
增加背景信息
公式法将与其他方法相互借鉴
公式法将与其他数值计算方法相互借鉴，取长补 短，形成更加完善和高效的计算方法。
3
公式法将促进学科交叉融合
公式法作为一种通用的数值计算方法，将促进不 同学科之间的交叉融合，推动多学科协同发展。
公式法与其他方法的融合
公式法与有限元法融合
通过将公式法的简洁性和有限元法的适应性相结合，可以形成一 种更加高效和灵活的计算方法。
鲁教版七年级下册数学课件8.3用公式法解一元二次方程(3)
当方程有两个不相等的实数根时， 0；
当方程有两个相等的实数根， 0 ；
当方程没有实数根， 0 .
记住了， 别忘了!
例3 不解方程，判别下列方程的 根的情况：
(1) 2x2 3x 4 0
(2)4 y2 9 12 y
(3)5(t2 1) 6t 0
➢ 课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况
B.x2-2x+3=0 D.x2+4=0
(C )
不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x2 4x 35 0
（2） 4mm 1 1 0
（3） 0.2x2 5 3 x 2
（4） 1 x2 2 3x 2
方程首先 要整理成 一般式！
拓展提高
1.试说明：不论x取何值，关于x的方程
( x 1)( x 2 ) m2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
∵a≠0 ∴4a2>0
∵a≠0 ∴4a2>0
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
当 b2 4ac 0 时， 方程有两个相互逆定理
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
记住了， 别搞错!
即一元二次方程：ax2 bx c 0a 0
当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 0 时，方程没有实数根.
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
初中七年级数学下册《公式法》ppt课件
x p x q x p - x q
(2x p q)( p - q)
例2 下列各式能否运用平方差公式分解因式？
(1)4x2 9 y2
(2)81x4 y4
(3) 16x2 y2
(4) x2 y2
5 a2 2ab b2
归纳：可运用平方差公式进行因式分解的多项式特征是：
例4 在如图所示的圆环中，外圆半径R＝ 9.5cm，内圆半径r＝8.5cm，求圆环（阴影 部分）的面积.
解：S圆环=πR2－πr2 =π(R2－r2)
=πR+r) (R－r)
=π(9.5+8.5)(9.5-8.5) =18π(cm2) 所以圆环的面积是18πcm2.
r R
巩固练习
• 1.课本第168页练习1、2
• 习题15.4第2、4、7、11题
（4）9mn2n2n392mm2n 3m 3m n3m n
（5） x 5 x 3
（5）x3x(x5 2x13) x3(x 1)(x 1)
(6) 5a 3b 20ab 3
(6)55aa3bb(a220bab2 )3 5ab(a b)(a b)
2、试说明：若 a 是整数，则 2a 12 1能被 8 整除
什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？
（2）如果从右往左看，即x(x+1) = x2-x，是一种什 么变形？
所以因式分解与整式乘法是两种互为相反的变形.
2.因式分解
（1） am an ap __a_(_m___n___p__) ___ ； （2） 8a3b2 12ab3c 4ab2c _4_a_b_2_(_2_a_2___3_b_c__c_)_ ； （3） 3x3 15x2 9x __3_x_(_x_2___5_x___3_) _
青岛版数学七年级下册《一元二次方程的解法(4)公式法》课件
“4”代
“5”解
⑤当b2－4ac≥ 0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，
若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
一元二次方程 + + = ≠ ，根的情况由代数式 − 的值来决定。
因此 − 叫做一元二次方程的根的判别式，
用希腊字母“∆”表示，即 ∆= −
见负必括
27
（1）2x2-3x+1=0
（2）3x2-9x+ =0
解：a=2,b=-3,c=1
b2-4ac=(-3)2-4×
见负必括
4
2×1=1>0
2x2- 3x+1=0
a= 2,b=- 3,c=1
27
4
. b2-4ac=(-9)2-4× 3 ×
方程有两个不相等的实数根
（3） 2x2= 3x-1
a=3,b=-9,c=
满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
X2=
X1=
1、从两根的代数式结构上有什么特点？
2、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？
x1+x2= -
-
= 0 (a ≠ 0),
.
.
b=0
7、若关于x的方程x2 -2nx +3n +4=0有两个相等的实数根，求n.
解：∆=
.
(-2n)2-4× 1 × (3 + 4) = 0
“3”求
b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1
.
x=
−（−）±
.
b2-4ac=42-4×4×1=0，
“4”代
−±
x=
×
鲁教版五四制初中七年级数学下册基本事实与定理_课件1
通过长期实践总结出来，并且被人们公
认的真命题叫做公理。 除了公理之外，其他真命题的正确性都 通过推理的方法证实。 经过证明的真命题叫做定理。
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。 简单地说：同位角相等，两直线平行。
2.证明：等角的余角相等。
谢
谢
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
（已知），
（等式的性质）。
证明一个命题的正确性，要按“已知”“求
证”“证明”的顺序和格式写出，其中“已知”
是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证
明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定
义，基本事实，已经证明的定理，经过一步一步 的推理，最后证实结论（求证）的过程。
1.你认为基本事实和定理有哪些相同点 和不同点？
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 8.三边分别相等的两个三角形全等。
此外，等式的有关性质和不等式的有关性 质都可以作为推理的依据。 例如，“在等式或不等式中，一个量可以 用它的等量来代替”，简称为“等量代换”。
证明：等角的补角相等。
已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°， ∠2+∠4=180°。 求证：∠3=∠4
这样，我们 便可以把上面这 个经过证实的命 题称作定理了， 已经证明的定理 证明：∵∠1+∠3=180°， 可以作为以后推 ∠2+∠4=180°（已知）， 理的依据。
∴∠3=180°-∠1，
∠4=180°-∠2 （等式的性质）
数学运用公式法鲁教版七年级下市公开课一等奖省优质课获奖课件
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回顾 & 思索☞
一、提公因式法 关键：确定公因式
步骤：一看系数 二看字母 三看指数 最大条约数 相同字母最低次幂第Βιβλιοθήκη 页回顾 & 思索☞
二、公式法
1、平方差公式 a2−b2= (a+b)(a−b)
特 ①左边 两个数平方差；只有两项
点 ②右边 两数和与差相积
相同项 相反项
形象地表示为
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
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因式分解普通步骤：
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取 公因式。 ② 对于二次二项式，考虑套用平方差公式分解。 ③ 对于二次三项式，考虑套用完全平方公式分解。
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练习一：把以下各式分解因式 1). 3m2-27 2). 1-a4 练习二：把以下各式分解因式 1). 9-12x+4x2 2). -x2+4x-4 3). y3+4xy2+4x2y
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回顾 & 思索☞
一、公式法
2、完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
有三项
①左边
两个数平方和
特 （完全平方式）
点
这两个数积两倍
②右边 两数和与差平方
可形象表示为
首2 2 首 尾 尾2 首 尾2
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将以下各式因式分解 (1)x(x+6)+9 (2)y(y+4)－4(y+1) (3)(x2+1)2－4x2
2019-2020年七年级数学下册 12.3《运用公式法》教案 鲁教版
2019-2020年七年级数学下册 12.3《运用公式法》教案鲁教版●教学目标（一）教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.●教学方法引导自学法●教具准备投影片两张第一张（记作§12.3 A）第二张（记作§12.3 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新课讲解［师］ 1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2（1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2=（a+b）（a－b）（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2=（3 m +2n）（3 m－2n）3.例题讲解［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x2;（2）9a2－b2.解：（1）25－16x2=52－（4x）2=（5+4x）（5－4x）;（2）9a2－b2=（3a）2－（b）2=（3a+b）（3a－b）.［例2］把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2=［3（m +n）］2－（m－n）2=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4m+2n）（2m+4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题投影片（§12.3 A）本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.判断正误解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（×）（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）2.把下列各式分解因式解：（1）a2b2－m2=（ab）2－m2=（ab+ m）（ab－m）;（2）（m－a）2－（n+b）2=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;（3）x2－（a+b－c）2=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;（4）－16x4+81y4=（9y2）2－（4x2）2=（9y2+4x2）（9y2－4x2）=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）3.解：S剩余=a2－4b2.当a=3.6,b=0.8时，S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）答：剩余部分的面积为10.4 cm2.（二）补充练习投影片（§12.3 B）我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.Ⅴ.课后作业习题12.31.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;（2）36－x2=（6+x）（6－x）;（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;（4）m2－9n2=（m +3n）（m－3n）;（5）0.25q2－121p2=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;（7）9a2p2－b2q2=（3ap+bq）（3ap－bq）;（8）a2－x2y2=（a+xy）（a－xy）;2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;（2）49（a－b）2－16（a+b）2=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）=（11a－3b）（3a－11b）;（3）（2x+y）2－（x+2y）2=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］=（3x+3y）（x－y）=3（x+y）（x－y）;（4）（x2+y2）－x2y2=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）=3a（x+y2）（x－y2）（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）=（p2+1）（p+1）（p－1）.3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）=π（R+r）（R－r）当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.Ⅵ.活动与探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］=（b+c）［a2+bc+ab+ac］=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］=（b+c）（a+b）（a+c）●板书设计参考练习把下列各式分解因式：（1）49x2－121y2;（2）－25a2+16b2;（3）144a2b2－0.81c2;（4）－36x2+y2;（5）（a－b）2－1;（6）9x2－（2y+z）2;（7）（2m－n）2－（m－2n）2;（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.解：（1）49x2－121y2=（7x+11y）（7x－11y）;（2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2=（4b+5a）（4b－5a）;（3）144a2b2－0.81c2=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）;（4）－36x2+y2=（y）2－（6x）2=（y+6x）（y－6x）;（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）;（6）9x2－（2y+z）2=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］=（3x+2y+z）（3x－2y－z）;（7）（2m－n）2－（m－2n）2=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］=（3 m－3n）（m +n）=3（m－n）（m +n）（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）=（17a－18b）（11a－24b）-----如有帮助请下载使用，万分感谢。
湘教版初中七年级数学下册公式法_课件1
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三 个 法 五 幅 文 人 画 有 5 个 特 和 屈 辱 感 他 前 往 瑞 典 发 送 的 发 送 到 法 国 俄 国 个 儿 而 后 七 日 后 教 屠 夫 汉 文 条 件 虽 然 公 司 的 营 业 日 的 分 公 司 问 题 与 入 口 化 工 集 团 具 体 如 何 退 还 退 伙 公 司 股 份 的 七 月 五 日 合 同
解（1） x2 +5x+25
42
= =
x2 +2· x·
x
+
5 2
2；
5 2
+
5 2
（2） 16y2-24y+9； = (4y)2 -2 ·4y ·3 + 32； = (4y-3)2 ；
（3）
x
2
+
2 3
x
+
1 9
；
2
=
x2 +2·
x·
1 3
+
3.计算：
（1）49.62-50.42；
解 =(50-0.4)2-(50+0.4)2 =[(50-0.4)+(50+0.4)][(50-0.4)-(50+0.4)]
=100×(-0.8)
=-80 （2）13.32-11.72
解 =(13.3+11.7) (13.3-11.7)
=25×1.6
=40
4. 手表表盘的外圆直径D=3.2cm，内圆直径d=2.8cm， 在外圆与内圆之间涂有防水材料。试求涂上防水材料 的圆环的面积(结果保留π)。怎样计算较简便？
七年级数学下册 12.3《运用公式法》同步练习 鲁教版
12.3运用公式法1.(1)观察多项式x 2－25.9x －y 2,它们有什么共同特证？(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
2.把乘法方式(a+b )2=a 2+2ab+b 2, (a －b )2=a 2－2ab+b 2,反过来，就得到 a 2+2ab+b 2=(a+b )2， a 2－2ab+b 2=(a －b )2上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。
3.把下列各式分解因式：(1)25－16x 2； (2)22419b a - (3)9(m+n )2－(m －n )2; (4)2x 3－8x;(5)x 2+14x+49; (6)(m+m )2－6(m+n )+9(7)3ax 2+6axy+3ay 2; (8)－x 2－4y 2+4xy4.把下列各式分解因式：(1)225116m -； (2)(a+b)2－1； (3)－(x+2)2+16(x －1)2； (4)xy xy 09.0413+-5.把下列各式分解因式：(1)m 2－12m+36； (2)8a －4a 2－4； (3)222221y xy x ++； (4)4322329n mn n m ++。
6.求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。
7.已知a,b,c 是△ABC 的三条边，且满足a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca=0试判断△ABC 的形状。
8.设x+2z=3y,试判断x 2－9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值？参考答案1．(1)多项式的各项都能写成平方的形式。
如x 2－25中：x 2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x －y 2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b )(a －b )=a 2－b 2,可知x 2－25= x 2－52=(x+5)(x －5),9x 2－y 2=(3x )2－y 2=(3x+y )(3x －y ).2． a 2±2ab+b 2=(a ±b )2是分解因式。
七年级数学运用公式法分解因式山东教育版
七年级数学运用公式法分解因式某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：运用公式法分解因式二. 学习重难点：运用公式法分解因式既是重点也是难点，而因式分解的应用是难点三. 知识要点讲解： 【知识回顾】同学们，你还记得平方差公式和完全平方公式吗？ ①、平方差公式： （a+b ）·（a －b ）= a 2－b 2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． ②、完全平方公式；两数和（与差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们的积的2倍()222b ab 2a b a +±=±说明：22b ab 2a +±叫做完全平方式 运用公式进行计算：例1、利用平方差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ）（2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ）例2、计算：（1）（2x －3）2 （2）（4x+5y ）2 （3）（y x 21-）2注：将上述计算过程反过来既是因式分解，所以运用乘法公式也可以进行因式分解【新课讲解】运用公式法进行多项式的因式分解平方差公式：a2－b2=（a+b）·（a－b）②、完全平方公式2b22（+=+±a）abab2注：运用公式法分解因式的关键是正确地找出a、b的值，然后代入公式即可如：①x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.a2－b2=（a+b）·（a－b）其中：a=x，b=4②、9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m－2n）a2－b2=（a+b）·（a－b）【典型例题】应用1、运用平方差公式分解因式例1、把下列各式分解因式：（1）25－16x 2 （2）9a 2－41b 2 （3）9（m +n ）2－（m －n ）2（4）2x 3－8x . 解：注意：分解因式是首先判断有没有公因式，如有公因式，应先提取公因式，然后再考虑运用公式法分解，另外，分解要彻底，也就是说，每个因式都不能再分解为止想一想：判断下列分解因式是否正确. （1）（a +b ）2－c 2=a 2+2ab +b 2－c 2.（2）a 4－1=（a 2）2－1=（a 2+1）·（a 2－1）. 答：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不彻底，因为a 2－1还能继续分解成（a +1）（a －1）. 正解：a 4－1 =（a 2+1）（a 2－1） =（a 2+1）（a +1）（a －1）. 练一练：解：（1）x 2 + y 2=（x +y ）（x －y ）; （×） （2）x 2－y 2=（x +y ）（x －y ）;（√） （3）－x 2+y 2=（－x +y ）（－x －y ）;（×） （4）－x 2－y 2=－（x +y ）（x －y ）.（×）2、把下列各式分解因式（1）a 2b 2－m 2 （2）（m －a ）2－（n +b ）2 （3）x 2－（a +b －c ）2（4）－16x 4+81y 4 解：应用2、运用完全平方公式分解因式例2、下列各式是不是完全平方式？若是，请分解因式？ （1）a 2－4a +4;（2）x 2+4x+4y 2; （3）4a 2+2ab+41b 2; （4）a 2－ab +b 2; （5）x 2－6x －9;（6）a 2+a+0.25.分析：判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.解：（1）是a 2－4a +4=（a －2）2（2）不是；因为4x 不是x 与2y 乘积的2倍；（3）是；4a 2+2ab +41b 2=（2a+21b ）2 （4）不是.ab 不是a 与b 乘积的2倍. （5）不是，x 2与－9的符号不统一. （6）是.220.5a 25.0a a ）（+=++例3、运用完全平方公式分解因式（1）x 2+14x +49 （2）（m +n ）2－6（m +n ）+92 2 22应用3、公式法分解因式的综合应用例4、已知x －y=1,xy=2,求32232xy y x y x +-的值.分析:这类问题一般不适合解方程组求得x 、y 的值再代入计算,比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行因式分解,使之出现xy 与x-y 的式子,再整体代入求值.解：∵x-y=1 , xy=2,∴.)()(2122222223223=⨯=-=+-=+-y x xy y xy x xy xy y x y x 说明：因式分解是恒等变形的重要手段.例5：已知n 是整数，证明1122-+)(n 能被8整除. 分析：要证明1122-+)(n 能被8整除,只要将此式分解因式,说明各因式的积能被8整除即可.证明：∵()[]()[]).()()(142121*********+⋅=⋅+=-+++=-+n n n n n n n因为n 是正整数,所以n 与n+1是两个连续的整数,而两个连续的整数之间必有一个偶数,即)(1+⋅n n 能被2整除,所以4)(1+⋅n n 能被8整除.故1122-+)(n 能被8整除.例6、请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ，【解析】这是一道开放性试题，考查了因式分解的基本技能．答案不惟一，如2249a b -(23)(23)a b a b =+-．21()x y -+[][]1()1()x y x y =++-+(1)(1)x y x y =++--其他可能2()1x y +-；22()4x y a +-；22()9x y b +-； 21()x y -+；224()a x y -+；229()b x y -+【评价】这类开放性问题对考查思维能力和创造能力和创新意识有积极作用，已成为各类考试热点．例7、把42242b b a a +-分解因式.错解：222222422422)()(b b a a b b a a +-=+- =()()[]).)(()()()(222222222222b ab a b ab a b a b a b a b a b a +-++=-+=-+=-误区分析:2)(b a +变成222b ab a ++,把2)(b a -变成222b ab a +-.造成这种错误的原因是混淆了因式分解与整式乘法的意义.正解：原式=()()[]222222)()()(b a b a b a b a b a -+=-+=-.【课堂小结】同学们，我们今天主要学习了运用公式法分解因式，这样我们就有两种分解因式的方法，提取公因式法和运用公式法，在分解因式时应注意，如果各项含有公因式，要先提取公因式，在运用公式法分解，二是分解因式要彻底，即每个因式都不能再分解为止【模拟试题】（答题时间：70分钟）一、填空题（每小题2分，共20分）1．用提取公因式法分解2263ab b a +-时，所提取的公因式是_______________． 2．22x y +-分解因式的结果是_______________．*3．22n mn 34m 94+-分解因式的结果是___________． 4．22)21(______-=+-x x x ．5．22)3(9______+=++x x ．*6．_))(________c 3b a ()c 3b (a 224++=+-． 7．225x y y x -分解因式的结果是_______________． 8．若25kx 9x 2++是完全平方式，则k=______．9．若645a =，1524b =，那么=--+22)b a ()b a (________． 10．______))(_____)(_a 4(a 1624+=-．二、选择题（每小题3分，共30分）1．把)3()3(2x x x -+-提取公因式)3(-x 后，另一个因式是（ ） A ．2-x B ．2x + C ．x -2 D ．x -2- 2．下列各式分解因式结果正确的是（ ） A ．)2(2x 23222335xy y x y x y x y x y -=+- B ．)43(28a -6abc 22abc abc b -= C ．)21(48x -4x y 22xy xy y -= D ．)7(7x 22x x y y xy y +=-+3．下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ） A ．22)4(168x -=+-x x B ．xy 63y 3x =+ C ．a)--(b b a -=+D ．1)12(51510x 2--=--x x x 4．将94x 2-分解因式的结果是（ ）A ．3)-3)(4x (4x +B ．23)(2x + C ．23)(2x - D ．3)-3)(2x (2x + *5．下列各式中能用平方差公式分解的是（ ）A ．22y x -- B ．22)n (m -+ C ．2281b 16a - D ．22)y x ((-x )-+-*6．下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ） A ．9a 2+ B ．41x x 2++ C ．4y x 2- D ．42x x 2++ 7．16x 4-，4x -4x 2+的相同因式是（ ）A ．4x 2+B ．4x 2- C ．2x + D ．2x - 8．下列因式分解正确的是（ ） A ．)3y 2x (x x 3x y 2x 2-=--B ．)12x x )(12x x (4x 1)(x 22222+-++=-+ C ．)x 3y )(x 3y (9y x 22-+=+- D ．z)-1)(3y -(x x)z -(1-1)y -3(x =**9．2216b )1a (9-+分解因式的结果为（ ）A ．3)-4b 3)(3a 4b (3a +++B ．3)4b 3)(3a 4b (3a ++++C ．3)-4b 3)(3a 4b (3a -++D ．3)4b 3)(3a 4b (3a +-++ 10．若22)31a (91ma a -=++，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．32- D ．32三、解答题（本大题共50分） 1．（本题8分）判断并改错：（1）)2)(2(2)2()4(4162222y x y x y x y x -+=-=-；（2）22)2(42+=++x x x ． 2．（本题16分）分解因式： （1）422b b 9a -；*（2）22)b a (25)2b a (4--+； *（3）222221y xy x +-； （4）a ab ab ++22． 3．（本题10分）计算：（1）2983404003202⨯--； （2）4984982⨯++． *4．（本题6分）已知32b a =+，求ab 94b 94a 9122++的值． 5．（本题10分）正方形甲的周长比正方形乙的周长长96cm ，它们的面积相差9602cm ，求这两个正方形的边长．四、探索题（每小题10，共20分）**1．已知多项式1bx ax 2++可分解成一个一次多项式平方的形式． （1）请写出一组满足条件的a 、b 的整数值； （2）猜想出a 、b 之间的关系，并表示出来．*2．计算：_______1322=-，_______3522=-，_______5722=-，_______7922=-．（1）根据以上的计算，你发现了什么规律？请用含有n 的式子表示；（2）用分解因式的知识说明你发现的规律．【试题答案】一、填空题1．ab 3- 2．))((y x y x -+3．2)n m 32(-4．415．6x 6．c 3b a 2--7．)1x )(1x )(1x (x y 22-++提示：225x y y x -==-)1(x y 42x =-+)1)(1(x y 222x x )1x )(1x )(1x (x y 22-++． 8．30±提示：25kx 9x 2++==±2)53(x 2530x 9x 2+±，30±=k ．9．21 提示：=--+22)b a ()b a (ab b a b a b a b a 4)]())][(()[(=--+-++ =2115246454=⨯⨯． 10．a 2+，a 2-二、选择题 1．C提示：)3()3(2x x x -+-=)2)(3()3()3(2x x x x x --=--- 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 提示：2)-2)(x 4)(x (x 4)-4)(x (x 16x 2224++=+=-，4x -4x 2+=222)-(x 44x -x =+．故它们的相同因式是2-x8．C 9．D 10．C提示：由22)31a (91ma a -=++，得9132a 91ma a 22+-=++a ，所以32-=m ．三、解答题1．解：（1）错，应为：)2)(2(4)4(44162222y x y x y x y x -+=-=-；（2）错，此题无法分解．2．解：（1）422b b 9a -=)3)(3()9(2222b a b a b b a b -+=-；（2）22)b a (25)2b a (4--+ =22)]b a ([5)]2b a ([2--+=)]b a (5)2b a ([2-++)]b a (5)2b a ([2--+ =]b 55a 4b [2a -++]b 55a 4b [2a +-+ =)3b a )(b 7a (3---；（3）222221y xy x +-=)44(2122y xy x +-=2)2(21y x -； （4）a ab ab ++22=)12(2++b b a =2)1(+b a ．3．解：（1）2983404003202⨯-- =2983402032022⨯-- =29834020)-20)(320(320⨯-+ =298340300340⨯-⨯ =298)300(340-⨯=680；（2）4984982⨯++=10000100)298(22982982222==+=+⨯⨯+．4．解：ab 94b 94a 9122++=222)2(91)44(91b a b ab a +=++．由32b a =+，得 1391)2(9122=⨯=+b a ． 5．解：设正方形甲的边长为xcm ，正方形乙的边长为ycm （x ＞y ），则⎩⎨⎧=-=-．，960964422y x y x 由①，得 24=-y x ．③由②，得 960))((22=-+=-y x y x y x ，即960)(24=+y x ，所以40=+y x ．④ 由③④解得32=x ，8=y ．答：正方形甲的边长为32cm ，正方形乙的边长为8cm ．四、探索题1．（1）如9a =，6b = （2）4a b 2=2．（1）根据81322=-，283522⨯=-，385722⨯=-，487922⨯=-，发现8n )12n ()12n (22=--+（n 为正整数）；（2）说明：左边===⨯=--+-++8n 24n )]12n ()12n ][(1)2n (12n [）（右① ②。
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回顾 & 思考 ☞ 一、提公因式法 关键：确定公因式 步骤：一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数
相同字母最低次幂
回顾 & 思考 ☞ 二、公式法 1、平方差公式 a2−b2= (a+b)(a−b) 特 点 ①左边 两个数的平方差；只有两项 ②右边 两数的和与差相积
相同项 相反项
形象地表示为
； / 整木定制
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“爸爸，爸爸，”小荷一只手提着书包，另一只手拿着衣服，无精打采地回来了。 “小荷，你怎么了？”妻子接过书包和衣服，急切地问。 “荷花她爹不让荷花去上学，荷花在家哭了。” “走，我们过去看看。”我二话没说，便向马天栓家走去。 高高的门楼，镶嵌着两扇黑漆漆的大门，上联是：门迎春夏秋冬福，下联是：户纳东西南北财。横批是：家和万事兴。 我推开门，走入过道，迎面便是斗大福字的影壁墙，这真是一个新式的农家四合院。来到正房，我轻轻地敲了敲门。 门开了，屋里传出了荷花的哭闹声，天栓和妻子把我们让进了客厅。荷花见了小荷，就不再闹了。 “小荷和荷花到院子去玩，我们大人有话要说。”我一边说一边在沙发上坐下，小荷领着荷花的手向外跑去。 “六弟，你这大忙人怎么有空到我家来玩？”马天栓又是沏茶又是递烟。 “天栓哥，荷花已经五岁了，也到了上学的年龄，我想让荷花和小荷一起去上学。”我来了个开门见山。 “六弟，我不是不让荷花去上学，只是„„”他漫不经心地打开烟盒，递给我一支，自己也点上一支，接着说：“只是我最近又盖了新房， 手头困得很。” 原来如此，又缺钱了„„我心里这么想着，看了看手中的烟。 俗话说得好，南有红塔山，北有八喜烟。你平时都抽八喜烟，还说没钱？再说，我们农村人，哪有抽八喜烟的？抽个两毛三的丰收牌香烟 就不错了。 马天栓倒上茶，对我的妻子说：“弟妹你也来一杯，这可是上等的龙井。” “大哥，我从来就不喝茶。”妻子推辞着。 “好吧，你们哥俩喝你们的，我和弟妹说我们的。”马大嫂是个爽快人，她拉着肖艳的手进了里间。 “六弟，今天就是你不来，我也准备晚上去你家。”他顺手从茶柜里拿出一条八喜烟和一箱包装精致的上等龙井茶。 “天栓哥，你这是„„” “六弟，不瞒你说，这两年，农村规划已基本结束，打墙盖屋的越来越少，干我这一行的越来越没活干了。现在你已是厂里的副厂长，又 兼任业务主管，我想跟你跑业务。” “天栓哥，你怎么这样想呢？这业务也不是那么好跑的，天南海北的，常年不在家，销不了货犯愁，销了货要不回钱来更犯愁。现在企业 面临着改制，许多国家大型企业破产，职工下岗。依我看，你还是跑你的运输吧。” “这么说，你是不愿意帮我了？” “天栓哥，你没干过企业，也许你不知道。现在的乡镇企业已是外债累累，一年到头，工人的工资都发不开，没有钱，老婆、孩子喝西北 风？我真想回家干点实际的东西养家糊口。” “苏林，我求你这么点小事，你却跟我诉起苦来„„你认为你是谁？你给我出去！”马天栓居然发怒了。 “天栓哥，我的确是为了你好，我劝你还是不要这山看着那山高，到了那山没柴烧。” “你哥俩这是怎么了？说翻脸就翻脸。”马大嫂走出房屋。
□－△＝(□＋△)(□－△)
2
2
回顾 & 思考 ☞ 一、公式法
2±2ab+b2=(a±b)2 a 2、完全平方公式 有三项 ①左边 两个数的平方和 特 （完全平方式） 这两个数的积的两倍 点 ②右边 两数的和与差的平方
首 2 首 尾 尾 首 尾
Байду номын сангаас2 2
可形象表示为
2
将下列各式因式分解
(1)x(x+6)+9
(2)y(y+4)－4(y+1)
(3)(x2+1)2－4x2
因式分解的一般步骤：
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取
公因式。
② 对于二次二项式，考虑套用平方差公式分解。 ③ 对于二次三项式，考虑套用完全平方公式分解。
练习一：把下列各式分解因式 1). 3m2-27 2). 1-a4 练习二：把下列各式分解因式 1). 9-12x+4x2 2). -x2+4x-4 3). y3+4xy2+4x2y