中考数学复习4图形与图形的变换

四．图形与图形的变换
【课标要求】
1．图形的初步认识
①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．
②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．
③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．
④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．
(1)试判断△MEF的形状，并证明你的结论；
(2)如图6-8-2，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C’、D’处，且使MD’经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论；
(3)当∠BFE＝_________度时，四边形MNFE是菱形．
【分析】图形翻折与三角形、特殊四边形
【解】(1)△MEF是等腰三角形
又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵BPM=CPE，∴△BPM△CPE，∴PM=PE，
∴PM= ME，则在Rt△MNE中，PN= ME，∴PM=PN.
(3)四边形MBCN是矩形，PM=PN成立.
【说明】在旋转过程中的变与不变，变化的仅是图形的位置，有很多不变的因素，万变不离其宗．我们只要选取其中的一种情形来证明就可以．另外要加强变式与引申训练，让学生举一反三、触类旁通．这类几何综合题经常出现，图形改变，方法不变，前面小题往往起提示作用，复习时应加以训练。
A．图①B．图②C．图③D．图④
【分析】图形的旋转与操作．
【解】B．
(4)如图6-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．
【分析】图形的折叠与勾股定理应用．
【解】 ．
(5)如图6-4，在 的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A切，应将⊙B由图示位置向左平移个单位长度．
③了解平行四边形、圆是中心对称图形．
④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．
⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．
⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．
【课时分布】
图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为容及课时安排(仅供参考)
例5 如图6-10-1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN；
(1)延长MP交CN于点E(如图6-10-2).
①求证：△BPM△CPE；②求证：PM=PN；
(2)若直线a绕点A旋转到图6-10-3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【解】(1)见图中△A’B’C’
(2)见图中△A"B̋’C"
S= π(22+42)= π·20=5π(平方单位)
【说明】这是一个旋转变化与网格结合的题目，重点考察学生的动手操作能力，考察学生数形结合的能力．这类题在复习中应引起重视．
例3 如图6-8-1，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A’、B’处，线段FB’与AD交于点M．
⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．
2．轴对称
①认识轴对称．
②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．
③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．
例4 已知，点P是正方形ABCD的一点，连PA、PB、PC.
(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图6-9-1）.
①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图6-9-1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
课时数
容
1
基本图形的认识
1
轴对称与轴对称图形
1
平移与旋转
1
图形与图形的变换单元测试与评析
【知识回顾】
1．知识脉络
2．基础知识
(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)．
(3)平行线间的距离处处相等．
(4)平移是由移动的方向和距离决定的．
【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合
【解】4或6
(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一 纸片，点 分别是边 、 上，将 沿着 折叠压平， 与 重合，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【分析】图形折叠、三角形角和与平角的结合
【解】A
(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）
(2)如图6-7-2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.
【分析】旋转、正方形、勾股定理与逆定理、面积的割补，图形变换在几何问题中的作用．
【解】(1)①S阴影=
② 连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6；
(2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证
又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵BPM=CPE，∴△BPM△CPE，
②∵△BPM△CPE，∴PM=PE，∴PM= ME，∴在Rt△MNE中，PN= ME，
∴PM=PN；
(2)成立，如图3，证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，
∵BM直线a于点M，CN直线a于点N，
∴BMN=CNM=90，∴BMNCNM=180，∴BM//CN，∴MBP=ECP，
1当 = 时点B恰好落在反比例函数
的图像上，求k的值．
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出
的值；若不能，请说明理由.
【分析】轴对称、旋转变化图形与坐标、函数的有机结合。
【解】(1)
(2)∵ ∴
∴ ∴
(3)① ∵
∴相应B点的坐标是
∴
②能，当 时，
相应 , 点的坐标分别是 ，
经经验：它们都在 的图像上
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移 个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移 个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为 ．
解决问题：
(1)计算：{3，1}＋{1，2}；{1，2}＋{3，1}．
证明：∵AD∥BC
∴∠MFE=∠EFB
∵∠MEF=∠EFB
∴∠MEF=∠MFE
∴ME=MF
即△MEF是等腰三角形
(2)四边形MNFE为平行四边形
∵ME=MF，同理NF=MF
∴ME=NF
又∵ME=NF
∴四边形MNFE为平行四边形
(3)60
【说明】加强图形与图形变换知识与学科知识之间的联系，提高学生综合运用数学知识的能力，培养学生良好的思维习惯，这是数学常见的解题方法．
(1)以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A’B’C’；
(2）△A’B’C’绕点B’顺时针旋转 ，画出旋转后得到的△A"B’C"，并求边A’B’在旋转过程中扫过的图形面积．
【分析】根据位似，旋转变化图形的特征在网格线作图，重点考察学生的动手操作能力，熟悉网格中图形变换规律．
【分析】图形的平移、动点问题及函数图像
【解】B
【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。
例2 图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
3、能力要求
例1 选择、填空题
(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是（ ）
Ａ． B． C． D．
【分析】图□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）
A．4πcmB．3πcm
C．2πcmD．πcm
【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．
【解】C．
(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转 ，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（）
④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．
⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．
⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．
3．平移和旋转
①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．
②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．