三角形中的三角函数
初三数学三角函数
初三数学三角函数
初三数学中，三角函数是一个重要的概念。
以下是初三数学中涉及到的一些三角函数的基本内容：
1.正弦函数（sine
function）：用sin表示，表示一个角的对边与斜边的比值。
在直角三角形中，sinθ = 对边 / 斜边。
2.余弦函数（cosine
function）：用cos表示，表示一个角的邻边与斜边的比值。
在直角三角形中，cosθ = 邻边 / 斜边。
3.正切函数（tangent
function）：用tan表示，表示一个角的对边与邻边的比值。
在直角三角形中，tanθ = 对边 / 邻边。
4.正割函数（secant
function）：用sec表示，表示一个角的斜边与邻边的比值。
在直角三角形中，secθ = 斜边 / 邻边。
5.余割函数（cosecant
function）：用csc表示，表示一个角的斜边与对边的比值。
在直角三角形中，cscθ = 斜边 / 对边。
6.切割函数（cotangent
function）：用cot表示，表示一个角的邻边与对边的比值。
在直角三角形中，cotθ = 邻边 / 对边。
初三数学中，学生通常会学习三角函数的定义、性质、基本关系和应用等方面的知识。
这些知识对于理解几何图形、求解三角形问题以及日后学习高中数学和物理等学科都具有重要作用。
三角形中的三角函数
或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22)
=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数,
=
3 5
×
12 13
-
4 5
×
5 13
=
16 65
.
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若
(a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; 大值时, 求 B 的大小.
(2)y=2sin2B+sin(2B+
6
)
取最
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc.
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c,
1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=.
注 和与第三个角的半角总互余;
锐角三角形三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
,
则 C=_3_0__.
6.在 △ABC 中, a=60, b=1, 其面积为 3 , 则 △ABC 外接圆的 直径是_2___3_9__.
3
7.在 则 cos2
8.在
△ABC
B+C 2
=
△ABC
中,
1 3
,
中,
bAa2B,+b=c,21c的, 是B最C角=大2A值, ,则B为角, C92C的.的对取边值, 范a=围3是, _(c0_o,_s_A6_=]_.13
三角形三个内角三角函数关系
三角形三个内角三角函数关系三角形是一种三边和三角度角的形状。
对于任何三角形，它的三个内角之和总是等于 180 度。
假设我们把这三个内角记为 A、B 和 C，那么：A +B +C = 180在三角形中，我们可以使用三角函数来描述角度和边的关系。
在这篇文章中，我们将探讨三角形三个内角与三角函数之间的关系。
首先，我们需要知道三角函数的定义。
在直角三角形中，我们定义三角函数为：sin(A) = opposite / hypotenusecos(A) = adjacent / hypotenusetan(A) = opposite / adjacent其中，opposite 表示角 A 的对边长度，adjacent 表示角 A 的邻边长度，hypotenuse 表示斜边长度。
在非直角三角形中，我们可以使用正弦定理、余弦定理和正切定理来求解角度和边的关系。
这些公式可以表示为：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：a = b + c - 2bc cos(A)正切定理：tan(A) = (b sin(A)) / (c - b cos(A))其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边，A、B 和 C 分别表示相应的内角。
利用这些公式，我们可以发现三角形的三个内角与三角函数之间存在一定的关系。
例如，我们可以利用余弦定理来表示角 A 的余弦值：cos(A) = (b + c - a) / 2bc同样地，我们还可以利用正弦定理和正切定理来表示角 A 的正弦值和正切值。
这些公式可以表示为：sin(A) = (a / 2R) = √[(s - b)(s - c) / sc]tan(A) = 2R sin(A) / (b - c)其中，R 表示三角形的外接圆半径，s 表示三角形的半周长。
在实际应用中，我们可以利用这些公式来求解各种三角形问题，例如求解三角形的面积、周长、角度以及边长等。
锐角、钝角等三角形的三角函数
锐角、钝角等三角形的三角函数三角形是初中数学中比较基础的一个重点，而其中的三角函数更是其中的重中之重。
在三角形中，角度相当于灵魂，而三角函数则是角度与边长之间的桥梁，略一掌握，很容易就能大大提升我们的数学水平。
在三角函数中，最为常见的莫过于正弦、余弦、正切三大基础函数。
在接下来的文章中，我们将主要讨论锐角、钝角等三角形的三角函数。
一、锐角三角形锐角三角形指的是三个内角均小于90度的三角形，根据勾股定理可以得到，该三角形的最长边对应的角度最大（即90度），并且除该角度外，其余两个角度均为锐角。
1、正弦函数正弦函数指的是一个角度和其对边比例的函数，即sinθ=对边/斜边。
在锐角三角形中，老师经常以最大的角度为θ，用sinθ=对边/斜边计算其他两条边。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为35度，BC边的长度为20cm，求AB边的长度。
我们可以先设AB=x，则有sin35°=x/20，得到x=20sin35°≈11.56cm。
因此，AB边的长度大约为11.56cm。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为50度，AC边的长度为25cm，求BC边的长度。
正切函数指的是一个角度的对边与邻边比例的函数，即tanθ=对边/邻边。
在锐角三角形中，我们经常使用该函数来计算两条邻边之间的夹角。
钝角三角形指的是三个内角中至少有一个大于90度的三角形。
在钝角三角形中，我们经常需要使用余弦函数来计算斜边或者其他两边的长度。
由于角BAC是一个钝角，因此我们无法直接计算sin110度或者cos110度。
我们不妨考虑其补角，即70度。
由于三角形ABC中角BAC和补角CAB之和为180度，因此角CAB为70度。
总结通过以上例子，我们可以发现，在锐角三角形和钝角三角形中，三角函数的应用是十分广泛的。
熟练掌握三角函数的使用方法和计算技巧，准确地应用到实际问题中去，能够让我们在数学学习中事半功倍，也是我们在物理、工程、天文等领域中必不可少的基础。
三角函数在三角形中的对应边
三角函数在三角形中的对应边
三角函数是中学数学中的重要内容之一，它在三角形中有着广泛的应用。
在三角形中，每一个角都对应着三条边，分别为斜边、对边和邻边。
而三角函数正是通过这些对应关系来定义和计算的。
对于一个任意的三角形ABC，假设角A对应的边为a，角B对应的边为b，角C对应的边为c。
则根据正弦定理、余弦定理和正切定义，可以得到以下三角函数的定义：
正弦(sin)：sinA = a/c, sinB = b/c, sinC = a/b
余弦(cos)：cosA = b/c, cosB = a/c, cosC = b/a
正切(tan)：tanA = a/b, tanB = b/a, tanC = a/c
这些三角函数在三角形中有着广泛的应用，比如可以用来计算角度、边长、面积等。
同时，在解决三角形相关问题时也可以利用这些函数来辅助求解。
因此，掌握三角函数在三角形中的对应关系是学习数学的重要一步。
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三角函数值初中公式
三角函数值初中公式
三角函数值是几何学中非常重要的概念，在初中学习中，学习三角函数及其值也是学生们必须要掌握的知识之一。
今天，我们就要来学习三角函数值的初中公式。
首先，我们来看看三角函数值的定义。
三角函数值是指在一个三角形中，其中一个角的角度和一条边的长度之比。
比如，在一个等边三角形中，其一个角的角度为60度，这个边的长度是3，那么这个角的三角函数值就是60/3，或者20。
其次，我们来看看初中学习三角函数值的公式。
在等边三角形中，三角函数的值的公式为：角度/边长。
在直角三角形中，三角函数值的公式为：角度/邻边。
这两个公式可以在计算三角函数值时起到帮助作用。
此外，还有一种求三角函数值的方法叫做“正弦定理”，它用来计算直角三角形中对边两边的三角函数值，公式为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b和c分别代表对边边长，A、B和C分别代表对角角度。
初中学习三角函数值的重点在于理解和掌握三角函数值的概念，掌握三角函数的定义及其求解方法。
学习三角函数值的公式，也是要掌握的重中之重，需要学生们在学习中不断练习，并熟练掌握三角函数值的求解方法。
三角函数值是几何学中非常重要的概念，在初中学习中掌握它也是学生们必须要做到的。
以上就是关于三角函数值初中公式的全部内
容，希望大家能够经常练习，掌握更多的三角函数值的求解方法，从而更加深入地学习几何学知识，为以后的备考打下坚实的基础。
直角三角形中的三角函数关系
直角三角形中的三角函数关系在平面直角坐标系中，以直角为顶点的三角形称为直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。
在直角三角形中，三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
正弦函数是指直角三角形斜边与夹角的正弦值之间的关系。
以直角三角形的直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的正弦值为直角三角形斜边对应夹角的正弦值。
正弦函数可以用以下公式表示：sinθ = o / h其中，θ表示夹角，o代表直角边上的对边长度，h代表斜边长度。
余弦函数指直角三角形斜边与夹角的余弦值之间的关系。
以直角三角形的一个直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的余弦值为直角三角形斜边对应夹角的余弦值。
余弦函数可以用以下公式表示：cosθ = a / h其中，θ表示夹角，a代表直角边上的邻边长度，h代表斜边长度。
正切函数指直角三角形斜边与夹角的正切值之间的关系。
以直角三角形的一条直角边为底，另一条直角边为斜边的对边，则夹在直角边和斜边之间的角的正切值为直角三角形斜边对应夹角的正切值。
正切函数可以用以下公式表示：tanθ = o / a其中，θ表示夹角，o代表直角边上的对边长度，a代表直角边上的邻边长度。
余切函数是指直角三角形斜边与夹角的余切值之间的关系。
以直角三角形的一条直角边为底，另一条直角边为斜边的对边，则夹在直角边和斜边之间的角的余切值为直角三角形斜边对应夹角的余切值。
余切函数可以用以下公式表示：cotθ = a / o其中，θ表示夹角，a代表直角边上的邻边长度，o代表直角边上的对边长度。
正割函数是指直角三角形斜边与夹角的正割值之间的关系。
以直角三角形的一个直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的正割值为直角三角形斜边对应夹角的正割值。
正割函数可以用以下公式表示：secθ = h / a其中，θ表示夹角，h代表斜边长度，a代表直角边上的邻边长度。
三角函数定理公式大全
三角函数定理公式大全在数学中，三角函数是一组基本的函数，用于描述角度和边长之间的关系。
三角函数定理是描述三角形中角度和边长之间的关系的公式集合。
三角函数定理被广泛应用于三角形的计算和解决各种实际问题。
在本篇文章中，我们将介绍三角函数的各种定理公式。
1. 正弦定理（Sine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与它所对应的角的正弦值成比例。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：c² = a² + b² - 2ab*cosCb² = a² + c² - 2ac*cosBa² = b² + c² - 2bc*cosA这意味着一个三角形的任意一边的平方与其他两边的平方以及其夹角的余弦值有关。
3. 正切定理（Tangent Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a这意味着一个三角形的任意一边的长度与其他两边的长度之间的比率与对应的角的正切值成比例。
4. 正割定理（Secant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：secA = 1/cosAsecB = 1/cosBsecC = 1/cosC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的余弦值的倒数成比例。
5. 余割定理（Cosecant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：cosecA = 1/sinAcosecB = 1/sinBcosecC = 1/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的正弦值的倒数成比例。
三角形中的三角函数
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若 (a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ 6 ) 取最 大值时, 求 B 的大小.
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 = 1 . 故由余弦定理得 cosA= 2bc 2 ∵A 是锐角三角形的内角, ∴0<A< 2.
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 充要 条件. 2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_____ 3.在 △ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则 log2sinC= - 1 2 . 4. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= 60 .
法二: 角换边
B
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数, 而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明 sinAsinB 为有理数即可(由正弦定理可证). 或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数, 且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
初中数学三角函数知识点
初中数学三角函数知识点一、引言三角函数是数学中的重要分支，它在解决与角度和长度相关的问题时发挥着关键作用。
在初中数学教学中，学生首次接触到三角函数的基本概念和应用。
本文旨在总结初中数学中涉及的三角函数知识点，为学生提供一个清晰的学习指南。
二、三角函数基础1. 定义：在直角三角形中，三角函数是通过三个主要角（0°, 30°, 45°, 60°, 90°）的比值来定义的。
2. 三角函数的种类：- 正弦（sine, sin）- 余弦（cosine, cos）- 正切（tangent, tan）- 余切（cotangent, cot）- 正割（secant, sec）- 余割（cosecant, csc）三、特殊角的三角函数值1. 30°-60°-90°三角形：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3- sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √32. 其他角度的近似值：- sin(90°) = 1, cos(90°) = 0- tan(90°) 在理论上是未定义的，因为在直角三角形中，对边为0，导致除数为0。
四、三角函数的图像和性质1. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）是周期性函数，它们的图像呈现波浪形状。
2. 正切函数（tan）的图像是一系列折线，每一条折线在π/2 + kπ (k为整数) 处有一个垂直渐近线。
3. 函数的周期性：- sin(x + 2π) = sin(x)- cos(x + 2π) = cos(x)- tan(x + π) = tan(x)五、三角函数的应用1. 解直角三角形问题：利用三角函数可以解决涉及直角三角形的边长和角度问题。
锐角、钝角等三角形的三角函数
锐角、钝角等三角形的三角函数
三角函数是数学中的重要概念，常常用于解决与角度有关的问题。
对于三角形而言，其内角和为180度，可以根据角度大小的不同分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
对于锐角三角形，其三个内角均小于90度，因此其三角函数值
均为正数。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，分别表示一角的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值以及一角的对边与邻边的比值。
对于钝角三角形，其一个内角大于90度，因此其三角函数值有
正有负。
具体来说，正弦函数和余切函数的值为正，余弦函数和正切函数的值为负。
这是因为在钝角三角形中，对于一些角度，其对边或邻边的长度可能为负数。
除了以上三种三角形外，还有直角三角形。
对于直角三角形，其一个内角为90度，另外两个内角为锐角或钝角。
因此，其三角函数
的取值范围与锐角三角形或钝角三角形相同，但是由于其中一个角为90度，因此其三角函数值可以通过勾股定理计算出来。
总之，三角函数是解决与角度有关问题的重要工具，需要根据不同类型的三角形选择不同的计算方法。
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三角形中的三角函数
三角形中的三角函数一、知识回顾：（一）三角形中的各种关系：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． 1．角与角关系：A B C π++=2．边与边关系： 。
3．边与角关系：（1）正弦定理： 。
（2）余弦定理： 。
它们的常用变形形式有：::sin :sin :sin a b c A B C =（3）三角形的面积公式： 。
（二）关于三角形内角的常用三角恒等式：由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ） 得出：sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）．（三）判断三角形形状的方法是 。
二、基础检测1、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∠B 的大小为________2、.（湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=A.153 B ．153- C ．53 D ．53- 3、在△ABC 中，AC =3，∠A =45°，∠C =75°，则BC 的长为 ．4、在△ABC 中，已知BC=12，A=600，B=450，则AC=_________5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，已知A=3π，a=3,b=1,则c=（ ）A 、1B 、2C 、31-D 、36、在△ABC 中，若A=1200，AB=5，BC=7，则△ABC 的面积S=___________7．在△ABC 中，∠BAC=60°，4||,1||==AB AC ，则△ABC 的面积为 ，||BC = .8、（06西一文）12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =o，1BC =，则AB =9、（07北京文）．、在13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ．10、在△ABC 中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则∠B 的大小是__________（06北京高考理） 11、（06北京高考文.）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ,b ,c .若sin A :sin B :sin C =5∶7∶8,则a ∶b ∶c = , ∠B 的大小是12、（07西城二摸文）.三角形ABC 中，ο120=A ，5=AB ，7=BC ，则BCsin sin 的值为（ ） A53 B 35 C 85 D 5813、（06东一文）3．在AB C ∆中，已知sinC=2sin(B+C)cosB ,那么AB C ∆一定是 （ B ） Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形14、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）（05北京春理）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形三角函数基本题型 三、三角形中的三角函数1、(07全国Ⅰ文)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若33a =，5c =，求b . (10分)2、（07西城一摸文）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2sin 22=+CC （1）求角C 的大小；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求sinA 的值. ．3、（05海二文）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A =45。
直角三角形中的三角函数
直角三角形中的三角函数直角三角形是数学中非常重要的一个概念，它不仅在几何学中有广泛应用，也是解决实际问题中不可或缺的工具。
而直角三角形中的三角函数更是直角三角形的重要性质之一，它们可以帮助我们计算各种角度的大小和边长的关系。
本文将介绍直角三角形中的三角函数，并以实际问题为例进行说明。
在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦、余弦和正切。
这三个函数分别表示一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
它们的定义如下：正弦函数（sin）：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）：在直角三角形中，一个锐角的正切等于该角的对边与邻边的比值。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明三角函数的应用。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，斜边的长度为5。
我们想要求解另一条直角边的长度。
首先，我们可以使用余弦函数来计算这个角的余弦值。
根据余弦函数的定义，我们有cosθ = 邻边/斜边，代入已知数据，得到co sθ = 3/5。
然后，我们可以通过反余弦函数来求解这个角的大小。
反余弦函数的定义是：给定一个值x，反余弦函数返回一个角θ，使得cosθ = x。
在这个例子中，我们可以计算出θ = acos(3/5) ≈ 53.13°。
接着，我们可以使用正弦函数来计算这个角的正弦值。
根据正弦函数的定义，我们有sinθ = 对边/斜边，代入已知数据，得到sinθ = 对边/5。
同样地，我们可以通过反正弦函数来求解这个角的大小。
反正弦函数的定义是：给定一个值x，反正弦函数返回一个角θ，使得sinθ = x。
在这个例子中，我们可以计算出θ = asin(对边/5) ≈ 36.87°。
最后，我们可以使用正切函数来计算这个角的正切值。
根据正切函数的定义，我们有tanθ = 对边/邻边，代入已知数据，得到tanθ = 对边/3。
29三角形中的三角函数
13.已知锐角 △ABC 中, sin(A+B)= 3 , sin(A-B)= 1 . (1)求证 已知锐角 求证: 求证 5 5 tanA=2tanB; (2)设 AB=3, 求 AB 边上的高 边上的高. 设 (1)证: ∵sin(A+B)= 3 , sin(A-B)= 1 , 证 5 5 sinAcosB+cosAsinB= 3 , sinAcosB= 2 , tanA 5 5 ∴ 1 cosAsinB= 1 , tanB =2. sinAcosB-cosAsinB= 5 , 5 ∴tanA=2tanB. 3 π 3 (2)解: 由已知 2 <A+B<π, sin(A+B)= 5 , ∴tan(A+B)=- 4 . 解 tanA+tanB 3 即 1-tanAtanB =- 4 . 将tanA=2tanB代入上式并整理得 代入上式并整理得: 代入上式并整理得 2B-4tanB-1=0. 解得 tanB=1+ 6 (负值舍去 2tan 解得: 负值舍去). 2 负值舍去 ∴tanA=2tanB=2+ 6 . 设 AB 边上的高为 CD, 则: 3CD CD CD 3=AB=AD+DB= tanA + tanB = CD=2+ 6 . 2+ 6 ∴AB 边上的高为 2+ 6 .
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A,B,C 的对边为 a,b,c, , , , , 1.内角和定理 三角形三内角之和为π, 即 A+B+C=π. 内角和定理: 内角和定理 任意两角和与第三个角总互补; 注 任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和与第三个角的半角总互余; 任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形三内角都是锐角 锐角三角形 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. 任意两边的平方和大于第三边的平方 c a b 2.正弦定理 sinA = sinB = sinC =2R(R 为三角形外接圆的半 正弦定理: 正弦定理 ( 径) . 正弦定理的一些变式: 注 正弦定理的一些变式 (1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;
三角函数每个字母的含义
三角函数每个字母的含义
三角函数是数学中与角和三角形相关的一类重要函数，主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
下面解释每个字母的含义：
1. sin (正弦):
- 含义: 正弦是一个角的对边与斜边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，正弦的定义为对边与斜边的比值，通常表示为sin(θ)。
2. cos (余弦):
- 含义: 余弦是一个角的邻边与斜边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，余弦的定义为邻边与斜边的比值，通常表示为cos(θ)。
3. tan (正切):
- 含义: 正切是一个角的对边与邻边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，正切的定义为对边与邻边的比值，通常表示为tan(θ)。
4. cot (余切):
- 含义: 余切是正切的倒数，即邻边与对边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，余切的定义为邻边与对边的比值的倒数，通常表示为cot(θ)。
5. sec (正割):
- 含义: 正割是余弦的倒数，即斜边与邻边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，正割的定义为斜边与邻边的比值的倒数，通常表示为sec(θ)。
6. csc (余割):
- 含义: 余割是正弦的倒数，即斜边与对边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，余割的定义为斜边与对边的比值的倒数，通常表示为csc(θ)。
三角形sinasinbsinc取值范围
三角形sinasinbsinc取值范围介绍三角形是几何学中的重要概念，而三角函数是研究三角形性质时必备的工具之一。
在三角函数中，si na si nb si n c是一个常用的组合。
本文将介绍si na si nb si nc的取值范围及相关性质，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数回顾首先，我们回顾一下三角函数的定义。
在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，三角函数可以表示为：-正弦函数s inθ：对边与斜边的比值；-余弦函数c osθ：邻边与斜边的比值；-正切函数t anθ：对边与邻边的比值。
这三个函数是数学中非常常见且重要的函数，与几何学、物理学和工程学等多个领域都有密切联系。
二、s i n a s i n b s i n c的定义s i na si nb si nc是si n(s inα+si nβ+si nγ)的简写形式，其中α、β、γ分别是三角形的三个内角。
三、s i n a s i n b s i n c的取值范围我们将讨论s in as in b si nc的取值范围。
为了方便讨论，我们先假设α、β、γ都是锐角。
1.最小值s i n同一数组成的两个角的和的最小值为-2，即si n(θ+θ)=-2。
对于si na si nb si nc而言，最小值为si n(θ+θ+θ)=si n3θ=-2。
2.最大值s i n同一数组成的两个角的和的最大值为2，即si n(θ+θ)=2。
对于si na si nb si nc而言，最大值为si n(θ+θ+θ)=si n3θ=2。
在锐角条件下，s in3θ的取值范围在-2至2之间。
3.非锐角情况当三角形的某个内角为钝角时，s in as inb s in c不再局限于-2至2的范围。
这是因为当有一个或多个角为钝角时，对应的s in值可能为负数，而非锐角情况下的si n值仅在0至1之间变动。
对于非锐角情况下的三角形，si na si nb si n c的取值范围将会更大，这超出了锐角情况下的讨论范围。
初中直角三角形中的三角函数应用
初中直角三角形中的三角函数应用直角三角形是初中数学中常见的一个图形，通过对其各种角度的研究和计算，我们可以运用三角函数来解决与直角三角形相关的问题。
本文将探讨一些基本的三角函数应用，帮助初中学生更好地理解和运用三角函数。
一、正弦函数的应用在直角三角形中，我们可以通过对其角度的研究，运用正弦函数来计算其中的某些边长。
以直角三角形ABC为例，其中∠B为90°，AC为斜边，BC为邻边，AB为对边。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下公式：sin ∠B = 对边AB / 斜边AC如果已知∠B的度数和斜边AC的长度，我们可以通过这个公式来计算对边AB的长度。
同样地，如果已知∠B的度数和对边AB的长度，我们也可以通过这个公式来计算斜边AC的长度。
通过正弦函数的应用，我们可以解决类似于以下问题：已知直角三角形的一个角度和斜边的长度，求对边的长度。
或者已知直角三角形的一个角度和对边的长度，求斜边的长度。
二、余弦函数的应用除了正弦函数，余弦函数也是直角三角形中常用的三角函数之一。
在直角三角形ABC中，∠B为90°，AC为斜边，BC为邻边，AB为对边。
我们可以根据余弦函数的定义得到以下公式：cos ∠B = 邻边BC / 斜边AC与正弦函数相似，如果已知∠B的度数和斜边AC的长度，我们可以通过这个公式来计算邻边BC的长度。
同样地，如果已知∠B的度数和邻边BC的长度，我们也可以通过这个公式来计算斜边AC的长度。
通过余弦函数的应用，我们可以解决类似于以下问题：已知直角三角形的一个角度和斜边的长度，求邻边的长度。
或者已知直角三角形的一个角度和邻边的长度，求斜边的长度。
三、正切函数的应用正切函数是另一个常用的三角函数，它在直角三角形中的应用也非常广泛。
在直角三角形ABC中，∠B为90°，AC为斜边，BC为邻边，AB为对边。
我们可以根据正切函数的定义得到以下公式：tan ∠B = 对边AB / 邻边BC如果已知∠B的度数和对边AB的长度，我们可以通过这个公式来计算邻边BC的长度。
三角函数：三角形的基本性质
三角函数：三角形的基本性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们与三角形的基本性质密切相关。
在本文中，将介绍三角函数的定义和常见性质，以及它们与三角形的关系。
一、三角函数的定义和常见性质1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，斜边长度为c，则角A的正弦函数定义如下：sin(A) = a / c正弦函数的值域为[-1, 1]，且满足三角恒等式：sin(A) = 1 / csc(A)2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的邻边长度为b，斜边长度为c，则角A的余弦函数定义如下：cos(A) = b / c余弦函数的值域也为[-1, 1]，且满足三角恒等式：cos(A) = 1 / sec(A)3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一个常见概念，它表示一个角的对边与邻边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，邻边长度为b，则角A的正切函数定义如下：tan(A) = a / b正切函数的定义域为所有不等于90度的角，值域为实数集。
4. 三角函数的周期性三角函数都具有周期性，即在一定区间内重复出现相同的值。
正弦函数和余弦函数的周期为2π（或360度），而正切函数的周期为π（或180度）。
二、三角函数与三角形的关系1. 正弦定理（Sine Rule）在三角形ABC中，角A、对边a的正弦函数值等于角B、对边b的正弦函数值，也等于角C、对边c的正弦函数值的比例。
即：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c这个定理可用于求解三角形的边长或角度，提供了便利的计算方法。
2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
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三角形中的三角函数式三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧。
●难点磁场(★★★★★)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值. ●案例探究［例1］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。
(1) 求船的航行速度是每小时多少千米；(2) 又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系. 错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在Rt △PAB 中，∠APB =60° PA =1，∴AB =3 (千米)在Rt △PAC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BCABsin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB 〃cos30°－cos ACB 〃sin30°10103=. 2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAACDCA AD sin sin =， ∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD答：此时船距岛A 为1339+千米. ［例2］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2C A -，f (x )=cos B (CA cos 1cos 1+). (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域.命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意|2CA -|的范围. 解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°,3421221)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(22-=-+-=-++-+=⋅+⋅=x xx x C A C A CA C A C A C A x f∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］.(2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0. 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0.即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数.(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2.故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞).●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题2.(★★★★)在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++的值为__________. 3.(★★★★)在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sinB =54，则cos2(B +C )=__________.三、解答题 4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积. 5.(★★★★★)如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？6.(★★★★)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos 22sin 42=-+A C B . (1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.7.(★★★★)在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值.8.(★★★★★)在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.参考答案难点磁场解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2CA -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， ,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+C A 所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①， 把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+③， 将cos 2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：)cos(2222cos C A C A --=- ④将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，.222cos :,022cos 2,032cos 22,0)32cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得歼灭难点训练一、1.解析：其中(3）(4）正确. 答案： B二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A CA C A C A C A 故π答案：33.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53.即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 答案：625527三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C 故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A 由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83. 5.解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ，RR h R k I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得.1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos 45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin 4)1(:.6222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc a c b bc a c b A bca cb A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解7.解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］ ∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21.∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π.8.解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，由正弦定理知：APBABBAP BP sin sin =.∴BP =)120sin(sin θθ-︒a 在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3.。