三角函数与解三角形-专题复习

专题一 三角函数与解三角形一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式：定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式角的弧度数公式 r=α角度与弧度的换算①rad 1801π=︒ ②弧长公式扇形面积公式2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则第二定义：设是任意角，它的终边上的任意一点P(x,y)，则.考点1 三角函数定义的应用例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(︒--m P ，且54cos -=α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在考点2 扇形弧长、面积公式的应用例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为︒120，则扇形的弧长为 面积为 .变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1、1cos sin 22=+αα ααcos tan =2、三角函数的诱导公式例1.已知α是三角形的内角，且.5cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把αα22sin cos 1+用αtan 表示出来，并求其值.变式：1、已知α是三角函数的内角，且31tan -=α，求ααcos sin +的值.2、已知.34tan -=α（1）求ααααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2+的值.3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.考点2 利用ααcos sin ±与ααcos sin 关系求值例2. 已知关于x 的方程0)13(22=++-m x x 的两根为ααcos sin 和，且()πα20，∈. (1)求 αααααtan 1cos cos sin sin 2-+-的值；(2)求m 的值；(3)求方程的两根及此时α的值.变式（1⎪⎭⎫⎝⎛∈40πθ，，则sin cos θθ-的值为 （ ）． A．3 B．3- C ．13 D ．13- （2）已知7(0,),sin cos 13απαα∈+=,则tan α= ．考点3 诱导公式的应用例3.（1）=--+-︒︒︒︒)1050sin()1020cos(1290cos )1200sin( .（2）设243943sin,cos(),c tan()51012a b πππ==-=-，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> （3）设)2(sin )23cos(sin 1)cos()cos()sin(2)(22απαπααπαπαπα+-++++--+=f （0sin 21≠+α），则=-)623(πf .例4.（1）已知α是第四象限角，且53)4sin(=+πα，则=-)4tan(πα . （2）已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ.三、三角函数的图像与性质函数 x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域 值域 周期性 奇偶性单调增区间 单调减区间 对称中心 对称轴考点1 三角函数的定义域、值域例1.（1）函数1sin 2-=x y 的定义域为（ ）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππB )(652,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππC )(652,62Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππππD )(65,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ （2）函数29)2lg(sin x x y -+=的定义域为 . （3）函数)62sin(3π-=x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为（ ）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-233,233D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,233 变式：1.函数)36sin(2ππ-=x y (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 32.已知函数f （x ）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最小值等于（ ）A ．B ．C ．2D ．33.设函数)sin(215)(x x f π=，若存在)1,1(0-∈x 同时满足以下条件：①对任意的R ∈x ，都有)()(0x f x f ≤成立；②22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是 ． 4.存在实数x ，使得关于x 的不等式2cos sin x a x <-成立，则a 的取值范围为 ．考点2 三角函数的单调性例2.（1）已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，)(x f y =的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ B. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππC. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππD. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,32,6ππππ（2）函数)32sin(π+-=x y 的单调递减区间为 .（3）已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]考点3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 例3.（1）函数1)4(cos 22++-=πx y 是（ ）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数（2）若函数)3tan(2π+=kx y 的最小正周期T 满足21<<T ，则自然数k 的值为 . 例4.已知函数)0(1)6sin(>-+=ωπωx y 的最小正周期为32π，则)(x f 的图象的一条对称轴方程为（ ）A 9π=xB 6π=xC 3π=xD 2π=x例5.设函数)2,0)(cos()sin(πϕωϕωϕω<>+++=x x y 的最小正周期为π，且)()(x f x f =-，则（ ）A.)(x f 在)2,0(π内单调递减B.)(x f 在)34,4(ππ内单调递减C.)(x f 在)2,0(π内单调递增D.)(x f 在)34,4(ππ内单调递增例 6.已知()sin()(0)3f x x πωω=+>，()()63f f ππ=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小ω= ．1、)sin(ϕω+=x A y 的概念方法一：方法二：考点1 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象及变换例1.某同学用“五点法”画函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象，列表并填入了部分数据，如下表：)(x f (2)将)(x f y =图象上所有点向左平移)0(>θθ个单位长度，得到)(x f y =的图象，若)(x g y =图象的一个对称中心为)0,125(π, 求θ的最小值.考点2 求函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式例2. 函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，则（ ） A. )62sin(2π-=x y B. )32sin(2π-=x yC. )6sin(2π+=x yD. )3sin(2π+=x y例3. 已知函数)22,0)(sin(3πϕπωϕω<≤->+=x y 的图象关于直线3π=x ，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ϕω和的值； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f y =的最值.变式： 1.函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f （x ）的递增区间是（ ）A ．[6k ﹣1，6k+2]（k ∈z ）B ．[6k ﹣4，6k ﹣1]（k ∈z ）C ．[3k ﹣1，3k+2]（k ∈z ）D ．[3k ﹣4，3k ﹣1]（k ∈z ）2.若三角函数f (x )的部分图象如图，则函数f (x )的解析式，以及S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012B ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012C ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012.5D ．f (x )＝12cos πx2＋1，S ＝2 012.53.将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ． 4.已知函数f （x ）=sin （2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=（ ） A ．B ．C ．D ．5.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度6.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A 、()f x 的图象关于直线x 3π=对称 B 、()f x 的图象关于点(,0)6π对称C 、()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12π上为增函数D 、把()f x 的图象向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图象五、 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式=+)sin(βα=-)sin(βα=+)cos(βα=-)cos(βα =+)tan(βα=-)tan(βα2、二倍角公式=α2sin=α2cos=α2tan考点1 三角函数公式的基本应用 例1．（1）=-++)3sin(sin )6sin(cos πααπαα（ ）A21B 21- C 23 D 23-（2）已知)6cos()6sin(πααπ+=-，则=αtan ( )A -1B 0C 21D 1变式：1、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则)4sin(22cos παα+= .2、设⎪⎭⎫⎝⎛∈-=ππααα,2,sin 2sin ，则α2tan 的值是 . 考点2 三角函数公式的逆用及变用例2．（1）=--︒+--︒︒︒)110cos()65cos()20cos()65sin(x x x x .（2）已知31cos sin =+αα，则=-)4(sin 2απ.（3）在ABC ∆中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则C cos 的值为 .考点3 三角函数公式运用中角的变化 例3．（1）若33)24cos(,31)4cos(,02,20=-=+<<-<<βπαπβππα， 则=+)2cos(βα .（2）已知32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα，且,20,2πβπαπ<<<< 则=+)cos(βα .变式：1、若31)75cos(=+︒α，则=-︒)230cos(α .2、设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则=+)122sin(πα .六、 三角恒等变换1、公式的常见变形=-=+=-=+====-=+ααααααααβαβαsin 1sin 1cos 1cos 1cos sin cos sin tan tan tan tan 22 2、辅助角公式=+ααcos sin b a考点1 三角函数式的化简、求值例1．（1）已知=+-++<<θθθθθπθcos 22)2cos 2(sin cos sin 1,0）（则.（2）化简：=+-+-)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x ππ .(3)已知⎪⎭⎫⎝⎛∈+=20,cos 21sin πααα，且，则=-)4sin(2cos παα .考点2 三角函数式的求值例2.化简：=+︒︒)10tan 31(50sin .例3.已知=<<<=-=βπαββαα则且,20,1413)cos(,71cos .例4.已知函数).32cos(cos 2)(2π++=x x x f（1）若60,133)(παα<<+=f ，求α2sin 的值； （2）在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,21)(的面积33=∆ABC S ，求a 的值.变式：1.计算：(tan10)·sin40°=________. 2. 4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 3.若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.4.已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.5.已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．考点3 三角变换在图象与性质中的应用 例1.已知函数.1)3sin(sin 4)(-+⋅=πx x x f(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值.变式: 1.已知函数()2sin cos()4f x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设(0)2πα∈，，且3()285f απ+=，求tan()4πα+2.已知函数f (x )＝sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭·sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭sin x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．七、解三角形1、正弦定理和余弦定理2、三角形中的常见结论（1）在ABC ∆中，A+B+C=π；（2）在ABC ∆中，;sin sin B A b a B A >⇔>⇔>（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 3、ABC ∆的面积公式 （1） （2） （3）考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1.(2015湖北,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m .例2. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知,3,312cos =-=c A.sin 6sin C A =（1）求a 的值；（2）若教A 的锐角，求b 的值及ABC ∆的面积.例3. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边， 且.sin )2(sin )2(sin 2C b c B c b A a -+-= (1)求角A 的大小；(2)若,3sin sin =+C B 试判断ABC ∆的形状.例4 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且.sin cos cos cCb B a A =+ (1)证明：;sin sin sin C B A = (2)若bc a c b 56222=-+，求.tan B变式：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.322.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ．30°或150°3.在ABC ∆中，3,60BC A =∠=,则ABC ∆周长的最大值 .4.在ABC ∆中，O 是外接圆的圆心，若1,602OB OC A =-∠=，则ABC ∆周长的最大值 . 5.在ABC ∆中，若，则A 的取值范围是（ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C ．(0,]3π D ．[,)3ππ6.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值范围是（ ） A 、⎥⎦⎤⎝⎛30π， B 、⎪⎭⎫⎝⎛30π， C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛60π， D 、⎪⎭⎫⎝⎛60π，7.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 .8.设ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且12cos =+bc C b a ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．9.在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的三边长分别为,,a b c ，且满足22(cos )2ac b A b a -=-. （1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，1129cos ,7A BD ==，求ABC ∆的面积.。