三角函数与解三角形-专题复习

专题一 三角函数与解三角形

一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式：

定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式

角的弧度数公式 r

=α

角度与弧度的换算

①rad 180

1π=︒ ②

弧长公式

扇形面积公式

2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义

第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则

第二定义：设

是任意角，它的终边上的任意一点

P(x,y)，则

.

考点1 三角函数定义的应用

例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(︒

--m P ，且5

4

cos -

=α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ）

A ．小于0

B ．大于0

C ．等于0

D ．不存在

考点2 扇形弧长、面积公式的应用

例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为︒

120，则扇形的弧长为 面积为 .

变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小

为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式

1、1cos sin 2

2=+αα α

αcos tan =

2、三角函数的诱导公式

例1.已知α是三角形的内角，且.5

cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α

α22sin cos 1

+用αtan 表示出来，并求其值.

变式：1、已知α是三角函数的内角，且3

1

tan -=α，求ααcos sin +的值.

2、已知.34tan -=α（1）求α

αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2

+的值.

3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

考点2 利用ααcos sin ±与ααcos sin 关系求值

例2. 已知关于x 的方程0)13(22

=++-m x x 的两根为ααcos sin 和，且()πα20，

∈. (1)求 α

α

αααtan 1cos cos sin sin 2-+-的值；

(2)求m 的值；

(3)求方程的两根及此时α的值.

变式（1

⎪⎭

⎫

⎝⎛∈40πθ，，则sin cos θθ-的值为 （ ）． A

．

3 B

．3- C ．13 D ．1

3

- （2）已知7

(0,),sin cos 13

απαα∈+=,则tan α= ．

考点3 诱导公式的应用

例3.（1）=--+-︒

︒︒︒)1050sin()1020cos(1290cos )1200sin( .

（2）设243943sin

,cos(),c tan()51012

a b πππ

==-=-，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> （3）设)2

(sin )23cos(sin 1)

cos()cos()sin(2)(22απαπααπαπαπα+-++++--+=

f （0sin 21≠+α），

则=-)6

23(π

f .

例4.（1）已知α是第四象限角，且53)4

sin(=

+

π

α，则=-)4

tan(π

α . （2）已知33)6

tan(=

-απ

，则=+)6

5tan(απ

.

三、三角函数的图像与性质

函数 x y sin =

x y cos =

x y tan =

图像

定义域 值域 周期性 奇偶性

单调增区间 单调减区间 对称中心 对称轴

考点1 三角函数的定义域、值域

例1.（1）函数1sin 2-=x y 的定义域为（ ）

A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ

B )(652,62Z k k k ∈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++ππππ

C )(652,62Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππππ

D )(65,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣

⎡++ππππ （2）函数29)2lg(sin x x y -+=的定义域为 . （3）函数)62sin(3π-=x y 在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为（ ）

A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23

B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,23

C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-233,233

D ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-3,233 变式：1.函数)3

6

sin(

2π

π

-

=x y (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )

A ．2－ 3

B ．0

C ．－1

D ．－1－ 3

2.已知函数f （x ）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是﹣2，则ω的最

小值等于（ ）

A ．

B ．

C ．2

D ．3