三角函数与三角形
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x,y ）是〉的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o ,位置无关。
2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+L i+ ——L+ _ - + ------ ■——+ -■sin ： cos ： tan ：3. 同角三角函数的基本关系式:4.三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式（把角写成2…形式，利用口诀：奇变偶不变，符（2）商数关系：tan-E屮一、cos 。
（用于切化弦） （1）平方关系: 2 2 2sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1cos 2:※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“ 1”的代换si …y,cos 」那么r三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点5. 特殊角的三角函数值度 0s30cA45“A60“90 120cA135“150s 180c 270° 360弧31JIJI2n3兀 5兀 JI3兀 2兀度64323462si n 。
01 竝迈1旦1 01222222cosa亦11念力12_112 2222号看象限）sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanxsin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan（-x ） - - tanxm ）|sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一sin （— -〉）= cos ..zsin （㊁：）=cos ：V ）-?） = sin :6. 三角函数的图像及性质7.函数厂Asi n( X J图象的画法：n 5m —兀-2兀①“五点法” __设X-x…•，令X = 0, 2,，2，求出相应的X 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
三角函数与三角形
三角函数与三角形三角函数与三角形，这俩家伙可是数学世界里的一对好搭档！还记得我读高中那会，有一次数学课上，老师正在讲三角函数和三角形的关系，那场面，就像一场精彩的“数学派对”。
我当时听得那叫一个入神，眼睛紧紧盯着黑板，手里的笔不停地做着笔记。
咱先来说说三角形。
三角形就像是个稳固的小家庭，三条边相互支撑，不管风吹雨打，它都稳稳地站在那里。
而且三角形的种类可多啦，有等腰三角形、等边三角形、直角三角形等等。
就拿直角三角形来说吧，它可是三角函数的“亲密伙伴”。
三角函数呢，就像是三角形这个小家庭里的“魔法咒语”。
正弦、余弦、正切，它们能帮我们算出三角形里各种边和角的关系。
比如说，知道一个角的正弦值，就能算出这个角对应的边的长度。
有一次我和朋友去公园玩，看到一个滑梯。
那个滑梯的形状就像一个直角三角形。
我突然就想到了三角函数，我跟朋友说：“嘿，你看这个滑梯，咱们能通过三角函数算出它的高度呢！”朋友一脸懵地看着我，说：“你可别在这显摆你的数学知识啦！” 但我还是兴致勃勃地给他解释。
在学习三角函数和三角形的时候，可别被那些复杂的公式和定理吓到。
其实只要多做几道题，多观察观察身边的三角形，就能发现其中的乐趣。
比如说，盖房子的时候，工人师傅就得知道三角形的稳定性，才能保证房子结构牢固。
再比如，测量一座山的高度，也能用到三角函数。
总之，三角函数和三角形在我们的生活中无处不在。
它们就像隐藏在日常中的小秘密，等待着我们去发现。
只要我们用心去学，就能在数学的世界里畅游，发现更多的精彩！回想起来，从最初接触三角形，觉得它就是几个简单的线条拼凑在一起，到后来学习三角函数，被那些复杂的公式搞得晕头转向，再到后来逐渐理解它们之间的美妙关系，这一路走来，真的是充满了挑战和乐趣。
就像那次在公园里看到滑梯，让我突然意识到，原来数学知识不仅仅是在书本上、在课堂里，它就在我们的身边，等着我们去运用。
所以啊，同学们，别觉得三角函数和三角形枯燥难懂，只要我们多观察、多思考，就能发现它们的魅力，让数学成为我们的好帮手，而不是头疼的难题！。
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总知识点一三角函数（一）、角的概念的推广1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角．3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.（二）、弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式（三）、任意角的三角函数（四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：sin αcos α＝tan α.（五）、三角函数的诱导公式知识点二 三角函数的图像与性质（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).2．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).（二）、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用（一）、“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：1．定点：如下表所示.2．作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.3．扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.（二）、函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相关的概念如下表：（三）、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径知识点四 三角恒等变换（一）、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.（二）、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）、有关公式的逆用、变形等 1．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2．cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.（四）、函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .知识点五 解三角形（一）、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则（二）、S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（三）、实际问题中的常用角1．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.。
三角函数与三角形的性质
三角函数与三角形的性质是数学和几何学中的基石概念，它们不仅在学术领域有广泛应用，还在日常生活和工程技术中发挥着重要作用。
下面将详细探讨三角函数的定义、性质以及与三角形之间的紧密关系。
一、三角函数的定义三角函数是描述直角三角形边长关系的函数，主要包括正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent）。
在一个直角三角形中，假设一个锐角的对边长度为a，邻边长度为b，斜边长度为c，那么这个角的正弦值就是a/c，余弦值是b/c，正切值是a/b。
这三个比值随着角度的变化而变化，形成了三个基本的三角函数。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在一定范围内重复出现。
例如，正弦函数和余弦函数的周期为360°，而正切函数的周期为180°。
2. 振幅：正弦函数和余弦函数的振幅为1，表示它们的值在-1和1之间变化。
3. 奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
这意味着正弦函数和正切函数的图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对称。
4. 微分与积分：三角函数的微分和积分具有简单的表达式。
例如，sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。
三、三角函数与三角形的性质1. 边长关系：在任意三角形中，可以利用三角函数来表示边长之间的关系。
例如，在任意三角形ABC中，若已知角A的大小和边a、b的长度，则可以利用正弦定理求得边c的长度：c = a * sinB / sinA。
同样地，利用余弦定理可以表示任意一边的平方与其他两边和夹角的关系：c² = a² + b² - 2ab * cosC。
2. 角度关系：在三角形中，三个内角的和为180°。
通过三角函数，可以方便地求解三角形的角度关系。
例如，在一个直角三角形中，已知一个锐角的正切值，可以求出该角的度数；再利用三角形内角和定理，可以求出另一个锐角的度数。
解三角形与三角函数最全知识总结
解三角形与三角函数最全知识总结三角形与三角函数是数学中非常重要的内容，广泛应用于几何学、物理学、工程学等多个领域。
以下是对三角形与三角函数的最全知识总结。
一、基本概念1.三角形：由三条边和三个内角组成的图形。
根据边的长度和角的大小关系，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等等。
2.内角和：三角形的三个内角的和为180度，或者π弧度。
3.值得注意的几何关系：三角形的内角对应的边对边长相等，相等的两个角对应的边对边长也相等。
4.三角形的面积：可以通过底边和高的乘积的一半来计算，也可以通过三边的长度来计算。
二、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
即sin(A) = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
即cos(A) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值。
即tan(A) = 对边/邻边。
4.三角恒等式：包括平方恒等式、和差恒等式、倍角恒等式等等，可以通过这些恒等式将一个三角函数的式子转化为另外一个三角函数的式子。
5.周期性：三角函数是周期函数，即在每个周期内的函数值是相同的。
三、三角函数的图像与性质1.正弦函数图像：正弦函数的图像是一个连续、周期为2π的曲线，以原点为对称中心。
2.余弦函数图像：余弦函数的图像也是一个连续、周期为2π的曲线，但它的图像是以横坐标π/2为对称轴。
3.正切函数图像：正切函数的图像是一个连续、以π为周期的曲线，有无穷多个渐近线。
四、三角函数的应用1.解三角形：通过已知的边长和角度，可以利用三角函数解出未知的边长和角度。
2.测高度：利用三角形的性质，可以通过测量两个视角和距离，计算出高度的长度。
3.平衡力问题：在物理学中，利用三角函数可以计算出干涉力、斜面上的力等问题。
三角函数：三角形的基本性质
三角函数：三角形的基本性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们与三角形的基本性质密切相关。
在本文中，将介绍三角函数的定义和常见性质，以及它们与三角形的关系。
一、三角函数的定义和常见性质1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，斜边长度为c，则角A的正弦函数定义如下：sin(A) = a / c正弦函数的值域为[-1, 1]，且满足三角恒等式：sin(A) = 1 / csc(A)2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的邻边长度为b，斜边长度为c，则角A的余弦函数定义如下：cos(A) = b / c余弦函数的值域也为[-1, 1]，且满足三角恒等式：cos(A) = 1 / sec(A)3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一个常见概念，它表示一个角的对边与邻边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，邻边长度为b，则角A的正切函数定义如下：tan(A) = a / b正切函数的定义域为所有不等于90度的角，值域为实数集。
4. 三角函数的周期性三角函数都具有周期性，即在一定区间内重复出现相同的值。
正弦函数和余弦函数的周期为2π（或360度），而正切函数的周期为π（或180度）。
二、三角函数与三角形的关系1. 正弦定理（Sine Rule）在三角形ABC中，角A、对边a的正弦函数值等于角B、对边b的正弦函数值，也等于角C、对边c的正弦函数值的比例。
即：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c这个定理可用于求解三角形的边长或角度，提供了便利的计算方法。
2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
三角函数的应用解三角形
三角函数的应用解三角形三角函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于解决各种与三角形相关的问题。
通过运用三角函数的知识，我们可以准确地计算并解决各类三角形相关的数学题。
本文将介绍三角函数的应用，并举例说明如何利用三角函数来解决三角形问题。
1. 正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常用的函数之一，它在解决三角形问题中具有重要作用。
我们知道，在一个任意三角形ABC中，正弦函数的定义为：sinA = 边BC/边AC，sinB = 边AC/边BC，sinC = 边AB/边AC。
根据这个定义，我们可以通过已知的边长和角度来求解未知的边长或角度。
举个例子，假设我们已知三角形ABC中的角A和边BC的长度，我们需要求解边AC和角B的值。
根据正弦函数的定义，我们可以列出以下方程：sinA = 边BC/边AC通过移项和替换公式，我们可以得到：边AC = 边BC/sinA角B = 180° - 角A - 角C通过以上公式，我们可以根据已知条件计算出边AC和角B的值，从而解决三角形问题。
2. 余弦函数的应用余弦函数也是三角函数中常用的函数之一，它在解决三角形问题中同样具有重要作用。
在一个任意三角形ABC中，余弦函数的定义为：cosA = 边BC/边AC，cosB = 边AC/边BC，cosC = 边AB/边AC。
同样地，我们可以通过已知的边长和角度来求解未知的边长或角度。
举个例子，假设我们已知三角形ABC中的角A和边AC的长度，我们需要求解边BC和角C的值。
根据余弦函数的定义，我们可以列出以下方程：cosA = 边BC/边AC通过移项和替换公式，我们可以得到：边BC = 边AC * cosA角C = 180° - 角A - 角B通过以上公式，我们可以根据已知条件计算出边BC和角C的值，从而解决三角形问题。
3. 正切函数的应用正切函数是三角函数中另一个常用的函数，它同样可以应用于解决三角形问题。
在一个任意三角形ABC中，正切函数的定义为：tanA = 边BC/边AC，tanB = 边AC/边BC，tanC = 边AB/边AC。
(完整版)三角函数解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值度0 30 45 6090 120 135 150 180︒270360弧度0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2π sin α1222 32132 22121cos α132 221212- 22-32-1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-无7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
三角形及三角函数公式
三角函数一共有6个:直角三角形中:正弦:sin 对边比斜边余弦:cos 邻边比斜边正切:tan 对边比邻边余切:cot 邻边比对边正割:csc 斜边比对边余割:sec 斜边比邻边设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosBa2=b2+c2-2bccosA由余弦定理可推导出:a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA海仑公式:SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/21 三角函数公式大全一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k·360)=sin αcos (α+k·360)=cos atan (α+k·360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ= 书p45 例5(2)sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5(1) cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式书p45 例4小计:57个另：三角函数口诀三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。
深入初二数学教材中的三角函数与解三角形
深入初二数学教材中的三角函数与解三角形在初二数学教材中，三角函数和解三角形是我们学习的重要内容之一。
通过深入学习这些知识点，我们可以更好地理解数学的运用和解决实际问题的能力。
本文将深入探讨初二数学教材中的三角函数和解三角形，并探索其应用。
1. 三角函数的基本概念三角函数是数学中研究角和角度的函数关系。
在初二数学教材中，我们主要学习了正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数可以用来描述角的特性，比如角度和边长之间的关系。
正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。
余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
2. 三角函数的性质和应用在学习了三角函数的基本概念后，我们需要了解它们的性质和应用。
三角函数具有周期性、奇偶性和单调性等特点，这些性质可以帮助我们解决各种问题。
周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
单调性：在定义域内，正弦函数和余弦函数都是周期性递增递减的。
三角函数的应用非常广泛，包括测量和角度的计算、物体的运动状态分析、电路中的交流电分析等。
它们在物理学、天文学、工程学等领域具有重要的作用。
3. 解三角形的方法解三角形是指已知三角形的一些边长或角度，求解其余的未知边长或角度。
在初二数学教材中，我们学习了两种常见的解三角形的方法：正弦定理和余弦定理。
正弦定理可以帮助我们求解三角形中的任意边长或角度。
它的表达式为a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
余弦定理可以帮助我们求解三角形中的边长。
它的表达式为c² = a²+ b² - 2ab*cosC，其中c为三角形的边长，a、b为与之相邻的两边，C为对应的夹角。
三角函数与三角形的关系与运用
正切函数的应用
工程和城市 规划
应用正切函数解 决建筑物倾斜度
等问题
电子技术和 通信
正切函数在信号 处理中的实际应
用
三角形角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 和边长比例
利用正切函数求 解实际三角形问
题
正切函数的变换
平移
改变正切函数的水平位置
伸缩
调整正切函数的振幅和周 期
反转
对正切函数图像进行上下 反转
旋转关系
正切函数与三角形旋转的 数学联系
02 增减性和最值
余弦函数在0到π上是递减的，在π到2π上是 递增的
03 与三角形内角的关系
余弦函数与三角形内角的关系密切，可以用 来求解三角形的内角大小
余弦函数的应用
测量和建模中的应 用
余弦函数可以用来测量角 度和模拟周期性现象
求解不定形三角形 中的边长和角度
通过余弦定理可以求解不 定形三角形内部的边长和 角度关系
三角函数的基本定义
正弦
定义为对边比斜 边
正切
定义为对边比邻 边
周期性
周期性为2π
余弦
定义为邻边比斜 边
三角形的特性与性质
锐角三角形
三个内角都小于 90°
三角形的周 长公式
周长等于三边之 和
三角形的面 积公式
面积等于底边乘 以高再除以2
内角和定理
三角形的内角和 为180°
三角函数与三角 形的关系
正弦函数的综合应用
正弦函数在数学和实际生活中都有着广泛的应用， 从测量角度到分析波动，正弦函数都发挥着重要 作用。通过对正弦函数的理解和运用，我们可以 更好地解决各种复杂的问题，探索事物背后的规 律。
● 03
第三章 余弦函数
三角函数解三角形
知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+== 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.A>B a>b sinA>sinB ⇔⇔，60⇔ A,B,C 成等差数列B=2.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 222a b cii A B C R R R===； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B典型例题：1.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 2.在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于（ ）A. 30B. 60C. 30或 150D. 60或120 3.在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20_______ 4.在△ABC 中，A=120°,B=30°,a=8,则c= 5.在ABC ∆中，,75,45,3 =∠=∠=C A AC 则BC 的长为_______6.在△ABC 中，已知a=5, c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 7.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( ) A ．9B ．18C ．93D ．1838.在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________ 9.已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝______余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-． 1.在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_______2. 在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_________3. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01504. 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = ( )(A)1010 (B) 105 (C) 31010(D) 555.在△ABC 中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC 的面积是6.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63D.637.在△ABC 中，若,120,3,5===C b a 则sin A 的值为（ ）A.1435 B. - 1435 C. 1433 D.- 1433 8. 在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 。
三角函数及解三角形知识点
三角函数知识点正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、角的极点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会集为k 360k 36090 , k第二象限角的会集为k 36090k 360180 , k第三象限角的会集为k 360180k 360270 , k第四象限角的会集为k 360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 ,k终边在 y 轴上的角的会集为k 180 90 ,k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k3、与角终边相同的角的会集为k 360, k4、已知是第几象限角，确定n* 所在象限的方法：先把各象限均分n 等n份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各地域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的地域．n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是l ．r7、弧度制与角度制的换算公式：2360 ，1， 1180．1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，则 l r ， C 2r l ，S 1lr1r 2．229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y ，它与原点的距离是 r r x2y 20 ，则sin y， cosx， tan y x 0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线： sin， cos， tan．12、同角三角函数的基本关系： 1 sin 2cos21sin 21cos2,cos2 1 sin2； 2sin tancossin tan cos,cos sin．tan yP T O M A x13、三角函数的引诱公式：1 sin 2k sin，cos 2k cos，tan 2k tan k．2 sin sin，cos cos，tan tan．3 sin sin，cos cos，tan tan．4 sin sin，cos cos，tan tan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5 sin cos，cos sin．226 sin cos，cos sin．22口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），获取函数 y sin x的图象．函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），获取函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，获取函数y sin x的图象；再将函数y sin x的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），获取函数y sin x的图象．函数 y sin x0,0 的性质：① 振幅：；②周期：2；③频率： f1；④相位：x；⑤初相：2．函数 y sin x，当 x x1时，获取最小值为 y min；当 x x2时，获取最大值为 y max，则1ymaxymin，1ymaxymin，x2x1x1 x2．222 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函性数y sin x y cos x y tan x质图象定义R R x x k, k2域值1,11,1R域最当 x 2k k当 x 2k k时，值2既无最大值也无最小值时，y max1；当x2k2k时， y min1．周2期性奇奇函数偶性在2k, 2k22单k上是增函数；在调性2k, 2k322k上是减函数．对对称中心 k,0k称对称轴性x k k2半角公式y max1；当x2kk时， y min1．2偶函数奇函数在 2k,2 k k上是增函数；在在 k2, k22k,2 kk上是增函数．k上是减函数．对称中心对称中心k,0kkk,022对称轴 x k k无对称轴sin(A/2)=√((1 -cosA)/2)sin(A/2)=-√((1 -cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1 -cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1 -cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1 -cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB辅助角公式sin cos2 2 sin，其中tan．降幂公式（sin^2 ） x=1-cos2x/2（cos^2）x=i=cos2x/2全能公式令 tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)公式一：设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin tan （2kπ＋α）＝（2kπ＋α）＝sin αtan αcoscot（2kπ＋α）＝（2kπ＋α）＝cosαcot α公式二：设α为任意角，π +α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin tan （π＋α）＝－ sin αcos（π＋α）＝－cosα（π＋α）＝ tan αcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 - α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sin αcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tan αcot（－α）＝－cot α公式四：利用公式二和公式三可以获取π - α与α的三角函数值之间的关系：sin tan （π－α）＝ sin α（π－α）＝－ tan αcoscot（π－α）＝－（π－α）＝－cosαcot α公式五：利用公式一和公式三可以获取2π - α与α的三角函数值之间的关系：sin tan （2π－α）＝－（2π－α）＝－sin αtan αcoscot（2π－α）＝ cosα（2π－α）＝－ cot α公式六：π/2 ±α及 3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π /2＋α）＝ cosαcos（π /2 ＋α）＝－ sin αtan （π /2＋α）＝－ cot αcot（π /2 ＋α）＝－ tan αsin（π /2－α）＝ cosαcos（π /2 －α）＝ sin αtan （π /2－α）＝ cot αcot（π /2 －α）＝ tan α( 以上 k∈Z)注意：在做题时，将 a 看作锐角来做会比较好做。
三角函数在三角形中的应用
三角函数在三角形中的应用三角函数是高中数学知识中比较重要的一部分。
在实际生活和工作中，三角函数有着广泛的应用。
其中，应用最为广泛的场景之一就是三角形中。
在三角形中，三角函数可以帮助我们求解各种角度、边长以及面积等问题。
接下来，就来看看三角形中三角函数的应用。
1. 正弦定理正弦定理是求解三角形中边长的公式之一。
它的表述方式比较简单，即：对角线等于对应正弦值两倍半径。
其中，对角线就是三角形中某个角的对边，半径就是三角形中这个角对应的圆的半径。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别为三角形中任意两条边的长度，A、B、C 为任意两个角度的角度值。
正弦定理的应用场景非常广泛。
比如，当我们知道三角形的三个角度以及其中一个角对应的边长时，可以利用正弦定理求出其它两个边长。
2. 余弦定理与正弦定理相似，余弦定理也是一种求解三角形边长的公式。
不过，它的表述方式与正弦定理略有不同，即：对角线平方等于两条相邻边平方的和减去两倍的乘积。
余弦定理可以表示为：cosA = (b² + c² - a²)/2bccosB = (c² + a² - b²)/2cacosC = (a² + b² - c²)/2ab其中，a、b、c分别为三角形中任意两条边的长度，A、B、C 为任意两个角度的角度值。
余弦定理的应用非常广泛。
比如，在三角形中，当我们知道三边的长度和其中一个角度的角度值时，可以利用余弦定理求出其它两个角度的角度值。
3. 正切函数正切函数是三角函数中最为常见的函数之一。
它的应用也非常广泛，特别是在三角形中。
在三角形中，正切函数可以用来求解两个角度之间的关系，或求解一个角度与其对边长度之间的关系。
具体来讲，当我们知道某个角度的角度值和其对边的长度时，就可以利用正切函数求解另外一个角度的角度值。
高中数学 三角函数与解三角形知识点总结
三角函数与解三角形一、三角函数的图象与性质 1．三角函数图象变换由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.2．三角函数的性质（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ； 函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -； 函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω； 函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数； 对于()c o s y A xωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数． （5）函数()()s i n 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定； 函数()()c o s 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()t a n 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定． 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ； 函数c o s (y Ax ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ； 函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.1．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）商的关系：sin cos tan ααα=． （3）常见变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-，sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=. 2．诱导公式3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z（1）2S α：sin 2α=2sin cos αα（2）2C α：cos 2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且5．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan baϕ=三、解三角形 1．正弦定理 （1）内容在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． （2）常见变形①sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c ====== ②;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ ③::sin :sin :sin ;a b c A B C =④正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. （3）应用①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．余弦定理 （1）内容三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，（2）余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===.（3）应用①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 3．解三角形的实际应用 （1）三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .①12S ah = (h 为BC 边上的高)；②111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；③1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．（2）解三角形实际应用题的步骤。
三角函数与解三角形题型
三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，它们在实际中应用广泛，如测量高度、角度、距离等。
下面简单介绍一些常见的三角函数应用和解三角形的题型。
1. 三角函数应用题型
(1) 根据两边求角/根据一边和一个角求另一个角/根据两角求第三角
这类题目通常需要用到三角函数的反函数和三角函数关系式，根据给定的两边或一个边和一个角或两个角，求第三个角的大小。
需要注意使用对应的三角函数和反函数，或者利用正弦定理和余弦定理。
(2) 根据两角求角平分线/垂直平分线等
这类题目通常需要应用三角函数、对称性质等知识，利用角平分线定理和垂直平分线定理求解。
(3) 根据角度求高度/距离等
这类题目常常需要使用正弦函数、余弦函数和三角函数关系
式，得出高度或距离与角度之间的关系，然后求解。
2. 解三角形题型
(1) 已知三角形其中两边和一个角
可以使用余弦定理和正弦定理，根据所求角的三角函数求解。
(2) 已知三角形的三边
可以使用余弦定理计算出角度，然后使用正弦定理求出其他角度或者用正弦函数/余弦函数计算出所求角对应的边。
(3) 已知三角形其中一个角和两边之比
可以用正弦函数或余弦函数计算出所求角的正弦值/余弦值，并根据三角函数关系式求解其他角度或边长。
在应用三角函数和解三角形的题型中，需要注意应用公式的正确性和相应角度的变化，考虑各种情况的可能性，带上单位，不要忘记计算结果的合理性等问题。
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三角函数与三角形(一) 知识点与重难点(1.ααπ→+k 2：ααπsin )2sin(=+k ,ααπcos )2cos(=+k ,ααπtan )2tan(=+kααπ→-2：ααπcos )2sin(=- ,ααπsin )2cos(=- , ααπcot )2tan(=- 2. ααπ→-：ααπsin )sin(=- ,ααπcos )cos(-=-, ααπtan )tan(-=-ααπ→+2： ααπcos )2sin(=+ ,ααπsin )2cos(-=+ , ααπcot )2tan(-=+ 3. ααπ→+：ααπsin )sin(-=+ ,ααπcos )cos(-=+, ααπtan )tan(=+：ααπcos )23sin(-=- , ααπsin )23cos(-=-,ααπcot )23tan(=- 4. ααπ→-2：ααπsin )2sin(-=- , ααπcos )2cos(=-ααπtan )2tan(-=-ααπ→+23：ααπcos )23sin(-=+ ,ααπsin )23cos(=+ααπcot )23tan(-=+αα→-：ααsin )sin(-=- , ααcos )cos(=-, ααtan )tan(-=-5. sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±, cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m6. tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m ,7. αααcos sin 22sin ==αα2tan 1tan 2+， tan 2α=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- =αα22tan 1tan 1+- 8. 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ 9．22222222cos sin ())a b a b a b a b a b ααααϕα+=+=++++10.三角函数的奇偶性和单调性具体如下表：函数 奇偶性单调区间sin y x =奇在[2,2]22k k ππππ-+上增 在3[2,2]22k k ππππ++减()k Z ∈cos y x =偶在[2,2]k k πππ-上增在[2,2]k k πππ+减()k Z ∈tan y x =奇在(,)22k k ππππ-+上增()k Z ∈11．三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；12．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；13．比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小．14.正弦定理：2sin sin sina b cRA B C===（R为ABC∆外接圆的半径）.2sin,2sin,2sina R Ab R Bc R C⇔===::sin:sin:sina b c A B C⇔=15.余弦定理：2222cosa b c bc A=+-;2222cosb c a ca B=+-;2222cosc a b ab C=+-.16.面积定理：（1）111222a b cS ah bh ch===（a b ch h h、、分别表示a、b、c边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(三)解题方法三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集(四) 典型例题与巩固练习例1（扬州市2011届高三数学第二轮调研试卷★）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++⑴求()f x 的最小正周期及对称中心；⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.注解：本题考查了半角公式、二倍角公式、和差角公式的应用以及三角函数图象与性质解：⑴()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+ ∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， --------------6分令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈，∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈； ------------8分⑵∵[,]63x ππ∈-∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2。
----------14分巩固练习：1. （2010湖南文数★）（本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-（I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
2. （2010江西理数★★）（本小题满分12分）已知函数()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
(1) 当m=0时，求()f x 在区间384ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围； (2) 当tan 2a =时，()35f a =，求m 的值。
3. （2010山东文数★★）（本小题满分12分）已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.4. （2010安徽★）已知函数2()sin 3sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=+⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围； （2）求函数()f x 的单调递减区间.例2（2011江苏★）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2） 若cb A 3,31cos ==，求C sin 的值.注解：本题考查和差角公式、角的范围限制、特殊值所对应的角以及余弦定理巩固练习：1. （2010年高考浙江卷★★）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 24C =-.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）当2a =，2sin sin A C =，求b 及c 的长.2. （2010年高考辽宁卷★★）（本小题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.3.（2010年全国★★）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足a 2 + c 2 – b 2 = 12ac ． ①求sin 22A C++ cos2B 的值； ②若b = 2，求△ABC 面积S 的最大值．4. （2010年福建★★）（本小题满分12分） △ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，且满足.222c b ab a =+-（1）求角C ；（2）若△ABC 的周长为2，求△ABC 面积的最大值。
例3（2009年江苏★★）（本小题满分14分） 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||+b c 的最大值; （3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b注解：本题考查到了向量的运算法则、向量垂直以及平行特殊性质、模的运算、和差角公式以及三角函数中最大值与最小值的处理，这是一题典型的向量与三角函数的结合题。
巩固练习：1. (2009年广东卷文★★)（本小题满分12分）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值2. （2011宿迁2模★★）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos b c A a C -=。
（1）求角A 的大小；（2）设2(0,1),(cos ,2cos )2C m n B =-=u r r ，试求m n+u r r 的最小值。
3.（2011泰州2模★★） 已知向量)1,(sin x a =ρ，)cos ,1(x b =ρ．（1）求满足a ρ∥b ρ的实数x 的集合；（2）设函数2||)(b a x f ρρ+=，求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时的值域．例4（2010陕西文数★）（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.注解：此题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的一些应用。
巩固练习：1. (2010年高考全国2卷理数17★）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． 2.（2009天津卷★★）（本小题满分12分） 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。