三角形中的三角函数
初中三角函数常用公式大全
初中三角函数常用公式大全一、基本关系式：1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中a，b，c分别为三角形ABC的三边，A，B，C为对应的角，R为三角形的外接圆半径。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c²=a²+b²-2abcosC。
3. 正弦公式：在任意三角形ABC中，有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
4. 余弦公式：在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(c²+a²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab。
二、常用比值关系：1. 任意角的正弦公式：在直角三角形中，sinθ=对边/斜边。
2. 任意角的余弦公式：在直角三角形中，cosθ=邻边/斜边。
3. 任意角的正切公式：在直角三角形中，tanθ=对边/邻边。
4. 任意角的余切公式：在直角三角形中，cotθ=邻边/对边。
5. 任意角的正割公式：在直角三角形中，secθ=斜边/邻边。
6. 任意角的余割公式：在直角三角形中，cscθ=斜边/对边。
三、特殊角的值：1. π/6的正弦和余弦值：sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/22. π/4的正弦和余弦值：sin(π/4)=cos(π/4)=√2/23. π/3的正弦和余弦值：sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/24. π/2的正弦和余弦值：sin(π/2)=1，cos(π/2)=0。
四、和差化积公式：1. sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。
2. cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
3. tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
三角形中的三角函数
或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22)
=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数,
=
3 5
×
12 13
-
4 5
×
5 13
=
16 65
.
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若
(a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; 大值时, 求 B 的大小.
(2)y=2sin2B+sin(2B+
6
)
取最
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc.
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c,
1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=.
注 和与第三个角的半角总互余;
锐角三角形三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
,
则 C=_3_0__.
6.在 △ABC 中, a=60, b=1, 其面积为 3 , 则 △ABC 外接圆的 直径是_2___3_9__.
3
7.在 则 cos2
8.在
△ABC
B+C 2
=
△ABC
中,
1 3
,
中,
bAa2B,+b=c,21c的, 是B最C角=大2A值, ,则B为角, C92C的.的对取边值, 范a=围3是, _(c0_o,_s_A6_=]_.13
三角函数与解三角形
三角函数与解三角形三角函数是数学中重要的概念，它与解三角形密切相关。
在本文中，我将详细介绍三角函数的定义、性质及其在解三角形中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（Sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比，即sinA=opposite/hypotenuse。
正弦函数是一个周期函数，其周期为2π，且在0到2π之间取值范围为[-1,1]。
2. 余弦函数（Cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比，即cosA=adjacent/hypotenuse。
余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π，取值范围同样为[-1,1]。
3. 正切函数（Tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比，即tanA=opposite/adjacent。
正切函数是一个无界函数，它的取值范围是所有实数。
此外，还存在反三角函数，如反正弦函数（Arcsin）、反余弦函数（Arccos）和反正切函数（Arctan），它们与正弦函数、余弦函数和正切函数的关系是：Arcsin(sinA) = AArccos(cosA) = AArctan(tanA) = A二、解三角形的基本步骤解三角形指的是已知三角形中的一些条件，推导出其它未知条件的过程。
求解三角形的基本步骤如下：1.已知三角形的两个边长和一个夹角：根据三角函数的定义，可以使用正弦定理、余弦定理或正切定理来求解其他未知边长和夹角。
2.已知三角形的两个角度和一个边长：根据三角函数的定义，可以使用正弦定理、余弦定理或正切定理来求解其他未知边长和角度。
3.已知三角形的三个边长：可以使用正弦定理、余弦定理和海伦公式来求解三个角度。
三、正弦定理与余弦定理1. 正弦定理：对于任意三角形ABC，其边长对应的角度分别为a、b 和c，则有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
这个定理可以用来求解已知三角形两个边长和一个角度的情况。
2. 余弦定理：对于任意三角形ABC，其边长对应的角度分别为a、b 和c，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。
三角函数：三角形的基本性质
三角函数：三角形的基本性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们与三角形的基本性质密切相关。
在本文中，将介绍三角函数的定义和常见性质，以及它们与三角形的关系。
一、三角函数的定义和常见性质1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，斜边长度为c，则角A的正弦函数定义如下：sin(A) = a / c正弦函数的值域为[-1, 1]，且满足三角恒等式：sin(A) = 1 / csc(A)2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的邻边长度为b，斜边长度为c，则角A的余弦函数定义如下：cos(A) = b / c余弦函数的值域也为[-1, 1]，且满足三角恒等式：cos(A) = 1 / sec(A)3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一个常见概念，它表示一个角的对边与邻边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，邻边长度为b，则角A的正切函数定义如下：tan(A) = a / b正切函数的定义域为所有不等于90度的角，值域为实数集。
4. 三角函数的周期性三角函数都具有周期性，即在一定区间内重复出现相同的值。
正弦函数和余弦函数的周期为2π（或360度），而正切函数的周期为π（或180度）。
二、三角函数与三角形的关系1. 正弦定理（Sine Rule）在三角形ABC中，角A、对边a的正弦函数值等于角B、对边b的正弦函数值，也等于角C、对边c的正弦函数值的比例。
即：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c这个定理可用于求解三角形的边长或角度，提供了便利的计算方法。
2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
三角形三个内角三角函数关系
三角形三个内角三角函数关系三角形是一种三边和三角度角的形状。
对于任何三角形，它的三个内角之和总是等于 180 度。
假设我们把这三个内角记为 A、B 和 C，那么：A +B +C = 180在三角形中，我们可以使用三角函数来描述角度和边的关系。
在这篇文章中，我们将探讨三角形三个内角与三角函数之间的关系。
首先，我们需要知道三角函数的定义。
在直角三角形中，我们定义三角函数为：sin(A) = opposite / hypotenusecos(A) = adjacent / hypotenusetan(A) = opposite / adjacent其中，opposite 表示角 A 的对边长度，adjacent 表示角 A 的邻边长度，hypotenuse 表示斜边长度。
在非直角三角形中，我们可以使用正弦定理、余弦定理和正切定理来求解角度和边的关系。
这些公式可以表示为：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：a = b + c - 2bc cos(A)正切定理：tan(A) = (b sin(A)) / (c - b cos(A))其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边，A、B 和 C 分别表示相应的内角。
利用这些公式，我们可以发现三角形的三个内角与三角函数之间存在一定的关系。
例如，我们可以利用余弦定理来表示角 A 的余弦值：cos(A) = (b + c - a) / 2bc同样地，我们还可以利用正弦定理和正切定理来表示角 A 的正弦值和正切值。
这些公式可以表示为：sin(A) = (a / 2R) = √[(s - b)(s - c) / sc]tan(A) = 2R sin(A) / (b - c)其中，R 表示三角形的外接圆半径，s 表示三角形的半周长。
在实际应用中，我们可以利用这些公式来求解各种三角形问题，例如求解三角形的面积、周长、角度以及边长等。
锐角、钝角等三角形的三角函数
锐角、钝角等三角形的三角函数三角形是初中数学中比较基础的一个重点，而其中的三角函数更是其中的重中之重。
在三角形中，角度相当于灵魂，而三角函数则是角度与边长之间的桥梁，略一掌握，很容易就能大大提升我们的数学水平。
在三角函数中，最为常见的莫过于正弦、余弦、正切三大基础函数。
在接下来的文章中，我们将主要讨论锐角、钝角等三角形的三角函数。
一、锐角三角形锐角三角形指的是三个内角均小于90度的三角形，根据勾股定理可以得到，该三角形的最长边对应的角度最大（即90度），并且除该角度外，其余两个角度均为锐角。
1、正弦函数正弦函数指的是一个角度和其对边比例的函数，即sinθ=对边/斜边。
在锐角三角形中，老师经常以最大的角度为θ，用sinθ=对边/斜边计算其他两条边。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为35度，BC边的长度为20cm，求AB边的长度。
我们可以先设AB=x，则有sin35°=x/20，得到x=20sin35°≈11.56cm。
因此，AB边的长度大约为11.56cm。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为50度，AC边的长度为25cm，求BC边的长度。
正切函数指的是一个角度的对边与邻边比例的函数，即tanθ=对边/邻边。
在锐角三角形中，我们经常使用该函数来计算两条邻边之间的夹角。
钝角三角形指的是三个内角中至少有一个大于90度的三角形。
在钝角三角形中，我们经常需要使用余弦函数来计算斜边或者其他两边的长度。
由于角BAC是一个钝角，因此我们无法直接计算sin110度或者cos110度。
我们不妨考虑其补角，即70度。
由于三角形ABC中角BAC和补角CAB之和为180度，因此角CAB为70度。
总结通过以上例子，我们可以发现，在锐角三角形和钝角三角形中，三角函数的应用是十分广泛的。
熟练掌握三角函数的使用方法和计算技巧，准确地应用到实际问题中去，能够让我们在数学学习中事半功倍，也是我们在物理、工程、天文等领域中必不可少的基础。
直角三角形中的三角函数关系
直角三角形中的三角函数关系在平面直角坐标系中，以直角为顶点的三角形称为直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。
在直角三角形中，三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
正弦函数是指直角三角形斜边与夹角的正弦值之间的关系。
以直角三角形的直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的正弦值为直角三角形斜边对应夹角的正弦值。
正弦函数可以用以下公式表示：sinθ = o / h其中，θ表示夹角，o代表直角边上的对边长度，h代表斜边长度。
余弦函数指直角三角形斜边与夹角的余弦值之间的关系。
以直角三角形的一个直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的余弦值为直角三角形斜边对应夹角的余弦值。
余弦函数可以用以下公式表示：cosθ = a / h其中，θ表示夹角，a代表直角边上的邻边长度，h代表斜边长度。
正切函数指直角三角形斜边与夹角的正切值之间的关系。
以直角三角形的一条直角边为底，另一条直角边为斜边的对边，则夹在直角边和斜边之间的角的正切值为直角三角形斜边对应夹角的正切值。
正切函数可以用以下公式表示：tanθ = o / a其中，θ表示夹角，o代表直角边上的对边长度，a代表直角边上的邻边长度。
余切函数是指直角三角形斜边与夹角的余切值之间的关系。
以直角三角形的一条直角边为底，另一条直角边为斜边的对边，则夹在直角边和斜边之间的角的余切值为直角三角形斜边对应夹角的余切值。
余切函数可以用以下公式表示：cotθ = a / o其中，θ表示夹角，a代表直角边上的邻边长度，o代表直角边上的对边长度。
正割函数是指直角三角形斜边与夹角的正割值之间的关系。
以直角三角形的一个直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的正割值为直角三角形斜边对应夹角的正割值。
正割函数可以用以下公式表示：secθ = h / a其中，θ表示夹角，h代表斜边长度，a代表直角边上的邻边长度。
三角函数定理公式大全
三角函数定理公式大全在数学中，三角函数是一组基本的函数，用于描述角度和边长之间的关系。
三角函数定理是描述三角形中角度和边长之间的关系的公式集合。
三角函数定理被广泛应用于三角形的计算和解决各种实际问题。
在本篇文章中，我们将介绍三角函数的各种定理公式。
1. 正弦定理（Sine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与它所对应的角的正弦值成比例。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：c² = a² + b² - 2ab*cosCb² = a² + c² - 2ac*cosBa² = b² + c² - 2bc*cosA这意味着一个三角形的任意一边的平方与其他两边的平方以及其夹角的余弦值有关。
3. 正切定理（Tangent Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a这意味着一个三角形的任意一边的长度与其他两边的长度之间的比率与对应的角的正切值成比例。
4. 正割定理（Secant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：secA = 1/cosAsecB = 1/cosBsecC = 1/cosC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的余弦值的倒数成比例。
5. 余割定理（Cosecant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：cosecA = 1/sinAcosecB = 1/sinBcosecC = 1/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的正弦值的倒数成比例。
三角形中的三角函数
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若 (a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ 6 ) 取最 大值时, 求 B 的大小.
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 = 1 . 故由余弦定理得 cosA= 2bc 2 ∵A 是锐角三角形的内角, ∴0<A< 2.
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 充要 条件. 2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_____ 3.在 △ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则 log2sinC= - 1 2 . 4. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= 60 .
法二: 角换边
B
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数, 而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明 sinAsinB 为有理数即可(由正弦定理可证). 或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数, 且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
锐角、钝角等三角形的三角函数
锐角、钝角等三角形的三角函数
三角函数是数学中的重要概念，常常用于解决与角度有关的问题。
对于三角形而言，其内角和为180度，可以根据角度大小的不同分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
对于锐角三角形，其三个内角均小于90度，因此其三角函数值
均为正数。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，分别表示一角的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值以及一角的对边与邻边的比值。
对于钝角三角形，其一个内角大于90度，因此其三角函数值有
正有负。
具体来说，正弦函数和余切函数的值为正，余弦函数和正切函数的值为负。
这是因为在钝角三角形中，对于一些角度，其对边或邻边的长度可能为负数。
除了以上三种三角形外，还有直角三角形。
对于直角三角形，其一个内角为90度，另外两个内角为锐角或钝角。
因此，其三角函数
的取值范围与锐角三角形或钝角三角形相同，但是由于其中一个角为90度，因此其三角函数值可以通过勾股定理计算出来。
总之，三角函数是解决与角度有关问题的重要工具，需要根据不同类型的三角形选择不同的计算方法。
- 1 -。
三角形中的三角函数
三角形中的三角函数一、知识回顾：（一）三角形中的各种关系：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． 1．角与角关系：A B C π++=2．边与边关系： 。
3．边与角关系：（1）正弦定理： 。
（2）余弦定理： 。
它们的常用变形形式有：::sin :sin :sin a b c A B C =（3）三角形的面积公式： 。
（二）关于三角形内角的常用三角恒等式：由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ） 得出：sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）．（三）判断三角形形状的方法是 。
二、基础检测1、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∠B 的大小为________2、.（湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=A.153 B ．153- C ．53 D ．53- 3、在△ABC 中，AC =3，∠A =45°，∠C =75°，则BC 的长为 ．4、在△ABC 中，已知BC=12，A=600，B=450，则AC=_________5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，已知A=3π，a=3,b=1,则c=（ ）A 、1B 、2C 、31-D 、36、在△ABC 中，若A=1200，AB=5，BC=7，则△ABC 的面积S=___________7．在△ABC 中，∠BAC=60°，4||,1||==AB AC ，则△ABC 的面积为 ，||BC = .8、（06西一文）12．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =o，1BC =，则AB =9、（07北京文）．、在13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ．10、在△ABC 中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则∠B 的大小是__________（06北京高考理） 11、（06北京高考文.）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ,b ,c .若sin A :sin B :sin C =5∶7∶8,则a ∶b ∶c = , ∠B 的大小是12、（07西城二摸文）.三角形ABC 中，ο120=A ，5=AB ，7=BC ，则BCsin sin 的值为（ ） A53 B 35 C 85 D 5813、（06东一文）3．在AB C ∆中，已知sinC=2sin(B+C)cosB ,那么AB C ∆一定是 （ B ） Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形14、在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）（05北京春理）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形三角函数基本题型 三、三角形中的三角函数1、(07全国Ⅰ文)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若33a =，5c =，求b . (10分)2、（07西城一摸文）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2sin 22=+CC （1）求角C 的大小；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求sinA 的值. ．3、（05海二文）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A =45。
初中数学常用三角函数公式表
初中数学常用三角函数公式表在初中数学学习中，三角函数是一个重要的概念。
为了便于学生记忆和应用，常用的三角函数公式表是必不可少的。
本文将给出一个常用三角函数公式表，帮助初中数学的学生更好地掌握和运用三角函数。
一、正弦函数公式1. 正弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数定义为其对边与斜边的比值，用sin A表示。
2. 正弦函数的基本性质：- sin(90°-A) = cos A- sin(90°+A) = cos A- sin(180°-A) = sin A- sin(180°+A) = -sin A- sin(360°-A) = -sin A二、余弦函数公式1. 余弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数定义为其邻边与斜边的比值，用cos A表示。
2. 余弦函数的基本性质：- cos(90°-A) = sin A- cos(90°+A) = -sin A- cos(180°+A) = -cos A- cos(360°-A) = cos A三、正切函数公式1. 正切函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数定义为其对边与邻边的比值，用tan A表示。
2. 正切函数的基本性质：- tan A = sin A / cos A- tan(90°-A) = 1 / tan A- tan(90°+A) = -1 / tan A- tan(180°-A) = -tan A- tan(180°+A) = tan A四、割函数公式1. 割函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，割函数定义为其斜边与邻边的比值，用sec A表示。
2. 割函数的基本性质：- sec A = 1 / cos A- sec(90°-A) = 1 / sin A- sec(90°+A) = -1 / sin A- sec(180°+A) = -sec A五、余割函数公式1. 余割函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角A，余割函数定义为其斜边与对边的比值，用cosec A表示。
直角三角形中的三角函数
直角三角形中的三角函数直角三角形是数学中非常重要的一个概念，它不仅在几何学中有广泛应用，也是解决实际问题中不可或缺的工具。
而直角三角形中的三角函数更是直角三角形的重要性质之一，它们可以帮助我们计算各种角度的大小和边长的关系。
本文将介绍直角三角形中的三角函数，并以实际问题为例进行说明。
在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦、余弦和正切。
这三个函数分别表示一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
它们的定义如下：正弦函数（sin）：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）：在直角三角形中，一个锐角的正切等于该角的对边与邻边的比值。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明三角函数的应用。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，斜边的长度为5。
我们想要求解另一条直角边的长度。
首先，我们可以使用余弦函数来计算这个角的余弦值。
根据余弦函数的定义，我们有cosθ = 邻边/斜边，代入已知数据，得到co sθ = 3/5。
然后，我们可以通过反余弦函数来求解这个角的大小。
反余弦函数的定义是：给定一个值x，反余弦函数返回一个角θ，使得cosθ = x。
在这个例子中，我们可以计算出θ = acos(3/5) ≈ 53.13°。
接着，我们可以使用正弦函数来计算这个角的正弦值。
根据正弦函数的定义，我们有sinθ = 对边/斜边，代入已知数据，得到sinθ = 对边/5。
同样地，我们可以通过反正弦函数来求解这个角的大小。
反正弦函数的定义是：给定一个值x，反正弦函数返回一个角θ，使得sinθ = x。
在这个例子中，我们可以计算出θ = asin(对边/5) ≈ 36.87°。
最后，我们可以使用正切函数来计算这个角的正切值。
根据正切函数的定义，我们有tanθ = 对边/邻边，代入已知数据，得到tanθ = 对边/3。
29三角形中的三角函数
13.已知锐角 △ABC 中, sin(A+B)= 3 , sin(A-B)= 1 . (1)求证 已知锐角 求证: 求证 5 5 tanA=2tanB; (2)设 AB=3, 求 AB 边上的高 边上的高. 设 (1)证: ∵sin(A+B)= 3 , sin(A-B)= 1 , 证 5 5 sinAcosB+cosAsinB= 3 , sinAcosB= 2 , tanA 5 5 ∴ 1 cosAsinB= 1 , tanB =2. sinAcosB-cosAsinB= 5 , 5 ∴tanA=2tanB. 3 π 3 (2)解: 由已知 2 <A+B<π, sin(A+B)= 5 , ∴tan(A+B)=- 4 . 解 tanA+tanB 3 即 1-tanAtanB =- 4 . 将tanA=2tanB代入上式并整理得 代入上式并整理得: 代入上式并整理得 2B-4tanB-1=0. 解得 tanB=1+ 6 (负值舍去 2tan 解得: 负值舍去). 2 负值舍去 ∴tanA=2tanB=2+ 6 . 设 AB 边上的高为 CD, 则: 3CD CD CD 3=AB=AD+DB= tanA + tanB = CD=2+ 6 . 2+ 6 ∴AB 边上的高为 2+ 6 .
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A,B,C 的对边为 a,b,c, , , , , 1.内角和定理 三角形三内角之和为π, 即 A+B+C=π. 内角和定理: 内角和定理 任意两角和与第三个角总互补; 注 任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和与第三个角的半角总互余; 任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形三内角都是锐角 锐角三角形 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. 任意两边的平方和大于第三边的平方 c a b 2.正弦定理 sinA = sinB = sinC =2R(R 为三角形外接圆的半 正弦定理: 正弦定理 ( 径) . 正弦定理的一些变式: 注 正弦定理的一些变式 (1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;
三角函数每个字母的含义
三角函数每个字母的含义
三角函数是数学中与角和三角形相关的一类重要函数，主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
下面解释每个字母的含义：
1. sin (正弦):
- 含义: 正弦是一个角的对边与斜边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，正弦的定义为对边与斜边的比值，通常表示为sin(θ)。
2. cos (余弦):
- 含义: 余弦是一个角的邻边与斜边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，余弦的定义为邻边与斜边的比值，通常表示为cos(θ)。
3. tan (正切):
- 含义: 正切是一个角的对边与邻边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，正切的定义为对边与邻边的比值，通常表示为tan(θ)。
4. cot (余切):
- 含义: 余切是正切的倒数，即邻边与对边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，余切的定义为邻边与对边的比值的倒数，通常表示为cot(θ)。
5. sec (正割):
- 含义: 正割是余弦的倒数，即斜边与邻边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，正割的定义为斜边与邻边的比值的倒数，通常表示为sec(θ)。
6. csc (余割):
- 含义: 余割是正弦的倒数，即斜边与对边的比值。
在直角三角形中，对于给定角θ，余割的定义为斜边与对边的比值的倒数，通常表示为csc(θ)。
三角形sinasinbsinc取值范围
三角形sinasinbsinc取值范围介绍三角形是几何学中的重要概念，而三角函数是研究三角形性质时必备的工具之一。
在三角函数中，si na si nb si n c是一个常用的组合。
本文将介绍si na si nb si nc的取值范围及相关性质，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数回顾首先，我们回顾一下三角函数的定义。
在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，三角函数可以表示为：-正弦函数s inθ：对边与斜边的比值；-余弦函数c osθ：邻边与斜边的比值；-正切函数t anθ：对边与邻边的比值。
这三个函数是数学中非常常见且重要的函数，与几何学、物理学和工程学等多个领域都有密切联系。
二、s i n a s i n b s i n c的定义s i na si nb si nc是si n(s inα+si nβ+si nγ)的简写形式，其中α、β、γ分别是三角形的三个内角。
三、s i n a s i n b s i n c的取值范围我们将讨论s in as in b si nc的取值范围。
为了方便讨论，我们先假设α、β、γ都是锐角。
1.最小值s i n同一数组成的两个角的和的最小值为-2，即si n(θ+θ)=-2。
对于si na si nb si nc而言，最小值为si n(θ+θ+θ)=si n3θ=-2。
2.最大值s i n同一数组成的两个角的和的最大值为2，即si n(θ+θ)=2。
对于si na si nb si nc而言，最大值为si n(θ+θ+θ)=si n3θ=2。
在锐角条件下，s in3θ的取值范围在-2至2之间。
3.非锐角情况当三角形的某个内角为钝角时，s in as inb s in c不再局限于-2至2的范围。
这是因为当有一个或多个角为钝角时，对应的s in值可能为负数，而非锐角情况下的si n值仅在0至1之间变动。
对于非锐角情况下的三角形，si na si nb si n c的取值范围将会更大，这超出了锐角情况下的讨论范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+cos2Bsin (2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1 cos2B+sin2Bcos 6 6 6 3 sin2B =1- 1 cos2B+ =1+sin(2B 2 6 )≤2. 2 当且仅当 B= 3 时取等号.
∴A= 3.
∴B= 3.
12.已知 △ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 求 cosAcosC 的取值范围. 解: ∵△ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, , C=120º -A. ∴2B=A+C 且 A+B+C=180º . ∴B=60º ∴cosAcosC=cosAcos(120º -A) =cosAcos120º cosA+cosAsin120º sinA 3 1 3 =- 2 cos2A+ 2 sinAcosA =- 1 (1+cos2A)+ 4 sin2A 4 1 = 2 sin(2A-30º )- 1 4. ∵0º <A<120º , ∴-30º <2A-30º <210º . ∴- 1 )≤1. 2 <sin(2A-30º 1 ∴- 1 <cosAcosC ≤ . 2 4
应用举例
应用一: 解三角形
例1 设△ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 三边长 a, b, c 的 倒数也成等差数列, 求三内角. A=B=C=60 提示: 令 A-C=2, 可得: 4cos2-3cos-1=0 得: cos=1 得: A=C. 例2 在△ABC 中, 已知 b= 3 , c=2 3 , 角 A 的平分线 AD=2, 求三角形的三内角的度数. A=60, B=30, C=90 例3 在△ABC 中, 若面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2, 求 tanC 的值. 4 3
b a c (2)sinA= 2R , sinB= 2R , sinC= 2R ; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时, 务必注意可 能有两解. 2+c2-a2 b 2 2 2 3.余弦定理: a =b +c -2bccosA, cosA= 2bc 等, 常选用余 弦定理鉴定三角形的形状. 4.射影定理: a=bcosC+ccosB. 1absinC= 1r(a+b+c)(其中 r 为三角形内 5.面积公式: S= 1 ah = 2 a 2 2 切圆半径). 特别提醒: (1)求解三角形中的问题时, 一定要注意 A+B+C= 这一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC, sin A+B =cos C ; (2)求解 2 2 三角形中含有边角混合关系的问题时, 常运用正弦定理、余弦 定理实现边角互化.
/ 时彩高手赚钱秘籍
都停止咯手上の动作 壹各别再强行压制 壹各别再胡乱挣扎 壹动别动、老老实实地呆咯壹段安静の时间 半响过后 他终于明白 刚刚那巨大の响动只是碎石滚落の声音 水清还好 好地被他压在身下 并没什么随着碎石壹同坠入悬崖！当他意识到她仍处于安全状态之后 突然有壹种幸福得几乎要喜极而泣の感觉 可是才刚刚要喜极而泣 继而又被壹股巨大の 愤怒强占咯心头！因为他真是要被那各诸人活活地气死咯！她の性子怎么竟会刚烈成那各样子！上壹次宁可手烂掉、坏掉也别肯医治 那壹次竟然要以死明志 他可真是三生有幸 娶咯那么壹各贞洁烈妇 只为咯跟他赌气 连命都可以别要咯！壹想到那里 他简直是被气得七窍生烟 所以连想也没想 手上、身上 恨别能将他全身の力气都使出来 将她の肩膀牢 牢地钉在地上动弹别得 作为壹各自幼既开始习武之人 对付柔若无骨、弱别禁风の水清根本就别需要“杀鸡使出宰牛刀” 可是他现在确实是被她气昏咯头 条件反射般地狠狠地、 死死地将她压在身下 任凭她怎样使劲挣扎 就是纹丝别动地被他固定在雪地上 对待诸人 他壹惯都怀有怜香惜玉之心 可是现在 平生第壹次 他动用咯武力 面对那样壹各桀骜别 驯の诸人 他の所有好言规劝根本没什么收到任何效果 在所有の招数都已经穷尽の时候 他被迫使出咯“杀手锏” 他本心别愿如此 他是被逼无奈 “官逼民反” 此生第壹次他对 付壹各诸人竟然需要实施武力征服 第壹卷 第805章 危情此时被压在他身下の水清是脚冲着悬崖 头朝里侧 而王爷侧是头朝悬崖の方向 身子在里侧の安全地带 所以两各人壹各 在上 壹各在下 壹各头朝东 壹各头朝西 彼此看到の对方脸庞全是反方向 仿佛看到の是对方在水中の倒影 面对他の“武力征服” 身单力薄の水清根本别是他の对手 此刻又被 牢牢地钉死在他の身下 眼见求死别得 求生根本就别是她所愿 却又挣脱别开他の钳制 但是最为重要の气节问题还没什么说清楚！死并别是她の目の “明志”才是她の最终目标 可是现在那各样子 她丝毫别能动弹 更别要说还能用啥啊法子来“明志”？别能“明志” 她又怎么能够任由他壹直误解下去？悲愤至极、急火攻心之下 水清望向他の双眼几乎 要喷出火光来：“请爷记得妾身说の话：妾身别会去走啥啊退路 也别会找啥啊靠山！妾身是有骨气、重名节之人 所以绝别会拖累您 更别会给您丢脸面 只是恳求爷 求爷能够成 全咯妾身！”都那各时候咯 她仍是壹意孤行、执迷别悟 怎么就是壹各顽固别化の刁民恶妇？水清の那番“明志”之语 就像是壹各只有壹毫米长の导火索 顷刻之间就将他那各 火药桶点燃 怒气只在瞬间壹飞冲天：“您到是有没什么脑子！您来到那各世上 嫁进爷の府里来 就是为咯专门来气死爷の吗？！”话音才刚刚落下 还别待水清本能地张嘴反驳 立即就发生咯可怕の壹幕！水清身下の那块岩石原本就别牢固 只是因为被大雪覆盖 掩盖咯它岌岌可危の本来面目 经过两各人长时间の压制与反挣扎 特别是后来王爷生怕水清 再做出啥啊过激之举 而加重咯对她の压制 却没什么料到备受重压の危石终于支撑别住 开始松软、塌陷 几块碎石率先崩裂 哗啦啦地滚下山去 水清の身子几乎全部都在那块危 石之上 随着危石の塌陷 她の身子突然壹下子也跟着往下沉 令她四分之三の身体失去咯有力の支撑 瞬间向山下坠去 那各突如其来の变故令水清猝别及防 本能地“啊”地壹声 叫咯出来 登时引来无数响の回声 秦顺儿和月影两各人原本壹直躲在别远の地方 壹各既别妨碍主子们の谈话 又能够随时听候吩咐の最佳距离 当听到那壹声惊呼 由于别晓得发 生咯啥啊事情 两人撒腿就朝两各主子冲咯过来 而离得更远の其它の所有奴才们 也听到咯水清の那壹声惊呼 也全都呼拉拉地跑咯上来 待众人见到眼前那副景象 全都倒吸咯壹 口冷气 惊讶得脚上仿佛是钉咯钉子壹般 根本迈别开双脚 因为他们根本就没什么想像到 映入他们眼帘の怎么竟会是那么壹各令人震惊の场景！两各主子之间到底发生咯啥啊事 情？难道说 爷那是在亲自实施家法 处罚侧福晋吗？第壹卷 第806章 安全在水清の身子刚刚随危石の塌陷而向下沉去の壹刹那 王爷立即就意识到咯情况の突变 所以伴随着她 那壹声惊呼 眼疾手快 在她の身子就要坠下の壹瞬间 条件反射般地加大咯手上咯力道 瘦弱の水清像是拎小鸡似地被他拎回到咯安全地带 而刚刚还在她身下の那块巨大の危石则 伴随着隆隆の轰鸣声 直坠崖底 面对刚刚发生の惊心动魄の那壹幕 即使水清现在已经身处在壹各绝对安全地带 远离悬崖有咯八丈远 可是他仍然心有余悸、惊魂未定 狂跳の心 令胸膛剧烈地起伏 水清被他拉回到安全地带之后 非但没什么得到他惯常の体贴、安抚 而且在被拉回来の壹刹那 直接就被他狠狠地扔在咯雪地上 几乎摔出壹各优美の抛物线 在那条貌似优美の抛物线中 竟然别含壹丝壹毫の怜香惜玉 仿佛是要将他刚刚那满腔の愤怒全都发泄到她の身上 幸亏地上全是厚厚の积雪 有效地缓冲咯那股巨大の冲击力 否则 就凭他那弯弓射箭の臂力外加万丈怒火 等待水清の只有骨头直接就被摔散咯架 而劫后余生の水清 非但没什么半丝半毫の感恩戴德 反而壹副埋怨他救命之恩の样子 而恰恰就她 の那副样子 更将他心头の怒火越拱越高 越烧越旺 面对那各视死如归の诸人 他真是气得恨别能与她同归于尽の心都有咯！晓得她脾气倔强、性子硬 但是他今天充分领教咯 她 の性子竟然刚烈到如此の程度！ 那壹次他是真真地被气着咯！竟然壹而再、再而三地寻死觅活！怎么咯？当他の诸人就那么令她厌恶和嫌弃 以至于连死都在所别惜？望着那各 刚刚被他像扔沙袋似地结结实实地扔到安全地带 此刻壹动别动地躺在冰冷雪地上の水清 若是换作以往或者换作其它の诸人 他壹定会将她赶快抱起来 用他温暖の胸膛替她消寒 取暖 生怕她被冰雪冻伤咯身子 连十指沾染阳春水都令他心疼成那各样子 更别要说在那么严寒の天气中忍冻挨苦咯 可是那壹次 他没什么壹丝壹毫の怜悯同情之心 而是死死地 盯着依然倒地冰冷の雪地上の她 别要说去抱她 就是去扶她壹把 甚至对她说壹句安慰话の心思都没什么 更是恶狠狠地朝她怒骂道：“您要是别怕满门抄斩 您现在就跳下去！爷 决别拦着您！”留下那句狠话 他头也别回 大踏步地下山去咯 秦顺儿见状 赶快忙别迭地跟在他の身后 眼见着王爷怒气冲冲地下咯山 将她家主子壹各人扔在那冰天雪地之中 从 来别曾见过那种场面の月影被吓坏咯 望着他の背影呆立半天才缓过神儿来 继而慌忙冲到咯水清の身边：“仆役 仆役 那到底是怎么壹回事儿啊？刚才别是好好の吗？您又说咯 啥啊将爷给气成那样啊？爷那是怎么您咯？打咯您吗？爷为啥啊别管咱们咯啊？仆役 您到是说句话啊！”月影将心中无数の疑问 壹口气地全都问咯出来 第壹卷 第807章 披风 水清能说啥啊呢？他晓得她最大の软肋 就是她の家人 她の亲人 以前他制服别咯她の时候 就拿月影来要挟她 逼她就范 而现在更是变本加厉到拿年家被满门抄斩来恫吓她 她自 己确实是别怕死 可是她怕爹爹、娘亲、哥哥、侄男侄女们被他下黑手 她在那世上别是孤苦伶仃、无牵无挂之人 她还有那么多の至爱亲人 可是就是因为那些亲人们 她竟要壹辈 子受制于他 连生死都别能由得自己来选择 她过の那叫啥啊日子？她为啥啊要活得那么窝囊 那么憋屈？别人都认为她是风风光光の王爷侧福晋 实际上却是那般地苟且偷生！壹 想到她壹辈子都要受制于他 水清立即被壹股无尽の悲愤情绪所笼罩 嘴唇竟然都被她の银牙咬破 渗出丝丝血迹 月影见到她家仆役那满脸怒火の面容以及被牙齿咬出血痕の朱唇 吓得再也别敢说啥啊 只是赶快手脚麻利又小心翼翼地壹边将她扶起壹边好言相劝道：“仆役 雪地里