安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学(文科)试题(含答案)

合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}04A x x =<<，{}42B x x =-<≤，则A B =( )A.()0 4，B.(]4 2-，C.(]0 2，D.()4 4-， 2.若复数z 满足1i 1iz -=-，则z =( )3.若双曲线2221y x m-=(0m >)的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是( )A.244.在ABC ∆中，13BD BC =，若 AB a AC b ==，，则AD =( ) A.2133a b + B.12a b + C.12a b - D.21a b -5.( )A.1π B.2π C.12π D.11π- 7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈10=尺) ( ) A.1946立方尺 B.3892立方尺 C.7784立方尺 D.11676立方尺8.若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 B.函数()g x 的周期是2πC.函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增D.函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是19.设函数()()ln 010xx x f x e x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，，，若函数()()g x f x b =-有三个零点，则实数b 的取值范围是( ) A.()1,+∞ B.21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.(1,){0}+∞D. (]0 1，10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( ) A.1712π+ B.1212π+ C.2012π+ D.1612π+11.函数()2sin f x x x x =+的图象大致为( )12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0，1)，(0，3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y kx =(0k >)关于y 轴对称，则k 的最小值为( )C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若“2x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是 . 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51310a a -=，则13S = .15.若sin 6x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 16.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别为12F F ，，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若4a c ==，ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =. (Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF G ABE -的体积.19.(本小题满分12分)为了了解A(Ⅰ)y x r y x 与(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个). 参考公式：()()niix x yy r--=∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑，3.6056，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑，20.(本小题满分12分)已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2C y px =(0p >)相切. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数()223ln f x x ax a x =-+(a R ∈). (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的2x e ≥(e 为自然对数的底数)，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 极坐标方程为24sin 3ρρθ=-.(Ⅰ)写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若P Q ，分别为曲线1C 和2C 上的动点，求PQ 的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2m > 14.65 15.13三、解答题：17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1sin sin sin sin 02B C C C B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1sin 02C C =，∴s in 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………5分(Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ∵0b >，∴2b =，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=…………………………12分18.(本小题满分12分) (Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF =， ∴四边形C D F G 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面B C G F ，且交线为BC ，CG ⊂平面B C G F ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. …………………………5分 (Ⅱ)∵三棱台A B C E F G -的底面是正三角形，且2CB GF =， ∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===.由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆2BC =，1GF =. ∵直角梯形B C G F∴()122CG +⋅=，∴CG∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=.…………………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)20161x y ==，，()()3.60.753.6056niix x yy r --==>∑， ∴y x 与线性相关性很强. …………………………5分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014ii i ii xx y y bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑，ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. 当2019x =时，ˆ0.36724.762.08y x =-=， 即A 地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切. 由2102x y y px-+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y p y p -+=，从而2480p p ∆=-=，解得2p =. ∴抛物线C 的方程为24y x =. …………………………5分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，). 由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=， ∴124y y t +=，从而21242x x t +=+，∴线段AB 的中点M 的坐标为(221 2t t +，).设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d，点M 到直线l 的距离为d ，则221322124A B d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭，∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l . …………………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，).()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==.⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，() a +∞，，由()0f x '<解得2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. ∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，，单调递减区间是2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，. …………………………5分(Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增，∴()2422()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意.②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在 0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，上单调递增，在2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减.(ⅰ)若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()20f e ≥，且()0f a ≥. 而当22≥a e 时，()22242223(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立.∴22a e ≥符合题意.(ⅱ)若22ae a <≤时，()f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可，此时()22223l n (l n 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立， ∴222e a e ≤<符合题意.(ⅲ)若2e a >，()f x 在)2e ⎡+∞⎣，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()2422320f e e ae a =-+≥， 即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥， ∴202e a <≤符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是)222e e ⎛⎤⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝⎦，，. …………………………12分22.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +=-，即()2221x y +-=.…………………………5分(Ⅱ)设P 点的坐标为(2cos sin θθ，).21PQ PC ≤+11=当2sin 3θ=-时，m a x PQ 1. …………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤， 所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-， 所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立.当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =时等号成立)，所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。