高中数学第三章变化率与导数31变化的快慢与变化率导学案2北师大版1-1.
2017_2018学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_120170830386
(3)平均变化率表示为
������(������2 )-������(������1) ������2 -������1
.
(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 名师点拨对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨 胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函 数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程 度是平均变化率的“视觉化”.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
求平均变化率
【例1】 已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与g(x)在3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率. Δ������ 分析先求 Δx=x2-x1,再求 Δy,计算或化简Δ������即可. 解(1)①∵Δx=-1-(-3)=2,
【做一做】 自由落体物体的运动方程是 s(t)=2gt2 (s 单位:m,t 单位:s), 物体在 t=3 s 这一时刻的速度是
解析:Δs= g(3+Δt)2 - g×32 =3gΔt+ g(Δt)2 ,
������ ������ 1 2 1 2 1 2 1 2 3������������ +2������(������) ������
3.1 变化的快慢与变化率
学 习 目 标 1. 通过实际例子理解平 均变化率的概念. 2. 会求函数的平均变化 率. 3. 理解平均变化率在实 际问题中的意义.
思 维 脉 络
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)自变量的改变量为x2-x1,记作Δx. (2)函数值的改变量为f(x2)-f(x1),记作Δy.
2021学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率学案含解析北师大版选修1_1.doc
§1 变化的快慢与变化率授课提示：对应学生用书第30页一、平均变化率定义对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)．它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1实质 函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy ＝f (x 2)－f (x 1))与自变量的改变量(Δx ＝x 2－x 1)的比值作用 刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢二、瞬时变化率定义对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 趋于函数在x 0点的瞬时变化率实质 平均变化率为当自变量的改变量趋于0时的值 作用 刻画函数值在x 0点处变化的快慢[疑难提示]对平均变化率的正确理解(1)Δx 的意义：Δx 是相对于x 1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x 1＋Δx 代替x 2.(2)Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0，式子中Δx ，Δy 的值都可正可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0，当f (x )为常数函数时，Δy ＝0.(3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率．(4)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达形式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[想一想]1．“瞬时变化率”刻画了函数的什么特征？ 提示：它刻画了函数在一点处变化的快慢．[练一练]2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)解析：根据定义，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 答案：D3．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ________0.(填“>”“<”或“≠”) 答案：≠授课提示：对应学生用书第31页探究一 求平均变化率[典例1] 已知函数f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[解析] (1)由已知得Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx . (2)由(1)可知：Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝2，Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝1，Δx ＝12时，Δy Δx ＝4×1＋2×12＝5.1．求函数f (x )在[x 1，x 2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)先求Δx ＝x 2－x 1； (2)再求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)由定义求出Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”；(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式；(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．1．求函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解析：∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx . 即平均变化率为－8－2Δx . 2．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx ，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解析：(1)Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－2x 21－3x 1＋5 ＝4x 1Δx ＋2(Δx )2＋3Δx .当x 1＝4，且Δx ＝1时，Δy ＝4×4×1＋2＋3＝21， 所以平均变化率Δy Δx ＝211＝21.(2)当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，Δy ＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率Δy Δx ＝1.920.1＝19.2.(3)在(1)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．探究二 求瞬时变化率[典例2] 在赛车中，赛车位移与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时，Δs 与ΔsΔt 的值；(2)求t ＝20时的瞬时速度．[解析] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)Δs Δt ＝10×(20＋Δt )＋5×(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210.当Δt 趋于0时，5Δt ＋210→210(m/s)， 因此，t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.1．求瞬时变化率时首先要明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．2．瞬时速度是平均速度在时间改变量趋向于零时，平均变化率逼近的值．3．一个物体的运动方程为s ＝1－t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬间速度是( )A ．1米/秒B ．－1米/秒C ．2米/秒D ．－2米/秒解析：由Δs Δt ＝[1－(3＋Δt )]－(1－3)Δt ＝－ΔtΔt ＝－1，得物体在3秒末的瞬间速度是－1米/秒．答案：B4．已知s (t )＝5t 2，(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度． 解析：(1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)＝3.05， ∴Δs Δt ＝3.050.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01，Δs ＝s (3.01)－s (3) ＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)＝0.3005， ∴Δs Δt ＝0.30050.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32 ＝5·Δt ·(6＋Δt )，∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.探究三 变化率的应用变化率的应用—⎪⎪⎪—平均变化率的几何意义—平均变化率的应用—瞬时变化率的应用5．过曲线f(x)＝x2＋1上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，求割线的斜率．解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)2，所以ΔyΔx＝2Δx＋(Δx)2Δx＝2＋Δx.当Δx＝0.1时，2＋Δx＝2.1，所以直线PQ的斜率为2.1.6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但W1(t0)－W1(t0－Δt)Δt<W2(t0)－W2(t0－Δt)Δt，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．7．已知气球的体积V(L)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3.(1)写出r关于V的函数r(V)；(2)当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率又是多少？(3)随着气球体积的增大，它的平均膨胀率变大还是变小了？解析：(1)∵V＝43πr3，∴r3＝3V4π，∴r＝33V4π(V>0)．(2)由已知可得，气球的平均膨胀率为：r(V2)－r(V1)V2－V1.∴由0 L到1 L的膨胀率为r(1)－r(0)1－0＝334π≈0.62(dm/L)．由1 L 到2 L 的膨胀率为：r (2)－r (1)2－1＝364π－334π≈0.16(dm/L)．(3)由(2)可知，随着气球体积的增大，它的半径增加得越来越慢，因此它的平均膨胀率逐渐减小．无限逼近(极限)思想的应用[典例] 求函数f (x )＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． [解析] 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx，所以Δy Δx＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 当Δx 趋于零时，Δy Δx 无限趋近于常数－12，故函数f (x )＝1x在x ＝1时的瞬时变化率为－12.[感悟提高] 定义法求函数瞬时变化率的步骤：第一步：计算Δy ；第二步：计算Δy Δx ；第三步：求Δ x 趋于零时，ΔyΔx的值．。
北师大版高中数学(选修1-1)《第三章变化率与导数》word教案
=f (x +∆x )-f (x )第三章 变化率和导数 3．1．1 瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的 定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的 运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是 方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我 们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数 f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点 Q 运动，随着点 P 无限逼近点 Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点 Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用 Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点 Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ =f ( x ) - f ( x )1 0 x - x1 0，设 x 1－x 0△= x ，则 x 1 △= x ＋x 0，∴ k PQ =f ( x + ∆x ) - f ( x )0 0 ∆x当点 P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当 △x 无限趋近于 0 时， k0 0∆x无限趋近点 Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：k = f ( x 0 +∆x ) - f ( x 0 )∆x，当 △x 无限趋近于 0 时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率导学案北师大版选修1-1
3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f2－f 12－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt＝s1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1
——教学资料参考参考范本——高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1______年______月______日____________________部门平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min到30 min变化快．问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正，可负，可为零．平均变化率(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？提示：不是，是指瞬时速度．问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？提示：有可能．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．1.＝为平均变化率，其中Δx可正、可负，不能为零．2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．[对应学生用书P35]求平均变化率[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为：Δy＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.Δx当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝.[一点通]求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)求平均变化率＝.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx≠0 D．Δx＝0答案：C2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A．0.41 B．3C．4 D．4.1解析：＝＝4.1.答案：D3．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx.即平均变化率为－8－2Δx.求瞬时变化率[例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．[思路点拨] 本题可先求物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度，然后求当Δt趋于0时的瞬时速度．[精解详析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.[一点通]求函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx处的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的值，即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．4．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A．1米/秒B．－1米/秒C．2米/秒D．－2米/秒解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．答案：B5．求函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx，∴＝＝Δx＋2.当Δx趋于0时，趋于2.所以函数y＝x2－3在x＝1时的瞬时变化率为2.1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．3．Δx趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )A．Δx＋B．Δx－－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－1Δx解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2.答案：C2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )A．6＋Δt B．6＋Δt＋9ΔtC．3＋Δt D．9＋Δt解析：＝＝ΔΔt＝＝6＋Δt.答案：A3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A．2 B．1C. D.14解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.答案：C4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )A．①②③④ B．②①③④C．②①④③ D．②④①③解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.答案：C5．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴＝.答案：1e2－e6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．解析：＝＝1Δ－14Δt＝－，当Δt趋于0时，＝－.答案：－147．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度：ΔhΔt＝＝－14.故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；(2)∵＝ΔΔt＝ΔΔΔt＝ΔΔΔt＝－5·Δt－4，∴当Δt趋于0时，趋于－4，即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s ＝⎩⎨⎧3t2＋2， ①②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物休的初速度v0即求物体在t ＝0的瞬时速度． .∵物体在t ＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，趋于－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，趋于－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率导学案2北师大版1-1 精
3.1 变化的快慢与变化率
学习目标：1、通过大量实例，了解平均变化率的计算，并能掌握求一个函数在某一区间内
的平均变化率。
2、理解平均变化率的几何意义。
重点、难点：平均变化率的几何意义。
自主学习
例2水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t 秒后容器甲中的水的体积t e t V 1.05)(-=（单位3cm ），计算第一个s 10内V 的平均变化率。
例3已知函数2)(x x f =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：
（1）]3,1[ （2）]2,1[ （3）]1.1,1[ （4）]001.1,1[
例4已知函数x x g x x f 2)(,12)(-=+=，分别计算在区间]1,3[--，]5,0[上()f x 及)(x g 的平均变化率。
练习反馈
1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
2、国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（其中)(1t W ，)(2t W 分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果。
高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数导学案北师大版选修1-1
3.3 计算导数学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.知识点一 导函数思考 对于函数f (x )，如何求f ′(1)、f ′(x )？f ′(x )与f ′(1)有何关系？ 答案 f ′(1)＝lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx.f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.f ′(1)可以认为把x ＝1代入导数f ′(x )得到的值.梳理 如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )，f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数.区别 联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x ) f ′(x )是f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数知识点二 导数公式表函数导函数y ＝c (c 是常数) y ′＝0 y ＝x α (α为实数) y ′＝αx α－1 y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln a y ＝e xy ′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln ay ＝ln x y ′＝1xy ＝sin xy ′＝cos xy ＝cos x y ′＝－sin x y ＝tan x y ′＝1cos 2x y ＝cot xy ′＝－1sin 2x类型一 利用导函数求某点处的导数例1 求函数f (x )＝－x 2＋3x 的导函数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(3)，f ′(－1). 解 ∵f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →0－x ＋Δx2＋3x ＋Δx ＋x 2－3xΔx＝lim Δx →0(－Δx －2x ＋3)＝－2x ＋3，即f ′(x )＝－2x ＋3，∴f ′(3)＝－2×3＋3＝－3，f ′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.反思与感悟 f ′(x 0)是f ′(x )在x ＝x 0处的函数值.计算f ′(x 0)可以直接使用定义，也可以先求f ′(x )，然后求f ′(x )在x ＝x 0处的函数值f ′(x 0).跟踪训练1 求函数y ＝f (x )＝1x＋5的导函数f ′(x )，并利用f ′(x )，求f ′(2).解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝1x ＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5＝－Δxx ＋Δx ·x ，∴Δy Δx ＝－1x ＋Δx ·x， ∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0－1x ＋Δx ·x ＝－1x2.∴f ′(2)＝－14.类型二 导数公式表的应用 例2 求下列函数的导数. (1)y ＝sin π3；(2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin x2cos 2x 2－1；(5)y ＝5x. 解 (1)y ′＝0.(2)因为32,y x ==所以31223()2y x x ''=＝＝ (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)因为y ＝sin x 2cos 2x 2－1＝sin xcos x ＝tan x ，所以y ′＝(tan x )′＝1cos 2x .(5)y ′＝(5x )′＝5xln 5.反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导. 跟踪训练2 求下列函数的导数. (1)y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ；(2)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)∵y ＝(1－x )(1＋1x)＋x12,x-=+==321.2y x -∴'-＝(2)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .类型三 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式求解切线方程例3 已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由.解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线. 设切点为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12.所以切点为(－12，14).所以所求切线方程为y －14＝(－1)(x ＋12)，即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究若例3条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程. 解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M (12，14).所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练 3 过原点作曲线y ＝e x的切线，那么切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 答案 (1，e) e解析 设切点坐标为00(,e ).xx ∵(e x)′＝e x，∴过该点的直线的斜率为0e ,x∴所求切线方程为000ee ().x x y x x -=-∵切线过原点，000e e ,x x x ∴-=-解得x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.命题角度2 利用导数公式求参数例4 已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于( ) A.e B.－e C.1e D.－1e答案C解析 y ′＝(ln x )′＝1x.设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝xx 0＋ln x 0－1. ∵直线y ＝kx 过原点，∴ln x 0－1＝0，得x 0＝e ，∴k ＝1e.反思与感悟 解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程.跟踪训练4 已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值. 解 设两曲线的交点为(x 0，y 0)，由题意知，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即12001,2ax x -=即1201,2a x =①∵点(x 0，y 0)为两曲线的交点， ∴x 0＝a ln x 0， ②由①②可得x 0＝e 2， 将x 0＝e 2代入①得a ＝e 2.1.下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②5233();x x '= ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 答案 C解析 ∵②52335();3x x '＝③(log 3x )′＝1x ln 3，∴②③错误，故选C.2.质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)，则质点在t ＝3 s 时的速度为( )A.－4×3－4m/s B.－3×3－4m/s C.－5×3－5 m/s D.－4×3－5m/s答案 D解析 ∵s ′＝(1t4)′＝－4t －5，∴s ′(3)＝－4×3－5.则质点在t ＝3 s 时的速度为－4×3－5m/s.3.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝ . 答案 1e解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，又f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e. 4.在曲线y ＝1x上一点P 处的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为 .答案 (12，2)或(－12，－2)解析 设P (x 0，y 0)，y ′＝－1x 2，则－1x 20＝－4，得x 0＝±12.当x 0＝12时，y 0＝2.当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴点P 的坐标为(12，2)或(－12，－2).5.曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归.2.有些函数可先化简再求导. 如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.40分钟课时作业一、选择题1.下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D解析 ①中y ＝ln 2为常数， 所以y ′＝0.①错.2.下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝e xC.y ＝ln xD.y ＝cos x答案 D3.若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )A.1B.－1C.±1D.3 3 答案 C解析 ∵f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1.4.设曲线y ＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a 等于( ) A.－18 B.18 C.－116 D.116答案 C解析 由题意知切线的斜率是－14，∵y ′＝2ax ，∴4a ＝－14，得a ＝－116.5.正弦曲线y ＝f (x )＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.(π3，32)B.(－π3，－32)或(π3，32)C.(2k π＋π3，32)(k ∈Z )D.(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z )答案 D解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，k ∈Z ，∴y 0＝32或－32. 6.下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ) A.f (x )＝e xB.f (x )＝x 3C.f (x )＝ln xD.f (x )＝sin x答案 D解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A 项中，(e x )′＝e x >0，B 项中，(x 3)′＝3x 2≥0，C 项中，x >0，即(ln x )′＝1x>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.7.已知f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π3等于( )A.－32 B.32 C.－12 D.12答案 A解析 由已知可得f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，可得f i (x )＝f i ＋4(x )，i ＝0，1，2，3，…. 所以f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32.二、填空题8.已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx 且g ′(2)＝1f ′2，则m ＝ .答案 －4解析 ∵f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m ，∴f ′(2)＝－14，又g ′(2)＝1f ′2，∴m ＝－4.9.函数y ＝f (x )＝lg x 在点(1，0)处的切线方程为 . 答案 y ＝x lg e －lg e 解析 y ′＝(lg x )′＝1x ·ln 10＝lg ex，则f ′(1)＝lg e ，∴切线方程为y ＝(x －1)lg e ， 即y ＝x lg e －lg e.10.设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 . 答案 (1，1)解析 因为y ′＝e x，所以曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2 (m >0).因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1).11.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为 .答案 {x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴其解集为{x |x ＝π2＋2k π，k ∈Z }.三、解答题12.已知曲线y ＝5x (x ＞0)，求：(1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)过点P (0，5)，且与曲线相切的切线方程. 解 (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ，得曲线在x ＝x 0处的切线的斜率k ＝52x 0.因为切线与直线y ＝2x －4平行，所以52x 0＝2，解得x 0＝2516，所以y 0＝254.故所求切线方程为y －254＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2516，即16x －8y ＋25＝0.(2)因为点P (0，5)不在曲线y ＝5x 上， 所以设切点坐标为M (x 1，y 1)， 则切线斜率为52x 1(x 1≠0)，又因为切线斜率为y 1－5x 1， 所以52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，解得x 1＝4(x 1＝0舍去).所以切点为M (4，10)，斜率为54，故切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数导学案北师大版选修1-111 / 11 13.点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近.则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e 1,x 得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1). 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.。
2021_2022学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_1202
Δ
C.3+Δt
D.9+Δt
解析:Δs=[(3+Δt)2+3]-(32 +3)=6Δt+(Δt)2 ,
∴ =
Δ
Δ
答案:A
=
6Δ+(Δ)
Δ
2
=6+Δt.
探究一
探究二
思维辨析
探究二
求瞬时变化率
【例2】 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路
工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状.如果开始
(2 )-(1)
(3)平均变化率表示为
2 -1
.
(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
名师点拨对函数平均变化率的两点说明
(1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨
胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函
数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值.
Δ
答案:B
=
3
4
)
5
1
2
3
4
5
3.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=
1
中,
平均变化率最大的是(
)
A.④
B.③ C.② D.①
解析:①的平均变化率为1,②的平均变化率为2.3,③的平均变化率
为3.99,④的平均变化率约为-0.77.
答案:B
1
2
3
4
单位:s),物体在 t=3 s 这一时刻的速度是
1
2
1
2
1
2
高中数学：3.1 变化的快慢与变化率二 教案 (北师大选修1-1)
3。
1 变化的快慢与变化率一、问题情境1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载。
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为:问题1:“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化)曲线上升的陡峭程度？20 30 3421020300 210二、学生活动1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.2、由点B 上升到C 点，必须考察y C -y B 的大小，但仅仅注意y C -y B 的大小能否精确量化BC 段陡峭程度,为什么？3、在考察y C —y B 的同时必须考察x C —x B ，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。
三、建构数学1．通过比较气温在区间［1，32］上的变化率0．5与气温［32，34］上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。
2.一般地,给出函数f(x)在区间［x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。
3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。
4。
平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”,但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。
四、数学运用例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元,乙挣到2万元，如何比较和评价甲,乙两人的经营成果?变:在经营某商品中,甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲,乙两人的经营成果？. 例2、水经过虹吸管从容器甲中,t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯ （单位:3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。
注:(10)(0)100V V --例3、已知函数2()f x x =,分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3］； （2）［1,2］；（3)[1，1。
高中数学第三章变化率与导数31第17课时变化的快慢与变化率作业课件北师大版选修11
内，相应的平均速度是( )
A．6＋Δ t
B．6＋Δ t＋Δ9t
C．3＋Δ t
D．9＋Δ t
4．观察函数 f(x)的图像(如图)，平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1 表示( )
A．直线 AB 的点斜式方程 B．直线 AB 的斜截式方程 C．直线 AB 的两点式方程 D．直线 AB 的斜率
8．－14 解析：由题图知，f(0)＝－1，f(4)＝－2， 在[0,4]内的平均变化率为 ΔΔθt ＝f44－ －f00＝－2－4－1 ＝－14(℃/h)．
1 9.2 m/s 解析：ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2 ＝182＋ΔtΔ2t－18×22＝18(4＋Δt)， 当 Δt→0 时，ΔΔst→12.
作基业础目训练标
1.理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义； 会求函数在某点处附近的平均变化率.
2.运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬 时加速度；会求函数在某点的瞬时变化率.
基基础础巩训固练
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
1．一质点运动的方程为 s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相
复习课件
高中数学第三章变化率与导数3.1第17课时变化的快慢与变化率作业课件北 师大版选修11
2021/4/17
高中数学第三章变化率与导数31第17课时变化的快慢与变 化率作业课件北师大版选修11
第三章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率 第17课时 变化的快慢与变化率
基
能
础
力
巩
提
固
升
限时：45 分钟 总分：90 分
D．7
二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7．若函数 y＝f(x)在 x＝1 处有改变量 Δx，则函数 y＝f(x) 相应的改变量 Δy＝________. 8．某市一天 12 h 内的气温变化情况如图所示，则温度 θ ＝f(t)(单位：℃)在[0,4]内的平均变化率为________℃/h.
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3.1 变化的快慢与变化率
学习目标：1、通过大量实例，了解平均变化率的计算，并能掌握求一个函数在某一区间内
的平均变化率。
2、理解平均变化率的几何意义。
重点、难点：平均变化率的几何意义。
自主学习
例2水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t 秒后容器甲中的水的体积t e t V 1.05)(-=（单位3cm ），计算第一个s 10内V 的平均变化率。
例3已知函数2)(x x f =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：
（1）]3,1[ （2）]2,1[ （3）]1.1,1[ （4）]001.1,1[
例4已知函数x x g x x f 2)(,12)(-=+=，分别计算在区间]1,3[--，]5,0[上()f x 及)(x g 的平均变化率。
练习反馈
1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
2、国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（其中)(1t W ，)(2t W 分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果。