2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
江西省南昌县莲塘第一中学2019_2020学年高二数学4月线上测试试题理
江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二数学4月线上测试试题 理一、单选题（15小题，每题5分，共75分）1．若命题2:,10p x R x x ∀∈++≥；命题[]200:1,2,10q x x ∃∈-<，则下列命题为真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧2．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知条件p ：()()30x m x m --->；条件q ：2340x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],7[1,)-∞-+∞UB ．(,7)(1,)-∞-+∞UC ．()7,1-D ．[]7,1- 4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0xx R e ∃∈>”B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立5．椭圆以双曲线221169x y -=的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y +=B ．221259y x +=C ．2212516x y += D ．2212516y x +=6．设12,F F 是椭圆222:1(6)16x yC a a +=>的左、右焦点，P 是椭圆上的一点且满足三角形12PF F 的面积是12，则12tan F PF ∠=（ ）A ．34B ．32C ．43D ．2477．已知1F ，2F 为双曲线C ：22214x y a -=（0a >）的左、右焦点，P 为双曲线C 左支上一点，直线1PF 与双曲线C 的一条渐近线平行，12PF PF ⊥，则a =（ ） A ．5B ．2C ．1D ．58．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()23,0A ，当点M 在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．109．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 是双曲线右支上的一点，点M 关于原点的对称点为N ，若F 在以MN 为直径的圆上，且5,312FNM ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2,31]+C ．(1,31]+D ．[2,)+∞10．下列函数求导运算正确的个数为（ ）①3(3)'3log x xe =；②21(log )'ln 2x x =；③()'x xe e =；④1()'ln x x=；⑤()'1x x xe e =+．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()xf x e =，()g x x =，直线l 分别与曲线()y f x =，()y g x =相切于点()()11,x f x ，()()22,x g x ，则12x x+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．e12．已知三次函数()3226f x ax ax bx =++的导函数为()f x '，则函数()f x 与()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．给出定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<，满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称实数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为在[],a b 上的“对望函数”.已知函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,3C ．32⎛ ⎝D ．(2,14．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>+其中()f x '是()f x 的导数，且()03f =，则不等式()14x f x e +<的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0-∞D ．()0,∞+15．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二．填空题（5题，每题5分，共25分）16．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是__________.17．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________．18．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，A 在第一象限，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，且MAB △的面积是NAB △的面积的3倍，则直线l 的斜率为________.19．已知函数2()(1)2()2x x f x m e m =+++∈R 有两个极值点，则实数m 的取值范围为________.20．已知函数1()1f x x x =-+，2()24g x x ax =-+，若任意[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题（21题12分，22题12分，23题13分，24题13分，共50分）21．设a R ∈，p ：函数()2ln 41y x ax =++的定义域为R ，q ：函数2()4f x x x a =--在区间[]0,3上有零点.（1）若q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F分别为椭圆C 的左，右焦点，直线l 过点1F 与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 的斜率为1时，线段AB 的长为83.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆C 交于,D E 两点，求四边形ADBE 面积的最小值.23．已知a 为常数，函数2()ln .f x x ax x =+-（1）过坐标原点作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x ； （2）令()()x f x F x e=，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调减函数，求a 的取值范围.24．已知函数21()(1)ln 2f x x a x ax =+--，其中a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a >，若对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有()()12121f x f x x x ->--，求实数a 的取值范围．莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试理科数学试卷参考答案1．C 【详解】对命题p ，22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ，所以命题p 是真命题；对命题q ，[]01,2x ∈时，2010x -≥，所以命题q 为假命题；所以()()p q ⌝∧⌝、()p q ⌝∨、p q ∧为假命题，()p q ∧⌝为真命题.故选：C 2．B 【解析】当2C π=时，2A B π=-，所以sin sin()cos 2A B B π=-=，成立；当sin cos A B=时，如取120,30A B =︒=︒时，sin cos A B =成立，此时30C =︒，所以不成立；综上知“2C π=”是“sin cos A B =”的”的充分不必要条件，3．A 【详解】对于条件q ，()()234410x x x x +-=+-<，解得41x -<<. 对于条件p ，由()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.由于q 是p 的充分不必要条件，所以34m +≤-或m 1≥，解得(],7[1,)m ∈-∞-+∞U . 4．B 【详解】A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0xx R e ∃∈≤”，故错误；B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”， 因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误.故选：B.5．A 【详解】双曲线221169x y -=的一个焦点(5)0，，则(5)0，是椭圆的一个顶点，则所求椭圆方程中的长半轴5a =．双曲线221169x y -=的一个顶点为40（，），则(40)，是椭圆的一个焦点，则椭圆的半焦距4c ＝，则3b =．椭圆的标准方程为221259x y +=故选：A ． 6．D 【详解】解：设12F PF α∠=，12,PF m PF n ==，则1sin 122mn α⋅=，即24sin mnα=， 22222224()2444264232cos 12222m n c m n mn c a c mn mn mn mn mn mn mnα+-+-----=====-，32cos 1mnα∴+=， sin 243cos 1324αα∴==+，22sincos32242cos 2ααα∴=，得3tan 24α=，122232tan22424tan 731tan124F PF αα⨯∠===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：D. 7．C 【详解】可设12,PF m PF n ==，由斜率定义和三角函数可得：21212tan PF n b PF F PF m a a∠====， 由双曲线第一定义可得;212PF PF n m a -=-=，又12PF PF ⊥， 故()2222144PF PF a +=+，由以上三式解得1a = 故选：C8．D 【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为F ',则||4AF AF '==，||26MF MF a '+==∵||MA MF AF ''-≤,当且仅当A ,F ′,M 共线且F ′在线段AM 上时等号成立, ∴AMF V 的周长为||||||||||6AF MA MF AF MA MF '++=++-46414≤++=，所以AMF V 的周长的最大值为14，此时||1441140A MA MF F ==--=+，故选：D .9．B 【详解】由题意，得点N 也在双曲线上，且FM FN ⊥，设双曲线的右焦点为2F 根据双曲线的定义：2||2MF MF a -= 又因为2||MF NF =，所以||||2MF NF a -= 因为O 是Rt MFN V 斜边上的中点，所以||22MN OF c ==设FNM θ∠=，则||2sin ,||2cos MF c NF c θθ==，所以2sin 2cos 2c c a θθ-=所以11sin cos 4c a πθθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 因为5,312ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,4126πππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以sin 412πθ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以1]ca∈ 故选：B ． 10．B 详解：对于①()3'3ln3xx=,所以错误；对于②()21log 'ln2x x =，所以正确； 对于③()'x xe e =，所以正确；对于④1'ln x ⎛⎫=⎪⎝⎭21ln x x ，所以错误； 对于⑤()'xxx xeexe =+,所以错误.故答案为：B11．B 【详解】由己知得直线l 的方程为：()111e e x x y x x -=-，)2y x x =-，∴()111e e 1x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴消去1e x 整理得121x x =+. 故选：B.12．D 【详解】已知()f x 是三次函数，故0a ≠，()()32'226612f x ax ax bx f x ax ax b =++⇒=++，二次函数的对称轴为1x =-，且(0)0f =，因此可以排除A ，B 两个选项.对于选项D ：二次函数()f x '过(4,0),(2,0)-，因此42486bb a a-??-，且0a >， 因此()'26126(2)(4)fx ax ax b a x x =++=-+，当2x >时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当4x <-时，()'0fx >，所以()f x 单调递增；当42x -<<时，()'0f x <，所以()f x 单调递减，此时图象D 符合；对于选项C ：二次函数()f x '过原点，因此0b =，所以()'26126(2)fx ax ax ax x =+=+且0a >，当0x >时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当2x <-时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当20x -<<时，()'0fx <，所以()f x 单调递减，因此0x =是三次函数的极小值点，图象C 不符合. 故选：D 13．A 【详解】由题：()()2013f m f m m m -=-， ()22f x x x '=-，根据题意函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，即22123x x m m -=-在区间()0,m 上有两个解，令()22123g x x x m m =--+，()0,x m ∈，()()222444031(0,)1003203m m m g m m g m m m ⎧∆=+->⎪⎪∈⎪⎪⎨=-+>⎪⎪⎪=->⎪⎩，解得332m << 故选：A 14．C 【详解】令()1()x f x g x e +=，有()()1()0xf x f xg x e'--'=>，故函数()g x 为增函数， 由()()0014g f =+=，不等式()14xf x e +<可化为()14xf x e+<，即()()0g x g <， 故不等式()14xf x e +<的解集为(),0-∞. 故选：C15．D 【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >;当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增.所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象： 令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫<⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 故选：D16．乙【详解】因为第一名只有一个，所以由p q ∨是真命题，可得命题p 与命题q 有且只有一个为真命题，则r 必为假命题，又因为()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝为真命题，故p 为假命题，故q 为真命题.17．31【详解】如图,因为2POF V 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=o，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =.因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a =即3131c a ==+，所以31e =. 183【详解】如图所示:过B 作BD AM ⊥于点D ,则BN MD =, 根据抛物线的定义可知:,AM AF BN BF ==,又MAB △的面积是NAB △的面积的3倍,则有3,2AM BN AD BN ==,所以4AB AF BF AM BN BN =+=+=,所以22tan 3BD AB AD DAB AD -∠===所以直线l 3,19．11,1e⎛⎫--- ⎪⎝⎭【详解】由题意得：()()1xf x x m e '=++.()f x Q 有两个极值点，()0f x '∴=有两个不等实根，即1x x m e +=-有两个不等实根，可等价为1y m =+与()xxg x e =-有两个不同交点，()21x x xx e xe x g x e e--'=-=Q ，∴当(),1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g e∴==-；当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()0g x →，可得()g x 图象如图所示：由图象可知，若1y m =+与()x xg x e=-有两个不同交点，则110m e-<+<， 解得：111m e --<<-，即实数m 的取值范围为11,1e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.20．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【详解】解：∵1()1f x x x =-+，[]0,1x ∈，21()10(1)f x x '∴=+>+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，min ()(0)1f x f ∴==-；根据题意可知存在[]1,2x ∈，使得2()241g x x ax =-+≤-.即522x a x≥+能成立， 令5()22x h x x =+，则要使()a h x ≥在[]1,2x ∈能成立，只需使min ()a h x ≥，又2'2255()02221x h x x x-=-=<在[]1,2x ∈上恒成立 则函数5()22x h x x =+在[]1,2x ∈上单调递减，min 9()(2)4h x h ∴==， 94a ∴≥，即实数a 的取值范围是9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 21．（1）[]4,0-（2）{4a a <-或1}2a >-解：（1）当q 是真命题时，24a x x =-在[]0,3x ∈上有解，即函数y a =与函数[]24,0,3y x x x =-∈有交点又[]24,0,3y x x x =-∈的值域为[]4,0- 所以a 的取值范围为[]4,0-.（2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立，则2(4)40a -<，则1122a -<<. 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；记当q ⌝是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<-或}0a >， 因为()p q ∨⌝是真命题，所以a 的取值范围是A B =U {4a a <-或1}2a >-22．（1）22142x y +=（2）329（1）由题意得：2c e a ==，a ∴=，b c ∴==. ∴当直线l 斜率为1时，A 与上顶点重合，12AF AF a ∴==，290BAF ∠=o，设1BF x =，则22BF a x =-，22222AB AF BF +=∴，即()()2222a x a a x ++=-，解得：3ax =， 4833AB a ∴==，解得：2a =，b ∴=∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）由（1）知：()1F .当直线l 斜率不存在或斜率为0时，四边形ADBE 面积为4；当直线l 斜率为()0k k ≠时，设直线l 的方程为：(y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线l '的方程为：(1y x k=-，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()()222212410k xx k +++-=，212212x x k ∴+=-+，()21224112k x x k-=+AB∴==()224112kk+=+，将k换作1k-可得：()22412kDEk+=+.∴四边形ADBE面积()()222212414112122k kS AB DEk k++=⋅⋅=⋅⨯≥++()()222224141132291222k kk k+⋅+⨯=⎛⎫+++⎪⎝⎭（当且仅当22122k k+=+，即1k=±时取等号），3249<Q，∴四边形ADBE面积最小值为329.23．（1）1x=；（2）2a≤.【详解】（1）1()2f x x ax'=+-，所以切线的斜率为001()2f x x ax'=+-，切线方程为0001(2)()y y x a x xx-=+--。
江西省南昌县莲塘第一中学2020-2021学年高二上期末检测数学（理）试题含答案
江西省南昌县莲塘第一中学2020-2021学年高二上期末检测数学（理）试题含答案莲塘一中2020—2021学年上学期高二期末质量检测理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C.D. 平行或相交2.已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为A. 0B. 2C. 3D. 43.设命题P：N，，则为A. N，B. N，C. N，D. N，4.下列命题中正确的个数为平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两平面垂直．A. 0B. 1C. 2D. 35.菱形ABCD在平面内，，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直6.“”是“方程表示椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺9.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.10.在长方体中，若E，F分别为线段，的中点，则直线EF与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.11.四个面都是直角三角形的四面体中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为A. B. C. D. 112.如图，已知正方体的棱长为4，P是的中点，点M在侧面内．若，则面积的最小值为A.B. 4C.D. 8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13.在正方体的12条棱中，与平面平行的有________条．14.已知，，“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是．15.已知圆锥的底面半径为1，高为，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．16.将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有______．平面ABC；若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在平面直角坐标系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为．求直线l 的普通方程和线C的直角坐标方程；已知定点，设直线l与曲线C相交于两点，求的值．18.如图，在长方体中，，，点E在棱AB上．求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离．19.命题，，命题，使得成立．若为真，为假，求实数a的取值范围；已知，若r是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．20.如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，，AB，的中点．在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ．21.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，点E为AC的中点．将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF．Ⅰ确定点F的位置并说明理由；Ⅱ求证：平面平面BDC；Ⅲ求二面角的余弦值．莲塘一中2020—2021学年上学期高二期末质量检测理科数学试卷参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C.D. 平行或相交解：直线a，b是异面直线，，直线b不可能在平面内，b与平面的位置关系是平行或相交故选D．2.已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为A. 0B. 2C. 3D. 4解：已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则或与相交，知原命题为假命题，逆否命题也为假命题，原命题的逆命题为，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则，由面面平行易知原命题的逆命题为真命题，则否命题为真命题，故选B．3.设命题P：N，，则为A. N，B. N，C. N，D. N，解：命题P：N，为特称命题，则命题的否定为：N，．故选：D．4.下列命题中正确的个数为平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两平面垂直．A. 0B. 1C. 2D. 3解：对于，平行于同一平面的两直线可以相交、平行或异面，故错误对于，平行于同一平面的两个平面平行，故正确对于，由线面垂直的性质定理可知正确对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故错误．因此正确命题的个数为故选C．5.菱形ABCD在平面内，，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直解：菱形ABCD中，．又平面，，，又AC，平面PAC，平面PAC．又平面PAC，．显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．故选D．6.“”是“方程表示椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解：由方程得，所以要使方程的曲线是椭圆，则，即，且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：解：设这个圆柱的底面半径为r，高为h，圆柱的侧面展开图是一个正方形，，这个圆柱的侧面积与表面积之比为：．故选：A．8.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺解：设圆锥底面半径为r，由题意，得，故选：C．9.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.解：由题意，由平面平面ABCD，，，底面ABCD矩形外接圆半径．四棱锥的高为：．球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，即，，解得：四棱锥的外接球的表面积．故选：A．10.在长方体中，若E，F分别为线段，的中点，则直线EF与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.解：取中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接，，易得，是EF在面上的投影．为所求的角．令，在中，，，，所以．故选B．11.四个面都是直角三角形的四面体中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为A. B. C. D. 1解：由题意可以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴与AB平行，建立空间直角坐标系如图所示，设，则1，，1，，0，，0，，，则，0，，设异面直线BM与CD夹角为，则．二面角的正弦值为故选C．12.如图，已知正方体的棱长为4，P是的中点，点M在侧面内．若，则面积的最小值为A.B. 4C.D. 8解：以AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则0，，4，，4，．设0，，则，．，，即．取AB的中点N，连接，则点M的轨迹即为线段过点B作，则当点M与点Q重合时，BM最小，且BM的最小值为．又平面，故BC，面积的最小值为．故选A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13.在正方体的12条棱中，与平面平行的有________条．解：如图，可知与平面平行的为棱与棱CD．故有两2条．故答案为2．14.已知，，“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是．解：，，是的必要条件，，即解得．实数a的取值范围为．故答案为．15.已知圆锥的底面半径为1，高为，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即，圆锥的母线长为扇形的圆心角，一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：．故答案为．16.将正三棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有______．平面ABC；若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则；若，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心．解：由倒影三棱锥的几何特征可知平面故正确；当P，A，B，C在同一球面上时，若的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故不正确；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥的外接球半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，可设为R，则，所以，故不正确；由推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为的中心，即PQ的中点，故正确，故答案为：．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在平面直角坐标系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为．求直线l 的普通方程和线C的直角坐标方程；已知定点，设直线l与曲线C相交于两点，求的值．【答案】解：由得，所以曲线C的直角坐标方程为．直线l的参数方程为为参数，消参可得直线l的参数方程为为参数，代入中，得，设两点对应的参数分别为，则，，所以．18.如图，在长方体中，，，点E在棱AB上．求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离．【答案】解：连接，在长方体中，由是正方形知D.平面，是在平面内的射影．根据三垂线定理得，则异面直线与所成的角为．过点D作于F，连，则，由已知，则，设点B到平面的距离为h，，，，即，解得．点B到面的距离为．19.命题，，命题，使得成立．若为真，为假，求实数a的取值范围；已知，若r是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：对任意，不等式恒成立，，解得，即p为真命题时，；存在：，使得成立，即成立，，即命题q为真时，；为真，为假，、q一真一假，当p真q假时，则，且，即，当p假q真时，则或，且，即，综上所述，实数a的取值范围为．若，r是q的充分不必要条件，则，所以实数k的取值范围．20.如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，，AB，的中点．在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ．【答案】解：如右图所示：取的中点H，连接HQ，QN，NM，MH 则梯形MHQN是过M，N，Q三点的截面．证明：连接，．三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形．在矩形中：，N分别是，的中点，AB．平面，平面，平面．在中：，N分别是，的中点，．平面，平面，平面又，平面MNQ平面．是AB的中点，平面．故平面MNQ．21.定义椭圆的“蒙日圆”方程为已知抛物线的焦点是椭圆C的一个短轴端点，且椭圆C的离心率为．求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求的面积．【答案】解：抛物线的焦点为，则，又，且，所以，于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”E方程为．设直线：，，由可得：，令可得：，．“蒙日圆”E方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，，于是，．22.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，点E为AC的中点．将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF．Ⅰ确定点F的位置并说明理由；Ⅱ求证：平面平面BDC；Ⅲ求二面角的余弦值．【答案】Ⅰ解：F为线段CD的中点理由如下：平面BEF，平面ADC，平面平面，，为AC的中点，为CD的中点；Ⅱ证明：在原直角梯形ABCD中，可得，又，，折起后垂直关系不变，又平面平面ABC，其交线为AC，平面ABC，平面ADC，而面BCD，所以平面平面ADC；Ⅲ解：如图，连接DE，则，由于平面平面ABC，其交线为AC，平面ADC，平面ABC，所以，过E作，连接DG，，DE、平面DEG，所以平面DEG，又平面DEG，则，故是二面角的平面角，可得，，，，所以二面角的余弦值为．。
江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二4月线上测试数学(理)试题
莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试理科数学试卷一、单选题（15小题，每题5分，共75分）1．若命题2:,10p x R x x ∀∈++≥；命题[]200:1,2,10q x x ∃∈-<，则下列命题为真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧2．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知条件p ：()()30x m x m --->；条件q ：2340x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],7[1,)-∞-+∞UB ．(,7)(1,)-∞-+∞UC ．()7,1-D ．[]7,1- 4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x x R e ∃∈>”B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立5．椭圆以双曲线221169x y -=的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y += B ．221259y x += C ．2212516x y += D ．2212516y x += 6．设12,F F 是椭圆222:1(6)16x yC a a +=>的左、右焦点，P 是椭圆上的一点且满足三角形12PF F 的面积是12，则12tan F PF ∠=（ ）A ．34B ．32C ．43D ．2477．已知1F ，2F 为双曲线C ：22214x y a -=（0a >）的左、右焦点，P 为双曲线C 左支上一点，直线1PF 与双曲线C 的一条渐近线平行，12PF PF ⊥，则a =（ ） A ．5B ．2C ．1D ．58．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()23,0A ，当点M在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．109．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 是双曲线右支上的一点，点M 关于原点的对称点为N ，若F 在以MN 为直径的圆上，且5,312FNM ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2,31]+C ．(1,31]+D ．[2,)+∞10．下列函数求导运算正确的个数为（ ）①3(3)'3log x xe =；②21(log )'ln 2x x =；③()'x x e e =；④1()'ln x x=；⑤()'1x x xe e =+．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()xf x e =，()g x x =，直线l 分别与曲线()y f x =，()y g x =相切于点()()11,x f x ，()()22,x g x ，则12x x +=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．e12．已知三次函数()3226f x ax ax bx =++的导函数为()f x '，则函数()f x 与()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．给出定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<，满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称实数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为在[],a b 上的“对望函数”.已知函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,3C ．32⎛ ⎝D ．(2,14．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>+其中()f x '是()f x 的导数，且()03f =，则不等式()14x f x e +<的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0-∞D ．()0,∞+15．函数()()23x f x x e =-，关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二．填空题（5题，每题5分，共25分）16．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是__________.17．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________．18．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，A 在第一象限，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，且MAB △的面积是NAB△的面积的3倍，则直线l 的斜率为________.19．已知函数2()(1)2()2x x f x m e m =+++∈R 有两个极值点，则实数m 的取值范围为________.20．已知函数1()1f x x x =-+，2()24g x x ax =-+，若任意[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题（21题12分，22题12分，23题13分，24题13分，共50分）21．设a R ∈，p ：函数()2ln 41y x ax =++的定义域为R ，q ：函数2()4f x x x a=--在区间[]0,3上有零点.（1）若q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，直线l 过点1F 与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 的斜率为1时，线段AB 的长为83.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆C 交于,D E 两点，求四边形ADBE 面积的最小值.23．已知a 为常数，函数2()ln .f x x ax x =+-（1）过坐标原点作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x ； （2）令()()x f x F x e=，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调减函数，求a 的取值范围.24．已知函数21()(1)ln 2f x x a x ax =+--，其中a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a >，若对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有()()12121f x f x x x ->--，求实数a 的取值范围．莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试理科数学试卷参考答案1．C 【详解】对命题p ，22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ，所以命题p 是真命题；对命题q ，[]01,2x ∈时，2010x -≥，所以命题q 为假命题；所以()()p q ⌝∧⌝、()p q ⌝∨、p q ∧为假命题，()p q ∧⌝为真命题.故选：C 2．B 【解析】当2C π=时，2A B π=-，所以sin sin()cos 2A B B π=-=，成立；当sin cos A B=时，如取120,30A B =︒=︒时，sin cos A B =成立，此时30C =︒，所以不成立；综上知“2C π=”是“sin cos A B =”的”的充分不必要条件，3．A 【详解】对于条件q ，()()234410x x x x +-=+-<，解得41x -<<. 对于条件p ，由()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.由于q 是p 的充分不必要条件，所以34m +≤-或m 1≥，解得(],7[1,)m ∈-∞-+∞U . 4．B 【详解】A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x x R e ∃∈≤”，故错误；B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”， 因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min 2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误.故选：B.5．A 【详解】双曲线221169x y -=的一个焦点(5)0，，则(5)0，是椭圆的一个顶点，则所求椭圆方程中的长半轴5a =．双曲线221169x y -=的一个顶点为40（，），则(40)，是椭圆的一个焦点，则椭圆的半焦距4c ＝，则3b =．椭圆的标准方程为221259x y +=故选：A ． 6．D 【详解】解：设12F PF α∠=，12,PF m PF n ==，则1sin 122mn α⋅=，即24sin mnα=， 22222224()2444264232cos 12222m n c m n mn c a c mn mn mn mn mn mn mnα+-+-----=====-，32cos 1mnα∴+=， sin 243cos 1324αα∴==+，22sincos32242cos 2ααα∴=，得3tan 24α=，122232tan22424tan 731tan 124F PF αα⨯∠===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：D. 7．C 【详解】可设12,PF m PF n ==，由斜率定义和三角函数可得：21212tan PF n b PF F PF m a a∠====， 由双曲线第一定义可得;212PF PF n m a -=-=，又12PF PF ⊥， 故()2222144PF PF a +=+，由以上三式解得1a = 故选：C8．D 【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为F ',则||4AF AF '==，||26MF MF a '+==∵||MA MF AF ''-≤,当且仅当A ,F ′,M 共线且F ′在线段AM 上时等号成立, ∴AMF V 的周长为||||||||||6AF MA MF AF MA MF '++=++-46414≤++=，所以AMF V 的周长的最大值为14，此时||1441140A MA MF F ==--=+，故选：D .9．B 【详解】由题意，得点N 也在双曲线上，且FM FN ⊥，设双曲线的右焦点为2F根据双曲线的定义：2||2MF MF a -= 又因为2||MF NF =，所以||||2MF NF a -= 因为O 是Rt MFN V 斜边上的中点，所以||22MN OF c ==设FNM θ∠=，则||2sin ,||2cos MF c NF c θθ==，所以2sin 2cos 2c c a θθ-=所以11sin cos 24c a πθθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 因为5,312ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,4126πππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 所以sin 46212πθ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦-所以[2,31]c a ∈ 故选：B ． 10．B 详解：对于①()3'3ln3xx=,所以错误；对于②()21log 'ln2x x =，所以正确； 对于③()'x x ee =，所以正确；对于④1'ln x ⎛⎫= ⎪⎝⎭21ln x x ，所以错误； 对于⑤()'xxx xeexe =+,所以错误.故答案为：B11．B 【详解】由己知得直线l 的方程为：()111e e x xy x x -=-，)2222y x x x x =-， ∴()11221e 2e 1x x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴消去1e x 整理得121x x =+. 故选：B.12．D 【详解】已知()f x 是三次函数，故0a ≠，()()32'226612f x ax ax bx f x ax ax b =++⇒=++，二次函数的对称轴为1x =-，且(0)0f =，因此可以排除A ，B 两个选项.对于选项D ：二次函数()f x '过(4,0),(2,0)-，因此42486bb a a-??-，且0a >， 因此()'26126(2)(4)fx ax ax b a x x =++=-+，当2x >时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当4x <-时，()'0fx >，所以()f x 单调递增；当42x -<<时，()'0f x <，所以()f x 单调递减，此时图象D 符合；对于选项C ：二次函数()f x '过原点，因此0b =，所以()'26126(2)fx ax ax ax x =+=+且0a >，当0x >时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当2x <-时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当20x -<<时，()'0fx <，所以()f x 单调递减，因此0x =是三次函数的极小值点，图象C 不符合. 故选：D 13．A 【详解】由题：()()2013f m f m m m -=-， ()22f x x x '=-，根据题意函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，即22123x x m m -=-在区间()0,m 上有两个解，令()22123g x x x m m =--+，()0,x m ∈，()()222444031(0,)1003203m m m g m m g m m m ⎧∆=+->⎪⎪∈⎪⎪⎨=-+>⎪⎪⎪=->⎪⎩，解得332m << 故选：A 14．C 【详解】令()1()x f x g x e +=，有()()1()0xf x f xg x e'--'=>，故函数()g x 为增函数， 由()()0014g f =+=，不等式()14xf x e +<可化为()14xf x e +<，即()()0g x g <， 故不等式()14xf x e +<的解集为(),0-∞. 故选：C15．D 【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象： 令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫<⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 故选：D16．乙【详解】因为第一名只有一个，所以由p q ∨是真命题，可得命题p 与命题q 有且只有一个为真命题，则r 必为假命题，又因为()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝为真命题，故p 为假命题，故q 为真命题.17．31【详解】如图,因为2POF V 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=o，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =.因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a =即3131c a ==+，所以31e =. 183:过B 作BD AM ⊥于点D ,则BN MD =,根据抛物线的定义可知:,AM AF BN BF ==,又MAB △的面积是NAB △的面积的3倍, 则有3,2AM BN AD BN ==,所以4AB AF BF AM BN BN =+=+=,所以22tan 3BDAB AD DAB ADAD-∠===所以直线l 3,19．11,1e⎛⎫--- ⎪⎝⎭【详解】由题意得：()()1xf x x m e '=++.()f x Q 有两个极值点，()0f x '∴=有两个不等实根，即1x x m e +=-有两个不等实根，可等价为1y m =+与()xxg x e =-有两个不同交点，()21x x xx e xe x g x e e--'=-=Q ，∴当(),1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g e∴==-；当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()0g x →，可得()g x 图象如图所示：由图象可知，若1y m =+与()x xg x e=-有两个不同交点，则110m e-<+<， 解得：111m e --<<-，即实数m 的取值范围为11,1e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.20．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【详解】解：∵1()1f x x x =-+，[]0,1x ∈，21()10(1)f x x '∴=+>+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，min ()(0)1f x f ∴==-；根据题意可知存在[]1,2x ∈，使得2()241g x x ax =-+≤-.即522x a x≥+能成立， 令5()22x h x x =+，则要使()a h x ≥在[]1,2x ∈能成立，只需使min ()a h x ≥，又2'2255()02221x h x x x-=-=<在[]1,2x ∈上恒成立 则函数5()22x h x x =+在[]1,2x ∈上单调递减，min 9()(2)4h x h ∴==， 94a ∴≥，即实数a 的取值范围是9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 21．（1）[]4,0-（2）{4a a <-或1}2a >-解：（1）当q 是真命题时，24a x x =-在[]0,3x ∈上有解，即函数y a =与函数[]24,0,3y x x x =-∈有交点又[]24,0,3y x x x =-∈的值域为[]4,0- 所以a 的取值范围为[]4,0-.（2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立，则2(4)40a -<，则1122a -<<. 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭； 记当q ⌝是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<-或}0a >， 因为()p q ∨⌝是真命题，所以a 的取值范围是A B =U {4a a <-或1}2a >-22．（1）22142x y +=（2）329（1）由题意得：c e a ==，a ∴=，b c ∴==. ∴当直线l 斜率为1时，A 与上顶点重合，12AF AF a ∴==，290BAF ∠=o，设1BF x =，则22BF a x =-，22222AB AF BF +=∴，即()()2222a x a a x ++=-，解得：3ax =， 4833AB a ∴==，解得：2a =，b ∴=∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）由（1）知：()1F .当直线l 斜率不存在或斜率为0时，四边形ADBE 面积为4；当直线l 斜率为()0k k ≠时，设直线l 的方程为：(y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线l '的方程为：(1y x k=-，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()()222212410k xx k +++-=，12x x ∴+=()21224112k x x k-=+AB ∴==()224112k k+=+，将k 换作1k -可得：()22412k DE k +=+. ∴四边形ADBE 面积()()222212414112122k k S AB DE k k ++=⋅⋅=⋅⨯≥++()()222224141132291222k k k k +⋅+⨯=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭（当且仅当22122k k +=+，即1k =±时取等号），3249<Q，∴四边形ADBE 面积最小值为329. 23．（1）01x =；（2）2a ≤.【详解】（1）1()2f x x a x'=+-，所以切线的斜率为0001()2f x x a x '=+-，切线方程为00001(2)()y y x a x x x -=+--。
2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学（理）试题一、单选题1．下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A ．150︒- B ．680°C ．220°D ．320°【答案】C【解析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题2．下列各组向量中,可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==u r u rB ．12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC ．12(3,5),(6,10)e e ==u r u rD ．12(2,3),(6,9)e e =-=-u r u r【答案】B【解析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可 【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,若//a b r r ,则12120y x x y -=,对于选项A,10e =u r r ,0r与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e u r 与2e u u r不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e u r u u r,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e u r u u r,故D 错误,故选:B 【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3．计算2sin 2105°-1的结果等于（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】22sin 1051cos 210cos30-=-==o o o D ． 4．在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u r u u u r ，且0AB AD ⋅=uu u r uuu r，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】A【解析】根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形. 【详解】AB DC =uu u r uuu rQ ，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形 由0AB AD ⋅=uu u r uuu r可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形本题正确选项：A 【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题. 5．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】B【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．6．已知向量(1,3)a m =--r ,(,2)b m =r ,若a b ⊥r r,则实数m =( )A ．2-B ．3C ．3-或2D ．2-或3【答案】D【解析】若a b ⊥r r ,则0a b ⋅=rr ,求解即可【详解】若a b ⊥r r ,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=rr ,解得3m =或2m =-, 故选:D 【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7．若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】B【解析】根据奇偶性和周期性可得()f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可 【详解】由题,()4f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 是偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()f x x =,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减；当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故选:B 【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间8．已知a r ，b r为单位向量，且a b b +=-r r r r ，则a r 在a b +rr 上的投影为（ ）A ．13BC． D【答案】B【解析】a r 由，b r为单位向量，又a b b +=-r r r r ，则22|2|a b a b +=-r r r r ，可得13a b ⋅=r r ，则a b +=r r 1cos ,3a b 〈〉=r r ．又()cos ,3a a b a a b a a b ⋅+〈+〉==+r r r r r r r r r ．则a r 在a b+r r上的投影为cos ,a a a b 〈+〉=r rr r B ．9．若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．59 B ．59-C ．79D ．79-【答案】A 【解析】由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】 由题,225sin 2sin 2cos 212sin 126626639πππππαααα⎛⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A 【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10．如图，在ABC ∆中，23AD AC =u u u r u u u r ，13BP BD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-【答案】B【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=u u u v u u u v u u u v u u u v 121()393AD AB AC AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v∴2239AP AB BP AB AC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，∴22,,339λλμμ=== 故选B.11．已知1tan161tan16a ︒︒+=-,cos330b ︒=,1cos582c ︒+=则,,a b c 的大小关系为( ) A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】C【解析】化简,,a b c 可得tan61a =︒,cos30b =︒,cos29c =︒,进而比较大小即可 【详解】由题,因为tan 451︒=,所以1tan16tan 45tan16tan 61tan 4511tan161tan 45tan16a +︒︒+︒===︒>︒=-︒-︒︒；()cos330cos 30360cos30b =︒=-︒+︒=︒；221cos5812cos 2912cos 29cos 29222c +︒+︒-︒====︒；由cos y x =的单调性可知1cos29cos30>︒>︒,所以tan 45cos29cos30︒>︒>︒, 即a c b >>, 故选:C 【点睛】本题考查正切的和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查诱导公式的应用,考查三角函数值的比较大小问题12．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.【详解】对于函数，当时，，由，可得，当时，，由，可得，对任意，，对于函数，，，，对于，使得，对任意，总存在，使得成立，，解得，实数的取值范围为，故选B．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.二、填空题13．计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可 【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案为:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14．若ABCD Y 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1--【解析】由ABCD Y 可得AB DC =u u u r u u u r,进而求解即可【详解】由题,因为ABCD Y ,所以AB DC =u u u r u u u r,设(),D x y ,所以()4,3AB =uu u r,(),2DC x y =--u u u r , 所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩, 故答案为:()4,1-- 【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示15．若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则||OM ON +=u u u u r u u u r_______.【答案】π【解析】画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,进而求解即可 【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,则M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 所以(),0OM ON π+=u u u u r u u u r,所以||OM ON π+=u u u u r u u u r,故答案为:π 【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想16．设A 是平面向量的集合,a r是定向量,对x A ∈r ，定义()()2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，现给出如下四个向量：()222213002a a a a ⎛====- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r ①，；②，；③，；④，，那么对于任意x y A ∈r u r ，，使()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立的向量a r的序号是________(写出满足条件的所有向量a r的序号). 【答案】①③④【解析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得. 【详解】对于①，当()00a =r，时，()f x x =r r 满足()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r ；当0a ≠r r，因为()()2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，()()2f y y a y a =-⋅⋅u r u r r u r r ， 所以()()24()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅r u r r u r r u r r r r r r u r r若使得()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立，则只需21a=r，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()f x f y ⋅r u r的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题17．已知向量(4,3)a =r，(1,2)b =r， （1）设a r 与b r的夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a b λ-r r 与2a b +r r平行，求实数λ的值.【答案】; (2) 12λ=- 【解析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可. 【详解】(1) cos 5a b a b θ⋅====⋅r r r r . (2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--r r ,()()()4,312,82,29a b ++==r r.又a b λ-r r 与2a b +r r平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型. 18．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．（1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．【答案】(1) 9-.(2)415+. 【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解：（Ⅰ）Q 2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos α∴=-------2分于是 sin22sin cos ααα== （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭Q ,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛⎫+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题. 19．已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）化简()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可； （2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 22sin 214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭, 所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 12f x =-（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20．如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ,求λμ+的值(2)若3,2AB BC ==,当1AE BF ⋅=u u u r u u u r 时,求DF 的长【答案】(1)16;(2) 23【解析】【详解】 （1）EF EC CF =+u u u ru u u r u u u r ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r ，又∵BC AD =u u u r u u u r ,CD AB =-u u u r u u u r ,∴1132EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ，111326λμ+=-+=；（2）设(0)DF mDC m =>u u u r u u u r ，则()1CF m DC =-u u u r u u u r ，以AB u u u r ，AD u u u r 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u u r u u u r， ∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得23m =,故DF． 21．已知(sin )a x x =r ,(cos ,cos )b x x =-r ,函数()f x a b =⋅+r r . (1)求函数()f x 图象的对称轴方程;(2)若方程1()3f x =在(0,)π上的解为12,x x ,求()12cos x x -的值. 【答案】（1）5122k x ππ=+,k Z ∈；（2）13 【解析】（1）化简()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令232x k πππ-=+,k Z ∈,进而求解即可； （2）设12x x <,由2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得12526123x x πππ<<<<,且1256x x π+=,则()1211155cos cos cos 266x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,进而求解即可 【详解】（1）由题,())211sin cos sin 21cos 2sin 2222f x x x x x x x x =-=-+=- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令232x k πππ-=+,k Z ∈,则对称轴为:5122k x ππ=+,k Z ∈ （2）由题,121sin 2sin 20333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设12x x <,因为2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12526123x x πππ<<<<, 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=对称, 所以1256x x π+=, 所以 ()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663233x x x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】 本题考查平面向量的数量积,考查正弦型函数的对称性的应用,考查诱导公式的应用 22．已知函数()f x ,若存在实数,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立,则称函数()f x 为“可平衡”函数,有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.(1)若m =,判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数,并说明理由;(2)若12,m m R ∈且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为2()sin f x x =的“可平衡”数对,当03x π<<时,方程12m m a +=有两个不相等的实根,求实数a 的取值范围.【答案】（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,理由见解析；（2）∅【解析】（1）由“可平衡”()()sin sin x x k x k =++-,整理可得2sin cos x x k =,即可求解；（2）分别将“可平衡”数对代入可得2122cos sin x m x=,221sin m x =,则122cos 241cos 2x m m a x ++==-,则可转化为4cos 22a x a -=+有两个解,进而求解即可 【详解】（1）假设()sin f x x =是“可平衡”函数,则由题意应有:()()sin sinx x k x k=++-,sin cos cos sin sin cos cos sinx x k x k x k x k=++-,2sin cosx x k=,则cos k=,所以2,6k n n Zππ=±∈,所以存在,(0)m k k≠,使得等式()()()mf x f x k f x k=++-对于定义域内的任意实数x均成立,所以()sinf x x=是“可平衡”函数（2）由题,22221sin sin sin2cos22m x x x xππ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2122cossinxmx=；又222222sin sin sin sin cos14444m x x x x xππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以221sinmx=,所以()22122222cos12cos1cos222cos241sin sin sin1cos21cos22x x x x m m ax x x xx+++ +=+====--, 所以4cos22axa-=+有两个解,因为03xπ<<,cos2y x=单调递减,故4cos22axa-=+不存在两个解,故a的解集为∅【点睛】本题考查和角公式的应用,考查倍角公式的应用,考查新定义的理解,考查运算能力。
江西省南昌市第二中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理
南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为（ ） A ．3B ．1-C ．iD ．i -2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除D ．a 能被5整除3．函数()cos xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 4．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤5.直线01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．],43[ππB ．]43,4[ππC ．⎥⎦⎤⎝⎛4,0π D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．若R a ∈，则“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．323B ．163C ．12D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
江西省南昌市第二中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理
南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为（ ） A ．3B ．1-C ．iD ．i -2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除D ．a 能被5整除3．函数()cos xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ）A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 4．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤5.直线01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．],43[ππB ．]43,4[ππC ．⎥⎦⎤⎝⎛4,0π D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．若R a ∈，则“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．323B ．163C ．12D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
江西省南昌市南昌县莲塘一中19-20学年高二上学期期末数学复习题 (附答案解析)
江西省南昌市南昌县莲塘一中19-20学年高二上学期期末数学复习题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 若复数z =i 2(1+i)，则z 的共轭复数是( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2. 函数y =sinx ⋅cosx 的导数是( )A. cosx ⋅sinxB. cos 2x +sin 2xC. 2cosx ⋅sinxD. cos 2x −sin 2x3. 已知p 、q 是两个命题，若“￢(p ∨q)”是真命题，则( )A. p 、q 都是真命题B. p 、q 都是假命题C. p 是假命题且q 是真命题D. p 是真命题且q 是假命题4. “a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 函数y =xlnx 的单调递减区间是( )A. (e −1,+∞)B. (−∞,e −1)C. (0,e −1)D. (e,+∞)6. 若函数f (x )=14x 4+ax 3+92x 2−b (a,b ∈R )仅在x =0处有极值，则a 的取值范围为( )A. [−2,2]B. [−1,1]C. [2,6]D. [−1,4]7. 下列命题正确的是( )A. “x <−2”是“x 2+3x +2>0”的必要不充分条件B. 对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 02+x 0−1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0C. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =2”的否命题为若x 2−3x +2=0，则x ≠2D. 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题8. 曲线{x =−1+cosθy =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ) A. 在直线y =2x 上 B. 在直线y =−2x 上 C. 在直线y =x −1上D. 在直线y =x +1上9. 若函数y =f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A. y =sinxB. y =lnxC. y =e xD. y =x 310. 已知函数f(x)=x −1−lnx ，对定义域内任意x 都有f(x)≥kx −2，则实数k 的取值范围是( )A. B. (−∞,−1e2] C. [−1e2,+∞) D. [1−1e2,+∞)11.已知函数f(x)(x∈R)满足f(2)=3，且f′(x)<1，则不等式f(x2)<x2+1的解集是()．A. (−∞,−√2)B. (√2,+∞)C. (−√2,√2)D. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)12.已知f(x)=(ae x+x+1)(e x+x+1)与的图像g(x)=e2x至少有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围是()A. (−12,√22) B. (−12,1) C. (√22,1) D. (1,√2)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.复数3−i1−i的虚部=_______．14.若函数f(x)=x n在x=2处的导数为12，则n=_________．15.已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____．16.对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时，f(x)的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数．若f(x)=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设命题p：实数x满足|x−1|>a(其中a>0)；命题q：实数x满足3x2−x−6<1．(1)若命题p中a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为{x=12ty=√32t+2(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=4√2sin(π4+θ)．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于两点A,B，求线段AB的长．19.设函数f(x)=ax−bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0.求y=f(x)的解析式．20.已知函数f(x)=3xa−2x2+lnx．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．21.椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(√3,0)，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C与曲线|y|=kx(k>0)的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．22.设函数f(x)=alnx+x2−1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．解：复数z=i2(1+i)=−(1+i)=−1−i的共轭复数为−1+i．故选B．2.答案：D解析：解：y′=cos2x−sin2x，故选：D根据导数的运算法则和基本导数公式即可．本题考查了导数的运算法则和基本导数公式，属于基础题．3.答案：B解析：由复合命题真值表判断命题“p∨q”为假命题，进而得到命题p、q都是假命题．本题考查了复合命题的真假判定规律，对复合命题真值表要熟练掌握．解：由复合命题真值表得：若“￢(p∨q)”是真命题，则p∨q为假命题，则命题p、q都是假命题．故选B．4.答案：C解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解：若a >b ，①a >b ≥0，不等式a|a|>b|b|等价为a ⋅a >b ⋅b ，此时成立．②0>a >b ，不等式a|a|>b|b|等价为−a ⋅a >−b ⋅b ，即a 2<b 2，此时成立．③a ≥0>b ，不等式a|a|>b|b|等价为a ⋅a >−b ⋅b ，即a 2>−b 2，此时成立，即充分性成立． 若a|a|>b|b|，①当a >0，b >0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a −b)(a +b)>0，因为a +b >0，所以a −b >0，即a >b ．②当a >0，b <0时，a >b ．③当a <0，b <0时，a|a|>b|b|去掉绝对值得，(a −b)(a +b)<0，因为a +b <0，所以a −b >0，即a >b ．④当a =0，b <0或a >0，b =0时，a >b; 即必要性成立，综上“a >b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件， 故选C ．5.答案：C解析：本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定义域与单调区间．注意函数的定义域，是基础题．求出该函数的导函数，由导数小于0列出不等式，解此不等式求得正实数x 的取值范围即为所求． 解：函数y =xlnx 的导数为y′=(x)′lnx +x ⋅(lnx)′=lnx +1， 由lnx +1<0得，0<x <1e ，故函数y =xlnx 的减区间为(0,1e )， 故选：C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的极值．函数仅有一个极值点，即f ′(x)=0仅有一个变号零点，结合f ′(x)=x(x 2+3ax +9)，因此t =x 2+3ax +9不可能有变号零点，利用二次函数的图象和性质即可求解．【解答】由题意可得f ′(x)=x 3+3ax 2+9x =x(x 2+3ax +9)． 由于x =0不满足方程x 2+3ax +9=0，要保证函数f(x)仅在x =0处有极值，所以x 2+3ax +9⩾0恒成立， 所以(3a)2−36⩽0，所以9a 2⩽36，所以−2≤a ≤2． 所以a 的取值范围是[−2,2]， 故选A ．7.答案：B解析：解：对于A ，“x <−2”是“x 2+3x +2>0”的充分不必要条件，所以A 不正确；对于B ，对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 02+x 0−1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0，满足命题的否定形式，正确；对于C ，命题“若x 2−3x +2=0，则x =2”的否命题为若x 2−3x +2≠0，则x ≠2，所以C 不正确；对于D ，若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题，不满足且命题的形式，所以D 不正确； 故选：B ．利用充要条件判断A 的正误；利用命题的否定判断B 的正误；否命题的形式判断C 的正误；复合命题的真假判断D 的正误；本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，否命题以及复合命题的真假的判断，是基础题．8.答案：B解析：此题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题.曲线{x =−1+cosθy =2+sinθ(θ为参数)表示圆，对称中心为圆心，可得结论.解：曲线{x =−1+cosθy =2+sinθ(θ为参数)表示圆，圆心为(−1,2)，在直线y =−2x 上． 故选B ．9.答案：A解析：本题考查导数的几何意义及两直线垂直的条件，由已知存在函数的两个导数值斜率之积为−1，逐一分析求解即可．解：函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则两切线的斜率之积等于−1，即两点处的导函数值之积等于−1，设两切点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，当y=sinx时，y′=cosx，由cosx1×cosx2=−1，知有无数组解符合，∴y=sinx具有T性质，当y=lnx时，y′=1x>0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x>0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2≥0恒成立，不满足条件．故选A．10.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．问题转化为k≤1+1x −lnxx对x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=1+1x−lnxx，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，从而求出k的范围即可．解：f(x)=x−1−lnx，若对定义域内任意x都有f(x)≥kx−2，则k≤1+1x −lnxx对x∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=1+1x −lnxx，则g′(x)=lnx−2x2，令g′(x)>0，解得：x>e2，令g′(x)<0，解得：0<x<e2，故g(x)在(0,e2)递减，在(e2,+∞)递增，故g(x)的最小值是g(e2)=1−1e2，故k ≤1−1e 2， 故选A ．11.答案：D解析：本题考查利用导数研究函数单调性，以及利用构造法构造新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．根据条件构造F(x)=f(x)−x ，利用导数研究函数的单调性，然后将f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2即F(x 2)<F(2)，根据单调性建立关系，解之即可． 解：令F(x)=f(x)−x ，又f ′(x )<1， 则F′(x)=f ′(x )−1<0， ∴F(x)在R 上单调递减． ∵f(2)=3，∴f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2， 即F(x 2)<F(2)．根据F(x)在R 上单调递减则x 2>2， 解得x ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞)． 故选：D ．12.答案：B解析：本题考查运用导数研究函数的单调性及零点问题，属于考查能力的题，分类讨论、等价转化是基本的解题思想．解：由f(x)=g(x)得(ae x +x +1)(e x +x +1)=e 2x ，即(a +x+1e x)(1+x+1e x)=1，设t =x+1e x，则(a +t)(1+t)=1⇒t 2+(a +1)t +a −1=0， 由t =x+1e x，得t′=−x e x，∴t 在(0,+∞)单调递减，在(−∞,0)单调递增，如图所示：若f(x)=g(x)有4个解，则(a +t)(1+t)=1⇒t 2+(a +1)t +a −1=0在(0,1)有2个不相等的实数根，如图：则{ △=(a +1)2−4(a −1)>0a −1>01+(a +1)+(a −1)>00<−a+12<1，无解， 若f(x)=g(x)有3个解，则(a +t)(1+t)=1⇒t 2+(a +1)t +a −1=0在(−∞,0)，(0,1)各有1个实数根，如图：则{a −1<01+(1+a)+(a −1)>0⇒−12<a <1． 特别地，若t =0，则a =1，此时t 2+2t =0，则t 1=0，t 2=−2，不合题意， 若t =1，则1+(1+a)+(a −1)=0，∴a =−12， t 2+12t −32=0，则t 1=1，t 2=−32不合题意，综上所述，−12<a <1． 故选B ．13.答案：1解析：本题考查复数的四则运算、复数的概念.化简复数为代数形式即可求出结果． 解：∵3−i1−i=(3−i )(1+i )2=3+3i−i−i 22=4+2i 2=2+i ，∴复数3−i 1−i 的虚部为1．故答案为1．14.答案：3解析：本题考查导数的运算，求出函数f(x)=xn的导函数，把x=2代入导函数解析式可求n的值．解：由f(x)=x n，得f′(x)=nx n−1，又函数f(x)=x n在x=2处的导数为12，所以n⋅2n−1=12，n=3．故答案为3．15.答案：e≤a≤4解析：解：对于命题p：∀x∈[0,1]，a≥e x，∴a≥(e x)max，x∈[0,1]，∵e x在x∈[0,1]上单调递增，∴当x=1时，e x取得最大值e，∴a≥e．对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42−4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴e≤a≤4．故答案为：e≤a≤4．对于命题p：利用e x在x∈[0,1]上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式△≥0即可得出a的取值范围，再利用命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，求其交集即可．本题考查了指数函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的有关知识，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．)16.答案：(1,1+1e解析：解：∵f(x)=lnx+x，定义域为{x|x>0}，f(x)在定义域为单调增函数，因此有：f(a)=ka，f(b)=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx的两个不同根．∴k =1+lnx x，令1+lnx x =g(x)，令g′(x)=1−lnx x 2=0，可得极大值点x =e ，故g(x)的极大值为：g(e)=1+1e ，当x 趋于0时，g(x)趋于−∞，当x 趋于∞时，g(x)趋于1，因此当1<k <1+1e 时，直线y =k 与曲线y =g(x)的图象有两个交点，方程k =1+lnx x 有两个解．故所求的k 的取值范围为(1,1+1e )，故答案为(1,1+1e ).由于f(x)在定义域{x|x >0}内为单调增函数，利用导数求得g(x)的极大值为：g(e)=1+1e ，当x 趋于0时，g(x)趋于−∞，当x 趋于∞时，g(x)趋于1，因此当1<k <1+1e 时，直线y =k 与曲线y =g(x)的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题． 17.答案：解：(1)当a =1时，p ：{x|x >2或x <0}．命题q ：实数x 满足3x 2−x−6<1=30.可得x 2−x −6<0，解得：−2<x <3．∴q ：{x|−2<x <3}，又p ∧q 真，所以p ，q 都为真，由{x >2或x <0−2<x <3，得−2<x <0或2<x <3． (2)p ：|x −1|>a ，∴x <1−a 或x >1+a(a >0)，¬p ：1−a ≤x ≤1+a(a >0)，∴满足条件¬p 的解集A ={x|1−a ≤x ≤1+a(a >0)}，q ：B ={x|−2<x <3}，∵¬p 是q 的必要不充分条件，∴B ⊊A ，∴{a >0a +1≥31−a ≤−2，得a ≥3．解析：(1)当a =1时，p ：{x|x >2或x <0}.命题q ：实数x 满足3x2−x−6<1=30.可得x 2−x −6<0，又p ∧q 真，所以p ，q 都为真．(2)p ：|x −1|>a ，可得x <1−a 或x >1+a(a >0)，¬p ：1−a ≤x ≤1+a(a >0)，记满足条件¬p 的解集A ，q ：B ={x|−2<x <3}，根据¬p 是q 的必要不充分条件，可得B ⊊A ．本题考查了函数与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由题意可得直线l:√3x −y +2=0，由ρ=4√2sin(π4+θ)，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，即x 2+y 2=4x +4y所以曲线C ：(x −2)2+(y −2)2=8；(2)由(1)知圆C 半径r =2√2，又d =|2√3−2+2|2=√3，所以AB =2√r 2−d 2=2√8−3=2√5．解析：本题考查直线与圆的位置关系及判定、简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程，属于中档题．(1)消去参数t ，得出直线l 的普通方程，把ρ=4√2sin(π4+θ)化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，代入互化公式，即可求出曲线C 的直角坐标方程；(2)求出半径和圆心到直线的距离，利用弦长公式，即可求出结果． 19.答案：解：∵f(x)=ax −b x ，∴f′(x)=a +bx ，∵曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x −4y −12=0∴切点为(2,12)，∴f′(2)=74，f(2)=12， ∴a +b 4=74，2a −b 2=12， ∴a =1，b =3，∴f(x)=x −3x ．解析：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．欲求函数f(x)的解析式，只须求出切线斜率的值、切点的坐标，列出方程组即可．20.答案：解：(Ⅰ)a =1时，f(x)=3x −2x 2+lnx ，定义域为(0,+∞)．f′(x)=1x −4x +3=−4x 2+3x+1x =−(4x+1)(x−1)x (x >0)，当x ∈(0,1)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；．当x ∈(1,+∞)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴f(x)有极大值f(1)=1，无极小值．(Ⅱ)f′(x)=3a −4x +1x ，∵函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数，∴x ∈[1,2]时，f′(x)=3a −4x +1x ≥0恒成立．即 3a ≥4x −1x 在[1,2]恒成立，令ℎ(x)=4x −1x ，因函数ℎ(x)在[1,2]上单调递增，所以3a ≥ℎ(2)，即3a ≥152， 解得0<a ≤25，即a 的取值范围是(0,25]．解析：本题考查利用导数研究函数的极值和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．(Ⅰ)先对函数f(x)进行求导，令导函数等于0求出x 的值，再根据导函数的正负判断函数的单调性，进而确定极值．(Ⅱ)已知函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数，即f′(x)≥0在区间[1,2]上恒成立，然后用分离参数求最值即可．21.答案：解：(Ⅰ)由右焦点为F(√3,0)，得c =√3，由点F 到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a =2c ，即a =2√3则b 2=a 2−c 2=9所以椭圆C 的方程为x 212+y 29=1；(Ⅱ)设点A(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则y 0=kx 0，设AB 交x 轴于点D ，由对称性知：S △OAB =2S △OAD =2×12x 0y 0=kx 02， 由{y 0=kx 0x 0212+y 029=1得得x 02=363+4k 2， 所以S △OAB =k 363+4k 2=363k +4k ≤2√k ⋅4k =3√3，当且仅当3k =4k，k=√32时取等号，所以△OAB面积的最大值3√3．解析：(Ⅰ)由题意可得c，再由a=2c，及a，b，c的关系，可得a，b的值，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)设点A(x0,y0)(x0>0,y0>0)，则y0=kx0，代入椭圆方程求得A的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式可得最大值．本题考查椭圆的方程的求法，注意椭圆的性质和a，b，c的关系，考查椭圆的对称性和直线与椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=ax +2x=2x2+ax，①a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，②a<0时，令f′(x)>0，解得：x>√−a2，令f′(x)<0，解得：0<x<√−a2，故f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，当a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；(2)由(1)a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，而f(1)=0，故x∈[1,+∞)时，f(x)≥0，故当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0成立，故a≥0符合题意，a<0时，f(x)在(0,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增；令√−a2=√2，解得：a=−4，−4≤a<0时，√−a2≤√2，故f(x)在[√2,+∞)递增，故f(x)min=f(√2)=aln√2+1≥0，解得：−2ln2≤a<0，a<−4时，√−a2>√2，故f(x)在[√2,√−a2)递减，在(√−a2,+∞)递增，f(x)min=f(√−a2)=a2ln(−a2)−a2−1，当x∈[√2,+∞)时，f(x)≥0，只需a2ln(−a2)−a2−1≥0即可，令g(a)=a2ln(−a2)−a2−1，(a<−4)，g′(a)=12ln(−a2)>0，g(a)在(−∞,−4)递增，故g(a)<g(−4)=1−2ln2<0，不合题意；综上，a∈[−2ln2,+∞)．解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)结合(1)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年度高一上学期期末考试试题 理科数学【含解析】
13.计算: _________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式 ,进而利用和角公式求解即可
【详解】由题,因为 ,
所以,原式 ,
故答案为:
【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用
14.若 的三个顶点 ,则顶点 的坐标为________.
(2)若 且 , 均为 的“可平衡”数对,当 时,方程 有两个不相等的实根,求实数 的取值范围.
【答案】（1） 是“可平衡”函数,理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由“可平衡”函数可得 ,整理可得 ,即可求解；
（2）分别将“可平衡”数对代入可得 , ,则 ,则可转化为 有两个解,进而求解即可
【详解】（1）假设 是“可平衡”函数,则由题意应有:
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
6.已知向量 , ,若 ,则实数 ( )
A. B. 3C. 或2D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】
若 ,则 ,求解即可
【详解】若 ,则 ,
解得 或 ,
故选:D
【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示
7.若偶函数 的最小正周期为 ,则( )
令 ,所以 ,
即 上单调递减；当Biblioteka 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
故选:B
【点睛】本题考查利用三角函数 性质求解析式,考查余弦函数的单调区间
8.已知 ， 为单位向量，且 ，则 在 上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
， 为单位向量，又 ，则 ，可得 ，则 ， ．又 ．则 在 上的投影为 ．故本题答案选 ．
江西省南昌县莲塘一中2019-2020学年度高二上学期期末文数学试卷+答案
江西省南昌县莲塘一中2019-2020学年上学期高二年级期末质量检测文科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，仅有一个选项是正确的。
） 1、已知复数z 满足(34i)12i z -=+，则复数z 为( )A.12i 55-- B.12i 55-+ C.12i 55+ D.12i 55- 2、函数2y sinxcosx =的导数为( )A. =y cosx 'B. =2y sin x -'C. 22)=2(y sin x cos x -' D.=22y cos x '3、已知命题:p 若x y >则x y -<-；命题:q 若x y <则22x y >,①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∧⌝;④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④ 4、“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于π4”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、函数ln y x x =的单调递减区间是( )A.1(e ,)-+∞B.1(,e )--∞C.1(0,e )-D.(e,)+∞6、若函数43219(),(,R)42f x x ax x b a b =++-∈仅在0x =处有极值，则a 的取值范围为（ ） A.[2,2]- B.]1,1[- C.(2,2)- D.[1,4]-7、下列命题正确的是( )A.“1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B.对于命题:R p x ∃∈使得210x x +-<,则p ⌝:R x ∀∈均有210x x +-≥C.若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题D.命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+=则2x ≠8、曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝x －1上B.在直线y ＝x ＋1上C.在直线y ＝2x 上D.在直线y ＝－2x 上 9、若函数(x)y f =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称(x)y f =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )A. sin y x =B. ln y x =C. e xy = D. 3y x =10、已知函数()ln (k R)f x x kx =-∈ ,若()f x 在定义域内不大于0,,则实数k 的取值范围为( )A.1[,)2e +∞B.1[,)e+∞C. )+∞D.)+∞ 11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x >时，有()()0xf x f x '-<成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是( ) A ．()(),20,2-∞-UB ．()(),22,-∞-+∞UC ．()()2,00,2-UD ．()()2,02,-+∞U12、已知函数2()ln (2)f x x ax a x =+++ (0a >),()2x xg x e=+,对任意的0(0,2]x ∈,关于 x 的方程()()0f x g x =在(0,1]上有实数根,则实数a 的取值范围为( )(其中 2.71828...e =为自然对数的底数)A. 1(0,]eB. 1[,)e +∞C. 1(0,]2e D. 1[,)2e+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填写在横线上。
2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题1．给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是( ) A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C【解析】①根据命题的否定的形式可知其正确；②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种结果，所以错误；③根据原命题和逆否命题等价可知其正确； 从而得到答案. 【详解】①根据命题的否定的形式可知，命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x >，所以是正确的；②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则有2A =2B 或2A +2B =π,所以角A 与角B 相等或互余，所以错误；③因为命题：“若tan x =3x π=”是假命题，所以其逆否命题是假命题，所以正确；所以正确命题的序号是①③， 故选C . 【点睛】该题考查的是有关命题真假的判断问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，三角函数公式，原命题和逆否命题等价，属于简单题目.2．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．3．设抛物线2y 4x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-。
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
莲塘一中2019-2020学年上学期高二年级期末质量检测理科数学试题一、选择题（仅有一个选项是正确的.）1.已知复数z 满足()34i 12i z -=+，则z 的共轭复数是（ ） A. 12i 55-- B. 12i 55-+ C.12i 55+ D.12i 55- 【答案】A 【解析】 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由()34i 12i z -=+得到()()()()1234i 12i 5101212,i 34i 34i 34i 25555i i i z z +++-+-+=====----+ 故选A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ） A. ()()()21232n n n n n ++++++-= B. ()()()21231n n n n n ++++++-=C. ()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D. ()()()()2123121n n n n n ++++++-=-【答案】C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2，右边均为2n-1的平方. 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 3.()1xx ee dx -+=⎰ ( )A. 1e e +B. 2eC.2eD. 1e e-【答案】D 【解析】由微积分基本定理可得：()1101()x xx xe e dx e ee e--+=-=-⎰，故选D.4.“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-. 若1a <-，得1tan θ>，可知倾斜角θ大于4π； 由倾斜角θ大于4π得1a ->，或0a -<，即1a <-或0a >， 所以“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.5.函数ln y x x =的单调递减区间是 （ ） A. 1(,)e -+∞ B. 1()e --∞,C. 1(0)e -,D. (,)e +∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得()f x '和定义域，由()0f x '<，即可求解函数的递减区间.【详解】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0)e -,.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用()0f x '<求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.若函数43219(),(,)42f x x ax x b a b R =++-∈仅在0x =处有极值，则a 的取值范围为（ ） A. [2,2]- B. [1,1]- C. (2,2)- D. [1,4]-【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，要保证函数()f x 仅在0x =处有极值，必须满足'()f x 在0x =两侧异号．【详解】由题意，322'()39(39)f x x ax x x x ax =++=++ 要保证函数()f x 仅在x ＝0处有极值，必须满足'()f x 在x ＝0两侧异号，所以要2390x ax ++≥恒成立，由判别式有：2(3)360a -≤，∴2936a ≤，∴22a -≤≤， ∴a 的取值范围是[2,2]-. 故选A ．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7.下列命题正确的是( )A. “1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B. 若给定命题:p x ∃∈R ,使得210x x +-<,则:p x ⌝∀∈R ,均有210x x +-≥C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题D. 命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+=,则2x ≠” 【答案】B【解析】因为2320x x -+>，所以2,1x x ><或，因此“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；命题:p x R ∃∈,使得210x x +-<的否定为x R ∀∈,均有210x x +-≥； 若p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个为假命题；命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠,则2x ≠”； 选B. 8.曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A. 在直线2y x =上B. 在直线2y x =-上C. 在直线1y x =-上D. 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.9.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）A. sin y x =B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x时，y ′＝e x＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．考点：导数及其性质. 10.已知函数()()2ln f x x kx k =-∈R ，若()f x 在定义域内不大于0，则实数k 的取值范围为（ ）.A. 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. ⎫+∞⎪⎭D. ⎫+∞⎪⎭【答案】A 【解析】 【分析】由()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，分离参数2ln ,(0,)xk x x≥∈+∞上恒成立，设2ln ()xg x x=，只需max ()k g x ≥，求()g x '，求出单调区间，进而求出极值，最大值，即可求解.【详解】依题意()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，即2ln ,(0,)xk x x≥∈+∞上恒成立， 设2ln (),(0,)xg x x x=∈+∞，只需max ()k g x ≥，432ln 12ln ()x x x xg x x x --'==，令()0,g x x '==当()0,0g x x '><<，当()0,g x x '<>()g x单调递增区间是，单调递减区间是)+∞，所以x =()g x 取得极大值为12e，也是最大值， 所以12k e≥. 故选:A.【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数，构造函数，转化为参数与函数的最值关系，考查应用导数求最值，属于中档题. 11.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ）A. {|1}x x ≠±B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,1)-D. (1,0)(0,1)-【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数()()22g x x f x x =-，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数x 的取值范围即可.【详解】()f x 是R 上的偶函数，则函数()()22g x x f x x =-也是R 上的偶函数，对任意的实数x ，都有()()2'2f x xf x +<恒成立， 则()()()'2'2g x x f x xf x ⎡⎤=+-⎣⎦.当0x ≥时，()'0g x <，当0x <时，()'0g x >，即偶函数()g x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()0,∞+上单调递减， 不等式()()2211x f x f x -<-即()()2222111x f x x f -<-，据此可知()()1g x g <，则1x <-或1x >. 即实数x 的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 本题选择B 选项.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 12.已知函数()()()2ln 20f x x ax a x a =+++<，()2x xg x e=-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，则实数a 的取值范围为（ ）（其中2.71828e =为自然对数的底数）.A. 1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C. [),0e -D. (],e -∞-【答案】C 【解析】 【分析】 设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，通过求导数法，求出1(2,2]A e=--， 设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，由已知可得A B ⊆，当0,()x f x +→→-∞，只需函数()f x 在(]0,e 上的最大值1()2max f x e≥-，用导数法求()f x 的最大值，解关于a 的不等式，即可求出结论.【详解】()2,(0,2]x xg x x e=-∈,()21()x x x x e xe x g x e e --'==, 令()0,1g x x '==，当0g x 时，01x <<，当0g x时，12x <≤，当1x =时()g x 取得极大值为12e-，也是最大值，22(0)2,(2)22g g e=-=->-，设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，则1(2,2]A e=--，设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，所以A B ⊆.当0,()x f x +→→-∞，所以只需1()2max f x e≥-， ()()1(21)(1)22x ax f x ax a x x++'=+++=， 令1()0,f x x a '==-或12x =-（舍去），当11,0e a a e-≥-≤<时，()f x 在(]0,e 上是增函数， 2max 1()()122f x f e ae e ae e==+++≥-解得3221()e a e e e -≥-++，10a e ∴-≤<， 当11,e a a e -<<-时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,]e a -上单调递减，max 11121()()ln()12f x f a a a a e =-=-+--≥-，111ln()1a a e --≥-，令()ln h x x x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，而11()1h e e =-， 于是11a e -≥，解得1e a e-≤<-.综上，0e a -≤<. 故选:C.【点睛】本题考查方程的根，等价转化为两个函数的值域关系，考查用导数求函数的最值，考查分类讨论思想，属于较难题.二、填空题（把正确答案填写在横线上.）13.【答案】> 【解析】【详解】试题分析：的大小，只须比较213=+21313=+=+13+13+两数的大小，只须>>．考点：1．数或式的大小比较；2．分析法．14.20191i 1i--=_________．【答案】i ． 【解析】 【分析】由41i =结合复数的除法运算求解即可.【详解】解法一：2019321i 1i 1i (1i)2ii 1i 1i 1i (1i)(1i)2--++=====----+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题.15.若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.【答案】-18 【解析】 【分析】先求()'f x ，再令2x =求出()'2f 后得到()f x ，最后根据莱布尼兹公式计算定积分. 【详解】()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，从而()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-.【点睛】定积分的计算，需要找出被积函数的原函数，因此知道一些常见函数的原函数是求定积分的基础，比如()1xαα≠-的原函数为111x αα++，1x的原函数为ln x ，x e 的原函数为x e .16.对于函数()y f x =，若存在区间,a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()x f x e x =+是x ∈R 上k 倍值函数，则实数k 的取值范围是______.【答案】()1,e ++∞ 【解析】 【分析】由已知可得()xf x e x =+，当[],x a b ∈时，值域为[](),0ka kb k >，而()y f x =在[],a b 上单调递增，所以有(),()f a ka f b kb ==，,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx+=在R 由两个解，显然0x =不是方程的解，分离参数可得1xe k x=-，设(),1xe g x y k x==-，转化为(),1g x y k =-的图像有两个交点，通过求导，求出()g x 的单调区间，极值，分析函数值的变化趋势，即可求出k 的取值范围.【详解】()xf x e x =+在[],a b 上单调递增，依题意(),()f a ka f b kb ==，所以,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx +=在R 有两个解，显然0x =不是方程的解，1xe k x=-，设(),1x e g x y k x ==-，只需(),1g x y k =-的图像有两个交点，2(1)()x e x g x x'-=，当()0g x '<时，0x <或01x << 当()0g x '>时，1x >，所以()g x 单调递减区间是(0,1)，(,0)-∞，递增区间是(1,)+∞， 所以1x =时，()g x 取得极小值为(1)g e =，当0x <时，()0<g x ，当0,x >时，()g x e ≥，当0,()x g x +→→+∞，,()x g x →+∞→+∞， 要使(),1g x y k =-的图像有两个交点， 需1,1k e k e ->>+.故答案为:()1,e ++∞.【点睛】本题考查新定义问题，等价转化为方程的解，分离参数，构造函数，利用导数求函数的单调区间、极值，考查数形结合思想，属于中档题. 三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤.）17.设命题():220p a x a a -≤≤+>，2:60q x x +-≤．（1）若1a =，且p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)(]3,12,3-⋃；（2）5a ≥ 【解析】 【分析】（1）1a =时，:13p x ≤≤； 2:60q x x +-，解得32x -．根据p q ∧为假，p q ∨为真，可得p 与q 必然一真一假． （2）q 是p 的充分不必要条件，则2322a a --⎧⎨+⎩，0a >，解得a 范围．【详解】（1）当1a =时，:13p x ≤≤，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以“p ，q ”一真一假．p 真q 假时，得1332x x x ≤≤⎧⎨-⎩或，∴23x <≤．p 假q 真时，得1332x x x ⎧⎨-≤≤⎩或，∴31x -≤<．综上，实数x 的取值范围是[)(]3,12,3-⋃． （2）由260x x +-≤得32x -≤≤ 若q 是p 的充分不必要条件，则[][]3,22,2a a --+，即023a a >⎧⎨-≤-⎩，所以5a ≥．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线12:(12x t l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线C 交于,A B 两点，于y 轴交于点E ，求11EA EB+的值． 【答案】（1）22(1)(1)2x y -+-= （2）5 【解析】 【详解】（1）则的直角坐标方程为，即．（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得， 设点对应的参数分别为，则．19.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值， 并求出此定值． 【答案】(1) f(x)＝x ＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解 f′(x)＝a －，()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x ＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线方程为y －＝[1－] (x －x 0)．令x ＝1，得y ＝， 切线与直线x ＝1的交点为 (1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2. 20.已知函数()()()354log 0,1x ax a af x a a -+-=>≠．（1）当3a =时，方程()log a f x k =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）()9,13k ∈；（2）4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，利用导数求出函数的极值，即可得到参数的取值范围.（2）分01a <<和1a >两种情况讨论，参变分离即可求出参数的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，()233g x x '∴=-令()()()2333110g x x x x '=-=+-=1x ∴=-或1x =，易得：()()113g x g =-=极大值，()()19g x g ==极小值， 欲使方程()log a f x k =有三个不同的实数解， ∴()9,13k ∈．（2）令()354g x x ax a =-+-，∵()f x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， ①若01a <<，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，即()230g x x a '=-≤在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，∴213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 又因为()0gx >在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()()405405g x g a a >=-≥⇒≥，此时，451a ≤<． ②若1a >，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，须使()230g x x a '=-≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≤在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立，即0a ≤，不合题意，故舍去． 综上，4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，属于中档题.21.设椭圆G 的中心在坐标原点O ，其中一个焦点为圆22:20F x y x +-=的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.已知椭圆G 与直线:10l x my --=相交于A 、B 两点，延长AO 与椭圆G 交于点C . （1）求椭圆的方程；（2）求ABC 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】 【分析】（1）求出22:20F x y x +-=圆心，以及与x 轴的的交点（圆心右侧），为椭圆的右顶点，即可求出椭圆方程；（2）根据椭圆的对称性2ABC AOB S S ∆∆=，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 过(1,0)，122||ABC AOB S S y y ∆∆==-，椭圆方程与直线方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，利用韦达定理，求出ABC S ∆关于m 为变量的函数，运用换元法，结合求导，求出函数的最值，即为ABC 面积的最大值.【详解】（1）圆22:20F x y x +-=，化为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)F ，与x 轴交点坐标(0,0),(2,0)，右顶点为(2,0)，所求的椭圆方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，||2||,2ABC AOB AC OA S S =∴=△△，由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得，()2234690m y my ++-=. 122634m y y m -+=+，122934y y m -=⋅+12234y y m -==+122122234ABC AOBS S OF y y m ==⋅⋅⋅-=+△△， t =，则1t ≥，221m t =-，212121313ABC t S t t t==++△，设1()3,1f t t t t =+≥，21()30,1f t t t '=->≥恒成立，1()3,1f t t t t =+≥单调递增，当1t =时，()f t 取得最小值，此时ABC S ∆取得最大值为3.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查用函数思想求最值，正确表示三角形的面积是关键，属于中档题. 22.已知函数()()1ln f x a x x =--，()xg x e =.（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =⋅在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】 （1）求()1ax f x x-'=，()0,x ∈+∞，对参数a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解的区间，即可得出结论；（2）根据条件即求()0F x '≥在[)1,+∞恒成立a 的取值范围，求出()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭，即1ln 0ax x x --≥，分离参数2ln 1x a x x ≥+，在[)1,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln 1x h x x x=+，只需max ()a h x ≥，通过二次求导判断()h x '的正负，进而判断()h x 的单调性，求出max ()h x ；或()1ln h x ax x x=--，则至少有()10h ≥，1a ≥，然后求()h x '，求出单调区间，进而求出min ()h x ，解不等式min ()0h x ≥，即可得出结论.【详解】（1）()y f x =的定义域为()0,∞+，()1ax f x x-'=， 当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，所以()y f x =在()0,∞+上递减； 当0a >时，令()10,f x x a'==， 当()0f x '<时，10x a <<，当()0f x '>时，1x a>， 则()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. （2）()()1ln xF x a x x e =--⋅⎡⎤⎣⎦()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭在[)1,+∞恒成立，所以1ln 0ax x x --≥，即2ln 1x a x x≥+ 令()2ln 1x h x x x =+，则有()()31ln 2x x h x x--'=， 令()()1ln 2g x x x =--，则有()ln 0g x x '=-≤在[)1,+∞上恒成立. 故()g x 在[)1,+∞上为减函数，所以()()()()11,0,g x g h x h x '≤=-∴<∴在[)1,+∞上为减函数， 则()()max 11h x h ==，故1a ≥. 另解令()1ln h x ax x x=--，则至少有()10101h a a ≥⇒-≥⇒≥. 当1a ≥时，则有()222111ax x h x a x x x-+'=-+=， 令()21x ax x ϕ=-+，开口向上，对称轴110,22x a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，故()x ϕ在[)1,+∞上为增函数， 所以()()()()10,0,x a h x h x ϕϕ'≥=>∴>∴在[)1,+∞上为增函数， 则()()110h x h a >=-≥，故1a ≥.【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用，涉及到单调区间、最值，解题的关键要注意等价转化构造函数，考查分类讨论思想，属于较难题.。
2019-2020学年江西省南昌市高二上学期期末考试数学（理试题
南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=3的虚部为（ ） A ．3B ．1-C ．iD ．i -2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除D ．a 能被5整除3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．0B ．4π C ．1 D ．2π 4．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“)(q p ⌝∨”为真命题 B ．命题“若7≠+b a ，则2≠a 或5≠b ”为真命题C ．命题“若函数)(x f 的导函数)('x f 满足0)(0'=x f ，则0x 是函数)(x f 的极值点”的逆否命题是真命题D ．命题p ：0,sin 21xx x ∃>>-，则⌝p 为 0,sin 21xx x ∀>-≤5.直线01)1(2=-++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．],43[ππ B ．]43,4[ππC ．⎥⎦⎤⎝⎛4,0π D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 6．若R a ∈，则“复数iaiz +-=13在复平面内对应的点在第三象限”是“3>a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数231()23f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ） A ．323B ．163C ．12D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
【精品高二数学试卷】江西省南昌市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题+答案
理科数学试卷一、单选题(每小题5 分，共60分)。
1．131ii+=-（ ） A ．24i --B ．24i -+C ．12i -+D ．12i --2．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0200,x x R ex ∃∈>C ．0200,x x R ex ∃∈≤D ．2,x x R e x ∀∈<3．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．直线与曲线围成的封闭图形的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．5．观察下列各式：若112213a b a b ==＋，＋，334447a b a b ==＋，＋，5511a b =⋯＋，，则77a b ＋等于( ) A ．18B ．29C ．47D ．156．已知点()3,4A ，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MA MF +最小时，M 点坐标是( ) A ．()0,0B ．()3,26C ．()2,4D ．()3,26-7．已知椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为（ ） A ．3 B ．3或253C ．15D ．15或51538．已知函数()x x af x e+=的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线20x ey -+=平行，则a = A ．1B ．e -C ．eD ．-19．函数()2f x x alnx =- ()a R ∈不存在极值点，则a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．[)0,+∞D ．(],0-∞ 10．已知函数()f x 满足()()f x f x '<，在下列不等关系中，一定成立的（ ）A ．()()12ef f <B ．()()12ef f >C ．()()21ef f >D ．()()21ef f <11．设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A ．(0,2)B ．(1,3]C ．[2,3)D ．[]3,+∞12．已知函数()ln a f x x x x =+，32()5g x x x =-++，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()0f x g x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],24ln 2-∞-B ．(],1-∞C ．1124ln 2,ln 224⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ．11,ln 224⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分）。
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2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题 1．已知复数z 满足，则z 的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】 由得到故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 2．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，L ，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=LB ．()()()21231n n n n n ++++++-=LC ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=-L D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-L 【答案】C 【解析】1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 3．()1xx ee dx -+=⎰ ( )A ．1e e +B ．2eC ．2eD ．1e e-【答案】D【解析】由微积分基本定理可得：()1101()x xx xe e dx e ee e--+=-=-⎰，故选D.4．“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-. 若1a <-，得1tan θ>，可知倾斜角θ大于4π； 由倾斜角θ大于4π得1a ->，或0a -<，即1a <-或0a >， 所以“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.5．函数ln y x x =的单调递减区间是 （ ） A ．1(,)e -+∞ B ．1(,)e --∞ C ．1(0,)e - D ．(,)e +∞【答案】C【解析】由题意，可得()f x '和定义域，由()0f x '<，即可求解函数的递减区间. 【详解】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0,)e -.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用()0f x '<求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．若函数43219(),(,)42f x x ax x b a b R =++-∈仅在0x =处有极值，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．(2,2)- D ．[1,4]-【答案】A【解析】求导函数，要保证函数()f x 仅在0x =处有极值，必须满足'()f x 在0x =两侧异号． 【详解】由题意，322'()39(39)f x x ax x x x ax =++=++ 要保证函数()f x 仅在x ＝0处有极值，必须满足'()f x 在x ＝0两侧异号，所以要2390x ax ++≥恒成立，由判别式有：2(3)360a -≤，∴2936a ≤ ∴22a -≤≤，∴a 的取值范围是[2,2]- 故选A ． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7．下列命题正确的是A ．“1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B ．若给定命题:p x ∃∈R ,使得210x x +-<,则:p x ⌝∀∈R ,均有210x x +-≥C ．若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题D ．命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+=,则2x ≠” 【答案】B【解析】因为2320x x -+>，所以2,1x x ><或，因此“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；命题:p x R ∃∈,使得210x x +-<的否定为x R ∀∈,均有210x x +-≥； 若p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个为假命题；命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠,则2x ≠”； 选B.8．曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【答案】B【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.【考点】圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.9．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x = B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =【答案】A【解析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件； 当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．【考点】导数及其性质.10．已知函数()()2ln f x x kx k =-∈R ，若()f x 在定义域内不大于0，则实数k 的取值范围为（ ）. A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．⎫+∞⎪⎭D ．⎫+∞⎪⎭【答案】A【解析】由()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，分离参数2ln ,(0,)xk x x≥∈+∞上恒成立，设2ln ()xg x x=，只需max ()k g x ≥，求()g x '，求出单调区间，进而求出极值，最大值，即可求解. 【详解】依题意()2ln 0,(0,)f x x kx x =-≤∈+∞上恒成立，即2ln ,(0,)xk x x ≥∈+∞上恒成立， 设2ln (),(0,)xg x x x=∈+∞，只需max ()k g x ≥，432ln 12ln ()x x x xg x x x--'==，令()0,g x x '==当()0,0g x x '><<，当()0,g x x '<>()g x单调递增区间是，单调递减区间是)+∞，所以x =()g x 取得极大值为12e，也是最大值， 所以12k e≥. 故选:A. 【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数，构造函数，转化为参数与函数的最值关系，考查应用导数求最值，属于中档题.11．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ） A ．{|1}x x ≠± B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,1)- D ．(1,0)(0,1)-U【答案】B【解析】由题意构造函数()()22g x x f x x =-，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数x 的取值范围即可. 【详解】()f x 是R 上的偶函数，则函数()()22g x x f x x =-也是R 上的偶函数，对任意的实数x ，都有()()2'2f x xf x +<恒成立， 则()()()'2'2g x x f x xf x ⎡⎤=+-⎣⎦.当0x ≥时，()'0g x <，当0x <时，()'0g x >，即偶函数()g x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()0,∞+上单调递减， 不等式()()2211x f x f x -<-即()()2222111x f x x f -<-，据此可知()()1g x g <，则1x <-或1x >. 即实数x 的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 本题选择B 选项. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 12．已知函数()()()2ln 20f x x ax a x a =+++<，()2xxg x e =-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，则实数a 的取值范围为（ ）（其中 2.71828e =L 为自然对数的底数）. A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．[),0e -D ．(],e -∞-【答案】C 【解析】设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，通过求导数法，求出1(2,2]A e=--， 设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，由已知可得A B ⊆，当0,()x f x +→→-∞，只需函数()f x 在(]0,e 上的最大值1()2max f x e≥-，用导数法求()f x 的最大值，解关于a 的不等式，即可求出结论.【详解】()2,(0,2]x xg x x e=-∈,()21()x x x x e xe x g x e e --'==, 令()0,1g x x '==，当()0g x ¢>时，01x <<，当()0g x ¢<时，12x <≤，当1x =时()g x 取得极大值为12e-， 也是最大值，22(0)2,(2)22g g e =-=->-， 设()2,(0,2]x x g x x e =-∈的值域为A ，则1(2,2]A e=--， 设()()2ln 2,(0,]f x x ax a x x e =+++∈的值域为B ，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 上有实数根，所以A B ⊆.当0,()x f x +→→-∞，所以只需1()2max f x e≥-， ()()1(21)(1)22x ax f x ax a x x++'=+++=， 令1()0,f x x a'==-或12x =-（舍去），当11,0e a a e-≥-≤<时，()f x 在(]0,e 上是增函数，2max 1()()122f x f e ae e ae e==+++≥-解得3221()e a e e e -≥-++，10a e ∴-≤<， 当11,e a a e -<<-时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,]e a -上单调递减，max 11121()()ln()12f x f a a a a e =-=-+--≥-，111ln()1a a e --≥-，令()ln h x x x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，而11()1h e e =-， 于是11a e -≥，解得1e a e -≤<-.综上，0e a -≤<. 故选:C. 【点睛】本题考查方程的根，等价转化为两个函数的值域关系，考查用导数求函数的最值，考查分类讨论思想，属于较难题.二、填空题13．【答案】>【解析】213=+21313+=+=+13+13+>，>【考点】1．数或式的大小比较；2．分析法．14．20191i 1i--=_________．【答案】i ．【解析】由41i =结合复数的除法运算求解即可. 【详解】解法一：2019321i 1i 1i (1i)2ii 1i 1i 1i (1i)(1i)2--++=====----+． 解法二：3221i (1i)(1i i )1i i i 1i 1i--++==++=--．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题.15．若()f x 在R 上可导, 2()2(2)3f x x f x ='++,则3()=f x dx ⎰____________.【答案】-18【解析】先求()'f x ，再令2x =求出()'2f 后得到()f x ，最后根据莱布尼兹公式计算定积分. 【详解】()()'22'2f x x f =+，令2x =，则()'24f =-，从而()283f x x x =-+，()()3320083f x dx x x dx =-+⎰⎰323043|183x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故填18-. 【点睛】定积分的计算，需要找出被积函数的原函数，因此知道一些常见函数的原函数是求定积分的基础，比如()1x αα≠-的原函数为111x αα++，1x的原函数为ln x ，x e 的原函数为x e .16．对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()xf x e x =+是x ∈R 上k 倍值函数，则实数k 的取值范围是______. 【答案】()1,e ++∞【解析】由已知可得()xf x e x =+，当[],x a b ∈时，值域为[](),0ka kb k >，而()y f x =在[],a b 上单调递增，所以有(),()f a ka f b kb ==，,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx +=在R 由两个解，显然0x =不是方程的解，分离参数可得1xe k x=-，设(),1xe g x y k x==-，转化为(),1g x y k =-的图像有两个交点，通过求导，求出()g x 的单调区间，极值，分析函数值的变化趋势，即可求出k 的取值范围. 【详解】()x f x e x =+在[],a b 上单调递增，依题意(),()f a ka f b kb ==，所以,a b 为()f x kx =在x ∈R 上的两个解，即x e x kx +=在R 有两个解，显然0x =不是方程的解，1xe k x=-，设(),1x e g x y k x ==-，只需(),1g x y k =-的图像有两个交点，2(1)()x e x g x x'-=，当()0g x '<时，0x <或01x << 当()0g x '>时，1x >，所以()g x 单调递减区间是(0,1)，(,0)-∞，递增区间是(1,)+∞，所以1x =时，()g x 取得极小值为(1)g e =， 当0x <时，()0<g x ，当0,x >时，()g x e ≥， 当0,()x g x +→→+∞，,()x g x →+∞→+∞， 要使(),1g x y k =-的图像有两个交点， 需1,1k e k e ->>+. 故答案为:()1,e ++∞. 【点睛】本题考查新定义问题，等价转化为方程的解，分离参数，构造函数，利用导数求函数的单调区间、极值，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．设命题():220p a x a a -≤≤+>，2:60q x x +-≤． （1）若1a =，且p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)(]3,12,3-⋃；（2）5a ≥【解析】（1）1a =时，:13p x ≤≤； 2:60q x x +-…，解得32x -剟．根据p q ∧为假，p q ∨为真，可得p 与q 必然一真一假． （2）q 是p 的充分不必要条件，则2322a a --⎧⎨+⎩……，0a >，解得a 范围．【详解】（1）当1a =时，:13p x ≤≤，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以“p ，q ”一真一假．p 真q 假时，得1332x x x ≤≤⎧⎨-⎩或，∴23x <≤．p 假q 真时，得1332x x x ⎧⎨-≤≤⎩或，∴31x -≤<．综上，实数x 的取值范围是[)(]3,12,3-⋃． （2）由260x x +-≤得32x -≤≤若q 是p 的充分不必要条件，则[][]3,22,2a a --+Ü，即023a a >⎧⎨-≤-⎩，所以5a ≥． 【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线12:(312x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线C 交于,A B 两点，于y 轴交于点E ，求11EA EB+的值． 【答案】（1）22(1)(1)2x y -+-= （2）5 【解析】【详解】 （1）则的直角坐标方程为，即．（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得， 设点对应的参数分别为，则．19．设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1) f(x)＝x ＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解 f′(x)＝a －，()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x ＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线方程为y －＝[1－] (x －x 0)．令x ＝1，得y ＝， 切线与直线x ＝1的交点为 (1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2. 20．已知函数()()()354log 0,1x ax a af x a a -+-=>≠．（1）当3a =时，方程()log a f x k =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()9,13k ∈；（2）4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，利用导数求出函数的极值，即可得到参数的取值范围.（2）分01a <<和1a >两种情况讨论，参变分离即可求出参数的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，()233g x x '∴=-令()()()2333110g x x x x '=-=+-=1x ∴=-或1x =，易得：()()113g x g =-=极大值，()()19g x g ==极小值， 欲使方程()log a f x k =有三个不同的实数解， ∴()9,13k ∈．（2）令()354g x x ax a =-+-，∵()f x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， ①若01a <<，则()g x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，即()230g x x a '=-≤在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即23a x ≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，∴213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 又因为()0g x >在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()()405405g x g a a >=-≥⇒≥，此时，451a ≤<． ②若1a >，则()g x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，须使()230g x x a '=-≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≤在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立，即0a ≤，不合题意，故舍去． 综上，4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，属于中档题.21．设椭圆G 的中心在坐标原点O ，其中一个焦点为圆22:20F x y x +-=的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点.已知椭圆G 与直线:10l x my --=相交于A 、B 两点，延长AO 与椭圆G 交于点C . （1）求椭圆的方程； （2）求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】（1）求出22:20F x y x +-=圆心，以及与x 轴的的交点（圆心右侧），为椭圆的右顶点，即可求出椭圆方程；（2）根据椭圆的对称性2ABC AOB S S ∆∆=，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 过(1,0)，122||ABC AOB S S y y ∆∆==-，椭圆方程与直线方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，利用韦达定理，求出ABC S ∆关于m 为变量的函数，运用换元法，结合求导，求出函数的最值，即为ABC V 面积的最大值. 【详解】（1）圆22:20F x y x +-=，化为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)F ，与x 轴交点坐标(0,0),(2,0)，右顶点为(2,0)，所求的椭圆方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，||2||,2ABC AOB AC OA S S =∴=△△，由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得，()2234690m y my ++-=. 122634m y y m -+=+，122934y y m -=⋅+12y y -==122122234ABC AOBS S OF y y m ==⋅⋅⋅-=+△△t =，则1t ≥，221m t =-，212121313ABC t S t t t==++△，设1()3,1f t t t t =+≥，21()30,1f t t t '=->≥恒成立，1()3,1f t t t t =+≥单调递增，当1t =时，()f t 取得最小值，此时ABC S ∆取得最大值为3.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查用函数思想求最值，正确表示三角形的面积是关键，属于中档题. 22．已知函数()()1ln f x a x x =--，()xg x e =.（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =⋅在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1a ≥ 【解析】（1）求()1ax f x x-'=，()0,x ∈+∞，对参数a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解的区间，即可得出结论；（2）根据条件即求()0F x '≥在[)1,+∞恒成立a 的取值范围，求出()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭，即1ln 0ax x x --≥，分离参数2ln 1x a x x ≥+，在[)1,x ∈+∞恒成立，构造函数()2ln 1x h x x x=+，只需max ()a h x ≥，通过二次求导判断()h x '的正负，进而判断()h x 的单调性，求出max ()h x ；或()1ln h x ax x x=--，则至少有()10h ≥，1a ≥，然后求()h x '，求出单调区间，进而求出min ()h x ，解不等式min ()0h x ≥，即可得出结论.【详解】（1）()y f x =的定义域为()0,∞+，()1ax f x x-'=， 当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立， 所以()y f x =在()0,∞+上递减；当0a >时，令()10,f x x a'==， 当()0f x '<时，10x a <<，当()0f x '>时，1x a>， 则()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增.（2）()()1ln xF x a x x e =--⋅⎡⎤⎣⎦()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭在[)1,+∞恒成立，所以1ln 0ax x x --≥，即2ln 1x a x x≥+ 令()2ln 1x h x x x =+，则有()()31ln 2x x h x x--'=， 令()()1ln 2g x x x =--，则有()ln 0g x x '=-≤在[)1,+∞上恒成立. 故()g x 在[)1,+∞上为减函数，所以()()()()11,0,g x g h x h x '≤=-∴<∴在[)1,+∞上为减函数， 则()()max 11h x h ==，故1a ≥. 另解令()1ln h x ax x x=--，则至少有()10101h a a ≥⇒-≥⇒≥. 当1a ≥时，则有()222111ax x h x a x x x-+'=-+=， 令()21x ax x ϕ=-+，开口向上，对称轴110,22x a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 故()x ϕ在[)1,+∞上为增函数，所以()()()()10,0,x a h x h x ϕϕ'≥=>∴>∴在[)1,+∞上为增函数， 则()()110h x h a >=-≥，故1a ≥. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用，涉及到单调区间、最值，解题的关键要注意等价转化构造函数，考查分类讨论思想，属于较难题.。