达郎伯原理

n

3g l a ε cos 0 2 4
RA mg sin 0
n
mg , RA cos 0 4

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[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S 、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回 转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑 动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。 解： 取轮为研究对象 虚加惯性力系：
根据动静法：
X A X B Rx ' R ' Qx 0 , Y A YB R y ' R ' Qy 0 , Z B Rz ' 0 , M x M Qx YB OB Y A OA 0, M y M Qy X A OA X B OB 0, M z M Qz 0 .
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
Fi N i Qi 0 mO ( Fi ) mO ( N i ) mO (Qi ) 0
注意到 划分, 则
Fi 0 , mO ( Fi ) 0
(i ) (i )
RQ Mac
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14
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二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。 直线 i : 平动， 过Mi点， Qi mi ai 空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面） O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化： 主矢： 主矩：
RQ MaC
4
d 2x Qx ma x m 2 dt d2y Q y ma y m 2 dt d 2z Qz ma z m 2 dt
d 2s Q ma m 2 dt v2 Qn ma n m

Qb ma b 0
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得
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X A [( M y Rx 'l2 ) ( M Qy RQx 'l2 )]/l Y A [( M x R y 'l2 ) ( M Qx RQy 'l2 )]/l YB [( M x R y 'l1 ) ( M Qx RQy 'l1 )]/l X B [( M y R x 'l1 ) ( M Qy RQx 'l1 )]/l Z B Rx '
一种统一的解题格式。
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[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向 右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车 厢的加速度 a 。
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解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mg sin Qcos 0
所以 F T 代入(3)得 mR F T M FR M QC FR m 2 mR
O
可见，f 越 M FR ( F T ) F ( R ) T (4) 大越不易滑动。 R R R 由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动， Mmax的值 必须 F<f N =f (P+S) (5) 为上式右端的
令 I zx mi zi xi , I yz mi y i zi 惯性积 M Qx I zx I yz 2
同理可得 M Qy I zx 2 I yz M Qz mz (Qi ) mi ai Ri mi Ri2 I z
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静平衡与动平衡的概念
达朗伯原理的应用
§15-1
惯性力的概念 · 质点的达朗伯原理
人用手推车 F ' F ma 力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来 的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
一、惯性力的概念
定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯 性反抗的总和。
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
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§15-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 RQ 和一个
惯性力偶 M QO 。
RQ Q ma MaC M QO mO (Q )
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
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计的原理。
§15-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi N i Qi 0 ( i 1,2,...... ,n )
对于空间任意力系：
(e) (e) X i Qix 0 , m x ( Fi ) m x (Qi ) 0 (e) (e) Yi Qiy 0 , m y ( Fi ) m y (Qi ) 0 (e) (e) Z i Qiz 0 , m z ( Fi ) mz (Qi ) 0
由

I A mg cos l 2 mg l cos 3 g
2 1 ml 2 3 2l
得：
cos
3g t 0时 , 0 , cos 0 , 此时 0 2l
由质心运动定理：
ma R A mg cos 0 0 ma n mg sin 0 R A
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
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一、刚体作平动 向质心C简化：
RQ MaC
M QC mC (Qi ) ri ( mi aC ) mi ri aC 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
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二、质点的达朗伯原理 非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力
R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
质点的达朗伯原理
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该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有
改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最
大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题
2
2
2
把(5)代入(4)得：M f ( P S )( 2 R) T 2
R R
值。
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§15-4 定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念
一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢 R ' ,主矩 M O
惯性力系向O点简化: 主矢 RQ ',主矩M QO
dLO d mO (Qi ) mO (mi ai ) dt mO (mi vi ) dt
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用动静法求解动力学问题时， 对平面任意力系：
X i Qix 0 (e) Yi Qiy 0
(e)
mO ( Fi ) mO (Qi ) 0
(e)
(e)
, 将质点系受力按内力、外力
Fi Qi 0 (e) mO ( Fi ) mO (Qi ) 0
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表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
d dK Qi mi ai MaC ( mi vi ) dt dt
作用在C点
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讨论：
2 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me
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讨论： ②转轴过质点C，但0，惯性力偶 M Q I C （与反向）
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讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 RQ 0 , M QC 0
（主矢、主矩均为零）
质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
n

zi mi ai sin i zi mi ai cos i
n

mi zi Ri 2 sin i mi zi Ri cos i
而 sin i y i / Ri cos i xi / Ri 故 M Qx ( mi zi xi ) 2 ( mi y i zi )
RQ ma C mR M QC I C m 2
O
由动静法，得：
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(1) X 0 , F T RQ 0 (2) Y 0 , N P S 0 mC ( F ) 0 , M FR M QC 0 (3)
由(1)得 RQ mR F T
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
ml RQ 2

ml 2 RQ ma n 0 , M QA I A 3
n
根据动静法，有
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F 0 , R A mg cos 0 RQ 0 Fn 0 , R A mg sin 0 RQ 0
n n

RQ MaC M QO ri Qi mO (Qi ) M Qx i M Qy j M Qz k m x (Qi )i m y (Qi ) j m z (Qi )k
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M Qx m x (Qi ) m x (Qi ) m x (Qi )
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC 绕通过质心轴的转动：M QC I C