截面几何性质
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材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
第七章 截面的几何性质
A 120 ×10 × 60 + 70 ×10 × 5 = = 39.7mm 120 ×10 + 70 ×10
yc =
Sy
5
§7-2 惯性矩、惯性积与极惯性 惯性矩、
一、惯性矩
Iz = ∫ y dA
2 A
I y = ∫ z dA
2 A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积， 即
I y = A iy
主惯性轴和主惯性矩
一、主惯性轴和主惯性矩 (1)主惯性轴 主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴z0 、
y0的惯性积 Iz0y0=0时，则坐标轴 z0 、y0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是 平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为 主惯性矩 主惯性矩。
例 计算图所示阴影部分截面的形心主惯性矩Iz。
解：1)求形心位置 由于y 轴为对称轴，故形心必在 此轴上，建立yoz′坐标系，故zc′=0 。将阴影部分截面看成是矩形Ⅰ 减去圆形Ⅱ而得到，故其形心的yc 坐标为：
15
ΣAi y ci yc = =( A
600 × 1000 × 500 − 600 × 1000 −
2
I z = Aiz
2
6
i y 、i z
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、惯性积
I zy = ∫ A zydA
若截面具有一根对称轴，则该 截面对于包括此对称轴在内的 二正交坐标轴的惯性积一定等 于零。
I zy = 0
7
三、极惯性矩
Ip =
2
∫A
ρ dA
2
2 2
Qρ = z + y
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
截面的几何性质
I x = I xc + a A
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
材料力学 3 截面的几何性质
大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2
a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
截面的几何性质
b2
A
上式称为计算惯性矩的平行移轴公式。这个公式表明 ：截面对任意一个轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的 形心轴的惯性矩加上截面的面积与两轴距离的乘积。
工程力学与建筑结构
1.4 组合截面的惯性矩
在计算组合截面对某座标轴的惯性矩时，根据定义， 可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加，即 ：
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
截面的几何性质
在工程中研究构件的受力和变形时，经常会遇到一些 和构件的横截面形状、尺寸有关的几何量，这些几何量通 称为截面的几何性质。 1.1 截面的静矩和形心 1. 截面的静矩
如图所示的平面图形代表一个任意截面，其面积为A 。在图形平面内选坐标系Oyz，在坐标为(y, z)处取微面积 dA ，则以下两个积分分别被定义为平面图形A 对于z轴和y 轴的静矩。
I z iz2 A
Iy
i
2 y
A
于是得到:
iz
Iz A
iy
IyБайду номын сангаасA
通常把iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径 （或回转半径）。
工程力学与建筑结构
1.3平称移轴公式 同一截面对于不同坐标轴的惯性矩不相同， 但它们
之间都存在着一定的关系。
I z I zc a 2 A
Iy
I yc
Ai
i 1
工程力学与建筑结构
1.2 截面的惯性矩 1. 惯性矩的计算公式
任意一个构件的横截面如图所示，其面积A 对于z轴和 y轴的惯性矩定义为 ：
I z
A
y 2dA
I y
z 2dA
A
常用截面的惯性矩可查阅工程设计手册。
工程力学与建筑结构
材料力学第四章截面的几何性质
确定截面的剪切中心
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质
Ip
r2dA A
D 2
r2
2
rdr
D4
0
32
Ip Iy Iz
Iy
பைடு நூலகம்
Iz
Ip 2
D4
64
四、组合截面的惯性矩与惯性积
z
I
例如工字型截面 A AI AII AIII
II
y
III
Iy
z 2 dA
A
z2dA z2dA z2dA
AI
AII
AIII
m
I yI I yII I yIII I yi
包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯 性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等
6.1 静矩和形心
一、静矩
截面对z轴的静矩
z
Sz
ydA
A
截面对y轴的静矩
y
dA
A
z
Sy
zdA
A
o
单位： m3
y
静矩的数值可大于零、等于零或小于零。
二、形心
如图所示均质薄板，重心与形心C重合，
由静力学可知形心坐标在yoz：
何关系， y R sin , dy R cosd ,
dA 2R cosdy 2R2 cos2 d
Sz
A
（2）形心
ydA yC
2 0
Sz A
R sin 2R2 cos2 d
2 R3 3
4R
1 R2 3
zC
2 3
0
R3
2
三、组合截面的静矩和形心 z
D d
y
整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。
z1
y1 z
工程力学截面的几何性质
应等于它旳各构成部分对同一轴旳静矩旳代数和，
即：
n
S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
式中： yci , zci和 Ai 分别为第i个简单图形的形心坐标和面积。
2024/10/10
4
2.组合截面旳形心坐标公式
组合截面静矩 n S z Ai y ci i 1
n
S y Ai zci i 1
组合截面面积
n
A Ai i 1
组合截面旳形心坐标公式为：
n
yc
Sz A
i 1
Ai
yc i
，
n
Ai
i 1
n
zc
Sy A
Ai zci
i 1
n
Ai
i 1
2024/10/10
5
y
dy
例A-1 试计算图示三角形截面 对于与其底边重叠旳x轴旳静矩。
h
b (z )
解： 取平行于x轴旳狭长条，
y
易求 b( y) b (h y)
(4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴旳惯性矩。
2024/10/10
22
(5)拟定主惯性轴旳位置
设0是旧轴x 逆时针转向主惯性轴x0旳角度，则 由惯性积旳转轴公式及主惯性轴旳定义，得
Iz
2
I
y
sin
2 0
I
yz
cos
2 0
0
可改写为
tan 20
2I yz Iz Iy
（注：将负号置于分子上有利于拟定2 0角旳象限）
I yc
2
4
I2 zc yc
321104 mm4
I yc0
截面几何性质
b b A Iy ≻ Iy， x ≺ Ix； . a Ia a b b B. Iy ≻ Iy， x ≻ Ix； Ia
a b b C. Iy ≺ Iy， x ≻ Ix； Ia y
b b D Iy ≺ Iy， x ≺ Ix。 . a Ia y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I.
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（
y
2R
R
O
C. Iy ≻ Ix；
B
R
x
课堂练习
I.
图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则 （ ）不是一对主轴。
A O ； . xy
y1
y
B. O xy； 1 1
C. O x1y1 ； 2
D O x1y。 . 3
O1 O2
O
O3
x
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
xy
∫
A
∫
A
5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、 dA x x n n n n
y
y
2
∫ (− xy )dA = 0
A 2
dA
I P = ∑ I Pi
i =1
I x = ∑ I xi
i =1
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
D
课堂练习
I. 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A I +I .
a b b C. Iy ≺ Iy， x ≻ Ix； Ia y
b b D Iy ≺ Iy， x ≺ Ix。 . a Ia y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I.
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（
y
2R
R
O
C. Iy ≻ Ix；
B
R
x
课堂练习
I.
图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则 （ ）不是一对主轴。
A O ； . xy
y1
y
B. O xy； 1 1
C. O x1y1 ； 2
D O x1y。 . 3
O1 O2
O
O3
x
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
xy
∫
A
∫
A
5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、 dA x x n n n n
y
y
2
∫ (− xy )dA = 0
A 2
dA
I P = ∑ I Pi
i =1
I x = ∑ I xi
i =1
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
D
课堂练习
I. 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A I +I .
材料力学-截面几何特性
IxC1 (70mm)3 10mm/12 28.58104 mm4 I yC1 70mm(10mm)3 /12 0.58104 mm4
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学-截面的几何性质
1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
I z1
1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
(a)
I y1z1
1 2
(
I
y
Iz )sin
2
I yz sin
2
4.2 主惯性轴和主惯性矩(principal moment of inertia)
A
y2dA
A
z2dA
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z y
o
A dA
z y
惯性积
定义
I yz
yzdA
A
z A
y
dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和 惯性积。
解：将图形看作是两个矩形的结合。 形心坐标为
yc 0
zc
A1z1 A1
A2 z2 A2
103.3mm
z 100
20
I CI
C
140
CII
103.3
II
a1 a2 y
y
20
求图形对y、z轴的惯性矩
z 100
I z I zI I zII
201003 140 203
第8章 截面的几何性质
S z A1 y1 A2 y2
b C1 C C2 O a
z y
1 2 1 h bh h ah 2 3 2 3
h
h a 2b 6
2
形心位置
zC 0
辽宁铁道职业技术学院
S z h a 2b yC A 3 ab
工程力学
[练习]求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
其中：A为截面面积，x、 y轴为形心轴， x1、 y1为 分别与x、y轴平行的轴， a、b分别为相应平行轴之 间的距离。
O a
z
O1 b
辽宁铁道职业技术学院
工程力学
证明： 即推导Iy、Iz、Iyz与 Iy1、Iz1、Iy1z1的关系，x、y 轴为形心轴。 根据惯性矩和惯性积的定义显然有
I y 1 z 1 dA
第 8章
截面的几何性质
单元学习目标
静矩、形心及其相互关系 惯性矩的概念及计算方法 惯性矩的平行移轴公式 组合截面惯性矩计算
水利土木工程学院工程力学课程组
工程力学
静矩、形心及其相互关系 惯性矩的概念及计算方法
惯性矩的平行移轴公式 组合截面惯性矩计算
辽宁铁道职业技术学院
建立坐标系如图所示。
zC zA
i i
10
y
A
z1 A1 z 2 A2 A1 A2
120
35 10 110 20.3mm 10 110 80 10
C2
C1(0,0) C2(-35,60)
形心C坐标为（-20.3，34.7）。
80
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25
18 106 mm4
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b C1 C C2 O a
z y
1 2 1 h bh h ah 2 3 2 3
h
h a 2b 6
2
形心位置
zC 0
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S z h a 2b yC A 3 ab
工程力学
[练习]求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
其中：A为截面面积，x、 y轴为形心轴， x1、 y1为 分别与x、y轴平行的轴， a、b分别为相应平行轴之 间的距离。
O a
z
O1 b
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工程力学
证明： 即推导Iy、Iz、Iyz与 Iy1、Iz1、Iy1z1的关系，x、y 轴为形心轴。 根据惯性矩和惯性积的定义显然有
I y 1 z 1 dA
第 8章
截面的几何性质
单元学习目标
静矩、形心及其相互关系 惯性矩的概念及计算方法 惯性矩的平行移轴公式 组合截面惯性矩计算
水利土木工程学院工程力学课程组
工程力学
静矩、形心及其相互关系 惯性矩的概念及计算方法
惯性矩的平行移轴公式 组合截面惯性矩计算
辽宁铁道职业技术学院
建立坐标系如图所示。
zC zA
i i
10
y
A
z1 A1 z 2 A2 A1 A2
120
35 10 110 20.3mm 10 110 80 10
C2
C1(0,0) C2(-35,60)
形心C坐标为（-20.3，34.7）。
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第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
I ρ = ∫ ρ 2 dA
A
(4-4)
由于存在几何关系： 由于存在几何关系： 所以
ρ 2 = z2 + y2
(4-5)
I ρ = ∫ ρ 2 dA = ∫ z 2 dA + ∫ y 2 dA = I z + I y
A A A
即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。 即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。 由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。 由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也 不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。 不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中，z2和y2 中 恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性矩常用的单位是m 恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性矩常用的单位是 4或mm4。简单图形的惯性矩可以 直接由式(4-5)计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截 计算。 直接由式 计算 在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到， 面的惯性矩可在型钢表中查找。 面的惯性矩可在型钢表中查找。 2. 惯性积 如图4.4所示 微面积dA与坐标 和坐标z的乘积 所示， 与坐标y和坐标 的乘积zydA称为微面积 对y和z两轴的惯性 称为微面积dA对 和 两轴的惯性 如图 所示，微面积 与坐标 和坐标 的乘积 称为微面积 记为zydA。整个图形上所有的微面积对 和y两轴的惯性积之和称为该图形对 和y轴的 两轴的惯性积之和称为该图形对z和 轴的 积，记为 。整个图形上所有的微面积对z和 两轴的惯性积之和称为该图形对 惯性积，用表示I 惯性积，用表示 zy，即 I zy = ∫ zydA (4-6) A 3.8
I z = ∑ y dA
2 n i =1
图4.4 惯性矩
n
I y = ∑ z 2 dA
i =1
用积分精确表示为
I z = ∫ y 2 dA
A
(4-3a) (4-3b)
I y = ∫ z 2 dA
A
微面积dA与坐标原点 的距离 的平方的乘积ρ dA称为微面积 对坐标原点O的 称为微面积dA对坐标原点 微面积 与坐标原点O的距离ρ的平方的乘积ρ2dA称为微面积 对坐标原点 的 与坐标原点 的距离ρ 极惯性矩，整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表达为 极惯性矩，整个图形对坐标原点 的极惯性矩用积分表达为 3.7
dS z = ydA
dS y = zdA
平面图形上所有微面积对z轴 或对 或对y轴 的静矩之和 称为平面图形对z轴 或对 的静矩之和， 或对y轴 的静矩 的静矩， 平面图形上所有微面积对 轴(或对 轴)的静矩之和，称为平面图形对 轴(或对 轴)的静矩， 表示， 用Sz(或Sy)表示，即 或 表示 S z = ∫ dS z = ∫ ydA (4-1a)
杆件的应力、强度和刚度
教学要求：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、 教学要求：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯 性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、 性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、应变等基本 概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用； 概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用； 熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、 熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪 弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算； 切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算； 重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。 重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。 了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。 了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。
若 yc = 0, 则
∫
A
ydA = 0
zc = 0, 则
∫
A
zdA = 0
3.5
yc 2 = 0.5cm
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
所示， 【例4.1】 矩形截面尺寸如图 所示，以矩形的形心为原点建立坐标系 ，z1通过矩形的底 】 矩形截面尺寸如图4.2所示 以矩形的形心为原点建立坐标系zoy， 试求该矩形对z轴的静矩和对 轴的静矩。 轴的静矩和对z 边。试求该矩形对 轴的静矩和对 1轴的静矩。 计算矩形截面对z轴的静矩 由于z轴是矩形截面的对称 轴的静矩。 解 : (1) 计算矩形截面对 轴的静矩。由于 轴是矩形截面的对称 通过截面形心，所以矩形对z轴的静矩等于零 轴的静矩等于零， 轴，通过截面形心，所以矩形对 轴的静矩等于零，即 S z = 0 。 (2) 计算矩形截面对 1轴的静矩。 计算矩形截面对Z 轴的静矩。
第4章
杆件的应力、强度和刚度
第4章 杆件的应力、强度和刚度
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3.1
第4章
杆件的应力、强度和刚度
本章内容
•截面的几何性质 截面的几何性质 •轴向拉伸和压缩 轴向拉伸和压缩 •杆件的剪切和扭转 杆件的剪切和扭转 • 梁的弯曲应力及强度计算 •杆件的组合变形 杆件的组合变形 •习 习 题
3.2
第4章
I zy = ∫ zydA
A
(4-6)
惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴， 惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性 积不同。由于x、 有正有负 因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。 有正有负， 积不同。由于 、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单 位是m 位是 4或mm4。 如图4.5所示 所示， 轴是图形的对称轴 轴是图形的对称轴， 轴两侧各取一相同的微面积dA，显然， 如图 所示，y轴是图形的对称轴，在y轴两侧各取一相同的微面积 ，显然，两者的 轴两侧各取一相同的微面积 y坐标相等，而z坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数， 坐标相等， 坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数， 坐标相等 坐标互为相反数 它们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零， 它们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴， 惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不 由于x、 有正有负 因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m 有正有负， 同。由于 、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是 4或 mm4。 如图4.4所示 微面积dA与坐标 和坐标z的乘积 所示， 与坐标y和坐标 的乘积yzdA称为微面积 对z和y两轴的惯性积， 称为微面积dA对 和 两轴的惯性积 两轴的惯性积， 如图 所示，微面积 与坐标 和坐标 的乘积 称为微面积 记为yzdA。整个图形上所有的微面积对 和y两轴的惯性积之和称为该图形对 和y轴的惯性积， 两轴的惯性积之和称为该图形对z和 轴的惯性积 轴的惯性积， 记为 。整个图形上所有的微面积对z和 两轴的惯性积之和称为该图形对 表示， 用Izy表示，即
yc =
∫
A
Hale Waihona Puke ydA A(4-2a)
zc =
∫
A
zdA A
(4-2b) 由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零； 由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零； 反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。 反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。 若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平 若平面图形有一个对称轴， 则形心在此对称轴上； 面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。 面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。
I zy = ∫ zydA = 0
A
3.9
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
I zy = 0
如果z轴是图形的对称轴，同理可得， 如果 轴是图形的对称轴，同理可得， 轴是图形的对称轴
yc =
图4.2 矩形截面
∑Ay
i =1 i
n
ci
3.6
A
=
12 × 5 + 10 × 0.5 = 2.95cm 10 + 12
图4.3 组合截面
I z = ∫ y 2 dA
A
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
一、惯性矩、惯性积和惯性半径 惯性矩、
1. 惯性矩 如图4.4所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系zoy。 如图 所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系 。 所示 微面积dA与坐标 或坐标z)平方的乘积 与坐标y(或坐标 平方的乘积y 微面积 与坐标 或坐标 平方的乘积 2dA或 (Z2dA)称为微 或 称为微 面积dA对 轴 或对 或对y轴 的惯性矩 的惯性矩。 面积 对z轴(或对 轴)的惯性矩。整个平面图形上所有微面积 z轴(或对 或对y轴)的惯性矩之和 称为平面图形对z轴(或对 的惯性矩之和， 或对y轴 对 z轴 (或对 y轴 )的惯性矩之和 ， 称为平面图形对 z轴 (或对 y轴 ) 的惯性矩， 表示， 的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即 或 表示
3.3
S y = ∫ dS y = ∫ zdA
A A
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素， 平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内 力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、 力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量 、极惯性矩和抗扭截面模 量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题， 量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆 件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。 件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。