第七章 空间解析几何学
微积分第七章空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数 为了学习多元函数微积分的需要，本章首先建立空间直角坐标系，并引进在工程技术 上有着广泛应用的向量，介绍向量的一些运算．然后以向量为工具来讨论空间的平面与直线 方程，最后介绍空间曲面与空间曲线及二次曲面.第一节 空间直角坐标系一、 空间直角坐标系众所周知，实数x 与数轴上的点是一一对应的，二元数组(x ,y )与坐标平面上的点是一一对应的，从而可以用代数的方法讨论几何问题．类似地，通过建立空间直角坐标系，把空间中的点与一个三元有序数组(x ,y ,z )建立一一对应关系，用代数的方法研究空间问题.1.空间直角坐标系的建立过空间定点O 作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点，并且通常取相同的长度单位．这三条数轴分别称为x 轴、y 轴、z 轴．各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定：以右手握住z 轴，让右手的四指从x 轴的正向以π/2的角度转向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向．这个法则叫做右手法则(图7-1)．这样就组成了空间直角坐标系．O 称为坐标原点，每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面，简称为坐标面．x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面．类似地有yOz 坐标面、zOx 坐标面．这些坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限(图7-2)．x 、y 、z 轴的正半轴的卦限称为第Ⅰ卦限，从第Ⅰ卦限开始，从z 轴的正向向下看，按逆时针方向，先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下方的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。
图7-1 图7-22.空间中点的直角坐标设M 为空间的一点，若过点M 分别作垂直于三坐标轴的平面，与三坐标轴分别相交于P ，Q ，R 三点，且这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ，则点M 唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．反之，设给定一个有序数组(x ，y ，z )，且它们分别在x 轴、y 轴和z 轴上依次对应于P ，Q 和R 点，若过P ，Q 和R 点分别作平面垂直于所在坐标轴，则这三个平面确定了唯一的交点M ．这样，空间的点就与一个有序数组(x ，y ，z )之间建立了一一对应关系(图7-3)．有序数组(x ，y ，z )就称为点M 的坐标，记为M (x ，y ，z )，它们分别称为横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O的坐标为(0，0，0)，坐标轴上的点至少有两个坐标为0，坐标面上的点至少有一个坐标为0．例如，在x轴上的点，均有y＝z＝０；在xOy坐标面上的点，均有z ＝０．图7-3 图7-4二、空间两点间的距离公式设空间两点M１（x1, y1, z1)、M2 (x2, y2, z2),求它们之间的距离d=12M M．过点M 1,M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图7-4所示的长方体．易知 2222121212()d M M M Q QM M QM==+∆是直角三角形222121()M P PQ QM M PQ=++∆是直角三角形222122M P P M QM''''=++()()()222212121x x y y z z=-+-+-所以d=（7-1-1 ）特别地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离(图7-3)d OM==例1在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点．解因所求的点M在z轴上，故设该点坐标为M(0，0，z)，依题意MA MB=，即=解得z＝149，所求点为M ( 0，0，149)．习题7-11．在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A (1，3，2)，B (1，2，-1)，C (-1，-2，3)，D(0，-2，0)，E (-3，0，1)．2． 求点(a ,b ,c )关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标．3． 自点P 0(x 0, y 0, z 0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．4． 求点M (4，-3，5)到各坐标轴间的距离．5． 在y Ｏz 面上，求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，-2，2)和C (0，5，1)等距离的点．6． 试证明以三点A (4，1，9)，B (10，-1，6)，C (2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．第二节 向量及其运算一、 向量的概念在物理学和工程技术中经常会碰到一些既有大小又有方向的量，如力、速度等，我们把这类量称为向量(或矢量)．空间中的向量常用具有一定长度且标有方向的线段(称为有向线段)来表示。
[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.
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定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
例如， 直线 L1 : s1 = (1,−4, 0), 直线 L2 : s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
例4
求过点 ( −3, 2, 5) 且与两平面 x − 4 z = 3 和
2 x − y − 5 z = 1的交线平行的直线方程.
x
s = ( m , n, p ), M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x0 y − y0 z − z0 直线的对称式方程 = = m n p （点向式方程）
注 : 当方向向量的某个坐标 为零时，比如 m = 0 ,n ≠ 0 ,p ≠ 0时，方程仍然写为 x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = n p 0 ⎧ x − x0 = 0 ⎪ 此时理解为二平面的交 线⎨ y − y0 z − z0 ⎪ n = p ⎩
x −1 y +1 z − 3 L: = = , 相交的直线方程. −5 3 2 L
分析: 关键是求得直线上另外 M • P1 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2P2 Q Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2 M 2 x2
标式来表示向量M1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 O A 4,1,5与O B 1,8,0,求向量AB
与 OAOB的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定 义，能够灵活运用运算规律，并 熟训练使用判断向量平行或垂直 的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移M1M 2,则力F 所做的功
C (2， 4， 7)， 求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB 2
AC sin A 1 AB AC . 2
由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第五节 平面及其方程
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二,指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面: 1, 2 x 3 y 6 = 0 ; 2, y + z = 1; 3,6 x + 5 y z = 0 . 三,求过点( 1 , 1 ,1 ) , ( 2 ,2 , 2 ) 和( 1 ,1 , 2 ) 三点的 平面方程 . 四,点( 1 , 0 ,1 ) 且平行于向量a = { 2 , 1 , 1 }和 b = { 1 ,1 , 0 }的平面方程 . 五 , 求 通过 Z 轴 和 点 ( 3 , 1 , 2 ) 的 平面方 程 . 六 ,求 与 已 知 平 面 2 x + y + 2 z + 5 = 0 平 行 且 与 三 坐 标面 所构 成的 四面体 体积 为 1 的平 面方程 .
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D D D 将A = , B = , C = , a b c
代入所设方程得
x
z
c
y
o
a
b
x y z + + = 1 平面的截距式方程 a b c
x 轴上截距
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y 轴上截距
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z 轴上截距
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例 5 求平行于平面6 x + y + 6 z + 5 = 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
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例 1 求过三点 A( 2,1,4), B( 1,3,2) 和
C (0,2,3)的平面方程.
解
AB = { 3, 4,6} AC = {2, 3,1}
取 n = AB × AC = {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) + 9( y + 1) ( z 4) = 0, 化简得 14 x + 9 y z 15 = 0.
高等数学第七章 (8)
a
两向量同向或反向时等号成立。
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三. 向量与数的乘法
是一个数, 与a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
它的模 :
1a a ; 1 a a ;
可见
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运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a
二、用向量 方法证明：对角线互 相平分的四边形是平 行四边形 .
三 、 把 ABC
的 BC
边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为 连 接 ， 试 以
D 1 , D 2 , D 3 , D 4 ， 再 把 各 分 点 与 点A
AB c , BC a 表 示 向 量 D 1 A , D 2 A , D 3 A 和 D 4 A .
(a b ) a b 1 则有单位向量 a a . 因此 a a a
a
a
分配律
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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例. 设 M 为 解:
ABCD 对角线的交点,
b
a
a
结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c 三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a 2 a 3 a4 a5
a4
a5 a3
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7. 1 向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 这一类量叫做向量.在数学上, 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号:以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F .自由向量: 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量a 和b 的大小相等, 且方向相同, 则说向量a 和b 是相等的, 记为a = b . 相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念. 设有k (k ≥3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k 个向量共面. 二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . 三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则. 平行四边形法则:当向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b . 向量的加法的运算规律:b ac ABC BC(1)交换律a +b =b +a ;(2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).由于向量的加法符合交换律与结合律, 故n 个向量a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n (n ≥3)相加可写成a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅+a n ,并按向量相加的三角形法则, 可得n 个向量相加的法则如下: 使前一向量的终点作为次一向量的起点, 相继作向量a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n , 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即为所求的和. 负向量:设a 为一向量, 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量, 记为-a . 向量的减法:我们规定两个向量b 与a 的差为b -a =b +(-a ).即把向量-a 加到向量b 上, 便得b 与a 的差b -a . 特别地, 当b =a 时, 有 a -a =a +(-a )=0.显然, 任给向量→AB 及点O , 有 →→→→→A O OB OB O A AB -=+=,因此, 若把向量a 与b 移到同一起点O , 则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a . 三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理, 有|a +b |≤|a |+|b |及|a -b |≤|a |+|b |,其中等号在b 与a 同向或反向时成立. 2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a 与实数λ的乘积记作λa , 规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反.当λ=0时, |λa |=0, 即λa 为零向量, 这时它的方向可以是任意的. 特别地, 当λ=±1时, 有1a =a , (-1)a =-a .b -a b -a b ab -a运算规律:(1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb .例1. 在平行四边形ABCD 中, 设−→−AB =a , −→−AD =b .试用a 和b 表示向量−→−MA 、−→−MB 、−→−MC 、−→−MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 a +b −→−−→−==AM AC 2, 即 -(a +b )−→−=MA 2, 于是 21-=−→−MA (a +b ).因为−→−−→−-=MA MC , 所以21=−→−MC (a +b ).又因-a +b −→−−→−==MD BD 2, 所以21=−→−MD (b -a ). 由于−→−−→−-=MD MB , 所以21=−→−MB (a -b ).例1 在平行四边形ABCD 中, 设→a =AB , →b =AD . 试用a 和b 表 示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 →→→MA AM AC 22-===+b a ,于是→)(21b a +-=MA ; →→)(21b a +=-=MA MC .因为→→MD BD 2==+-b a , 所以→)(21a b -=MD ; →→)(21b a -=-=MD MB向量的单位化:设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a .于是a =|a |e a .向量的单位化:BCDBCD设a ≠0, 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量, 记为e a .于是a = | a | e a .定理1 设向量a ≠ 0, 那么, 向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ, 使 b = λa .证明: 条件的充分性是显然的, 下面证明条件的必要性.设b // a . 取||a b ||||=λ, 当b 与a 同向时λ取正值, 当b 与a 反向时λ取负值, 即b =λa . 这是因为此时b 与λa 同向, 且|λa |=|λ||a ||b ||a a b ==|||||.再证明数λ的唯一性. 设b =λa , 又设b =μa , 两式相减, 便得 (λ-μ)a =0, 即|λ-μ||a |=0. 因|a |≠0, 故|λ-μ|=0, 即λ=μ.给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox , 对于轴上任一点P , 对应一个向量→OP , 由→OP //i , 根据定理1, 必有唯一的实数x , 使→OP =x i (实数x 叫做轴上有向线段→OP 的值), 并知→OP 与实数x 一一对应. 于是 点P ↔向量→OP = x i ↔实数x ,从而轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系. 据此, 定义实数x 为轴上点P 的坐标. 由此可知, 轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是 →OP = x i . 三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上, 而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面:在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面, 另两个坐标面是yOz 面和zOx 面.卦限:三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限,它位于xOy 面的上方. 在xOy 面的上方, 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限. 在xOy 面的下方, 与第一卦限对应的是第五卦限, 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限. 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式:任给向量r , 对应有点M , 使→r =OM . 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有 →→→→→→→OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r , 设 →i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =, 则 →k j i r z y x OM ++==.上式称为向量r 的坐标分解式, x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量.显然, 给定向量r , 就确定了点M 及→i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =三个分向量, 进而确定了x 、y 、z 三个有序数; 反之, 给定三个有序数x 、y 、z 也就确定了向量r 与点M . 于是点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系 →) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r .据此, 定义: 有序数x 、y 、z 称为向量r (在坐标系Oxyz )中的坐标, 记作r =(x , y , z ); 有序数x 、y 、z 也称为点M (在坐标系Oxyz )的坐标, 记为M (x , y , z ).向量→OM =r 称为点M 关于原点O 的向径. 上述定义表明, 一个点与该点的向径有相同的坐标. 记号(x , y , z )既表示点M , 又表示向量→OM .坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M 在yOz 面上, 则x =0; 同相, 在zOx 面上的点, y =0; 在xOy 面上的点, z =0. 如果点M 在x 轴上, 则y =z =0; 同样在y 轴上,有z =x =0; 在z 轴上 的点, 有x =y =0. 如果点M 为原点, 则x =y =z =0.四、利用坐标作向量的线性运算 设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z ) 即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k , 则 a +b =(a x i +a y j +a z k )+(b x i +b y j +b z k ) =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ).a -b =(a x i +a y j +a z k )-(b x i +b y j +b z k ) =(a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ).利用向量的坐标判断两个向量的平行: 设a =(a x , a y , a z )≠0, b =(b x , b y , b z ), 向量b //a ⇔b =λa , 即b //a ⇔(b x , b y , b z )=λ(a x , a y , a z ), 于是zzy y x x a b a b a b ==. 例2 求解以向量为未知元的线性方程组⎩⎨⎧=-=-b y x ay x 2335,其中a =(2, 1, 2), b =(-1, 1, -2).解 如同解二元一次线性方程组, 可得 x =2a -3b , y =3a -5b . 以a 、b 的坐标表示式代入, 即得x =2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2)=(7, -1, 10), y =3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16).例3 已知两点A (x 1, y 1, z 1)和B (x 2, y 2, z 2)以及实数λ≠-1, 在直线AB 上求一点M , 使→→MB AM λ=. 解 由于→→→OA OM AM -=, →→→OM OB MB -=, 因此 →→→→)(OM OB OA OM -=-λ,从而→→→)(11OB OA OM λλ++= . ) 1 ,1 ,1(212121λλλλλλ++++++=x x x x x x , 这就是点M 的坐标.另解 设所求点为M (x , y , z ), 则→) , ,(111z z y y x x AM ---=, →) , ,(222z z y y x x MB ---=. 依题意有→→MB AM λ=, 即(x -x 1, y -y 1, z -z 1)=λ(x 2-x , y 2-y , z 2-z ) (x , y , z )-(x 1, y 1, z 1)=λ(x 2, y 2, z 2)-λ(x , y , z ),) , ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++=,λλ++=121x x x , λλ++=121y y y , λλ++=121z z z . 点M 叫做有向线段→AB 的定比分点. 当λ=1, 点M 的有向线段→AB 的中点, 其坐标为 221x x x +=, 221y y y +=, 221zz z +=. 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r =(x , y , z ), 作→r =OM , 则 →→→→OR OQ OP OM ++==r , 按勾股定理可得222||||||||||OR OQ OP OM ++==r , 设 →i x OP =, →j y OQ =, →k z OR =, 有 |OP |=|x |, |OQ |=|y |, |OR |=|z |,于是得向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r . 设有点A (x 1, y 1, z 1)、B (x 2, y 2, z 2), 则→→→OA OB AB -==(x 2, y 2, z 2)-(x 1, y 1, z 1)=(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1), 于是点A 与点B 间的距离为→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==.例4 求证以M 1(4, 3, 1)、M 2 (7, 1, 2)、M 3 (5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 因为 | M 1M 2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M 2M 3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M 1M 3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, 所以|M 2 M 3|=|M 1M 3|, 即∆ M 1 M 2 M 3为等腰三角形.例5 在z 轴上求与两点A (-4, 1, 7)和B (3, 5, -2)等距离的点. 解 设所求的点为M (0, 0, z ), 依题意有|MA |2=|MB |2,即 (0+4)2+(0-1)2+(z -7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得914=z , 所以, 所求的点为)914 ,0 ,0(M .例6 已知两点A (4, 0, 5)和B (7, 1, 3), 求与→AB 方向相同的单位向量e . 解 因为→)2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB , →14)2(13||222=-++=AB , 所以 →→)2 ,1 ,3(141||-==AB AB e .2．方向角与方向余弦当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值.类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角. 非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角. 向量的方向余弦: 设r =(x , y , z ), 则x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.||cos r x =α, ||cos r y=β, ||cos r z =γ.从而 r e r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα.上式表明, 以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量e r . 因此cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1. 例3 设已知两点)2 ,2 ,2( A )和B (1, 3, 0), 计算向量→AB 的模、方向余弦和方向角. 解 →)2 ,1 ,1()20 ,23 ,21(--=---=AB ; →2)2(1)1(||222=-++-=AB ;21cos -=α, 21cos =β, 22cos -=γ;32πα=, 3πβ=, 43 πγ=.3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴.任给向量r , 作→r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即 a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:性质1 (a )u =|a |cos ϕ (即Prj u a =|a |cos ϕ), 其中ϕ为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );§7. 2 数量积 向量积 一、两向量的数量积数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2. 以s 表示位移→21M M . 由物理学知道, 力F 所作的功为W = |F | |s | cos θ ,其中θ 为F 与s 的夹角.数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ⋅b , 即a ·b =|a | |b | cos θ .数量积与投影:由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b . 同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.(2) 对于两个非零向量a、b, 如果a·b =0, 则a⊥b反之, 如果a⊥b, 则a·b =0.如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a⊥b ⇔ a·b =0.数量积的运算律:(1)交换律: a·b =b·a(2)分配律: (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c.(3) (λa)·b =a·(λb) =λ(a·b),(λa)·(μb) =λμ(a·b), λ、μ为数.(2)的证明:分配律(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c的证明:因为当c=0时,上式显然成立;当c≠0时,有(a+b)⋅c=|c|Prj c(a+b)=|c|(Prj c a+Prj c b)=|c|Prj c a+|c|Prj c b=a⋅c+b⋅c.例1 试用向量证明三角形的余弦定理.证: 设在ΔABC中, ∠BCA=θ (图7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要证c 2=a 2+b 2-2 a b cos θ .记→CB=a, →CA=b, →AB=c, 则有c=a-b,从而 |c|2=c⋅c=(a-b)(a-b)=a⋅a+b⋅b-2a⋅b=|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^b),即c 2=a 2+b 2-2 a b cos θ .数量积的坐标表示:设a=(a x,a y,a z ), b=(b x,b y,b z ),则a·b=a x b x+a y b y+a z b z .提示:按数量积的运算规律可得a·b =( a x i +a y j +a z k)·(b x i +b y j +b z k)=a x b x i·i +a x b y i·j +a x b z i·k+a y b x j ·i +a y b y j ·j +a y b z j·k+a z b x k·i +a z b y k·j +a z b z k·k= a x b x+ a y b y+ a z b z .两向量夹角的余弦的坐标表示:设θ=(a, ^ b),则当a≠0、b≠0时, 有222222||||cos zy x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ. 提示: a·b =|a ||b |cos θ .例2 已知三点M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求∠AMB .解 从M 到A 的向量记为a , 从M 到B 的向量记为b , 则∠AMB 就是向量a 与b 的夹角. a ={1, 1, 0}, b ={1, 0, 1}.因为a ⋅b =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1,2011||222=++=a ,2101||222=++=b .所以 21221||||cos =⋅=⋅=∠b a b a AMB . 从而 3π=∠AMB . 例3．设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量)v . 设n 为垂直于S 的单位向量（图7-25(a )）, 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ).解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b )). 这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角θ , 所以这柱体的高为| v | cos θ, 体积为A | v | cos θ = A v ·n .从而, 单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量为P =ρA v ·n .二、两向量的向量积在研究物体转动问题时, 不但要考虑这物体所受的力, 还要分析这些力所产生的力矩. 设O 为一根杠杆L 的支点.有一个力F 作用于这杠杆上P 点处. F 与→OP 的夹角为θ . 由力学规定, 力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模→θsin |||||| F M OP =, 而M 的方向垂直于→OP 与F 所决定的平面, M 的指向是的按右手规则从→OP 以不超过π的角转向F 来确定的.向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与bc 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ⨯b , 即c = a ⨯b .根据向量积的定义, 力矩M 等于→OP 与F 的向量积, 即→F M ⨯=OP . 向量积的性质:(1) a ⨯a = 0 ;(2) 对于两个非零向量a 、b , 如果a ⨯b = 0, 则a //b ; 反之, 如果a //b , 则a ⨯b = 0.如果认为零向量与任何向量都平行, 则a //b ⇔ a ⨯b = 0.数量积的运算律:(1) 交换律a ⨯b = -b ⨯a ;(2) 分配律: (a +b )⨯c = a ⨯c + b ⨯c .(3) (λa )⨯b = a ⨯(λb ) = λ(a ⨯b ) (λ为数).数量积的坐标表示: 设a = a x i + a y j + a z k , b = b x i + b y j + b z k . 按向量积的运算规律可得a ⨯b = ( a x i + a y j + a z k ) ⨯ ( b x i + b y j + b z k )= a x b x i ⨯i + a x b y i ⨯j + a x b z i ⨯k+a y b x j ⨯i + a y b y j ⨯j + a y b z j ⨯k+a z b x k ⨯i + a z b y k ⨯j + a z b z k ⨯k .由于i ⨯i = j ⨯j = k ⨯k = 0, i ⨯j = k , j ⨯k = i , k ⨯i = j , 所以a ⨯b = ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k .为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成zy x z y x b b b a a a kj i b a =⨯=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . .例4 设a =(2, 1, -1), b =(1, -1, 2), 计算a ⨯b .解 211112--=⨯k j i b a =2i -j -2k -k -4j -i =i -5j -3k . 例5 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆. 由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此→→421222k j i =⨯AC AB =4i -6j +2k . 于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .例6 设刚体以等角速度ω 绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M 的线速度.解 刚体绕l 轴旋转时, 我们可以用在l 轴上的一个向量ω表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l 轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是ω的方向.设点M 到旋转轴l 的距离为a , 再在l 轴上任取一点O 作向量r =→OM , 并以θ 表示ω与r 的夹角, 那么a = |r | sin θ .设线速度为v , 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v 的大小为|v | =| ω|a = |ω| |r | sin θv 的方向垂直于通过M 点与l 轴的平面, 即v 垂直于ω与r , 又v 的指向是使ω、r 、v 符合右手规则. 因此有v = ω⨯r .§7. 3 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程F (x , y , z )=0有下述关系:(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程F (x , y , z )=0;(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程F (x , y , z )=0,那么, 方程F (x , y , z )=0就叫做曲面S 的方程, 而曲面S 就叫做方程F (x , y , z )=0的图形.常见的曲面的方程:例1 建立球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面的方程.解 设M (x , y , z )是球面上的任一点, 那么|M 0M |=R .即 R z z y y x x =-+-+-202020)()()(,或 (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.这就是球面上的点的坐标所满足的方程. 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程. 所以(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.就是球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面的方程.特殊地, 球心在原点O (0, 0, 0)、半径为R 的球面的方程为x 2+y 2+z 2=R 2.例2 设有点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.解 由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M (x , y , z )为所求平面上的任一点, 则有|AM |=|BM |,即 222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x .等式两边平方, 然后化简得2x -6y +2z -7=0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.研究曲面的两个基本问题:(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程;(2) 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状.例3 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y =0表示怎样的曲面？解 通过配方, 原方程可以改写成(x -1)2+(y +2)2+z 2=5.这是一个球面方程, 球心在点M 0(1, -2, 0)、半径为5=R .一般地, 设有三元二次方程Ax 2+Ay 2+Az 2+Dx +Ey +Fz +G =0,这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化成方程(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.的形式, 它的图形就是一个球面.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yO z 坐标面上有一已知曲线C , 它的方程为f (y , z ) =0,把这曲线绕z 轴旋转一周, 就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面. 它的方程可以求得如下: 设M (x , y , z )为曲面上任一点, 它是曲线C 上点M 1(0, y 1, z 1)绕z 轴旋转而得到的. 因此有如下关系等式0) ,(11=z y f , 1z z =, 221||y x y +=,从而得 0) ,(22=+±z y x f ,这就是所求旋转曲面的方程.在曲线C 的方程f (y , z )=0中将y 改成22y x +±, 便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程0) ,(22=+±z y x f .同理, 曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为0) ,(22=+±z x y f .例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角α (20πα<<)叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O , 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面的方程.解 在yO z 坐标面内, 直线L 的方程为z =y cot α ,将方程z =y cot α 中的y 改成22y x +±, 就得到所要求的圆锥面的方程αc o t 22y x z +±=,或z 2=a 2 (x 2+y 2),其中a =cot α .例5. 将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cza x分别绕x 轴和z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 绕x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为122222=+-c z y a x ; 绕z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为122222=-+cz a y x . 这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面.三、柱面例6 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？解 方程x 2+y 2=R 2在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上. 也就是说, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2, 且平行于z 轴的直线一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.例6 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2作平行于z 轴的直线l , 则直线l 上的点都满足方程x 2+y 2=R 2, 因此直线l 一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.柱面: 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.上面我们看到, 不含z 的方程x 2+y 2=R 2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2.一般地, 只含x 、y 而缺z 的方程F (x , y )=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面上的曲线C : F (x , y )=0.例如, 方程y 2=2x 表示母线平行于z 轴的柱面, 它的准线是xOy 面上的抛物线y 2 =2x , 该柱面叫做抛物柱面.又如, 方程 x -y =0表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是xOy 面的直线 x -y =0, 所以它是过z 轴的平面.类似地, 只含x 、z 而缺y 的方程G (x , z )=0和只含y 、z 而缺x 的方程H (y , z )=0分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面.例如, 方程 x -z =0表示母线平行于y 轴的柱面, 其准线是zOx 面上的直线 x -z =0. 所以它是过y 轴的平面.四、二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似, 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面. 把平面叫做一次曲面.怎样了解三元方程F (x , y , z )=0所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法.研究曲面的另一种方程是伸缩变形法:设S 是一个曲面, 其方程为F (x , y , z )=0, S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面.显然, 若(x , y , z )∈S , 则(λx , y , z )∈S '; 若(x , y , z )∈S ', 则S z y x ∈) , ,1(. 因此, 对于任意的(x , y , z )∈S ', 有0) , ,1(=z y x F , 即0) , ,1(=z y x F 是曲面S '的方程.例如，把圆锥面2222z a y x =+沿y 轴方向伸缩ab 倍, 所得曲面的方程为 2222)(z a y b a x =+, 即22222z by a x=+.(1)椭圆锥面由方程22222z by a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面. 圆锥曲面在y 轴方向伸缩而得的曲面.把圆锥面2222z a y x =+沿y 轴方向伸缩a b 倍, 所得曲面称为椭圆锥面22222z b y a x =+. 以垂直于z 轴的平面z =t 截此曲面, 当t =0时得一点(0, 0, 0); 当t ≠0时, 得平面z =t 上的椭圆 1)()(2222=+bt y at x . 当t 变化时, 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆, 当|t |从大到小并变为0时, 这族椭圆从大到小并缩为一点. 综合上述讨论, 可得椭圆锥面的形状如图.(2)椭球面由方程1222222=++czb y a x所表示的曲面称为椭球面. 球面在x 轴、y 轴或z 轴方向伸缩而得的曲面.把x 2+y 2+z 2=a 2沿z 轴方向伸缩a c 倍, 得旋转椭球面122222=++c z a y x ; 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 即得椭球面1222222=++cz b y a x . (3)单叶双曲面由方程1222222=-+czb y a x所表示的曲面称为单叶双曲面. 把zOx 面上的双曲线12222=-c z a x 绕z 轴旋转, 得旋转单叶双曲面122222=-+cz a y x ; 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 即得单叶双曲面1222222=-+cz b y a x . (4)双叶双曲面由方程1222222=--cz b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面. 把zOx 面上的双曲线12222=-c z a x 绕x 轴旋转, 得旋转双叶双曲面122222=+-cy z a x ; 再沿y 轴方向伸缩c b 倍, 即得双叶双曲面1222222=--czb ya x. (5)椭圆抛物面由方程z by a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面. 把zOx 面上的抛物线z a x =22绕z 轴旋转, 所得曲面叫做旋转抛物面z a y x =+222, 再沿y 轴方向伸缩a b 倍, 所得曲面叫做椭圆抛物面z by a x =+2222 (6)双曲抛物面.由方程z by a x =-2222所表示的曲面称为双曲抛物面. 双曲抛物面又称马鞍面.用平面x =t 截此曲面, 所得截痕l 为平面x =t 上的抛物线2222a t z b y -=-, 此抛物线开口朝下, 其项点坐标为) ,0 ,(22at t . 当t 变化时, l 的形状不变, 位置只作平移, 而l 的项点的轨迹L 为平面y =0上的抛物线22axz =. 因此, 以l 为母线, L 为准线, 母线l 的项点在准线L 上滑动, 且母线作平行移动, 这样得到的曲面便是双曲抛物面.还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面:12222=+b y a x , 12222=-by a x , ay x =2, 依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面.§7. 4 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组.因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.例1 方程组⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y 轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线.例2 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点)0 ,2(a , 半行为2a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.例2' 方程组⎩⎨⎧=+---=222222)(4ay a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为2a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a , 0) , 半行为a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.二、空间曲线的参数方程空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3 如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2 上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中ω、v 都是常数), 那么点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解 取时间t 为参数. 设当t =0时, 动点位于x 轴上的一点A (a , 0, 0)处. 经过时间t , 动点由A 运动到M (x , y , z )(图7-44). 记M 在xOy 面上的投影为M ', M '的坐标为x , y ,0. 由于动点在圆柱面上以角速度ω 绕 z 轴旋转, 所以经过时间t ,∠AOM '= ω t . 从而x =|OM '|cos ∠AOM '=a cos ω t ,y =|OM '|sin ∠AOM '=a sin ω t ,由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以z =MM '=vt .因此螺旋线的参数方程为。
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
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7.2.4 向量线性运算的坐标表示
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
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习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
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7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
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7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
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7.1 向量及其运算
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（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。
第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）：已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
.{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321同时垂直的单位向量求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ..,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36（C）4X2-9(y2+z2)=36; (D) 4x2-9y2=36.答：（）2. 方程y2+z2-4x+8=0表示：（A）单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。
第7章 空间解析几何与向量代数
在空间引入一直角坐标系，为一个向量，为了讨论方便， a
OM OA AP PM OA OB OC
称向量OA, OB, OC为OM 在x轴、y轴、z轴上的分向量。 （又称基本单位向量）
记i, j , k分别为与x轴、y轴、z轴正向相同的单位向量。
设 Pr jx OM X , Pr j y OM Y , Pr jz OM Z 那么 OA X i , OB Y j , OC Z k 于是OM X i Y j Z k
cos X | OM | X X Y Z
2 2 2
而 Y Pr j y a | OM | cos , cos Y X 2 Y 2 Z2
同理 cos
Z X 2 Y 2 Z2
由于0 , , cos , cos , cos 唯一, 故称 cos , cos , cos为向量a 的方向余弦. 显然a
设向量 a, b 称 a b cos(a, b) 为向量 a, b 的数量积, 记作 a b 即a b a b cos(a, b)
由于 Pr ja b b cos(a, b) 所以 a b a Pr ja b b Pr jb a
点积的运算性质
(1) a a a
2
(2) cos(a, b)
a b ab
(3) a b a b 0
点积满足
交换律 a b b a
分配律 (a b) c a c b c ; ( a) b (a b)
5)向量与向量的向量积(又称为叉积)
设两个向量 a, b 称向量 a b sin(a, b) 为向量 a与b 的向量积, 记作 a b , 即 a b a b sin(a, b) 其中 是单位向量, 的方 向为按右手法则四指从a 的正向以不超过的角转动到b 的 正向时大拇指所指的方 . 向
大学数学微积分第七章 向量代数与空间解析几何平面与直线知识点总结
第七章 向量代数与空间解析几何§7.2 平面与直线一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2 距离公式 空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为d =3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：AMMBλ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，121z z z λλ+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，122z zz += 二、平面及其方程。
1 法向量： 与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n 。
对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。
2 点法式方程： 已知平面π过()000,,M x y z 点，其法向量n ＝{A,B,C},则平面π的方程为 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 或()00n r r ⋅-=其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==3 一般式方程：0Ax By Cz D +++=其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n ＝{A,B,C}是π的法向量 特别情形： 0Ax By Cz ++=，表示通过原点的平面。
0Ax By D ++=，平行于z 轴的平面。
0Ax D +=，平行yOz 平面的平面。
x ＝0表示yOz 平面。
4 三点式方程：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,()333,,C x y z 三点不在一条直线上。
则通过A,B,C 的平面方程为： 1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 5 平面束：设直线L 的一般式方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，则通过L的所有平面方程为1K ()1111A xB yC zD ++++2K ()22220A x B y C z D +++=，其中()()12,0,0k k ≠6 有关平面的问题两平面为 1π：11110A x B y C z D +++= 2π：22220A x B y C z D +++=7 设平面π的方程为0Ax By Cz D +++=，而点()111,,M x y z 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： d =三 直线及其方程1 方向向量：与直线平行的非零向量S ，称为直线L 的方向向量。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]
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(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ ）A ）B ）C ） 6D ）9532. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ ）A ） B C ） D ）13811815818. 设求是：（）,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r a b ⨯r r A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k9. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ ABC (3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -）A ）B ）C ）D ）33623643210. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．填空题(1) a ∙b = （公式）(2) a ·b = （计算）(3).=⨯b a r r (4)][c b a r r r =(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) 坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：yoz 0),(=z y f z (8) 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。
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第七章空间解析几何与向量代数在中学中，我们曾学过平面解析几何。
先建立一个平面直角坐标系，将平面上的点与一个有序数组对应起来；将平面上的一条直线或曲线，与一个代数方程对立起来，这样就可以用代数方法来研究几何问题。
而空间解析几何是平面解析几何的进一步，它是在三维空间里进行研究。
第一节空间直角坐标系一、空间点的直角坐标。
在研究空间解析几何的开始，我们首先建立一个空间直角坐标系。
方法：在空间，任意固定一点O，做三条等长经过以O为原点且相互垂直的直线，对于这三条直线，分别选取他们的正向，使他们成为坐标轴OX，OY，OZ。
坐标轴OX，OY，OZ是均为原点在O点，长度均选择单位长的数轴。
OX 轴又称为x轴或横轴，OY轴又称为y轴或纵轴，OZ称为z轴或竖轴，他们统称为坐标轴。
习惯上，总把x轴，y轴放在水平面上，z轴放在垂直位置上。
那么如何决定x轴，y轴，z轴顺序的相对位置呢？下面介绍两种方法：其一、课本P.287所叙。
他们的正方向符合右手法则，即以右手握住z轴，大拇指方向为z轴的正方向，其余四指从x轴正向旋转900时，所指方向便为y 轴正向，这样相对位置便决定好了。
其二、令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。
大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
由上述二方法，我们就可以由这三条坐标轴组成一个空间直角坐标系，用Oxyz来表示，如图1：图中，点O成为坐标原点。
在某些书中，这种坐标轴又称为空间直角右手坐标系。
因为相应的还有一个左手坐标系，但不常用，在我们这本教材中，里面使用的全部都是右手坐标系。
从上图中，我们可以确定三个坐标平面，即三个坐标面，他们相互垂直，其中，垂直于OX轴的叫做YOZ平面或Oyz平面，其他类似。
三个坐标平面把整个空间分成了八个部分，每个部分叫做卦限，有关八个卦限的排列顺序我们等一下再介绍。
空间直角坐标系建立以后，我们就可以建立空间的点与有序数组之间的对应关系，为此先介绍空间点的坐标。
对于空间任意一点M，过M做三个平面，分别垂直于x轴，y轴和z轴，他们与之的交点分别记做P、Q、R（如图2）。
此三个点分别在x轴，y轴和z轴上的坐标依次为x，y，z。
这样点M就唯一的确定了一个有序数组（x，y，z），这组数（x，y，z）就叫做M点的坐标，并依次称x，y和z为M点的横坐标，纵坐标和竖坐标，通常记为M（x，y，z）。
倒过来，对任意一个有序数组（x，y，z），空间总有唯一的点M，其坐标就是（x，y，z）。
事实上，在x轴上，取坐标为x的点P，在y轴上，取坐标为y 的点Q，在z轴上，取坐标为z的点R。
经过P、Q、R分别作平行于坐标面YOZ，ZOX，XOY的平面，这三个平面相互垂直，且交于一点M。
显然，M点且仅有M点是以有序组（x，y，z）为坐标的点。
从上面两个方面，我们知道，在建立空间直角坐标系后，空间的点M和有序数组（x，y，z）之间建立一个一一对应的关系，这样，说明了（x，y，z）可以叫做M点的直角坐标，根据坐标画点时，可按图2的路线进行。
坐标面和坐标轴上的点，起坐标各有一些特征，很简单，这里就不详写了。
下面我们讲卦限划分：各卦限内的点（除去坐标面上的点外）的坐标符号如下：Ⅰ（+，+，+），Ⅱ（-，+，+），Ⅲ（-，-，+），Ⅳ（+，-，+，）Ⅴ（+，+，-），Ⅵ（-，+，-），Ⅶ（-，-，-），Ⅷ（+，-，-） 【注】：我们很少用到卦限的概念。
补充画图注意的地方：假定画图用的是方格纸，上面画有一族纵的和一族横的平行线，且行距相等，取任意横线和纵线的交点作为原点O ，从O 点起向右的平线作为正的y 轴，向上的作为正z 轴，向左下方的对角线作为正x 轴，在纸上令y 轴和z 轴的单位长相等，但x 轴上的单位长度等于那个单位长度的22，由于立体感，直观上会觉得三条轴上的单位长大致相等，画点时可按图1或者图2所示去画。
二、空间上两点间的距离在数轴上，M 1（x 1），M 2（x 2）两点之间的距离为D=2212121)(x x x x M M -=-=。
在平面上，M 1（x 1，y 1），M 2（x 2，y 2）两点之间的距离为： D=22122121)()(y y x x M M -+-=。
那么，在空间上任意两点M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是多少呢？我们可以证明：D=22122122121)()()(z z y y x x M M -+-+-=。
事实上，过M 1，M 2，各作分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以M 1，M 2，为对角线的长方体（P288，图6-4）。
∴ D 2= 222212221221NMPNPM NMNM M M ++=+== 221221221R R Q Q P P ++= 221221221)()()(z z y y x x -+-+-∴ D=221221221)()()(z z y y x x -+-+- 这就是空间两点的距离公式。
【特别的】：（1）点M （x ，y ，z ）于坐标原点O （0，0，0）的距离为 d=222z y x ++（2）M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔ M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2。
（3）21M M = 12M M【例1】：已知三角形的顶点为A （1，2，3），B （7，10，3）和C （-1，3，1）。
试证明A 角为钝角。
证：2AB =100)33()210()17(222=-+-+- 2AC =9)31()23()11(222=-+-+-- 2BC =117)13()310())1(7(222=-+-+--可见，2BC >2AC +2AB 由余弦定理，就可知A 角为钝角。
【例2】：在z 轴上，求与A(-4,1,7)和B(3,5,-2)两点等距离的点。
解：设M 为所求的点，因为M 在z 轴上，故可设M 的坐标为：（0，0，z ） 根据题意，及222)7()10())4(0(-+-+--z =222))2(()50()30(--+-+-z 去根号，整理得：z=14/9 ∴ M （0，0，14/9）。
【例3】：试在xoy 平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等。
解：设M 为所求。
故依题意可设M 的坐标为（x ，y ，0），又由题意知： |MA| = |MB| = MC| ，即：222)50()1()1(-+++-y x =222)40()4()3(-+-+-y x =222)10()6()4(-+-+-y x化简可得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+516124214104y x y x y x∴ 所求的点为M （16，-5，0）。
第二节 向量及其加减法、向量与数量的乘法一、 向量概念Def ：向量是既有大小（由一个大于等于零的数表示）又有方向的量。
在物理学中，有许多量不仅有大学而且有方向特征。
故称之为向量（矢量）。
在数学中，往往用一条有方向的线段，又称有向线段来表示向量。
有向线段的长度表示该向量的大小，有向线段的方向表示该向量的方向。
以M 1为起点，M 2为终点的有向线段表示的向量。
记为21M M ，有时用一个粗体字母或者上面带有尖头的字母来表示，比如：a，i ，j ，k或者a ，j ，k ，v 等等。
向量大小叫做向量的模。
即所有有向线段的长称为其模。
向量21M M ，a，a 的模依次记做21M M ，a，|a |。
【注】：（1）|·|不是绝对值。
（2）模为1的向量称为单位向量。
（3）模为0的向量称为零向量，记做0，0。
零向量的方向可以是任意，但规定一切零向量都相等。
在直角坐标系中，坐标原点O 为始点，M 为终点的向量OM ，称为点M 对点O 的向径，由粗体字r 表示。
在实际问题中，有的向量与始点无关（比如指南针），而有的与始点有关（比如点的运动速度）。
而我们现在只考虑前一种，即与始点无关的向量，并称为自由向量，简称向量。
由于我们不考虑始点的所在位置，因而规定，两个方向相同，长度一样的向量a 或b 称为相等向量，或a 和b 相等，记为a=b 。
又说：如果两个向量经过平行移动后能够完全重合，就称为两个向量相等。
若向量a ，b ，长度相等，方向相反，就称为它们互为负向量，用a= -b 或者b= -a 表示；若a ，b 方向相同或者相反，则称a ，b 为平行向量，记为a // b 。
二、 向量的加减法在研究物体受力时，作用于一个质点的两个力可以看作两个向量。
而它的合力就是以这个力作为边的平行四边形的对角线上的向量。
我们现在讨论向量的加法就是对合力这个概念在数学上的抽象和概括。
向量的加法：设已知向量a，b ，以任意点O 为始点〖一般讲，任意二向量未必同始点，但是利用自由向量的特点可以做到同一始点〗，且分别以A ，B 为终点，a=→OA，b =→OB，再以OA ，OB 为边作平行四边形OACB ，对角线的向量→OC =c，这就是a ，b 之和，记做a +b =c（如图3）由a ，b 求a +b的过程叫做向量的加法，上述利用平行四边形的对角线上向量来规定两向量之和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
若两个向量a，b在同一直线上（或者平行），则他们的和规定为：（1）若a ，b 同向，其和向量的方向就是a，b 的共同方向，其模为a的模和b的模之和。
（2）若a ，b 反向，其和向量的方向为a，b中较长的向量的方向，其模为a，b 中较大的模与较小的模之差。
除了向量加法的平行四边形法则外，还有一种向量加法的三角形法则：设已知向量a，b ，现在以任意点O为始点，做a=→OA ，再以a的终点A 为始点，做→AC =b，连接OC ，且令→OC=c ，即得a +b =c 。
对于任意向量a ，我们有：a+（-a）=0 ；a +0 =0 +a =a向量的加法满足：（1）交换律：a +b =b +a（图4）（2）结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）（图5）由于向量的加法满足结合律，三个向量a ，b ，c之和就可以简单地记为：a +b +c ，，其次序可以任意颠倒。
一般地，对于n 个向量1a ,2a ,3a ,…,n a ,它们的和可记做1a +2a +3a +…+n a。
它们之间不须加括号，各向量次序可以任意颠倒。
N 个向量1a ,2a ,3a ,…,n a相加的作图法，可由三角形法则推广如下：由空间任一点O 到1OA →=1a ，由A 1到A 2做→21A A =2a，…，最后由1-n a 的终点A n-1到A n作→-n n A A 1=n a得到一系列折线O A 1AA 2…A n-1 A n ，连接O A n ，得： →OA =1a +2a+3a +…+n a向量的减法：我们规定a -b =a +（-b ）。