空间立体几何练习题1

例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 为矩形，SD ⊥底面
A B C D ，2AD =
2D C SD ==，点M 在侧棱S C 上，ABM ∠=60°
（I ）证明：M 在侧棱S C 的中点 （II ）求二面角S A M B --的大小。

练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，
60A B C ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.
（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
62
，求二面角E —AF —C 的余弦值.
分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运
用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。

（答案：二面角的余弦值为
5
15）
例2．(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱
ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1；
求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

E
A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
练习2（2008天津）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD ⊥平面PAB 后，容易发现平面PAB ⊥平面ABCD ，点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P
作棱BD 的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。

（答案：二面角A BD P --的大小为4
39arctan ）
例3．（2008北京理）如图，在三棱锥P A B C -中，
2A C B C ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，P C A C ⊥．
（Ⅰ）求证：P C A B ⊥；
（Ⅱ）求二面角B A P C --的大小；
练习3： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.
例4：（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12
AD
(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；
A
C
B
P
A 1
D 1 B 1
C 1 E
D
B
C
A
图5。