概率论与数理统计答案,祝东进

习题

1. 写出下列随机试验的样本空间:

掷两颗骰子'观察两颗骰子出现的点数.

从正整数中任取一个数，观察取出数的个位数.

连续抛一枚硬币，直到出现正面时为止.

对某工厂出厂的产品进行检査，如连续检査出两个次品，则停止检査，或

检査四个产品就停止检査j己录检査的结果.

在单位圆内任总取一点j己录它的坐标.

解：⑴C = {(jJ)lj = 12…6 7 = 12…,6};

⑵0 = {川=0丄…,9};

⑶0=｛（正）,（反，正），（反反.正）,（反反，反，正h…｝；

IR C=｛（次/次），（次，正，正，正b （次，正，正，次）.（次/正，次，次L （次，正，次，正）■

（正，况次）.（ilL次，正，正b （正/次，正，次）｝；

⑹ Q = {{x,y}\xe R, y e <1).

2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示:

A/出现的点数之和为偶数8/出现的点数之和为奇数，但没有骰子出现1点件

Ci至少掷出一个2点".

£>/两颗骰子出现的点数相同件

解：(1) A = {(lJ),(h3).(h5)・(Z2h(2・4)，(2e)，(3J),(3・3),(3・5).

={(4.2)©4)©6).(5心(5,3),(5,5),6,2)@4)@6)}；

⑵ 8 = {(2・3),(2,5).(392)・(3,4人(3,6)・(4,3),(4.5)・(5.2),(5,4)・

(5,6),(6.3)・(6,5)};

(3)s

罔0 = {(2.1)・(2.2)・(2.3)・(2・4),(2,5)・(26),(1.2)・(3,2)・

(4,2),(5,2),(6・2)}；

⑸ D = {(ta(2,2X(3JX(4,4),(5,5),(6,6)}.

3.设A5C是三个事件'试用A.B.C来表示下列事件:

事件“ A・B,C中至少有一个事件发生".

事件“ A.B.C中至少有两个事件不发生件事件"A.B.C中至多有一个事件

不发生y 事件“ A.B.C中至少有一个事件不发生件事件“ AB至少有一个发生，而C不发生件

解:⑴ AUBUC;

(ABC)U(ABC)U(>IBC)U(ABC)；

⑵(AB)u(AC)u(BC)或

⑶『

泌ABC)U 仏BC)U(ABC)U(ABC)或(AB)U(AC)U(BC);

(5)AUBUC;

⑹(AU3)nC或万可U(亦C)・

4.指出下列命题哪些成立，哪些不成立

(1)A U B=(AB)U B. (2) AUB = AU(亦)•

⑶ A=(AB)U(A可. (4)(AU^)C = ABC.

(5) AB = A[JB.⑹(AB)n(A^) = 0.

(7) AuB 等价于AUB = B 或AB = A 或BuA.

(8)若AB = 0,则AuB.

解:⑴正确;(2)正确;⑶正确;(4)正确;⑸错误;⑹正确;(7)正确;(8)正确.

■在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是女生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示被选学生是运动员.

(1)叙述入BC的意义.

⑵在什么条件下ABC = A成立

(3)什么时候A = C成立

解:⑴被选学生是三年级男运动员；

(2)因为ABC = A等价于AuBC,即数学系的女生全部都是三年级运动员;

(3)数学系的男生全部都是运动员，且运动员全部都是男生.

7.试用维恩图说明,当事件A’B互不相容,能否得出A’B也互不相容

解：不能.

8.设样本空间0 = {%|0<%<10},事件A = {x|2

解:AUB={X|1

AUB = ^ = [O.2)U(5JO]・

习题

⑹ 设Au(A)= 02P(B) = 0・3,求⑴P(AUB);(2)P(B N);(3)P(A-B)・

解：P(AUB) = P(B) = O・3;

P(BA) = P(B)-P(A) = O,1;

P (A-B) = P(0) = O・

__ 2

⑺ 设P(AB)= P(AB\且P(A) = -,求P(B)・

解:注意到P(A B) = P(A[jB) = I - P( A U B) =! - P{A} - P(B) - P(AB}.从而[\\P{AB) = P(AB)得P(A) + P(B) = 1・

于是p(B) = l-P(A) = ；・

⑻ 设AbC为三个随机事件，且PS) = P(B) = P(C) = 〒P(AB) = P(BC) = -, 厶

丿p(AC)=O^P(AUBUC)・

解：山P(AC) = 0知PG4BC) = 0・于是山广义加法公式有

P{A[JB\JC) = P(A) + P(B) + P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)

=3_2=5

_2_3 "b*

⑼ 设AB为两个随机事件，且P(A) = 0.7, P(B)=0.9,问:

⑷在什么条件下，P(AB)取到最大值,最大值是多少

⑸ 在什么条件下，P(AB)取到最小值,最小值是多少

解:(1) Ih 于P{AB)

下,取到最大值P(A) = 0・7・

(6) 注意到P(AB) = P(A) + P(B)-P(A U B).因此当P(A[JB) = l时,P(AB)取

到最小值0・7 + 0・9一1=0・6・

思考：有人说⑵，在AB = 0时,P(A3)取到最小值0•你能指出错误在什么地方吗

(10)设人B为两个随机事件，证明：

(1)P(AB) = 1 - P(A) - P(B) + P(A B).

(2) I-P(A)一P(B) < P(AB)< P(A UB) < P(A) + P(B) •

证明:(1)由广义加法公式可得

P (AB) = l_P (A U 万)=1 - P(石一P(万)+ 5) •

⑵山⑴立得1-P(A)一P(B} < P(AB).

其余不等式是显然的.

(12)设ABC 为三个随机事件，证明:P(AB) + P(AC) -P{BC) < P{A).

证明:由广义加法公式可得

P(A)> P(An(BUC)) = P((AB)UG4C)) = P(AB) + P(AC}-P(ABC)

>P ⑷)+ PG4C)-P (BC).

(12)设AM"…■人为"个事件，利用数学归纳法证明:

(2)(次可加性)P(AU4U…LMJ M E P(A)

k~l

⑵ P（松…A A E H A）-（—1）.

£-1

证明:⑴当” =2时，山广义加法公式有

P（AUAJ = PGM+P（冷）—PGVJM 工P（4）.

£-1