回溯法求解N皇后问题
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Algorithm
8.1.3 回溯法的求解过程
由于问题的解向量 X=(x1, x2, …, xn) 中的每个分量 xi(1≤i≤n)都属于一个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，因此， 回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿 积S1×S2×…×Sn中的元素。 初始时，令解向量X为空，然后，从根结点出发，选 择S1的第一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a11， 如果X=(x1)是问题的部分解，则继续扩展解向量X，选择 S2 的第一个元素作为解向量X的第 2个分量，否则，选择 S1的下一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a12。 依此类推，一般情况下，如果X=(x1, x2, …, xi)是问题的部 分解，则选择Si+1的第一个元素作为解向量X的第i+1个分 量时，有下面三种情况：
若两个皇后摆放的位置分别是(i, xi)和(j, xj)，在棋盘 上斜率为-1的斜线上，满足条件i－j= xj－xi ，在棋盘上斜 率为1的斜线上，满足条件i－j= xi－xj，综合两种情况， 由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，解向量X必须 满足约束条件： |i－ j |≠| xi －xj| （式8.2）
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算法8.5：n-皇后问题的解
Algorithm
Procedure NQUEENS(n) //此过程使用回溯法求出一个n*n棋盘上放置n个皇后，使其不能互相攻 击的所有可能位置// integer k,n,X(1:n) X(1)0 ; k1 // k是当前行；X(k)是当前列 // while k>0 do // 对所有的行，执行以下语句 // X(k)X(k)+1 //移到下一列// while X(k)<=n and Not PLACE(k) do //此处能放这个皇后吗// X(k)X(k)+1 //不能放则转到下一列// repeat if X(k)<=n then //找到一个位置// if k=n then print (X) //是一个完整的解则打印这个数组// else kk+1;X(k)0 //否则转到下一行// end if else kk-1 //回溯// end if repeat End NQUEENS
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算法8.4：可以放置一个新皇后吗？
Procedure PLACE(k)
//如果一个皇后能放在第k行和X(k)列，则返回true，否则返回 false。X是一个全程数组，进入此过程时已置入了k个值。ABS(r) 过程返回r的绝对值//
global X(1:k); integer i,k; i 1 while i<k do if X(i)=X(k) or ABS(X(i)-X(k))=ABS(i-k) then return (false) end if ii+1 判断是否有其它的皇 repeat 后与之在同一列或同 一斜对角线上 return (true) End PLACE
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显然，棋盘的每一行上可以而且必须摆放一个皇后， 所以，n皇后问题的可能解用一个n元向量X=(x1, x2, …, xn) 表示，其中，1≤i≤n并且1≤xi≤n，即第i个皇后放在第i行第 xi列上。 由于两个皇后不能位于同一列上，所以，解向量X必 须满足约束条件： xi≠xj （式8.1）
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8.3.1 八皇后问题
八皇后问题是十九世纪著名的数学家高斯于 1850年提出的。问题是：在8×8的棋盘上摆放八 个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都 不能处于同一行、同一列或同一斜线上。可以把 八皇后问题扩展到n皇后问题，即在n×n的棋盘 上摆放n个皇后，使任意两个皇后都不能处于同 一行、同一列或同一斜线上。
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（1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。 如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其 他解； （2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解 向量的下一个分量； （3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题 的最终解，则存在下面两种情况： ① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋ 1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量； ② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假 设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1； 否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)；
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Algorithm 为了简化问题，下面讨论四皇后问题。 四皇后问题的解空间树是一个完全4叉树，树的根结 点表示搜索的初始状态，从根结点到第2层结点对应皇后1 在棋盘中第1行的可能摆放位置，从第2层结点到第3层结 点对应皇后2在棋盘中第2行的可能摆放位置，依此类推。
1 1 2 3 4 图8.11 四皇后问题 2 3 4 皇后1 皇后2 皇后3 皇后4
算法的实现
• 假设回溯法要找出所有的答案结点 。 • 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个结 点的路径，而T(x1,…xi-1)是下述所有结点xi的 集合，它使得对于每一个xi，(x1,x2,…,xi)是由 根到一个结点xi的路径；假定还存在着一些限 界函数Bi，如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到 一个答案结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则 取真值。 • 于是解向量X(1:n)中的第i个分量，就是那些 选自集合T (x1,x2,…,xi-1)且使Bi为真的xi
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算法8.5——n皇后问题
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回溯法求解4皇后问题的搜索过程
Q Q ×× Q Q ×× Q × ××× (c) Q ×××Q Q (g) (h) (i) Q Q ×Q (d) Q Q Q ××Q (j) (e) Q Q Q Q
(a) Q
(b) Q
Q ×Q × ×× ×
(f)
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8.1.3 回溯法的求解过程
由于问题的解向量 X=(x1, x2, …, xn) 中的每个分量 xi(1≤i≤n)都属于一个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，因此， 回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿 积S1×S2×…×Sn中的元素。 初始时，令解向量X为空，然后，从根结点出发，选 择S1的第一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a11， 如果X=(x1)是问题的部分解，则继续扩展解向量X，选择 S2 的第一个元素作为解向量X的第 2个分量，否则，选择 S1的下一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a12。 依此类推，一般情况下，如果X=(x1, x2, …, xi)是问题的部 分解，则选择Si+1的第一个元素作为解向量X的第i+1个分 量时，有下面三种情况：
若两个皇后摆放的位置分别是(i, xi)和(j, xj)，在棋盘 上斜率为-1的斜线上，满足条件i－j= xj－xi ，在棋盘上斜 率为1的斜线上，满足条件i－j= xi－xj，综合两种情况， 由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，解向量X必须 满足约束条件： |i－ j |≠| xi －xj| （式8.2）
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算法8.5：n-皇后问题的解
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Procedure NQUEENS(n) //此过程使用回溯法求出一个n*n棋盘上放置n个皇后，使其不能互相攻 击的所有可能位置// integer k,n,X(1:n) X(1)0 ; k1 // k是当前行；X(k)是当前列 // while k>0 do // 对所有的行，执行以下语句 // X(k)X(k)+1 //移到下一列// while X(k)<=n and Not PLACE(k) do //此处能放这个皇后吗// X(k)X(k)+1 //不能放则转到下一列// repeat if X(k)<=n then //找到一个位置// if k=n then print (X) //是一个完整的解则打印这个数组// else kk+1;X(k)0 //否则转到下一行// end if else kk-1 //回溯// end if repeat End NQUEENS
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算法8.4：可以放置一个新皇后吗？
Procedure PLACE(k)
//如果一个皇后能放在第k行和X(k)列，则返回true，否则返回 false。X是一个全程数组，进入此过程时已置入了k个值。ABS(r) 过程返回r的绝对值//
global X(1:k); integer i,k; i 1 while i<k do if X(i)=X(k) or ABS(X(i)-X(k))=ABS(i-k) then return (false) end if ii+1 判断是否有其它的皇 repeat 后与之在同一列或同 一斜对角线上 return (true) End PLACE
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显然，棋盘的每一行上可以而且必须摆放一个皇后， 所以，n皇后问题的可能解用一个n元向量X=(x1, x2, …, xn) 表示，其中，1≤i≤n并且1≤xi≤n，即第i个皇后放在第i行第 xi列上。 由于两个皇后不能位于同一列上，所以，解向量X必 须满足约束条件： xi≠xj （式8.1）
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AlgBaidu Nhomakorabearithm
8.3.1 八皇后问题
八皇后问题是十九世纪著名的数学家高斯于 1850年提出的。问题是：在8×8的棋盘上摆放八 个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都 不能处于同一行、同一列或同一斜线上。可以把 八皇后问题扩展到n皇后问题，即在n×n的棋盘 上摆放n个皇后，使任意两个皇后都不能处于同 一行、同一列或同一斜线上。
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（1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。 如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其 他解； （2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解 向量的下一个分量； （3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题 的最终解，则存在下面两种情况： ① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋ 1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量； ② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假 设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1； 否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)；
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Algorithm 为了简化问题，下面讨论四皇后问题。 四皇后问题的解空间树是一个完全4叉树，树的根结 点表示搜索的初始状态，从根结点到第2层结点对应皇后1 在棋盘中第1行的可能摆放位置，从第2层结点到第3层结 点对应皇后2在棋盘中第2行的可能摆放位置，依此类推。
1 1 2 3 4 图8.11 四皇后问题 2 3 4 皇后1 皇后2 皇后3 皇后4
算法的实现
• 假设回溯法要找出所有的答案结点 。 • 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个结 点的路径，而T(x1,…xi-1)是下述所有结点xi的 集合，它使得对于每一个xi，(x1,x2,…,xi)是由 根到一个结点xi的路径；假定还存在着一些限 界函数Bi，如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到 一个答案结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则 取真值。 • 于是解向量X(1:n)中的第i个分量，就是那些 选自集合T (x1,x2,…,xi-1)且使Bi为真的xi
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算法8.5——n皇后问题
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回溯法求解4皇后问题的搜索过程
Q Q ×× Q Q ×× Q × ××× (c) Q ×××Q Q (g) (h) (i) Q Q ×Q (d) Q Q Q ××Q (j) (e) Q Q Q Q
(a) Q
(b) Q
Q ×Q × ×× ×
(f)
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