反三角函数

第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。

二、知识结构1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2πk ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

(2)角度与弧度的互化： 1°＝180π弧度，1弧度＝(π180)°(3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。

弧长公式：l=｜α｜R扇形面积公式：S=21lR=21｜α｜R 23.周期函数：(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。

(2)几个常见结论：①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k ∈Z ，且k ≠0)也是y=f(x)的周期。

(1)②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么ωT也是y=f(wx)(w ≠0)的周期。

③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c 。

4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x ，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=ry ,cos α=r x,tg α=y r ,ctg α=y x ,Sec α=r x ,csc α=ry(如图(1))。

(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))(3)同角三角函数的基本关系式：倒数关系：sin α²csc α=1,cos α²sec α=1,tg α²ctg α=1 商数关系：tg α=ααcos sin ,ctg α=ααsin cos 平方关系：sin 2α+cos 2α=1,1+tg 2α=sec 2α,1+ctg 2α=csc 2α(4)诱导公式：α2k π+α-απ-απ+α2π-α 2π-α 2π+α 正弦 sin α -sin α sin α -sin α -sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α -cos α -cos α cos α sin α -sin α 正切 tg α -tg α -tg α tg α -tg α ctg α -ctg α 余切 ctg α -ctg α -ctg α ctg α -ctg αtg α-tg α上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。

5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：如图(3)，sin α=MP,cos α=OM,tg α=AT,ctg α=BS(2)三角函数的图像和性质： 函数 y=sinx y=cosxy=tgx y=ctgx 图象定义域RR｛x ｜x ∈R 且x ≠k π+2π,k ∈Z ｝｛x ｜x ∈R 且x ≠k π,k ∈Z ｝值域［-1，1］x=2k π+2π时y max =1 x=2k π-2π时y min =-1［-1,1］ x=2k π时y max=1x=2k π+π时y min =-1R 无最大值 无最小值R 无最大值 无最小值周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2k π-2π,2k π+2π］上都是增函数；在［2k π+2π ,2k π+32π］上都是减函数(k ∈Z)在［2k π-π，2k π］上都是增函数；在［2k π，2k π+π］上都是减函数(k ∈Z)在(k π-2π，k π+2π)内都是增函数(k ∈Z)在(k π，k π+π)内都是减函数(k ∈Z)7.函数y=Asin(wx+ϕ)的图像：函数y=Asin(wx+ϕ)的图像可以通过下列两种方式得到： ϕ＞0，图像左移ϕ(1)y=sinx y=sin(x+ϕ) ϕ＜0，图像右移｜ϕ｜ w ＞1，横坐标缩短为原来的w1倍 y=sin(wx+ϕ)0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的w1倍 A ＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍 w ＞1,横坐标缩短为原来的w 1倍 (2)y=sinx 0＜w ＜1,横坐标伸长为原来的w1倍 ϕ＞0，图像左移wϕ y=sin(wx)ϕ＜0,图像右移wϕ A ＞1，纵坐标伸长为原来A 倍y=sin(wx+ϕ) y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式：两角和与差的公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β， tg(α±β)=βαβαtg tg tg tg 1±倍角公式：sin2α=2sin αcos α，cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， tg2α=αα212tg tg -. 半角公式：sin2α=±2cos 1α-, cos 2α=±2cos 1α+, tg 2α=±ααcos 1cos 1+-=ααcos 1sin +=ααsin cos 1-.积化和差公式：sin αcos β=21〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, cos αsin β=21〔sin(α+β)-sin(α-β)〕cos αcos β=21〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,sin αsin β=-21〔cos(α+β)-cos(α-β)〕和差化积公式： sin α+sin β=2sin2βα+cos2βα-,sin α-sin β=2cos 2βα+sin 2βα-cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2βα- ,cos α-cos β=-2sin 2βα+sin 2βα-万能公式：sin α=21222ααtgtg+，cos α=212122ααtgtg +-,tg α=21222ααtgtg -(2)各公式间的内在联系：(3)应注意的几个问题：①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。

②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。

③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。

④常具的变形公式有：cos α=ααsin 22sin ,sin 2α=22cos 1α-,cos 2α=22cos 1α+,tg α+tgβ＝tg(α+β)(1-tg αtg β).⑤asin α+bcos α=22b a +sin(α+ϕ).(其中ϕ所在位置由a ，b 的符号确定，ϕ的值由tg ϕ=ab确定)。

9.解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表： 名称 公式 变形内角和定理A+B+C=π2A +2B ＝2π-2C，2A+2B ＝2π-C 余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosAb 2=a 2+c 2-2accosB c 2=a 2+b 2-2abcosCcosA=bc a c b 2222-+cosB=ac b c a 2222-+cosC abc b a 2222-+正弦定理A a sin =B b sin =Ccsin =2R R 为ΔABC 的外接圆半径a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=R a 2,sinB=R a 2,sinC=Rc 2 射影定理acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a面积公式①S Δ=21ah a =21bh b =21ch c ②S =1absinC=1acsinB=1bcsinAsinA=ab S ∆2 sinB=S ∆2③S Δ=Rabc4 ④SΔ=c)-b)(P -a)(P -P(P (P=21 (a+b+c)) ⑤S Δ=21(a+b+c)r (r 为ΔABC 内切圆半径)sinC=abS ∆2 10.反三角函数： 名称 反正弦函数 反余弦函数反正切函数反余切函数 定义y=sinx(x ∈〔-2π,2π〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=cosx(x ∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tgx(x ∈(-2π,2π)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgyy=ctgx(x ∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy 理解arcsinx 表示属于［-2π,2π］ 且正弦值等于x 的角 arccosx 表示属于［0，π］，且余弦值等于x 的角arctgx 表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x 的角arcctgx 表示属于(0，π)且余切值等于x 的角 图像性质 定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域［-2π，2π］ ［0，π］(-2π，2π) (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数 在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=π-arcctgx 周期性都不是同期函数恒等式 sin(arcsinx)=x(x ∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x ∈［-2π,2π］) cos(arccosx)=x(x ∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x ∈［0,π］) tg(arctgx)=x(x ∈R)arctg(tgx)=x （x ∈(-2π,2π)） ctg(arcctg x)=x(x ∈R) arcctg(ctgx)=x (x ∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2π(x ∈［-1,1］) arctgx+arcctgx=2π(X ∈R)11.三角方程：(1) 最简单三角方程的解集：方程方程的解集sinx=a ｜a ｜＞1Φ｜a ｜=1｛x ｜x=2k π+arcsina,k ∈z ｝cosx=a ｜a ｜＞1 Φ｜a ｜=1 ｛x ｜x=2k π+arccosa,k ∈z ｝｜a ｜＜1 ｛x ｜x=2k π±arccosa,k ∈z tgx=a ｛x ｜x=k π+arctga,k ∈z ｝ ctgx=a ｛x ｜x=k π+arcctga,k ∈z ｝(2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。