直线的投影

AB

9
2）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
b B a X |YA-YB| A a AB AB b


C b
O
|YA-YB| X
a b

ab
AB
a
|YA-YB|

|YA-YB|
10
ab
3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b b
Z
a
B
a X A a
b a X b a Y a YH
19
zA-zB ab
二、两直线的相对位置
平行
相交
交叉
垂直相交
20
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。 投影特性： ⒈ 两直线平行
b
a A a b B c C c d H d V
D
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
21
例1：判断图中两条直线是否平行。
①
a a
a c k
●
d b
先作正面投影
25
⒊ 两直线交叉
a
c’
1(2) 3 4
●
d
为什么？ ： 投影特性 两直线相交吗？
b
●
●
c a
●
2
●
b d
1 3(4 )
●
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2
1、投影面平行线
正平线
水平线
侧平线
3
水平线
a a b
a b
实长 a
b
b
α γ
正平线
a b
a b a
侧平线
β
a 实长
α
b
β
γ
b
a
b
实长
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
投 影 特 性： ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
2.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点 b 的同名投影用直线连接，就得 到直线的同名投影。 直线投影的基本特性 a 一、直线的投影特性
●
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
26
例题
判断两直线的相对位置
1
c
1d 1c
b
27
判断两直线重影点的可见性
c
b 1 (3)4 2 d C 2 B 判断重影点的可 见性时，需要看重影 点在另一投影面上的 投影，坐标值大的点 投影可见，反之不可 见，不可见点的投影 加括号表示。
b
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
8
1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角
b B a X A a b AB |zA-zB| ab b |zA-zB |
|zA-zB|
a X

C
b
O
a AB
|zA-zB| ab
b
c B
C
X
a
A a c b c
O
15
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a
c
b
②
a
c
●
b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
16
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
4
2、 投影面垂直线
正垂线
铅垂线
侧垂线
5
铅垂线
a b a(b)
●
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a
d c
b
d c e f
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
6
3、 一般位置直线
7
b a a b a
V a c
C A
b
B
AC/CB=ac/cb= ac / cb
a
c
b H
◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
定比定理
14
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面 投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在 直线上。 2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
应用定比定理
17
例题3 V b
已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。 b c X O a b c b a
18
cb ac
c
a X B C
A
a
c
H
例题4 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使 BC 的实长等于已知长度L。 b L AB c a X b BC a c
求出侧面投影
23
⒉ 两直线相交
V a A a
c
k
C
b d K D d k B
交点是两直 线的共有点
c a b
k
d
c
b
H
a
c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
24
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a k d
b c c b d d
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
22
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c c
a
d
a b d
b
b
c
d a 如何判断？
对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
11

O b
O
b YW
|XA-XB|
例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X

ab b
ab
AB
|yA-yB|

a
12
ab
2.4 直线与点及两直线的相对位置
一、直线与点的相对位置
13
点在直线上的判别方法：
◆ 若点在直线上, 则 点的投影必在直线的同 名投影上。并将线段的 同名投影分割成与空间 相同的比例。即：
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
1
二、 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 垂直于某一投影面 与其余两投影面倾斜