点与直线的投影.
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第2章 点和直线的投影
A0
a' X
α
b'
Z
b A0 a
β
b'
Z b
γ
A0
a YW
O b
YW
a' X
Xa-Xb Ya-Yb
O b
a
a
Y
YH
a
YH
以投影长为底边、直线两端点到该投影面的距离差作 为高建立直角三角形，直角三角形的斜边即为直线的实 长 ，斜边与投影长的夹角即为该直线对该投影面的倾角。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上。
Ⅱ
S A
A1
a
P
V
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
H
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影
正立投影面 V
a'
V面保持不动
a'
V
a'
X
ax
A
X O
H面绕X轴向 下旋转90°
ax
O
X
ax
O
V应垂直于H
水平投影面 a H a) 立体图
a
H
a
b) 展开图
c) 投影图
注意：空间点用大写字母或数字表示；点的投影用小圆圈表示。 点在V面上的投影称正面投影，用小写字母或数字加 ′表示。 点在H面上的投影称水平投影，用小写字母或数字表示。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 一般情况下，空间直线的投影仍然为直线。
根据几何学定理，空间两点可以确定一条直线，所以在求作直 线的三面投影时，可分别作出直线上任意两点（通常是直线的两个 端点）的三面投影，然后将其同面投影用直线相连接，即可得到直 线的三面投影。
a' X
α
b'
Z
b A0 a
β
b'
Z b
γ
A0
a YW
O b
YW
a' X
Xa-Xb Ya-Yb
O b
a
a
Y
YH
a
YH
以投影长为底边、直线两端点到该投影面的距离差作 为高建立直角三角形，直角三角形的斜边即为直线的实 长 ，斜边与投影长的夹角即为该直线对该投影面的倾角。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上。
Ⅱ
S A
A1
a
P
V
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
H
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影
正立投影面 V
a'
V面保持不动
a'
V
a'
X
ax
A
X O
H面绕X轴向 下旋转90°
ax
O
X
ax
O
V应垂直于H
水平投影面 a H a) 立体图
a
H
a
b) 展开图
c) 投影图
注意：空间点用大写字母或数字表示；点的投影用小圆圈表示。 点在V面上的投影称正面投影，用小写字母或数字加 ′表示。 点在H面上的投影称水平投影，用小写字母或数字表示。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 一般情况下，空间直线的投影仍然为直线。
根据几何学定理，空间两点可以确定一条直线，所以在求作直 线的三面投影时，可分别作出直线上任意两点（通常是直线的两个 端点）的三面投影，然后将其同面投影用直线相连接，即可得到直 线的三面投影。
点与直线的投影
影都与原点重合。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
两点的相对位置
两点的相对位置指两点 在空间的上下、前后、左右 位置关系。
判断方法：两点间的相对位置可通 过它们的坐标差来确定。
◆x坐标大的在左
◆y坐标大的在前
◆z坐标大的在上 B点在A点之左、之前、之下。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
无轴投影图
不画投影轴的投影图，称为无 轴投影图。 无轴投影图 是根据相对坐标 来绘制的，其投 影图仍符合点的 投影规律。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
本节内容：
一、点的投影 点的投影规律 两点的相对位置和重影点 二、直线的投影 各种位置直线的投影特性 直线上点的投影 两直线的相对位置
工程制图
投影基础：点和直线的投影
一、点的投影 直角坐标系下的点 ：点A（x，y，z）
Z A X O X
●
Z a （x，z）
两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对于 投影面的距离远近（或坐标大小）来确 定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大 的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左 右、前后坐标差，可以确定该点的空间 位置并作出其三面投影。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例5：已知点B的投影和点A 的两个投影，
工程制图
投影基础：点和直线的投影
a ●
● ●
二、直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同面投影用直线连接，就 得到直线在该投影面上的投影 一、直线的投影特性
直线对一个投影面的投影特性
A
●
a
●
b
b
a● b
●
●
工程制图
投影基础：点和直线的投影
两点的相对位置
两点的相对位置指两点 在空间的上下、前后、左右 位置关系。
判断方法：两点间的相对位置可通 过它们的坐标差来确定。
◆x坐标大的在左
◆y坐标大的在前
◆z坐标大的在上 B点在A点之左、之前、之下。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
无轴投影图
不画投影轴的投影图，称为无 轴投影图。 无轴投影图 是根据相对坐标 来绘制的，其投 影图仍符合点的 投影规律。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
本节内容：
一、点的投影 点的投影规律 两点的相对位置和重影点 二、直线的投影 各种位置直线的投影特性 直线上点的投影 两直线的相对位置
工程制图
投影基础：点和直线的投影
一、点的投影 直角坐标系下的点 ：点A（x，y，z）
Z A X O X
●
Z a （x，z）
两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对于 投影面的距离远近（或坐标大小）来确 定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大 的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左 右、前后坐标差，可以确定该点的空间 位置并作出其三面投影。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例5：已知点B的投影和点A 的两个投影，
工程制图
投影基础：点和直线的投影
a ●
● ●
二、直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同面投影用直线连接，就 得到直线在该投影面上的投影 一、直线的投影特性
直线对一个投影面的投影特性
A
●
a
●
b
b
a● b
●
●
机械制图-点、直线、平面的投影
特殊位置点的应用
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
第三章点、直线及平面的投影详解
第三章 点、直线及平面投影
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
点、直线、平面的投影
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四、两直线相对位置
两直线的相对位置有 平行、 相交和交错（或称交叉、异面）。
平行直线的两面投影
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(一)两直线平行
对于两条一般位置直线，只要这两条直线的两面投影 彼此平行，则空间两直线就平行。
两条侧平线 但是对于两条侧平线，要判断它们在空间上是否平行， 侧面投影 还要看它们的侧面投影是否平行。
结论： 直角的两边不平行于投影面时，直角的投影不是直角。
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下图所示 如下图所示，构成直角的两边，AB倾斜于H面，BC平 行于H面，因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC⊥平面ABba，又因 为BC//bc，所以bc⊥平面ABba。加之ab∈平面ABba，所以 bc⊥ab，即∠abc=90°
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H
侧平面
投影特点： 1. W面投影反映实形。 2. V面和H面投影积聚成直线，且分别平行于OZ轴和OYH轴。
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三、平面内的线和点
由初等几何可知，直线和点在平面内的几何条件是： （1）如果一直线通过平面内的两点或通过平面内的一点 示例1 示例2 且平行于平面内的一直线，则此直线属于该平面。 （2）如果点位于平面内任一直线上，则该点属于该平面。示例
D 面ABC
面内定线的方法小结：
方法1：在平面内取两已知点连线。 方法2：过已知点做已知线的平行线。
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例2-10 如下图所示，点M属于三棱锥的一侧面△SAB，已知 △SAB的两投影及点M的H面投影，求：（1）点M的V面投影m ′ ； （2）在△SAB内过点M作一水平线。
Ⅰ
作图步骤：
b
(三)投影面垂直线
投影特性：
四、两直线相对位置
两直线的相对位置有 平行、 相交和交错（或称交叉、异面）。
平行直线的两面投影
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(一)两直线平行
对于两条一般位置直线，只要这两条直线的两面投影 彼此平行，则空间两直线就平行。
两条侧平线 但是对于两条侧平线，要判断它们在空间上是否平行， 侧面投影 还要看它们的侧面投影是否平行。
结论： 直角的两边不平行于投影面时，直角的投影不是直角。
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下图所示 如下图所示，构成直角的两边，AB倾斜于H面，BC平 行于H面，因BC⊥AB，BC⊥Bb，故BC⊥平面ABba，又因 为BC//bc，所以bc⊥平面ABba。加之ab∈平面ABba，所以 bc⊥ab，即∠abc=90°
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H
侧平面
投影特点： 1. W面投影反映实形。 2. V面和H面投影积聚成直线，且分别平行于OZ轴和OYH轴。
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三、平面内的线和点
由初等几何可知，直线和点在平面内的几何条件是： （1）如果一直线通过平面内的两点或通过平面内的一点 示例1 示例2 且平行于平面内的一直线，则此直线属于该平面。 （2）如果点位于平面内任一直线上，则该点属于该平面。示例
D 面ABC
面内定线的方法小结：
方法1：在平面内取两已知点连线。 方法2：过已知点做已知线的平行线。
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例2-10 如下图所示，点M属于三棱锥的一侧面△SAB，已知 △SAB的两投影及点M的H面投影，求：（1）点M的V面投影m ′ ； （2）在△SAB内过点M作一水平线。
Ⅰ
作图步骤：
b
(三)投影面垂直线
投影特性：
直线上的点与线投影
真长（TL)
坐标差 △Z、△Y、△X
α、β、γ
H、V、W投影长
直角三角形法
B
α A
b a
ZA
ZB-ZA
ZB
b'
ZB-ZA
a'
X
o
b
a
α
ZB-ZA
1、求直线的实长及对水平投影面的夹角角
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2、求直线的实长及对正面投影面的夹角
c
zA-zB
ab
c
§3.5 两直线的相对位置
两直线平行
空间两直线的相对位置
两直线相交
两直线交错（相交、交叉）
空间两直线平行
两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互 平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则 该两直线在空间也一定相互平行。
b' B d'
a'
D
a'
c'
X
A
C
OX
bd
acaຫໍສະໝຸດ b'影引垂线，较高的一点看得
n'
见，较低的一点则看不见。 c'
O
（2）判别V面重影点的可见
性，必须从V面投影向H面投
m(n)
e
b
影引垂线，较前的一点看得
c a
见，较后的一点则看不见。
f
d
直角的投影
两条互相垂直的直线，若其中有一条 是某一投影面的平行线，则它们在该投影 面的投影必互相垂直。
直角的投影
b' d'
点、直线、平面的投影
第2章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
2.1 投影法及性质 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 平面内的点和直线
1 投影法及性质
物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，这就是投影现 象。投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。 投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称 为投影法。 投影法分中心投影法和平行投影法两种。
二、平面对一个投影面的投影特性
平面的投影特性是由平面相对于投影面的位置决定的。
平面在三投影面体系中的投影特性
1、投影面垂直面
垂直于某一投影面而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。
2、投影面平行面
平行于某一投影面而与另外两个投影面垂直的平面，称为投影面平行面。
投影面垂直面的投影特性:
投影面平行线的投影特性 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映其实长及与另两投影面倾角的实大， 另外两投影分别平行于相应的投影轴。
2、投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。 垂直于H面的直线为铅垂线，垂直于V面的直线为正垂线，垂直于W面的直线为侧垂线。
投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点，另外两投影分别垂直于相 应的投影轴，并反映其实长。
[例1] 已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。
作图： 1） 画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X轴上量取Oax=20; OayH =15; Oaz =24； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的垂直线、 过az作Z轴的垂直线,两垂直线的交点得点A的V面投影a＇,过ayH作OY轴的垂直线与 a＇ax的延长线相交得点A的H面投影a; 3)过原点O作∠YHOYW的平分线； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Ｙw轴的直线； 5）过a＇作Z轴的垂线与垂直Ｙw轴的直线相交于a＂，即为A的W面投影。
点在直线上的投影公式
点在直线上的投影公式
点在直线上的投影是指从该点向直线上垂线的交点，用数学表示就是点P在直线L上的投影为Q，记作Q=projL(P)。
投影公式是指计算点P在直线L上的投影Q坐标的公式。
设直线L的解析式为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)，投影点Q的坐标为(x,y)，则有：
1. 若直线L为水平直线，则点P在直线L上的投影Q的坐标为Q=(x0,-C/B)。
2. 若直线L为竖直直线，则点P在直线L上的投影Q的坐标为Q=(-C/A,y0)。
3. 若直线L为斜直线，则点P在直线L上的投影Q的坐标为： x = (B^2*x0 - A*B*y0 - A*C)/(A^2 + B^2)
y = (A^2*y0 - A*B*x0 - B*C)/(A^2 + B^2)
这就是点在直线上的投影公式。
在实际应用中，投影公式可用于计算点在直线上的距离、点到直线的垂距等问题。
- 1 -。
第三章 点、直线、平面的投影
C b
O
|YA-YB| X
a b
ab
AB
a
|YA-YB|
|YA-YB|
ab
3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b b Z a
B
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直线实长
直线实长
直线实长
△Z
△Y
△X
α
水平投影长
β
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影
第三章 点、直线、平面的投影
3-1 点的投影
一、点的三面投影
二、点的投影与直角坐标的关系
三、点的投影规律
四、空间点的相对位置
一、点的三面投影
为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等； 水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用 相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相 应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。
b
d d c
b
a
d
A
b
a
例：判断图中两条直线是否平行。
①
a
a c c c d c b d a b a b b d c b d a c b d
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
②
a
d
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
a
X A a O bo b
第2讲 正投影法及点与直线的投影
a″ ″ ● Y ay X
Z V a′ ′
●
az
●
ax
A
O
●
a″ ″
W
a
●
Y
ay
a
●
ay H Y
点的投影规律: 点的投影规律 ① a′a⊥OX轴 a′a″⊥OZ轴 ′ ⊥OX轴 ′ ″ OZ轴 ② aax= a″az =y =Aa′（A到V面的距离） ″ A ′ 面的距离） ′ 面的距离） A ″ aay=a′az =x =Aa″（A到W面的距离） ″ a′ax= a″ay =z =Aa（A到H面的距离） ′ A （ 面的距离）
a′● ′
●
●
a″ ″
●
b′ ′b″ ″一来自直线的投影特性⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A● M● B● A●
●
a● b
●
B ●
A●
●
B
α
●
a≡b≡m 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
●
b
a● 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB AB
a●
b
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB AB.cosα AB α
V Z
X
O
W
H
Y
三个投影面 互相垂直
空间点A 空间点A在三个投影面上的投影
a′ a a″
点A的正面投影 点A的水平投影 点A的侧面投影
注意： 注意： 空间点用大写字母表 示，点的投影用小写 字母表示。 字母表示。
X
Z V a′ ′ ●
●
A
O
●
a″ ″
W
a● H Y
a′ ′ ● X ax
画法几何及机械制图 第二章 点、直线和平面的投影
a
定比作图方法
c
b
§2－2 直线的投影
例2 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b Z
b
V
b
c a C B
X
A
O
a
X
a
a
O
a
c YW
a
c Hb
c b
YH
§2－2 直线的投影
例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。
b c
a
L
b c
a
a
X
a
b
L
c
ZAB
O
b
c
ZAB
b0
L
c0
平面对 投影面的倾 角、、
二、各种位置平面的投影特性
§2－3 平面的投影
投影面垂直面： 垂直于一个、倾斜 于另两个投影面的 平面
V面—正垂面 H面—铅垂面 W面—侧垂面
特殊位 置平面
投影面平行面： 平行于一个、同时 垂直于另两个投影 面的平面
V面—正平面 H面—水平面 W面—侧平面
投影面倾斜面： 对三个投影面都倾 斜的平面
c b
X
b O c
YW
当两直线均为
b
一般位置直线时， c
若有两个同面投影 满足上述条件，则 空间两直线相交。
d
a
YH
§2－2 直线的投影
3. 交叉两直线
既不平行又不相交的两直线
b
1(2 )
d
c
a
Ⅱ
2 Ⅰd
c
b
a1
b d
1(2 )
c
X a
O
d
c
a
土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
二、两平行直线
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
点、直线、平面的投影
提示：已知两个视图，要补画其他视图 时，首先应根据已知视图中对应线框的投影 想象其立体图，然后再根据立体图，并结合 投影关系补画其他视图。在想象立体图时， 可从反映该特征最明显的视图入手，忽略图 中的虚线和部分线条想象其基础形体，然后 再考虑其他图线产生的原由。
补画某个视图时，为了防止出现错误，一 定要按该物体的形成过程绘制，切记不要看 到棱边就画，想画哪就画哪。
机械制图
1 点的投影
无论点在空间处于什 么位置，其三面投影仍然 遵守“长对正、高平齐、 宽相等”的投影规律。
1
空间点对于由V、H和W平面组成的投影体系有以下三种位置关系：
当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内，如图下中A点的投影。
当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上。
水平线
正平线
侧平线
若将投影面平 行线与V、H、W面 的夹角定义为α、β 和γ，则该直线和与 其平行的投影面的 夹角为0°，和其他两 个投影面的夹角在 其平行的投影面上 反映真实大小。
3．一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影均与
2 投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长，从投影图上也
不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如下图所示。
3 平面的投影
空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置）。
3
1．投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
若空间平面平行于一个投影面， 则必垂直于其他两个投影面，这样 的平面称为投影面平行面。平行于 V、H、W投影面的平面分别称为 正平面、水平面和侧平面。投影面 平行面在与其平行的投影面上的投 影反映实形，在其他两个投影面上 的投影积聚成一条直线，且平行于 相应的投影轴，如右表所示。
第2章 点、直线、平面的投影
四、两直线的相对位置
【例2-9】作一水平线，距H 面15mm，且与 AB、CD 两直线相交。
a' c' e' b' f'
X b e
a c f
d'
15
O d
四、两直线的相对位置
【例2-10】判断两直线的相对位置。
由于K点不在直 线CD 上，所以是交 叉两直线。
四、两直线的相对位置
3.两直线交叉 重影 点
相交两直线
平行两直线
平面图形
一、平面的投影特性与平面的表示法
2.用迹线表示平面
PV PV
PW
P
PH
PW P
H
迹线——平面与投影面的交线。
平面与V 面的交线称为正面迹线，用PV 表示。 平面与H 面的交线称为水平迹线，用PH 表示。 平面与W 面的交线称为侧面迹线，用PW 表示。
二、各种位置的平面
四、两直线的相对位置
【例2-13】判断下列各组的两直线是否平行。
c'
X
d' c
O
平行
平行
d 不一定
一般位置直线的两面投影平行，空间两直线就平行。 特殊位置直线的两面投影平行，其中有一个投影 反映实长，则该两直线空间平行。
四、两直线的相对位置
2.两直线相交
投影特性： 空间相交两直线的投影必定相交，且两直 线交点的投影必定为两直线投影的交点。
X坐标值确定两点的左右位置 X坐标值大为左，小则为右 Y坐标值确定两点的前后位置 Y坐标值大为前，小则为后
Z坐标值确定两点的上下位置
Z坐标值大为上，小则为下
一、点在三投影面体系中的投影
【例2-3】如图所示，试判断点B 相对于点 A 的空间位置 。
点、直线 投影
– 两直线 是指直线在另外两个投影面上的投影 分别平行于相应的投影轴，但其投影长度缩 短。
– 平行线空间位置的判别： 一斜两直线，一定是平行线；斜线在哪
面，平行哪个面。
投影面平行线
名 称
水平线
正平线
直 观 图
投 影 图
侧平线
2 投影面垂直直线
铅垂线
V a’
z
a’
z
a’’
A a’’
b’
b’’
b’
侧平线
V
z
a'
Z a"
a'
a" A
b'
b'
x
β
αo
B a
W X
a b"
β
α
b"
O
YW
y
Hb
b
投影特性：（1）a‘b’//OZ ， ab//OY； YH
（2）a“b”=AB；
（3）反映 α、β角的真实大小。
• 平行线投影特性 （一斜两直线 ）
– 斜线是指直线在所平行的投影面上的投影反 映实长，并且该投影与投影轴的夹角(α、β、 γ)等于直线对其他两个投影面的倾角。
两直线 是指直线在另外两个投影面上的投影 同时平行于一条相应的投影轴且均反映实长。
• 垂直线空间位置的判别 ：
一点两直线，一定是垂直线；点在哪个 面，垂直哪个面。
投影面垂直线
名 称
铅垂线
正垂线
直 观 图
投 影 图
侧垂线
例1 判定直线AB、CD的名称。
a’ X
b’ OX
a
b
正平线
c’
d’
O
c
d
– 平行线空间位置的判别： 一斜两直线，一定是平行线；斜线在哪
面，平行哪个面。
投影面平行线
名 称
水平线
正平线
直 观 图
投 影 图
侧平线
2 投影面垂直直线
铅垂线
V a’
z
a’
z
a’’
A a’’
b’
b’’
b’
侧平线
V
z
a'
Z a"
a'
a" A
b'
b'
x
β
αo
B a
W X
a b"
β
α
b"
O
YW
y
Hb
b
投影特性：（1）a‘b’//OZ ， ab//OY； YH
（2）a“b”=AB；
（3）反映 α、β角的真实大小。
• 平行线投影特性 （一斜两直线 ）
– 斜线是指直线在所平行的投影面上的投影反 映实长，并且该投影与投影轴的夹角(α、β、 γ)等于直线对其他两个投影面的倾角。
两直线 是指直线在另外两个投影面上的投影 同时平行于一条相应的投影轴且均反映实长。
• 垂直线空间位置的判别 ：
一点两直线，一定是垂直线；点在哪个 面，垂直哪个面。
投影面垂直线
名 称
铅垂线
正垂线
直 观 图
投 影 图
侧垂线
例1 判定直线AB、CD的名称。
a’ X
b’ OX
a
b
正平线
c’
d’
O
c
d
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投影基础：点和直线的投影
投影面展开
a●
X
Z
az
O
●
a
Y
ax
ay
a
●
点的投影规律： ① aa⊥OX轴，V、H投影长对正； a′a″⊥Z轴，V、W投影高平 齐； aay⊥YH，a″ay⊥YW即H、W投影宽相等。
Y
ay
② aax= aaz=y=A到V面的距离; aax= aay=z=A到H面的距离; aay= aaz=x=A到W面的距离。
Z
分析：
A（10，12，15） a′（10，15） a （10，12） a″ （12，15） X
a
a
O
a
YW
YH
工程制图
投影基础：点和直线的投影
特殊位置点：
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例3：已知点的两投影，求其第三投影
z
d f x d a a e 0 a d f e
YW
f
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例4：已知点A的三投影，，△Z=10，求点B的三 投影 。
分析： 点A是参考点，根 据相对坐标△X、 △Y、△Z的正负值， 可判定点B在点A的 右方、后方和上方。
注意： 侧面投影△Y的量取方向
工程制图
投影基础：点和直线的投影
被挡住的投 影加( )
a c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
点的三面投影体系 投影面
◆正面投影面（简称正 面或V面） ◆水平投影面（简称水 平面或H面） ◆侧面投影面（简称侧 面或W面）
V
三投影面 互相垂直
Z
X
o
W
投影轴
OX轴 OY轴 OZ轴
H
Y
V面与H面的交线 它与坐标系有什么不同？ H面与W面的交线 V面与W面的交线
工程制图
投影基础：点和直线的投影
点A在三投影面体系中的投影
工程制图
投影基础：点和直线的投影
点的三面投影和坐标的关系
Z
A（x，y，z） a （ x， y ） a′（x，z） a″ （y，z）
X
V a（ x，z） ●
●
A
O
●
a（ y，z） W
a （x，y） H
●
Y
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作 直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个 坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影 与坐标值之间存在着对应关系。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
2.2 点与直线的投影
教学要求：
1、熟练掌握点的三面投影规律及两点的相 对位置；
2、掌握各种空间直线的投影特性及其基本 作图方法；熟悉点与直线、直线与直线的相对 位置及其判别。
教学重点：点的投影规律，点与点、点与直线、 直线与直线的相对位置及其判别。
教学难点：相对位置及其判别 教学方法：讲授+自学+实训
求点A的第三个投影。
解法一：
b a a
b
b
a
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例5：已知点B的投影和点A 的两个投影，
求点B的第三个投影。
解法二：
b a a
△y
b
a
△y
b
工程制图
投影基础：点和直线的投影
重影点：
A、C为H面的重影点
a
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对于 投影面的距离远近（或坐标大小）来确 定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大 的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左 右、前后坐标差，可以确定该点的空间 位置并作出其三面投影。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例5：已知点B的投影和点A 的两个投影，
工程制图
投影基础：点和直线的投影
各种位置点的投影
空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三
个投影都不在投影轴上。
投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个
投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影 轴上。
投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投
影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。
与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投
●
A O
●
a （y，z）
a x，y） （
Y Y
工程制图
投影基础：点和直线的投影
点的投影特性
过空间点A的投射线与 投影面P的交点a即为点A在P 面上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
P
A
●
a
●
P
B3
●
B2
●
B1
●
●
b
解决办法？ 采用三面投影。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
a 点A的正面投影
a
Z V a●
●
点A的水平投影
A
O
X
●
a
W
a 点A的侧面投影
a●
H Y
规定：空间点用大写字母表示，如A、B、C 等，水平
投影用相应的小写字母a、b、c表示，正面投影用相应 的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′，侧面投影用 相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。
工程制图
影都与原点重合。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
两点的相对位置
两点的相对位置指两点 在空间的上下、前后、左右 位置关系。
判断方法：两点间的相对位置可通 过它们的坐标差来确定。
◆x坐标大的在左
◆y坐标大的在前
◆z坐标大的在上 B点在A点之左、之前、之下。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
无轴投影图
不画投影轴的投影图，称为无 轴投影图。 无轴投影图 是根据相对坐标 来绘制的，其投 影图仍符合点的 投影规律。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二: 用分规直接量 取aaz=aax
a● ax az
●
a
a●
工程制图
投影基础：点和直线的投影
例2：已知点A（10，12，15），求作 它的三面影。
工程制图
投影基础：点和直线的投影
本节内容：
一、点的投影 点的投影规律 两点的相对位置和重影点 二、直线的投影 各种位置直线的投影特性 直线上点的投影 两直线的相对位置
工程制图
投影基础：点和直线的投影
一、点的投影 直角坐标系下的点 ：点A（x，y，z）
Z A X O X
●
Z a x，z） （
e
YH
工程制图
投影基础：点和直线的投影
点的投影规律:
① aa⊥OX轴，V、H投影长对正； a′a″⊥Z轴，V、W投影高平齐； aay⊥YH，a″ay⊥YW即H、W投影宽 相等。
② aax= aaz=y（A到V面的距离） aax= aay=z（A到H面的距离） aay= aaz=x（A到W面的距离）