Strongart数学笔记-浅论群同调及上同调
Strongart数学笔记：浅谈局部上同调及其对偶定理
浅谈局部上同调及其对偶定理(2014-06-27 13:51:56)交换代数与同调代数可以说是现代代数学中双塔，他们结合之后就产生了一类非常有意思的代数结构：局部上同调（local cohomology），下面就来介绍一下局部上同调理论的基本内容，暂时不涉及代数几何方面的应用。
约定：本文中的环都是含单位元1的交换环。
首先我们定义I-挠函子的概念，设I是R的理想，M是R-模，令Γ_I（M）={x∈M：I^kx=0对某k≥0}它可以自然诱导在R-模映射M→N上，得到R-模范畴上的函子Γ_I（-）。
下文若无混淆，我们将把I省去。
可以证明函子Γ（-）是左正合的，它有导出函子，就称为局部上同调函子，其中第j阶导出函子记住H^j（-）.把R-模M代入，就得到M的（关于I的）第j阶局部上同调H^j（M），它有如下的基本性质：1）H^0（M）=Γ（M）2）若√I=√J，则Γ_I（M）=Γ_J（M）3）由R-模的短正合列可导出H^*（-）的自然长正合列。
下面我们用这个正合列算一下R=Z对I=（p）的局部上同调，可取Z的内射分解为0→Z→Q→Q/Z→0，容易得到H^j（Z）=0，j≥2，直接计算得H^0（Z）=0，利用长正合列性质，有H^1（Z）=Γ（Q/Z）=Z[1/p]/Z.仔细观察，我们发现H^0（M）=lim Hom（R/I^n,M），由此可以得到局部上同调的计算公式：H^j（M）=lim Ext^j（R/I^n,M），j≥0这里我们遇到了导出函子与正向极限的可交换性，也有作者是通过关于负强连通函子的引理处理的（可以参见[3]、[5]）。
由此可得可以沟通关于I的局部上同调与I-深度之间的关系。
若M是有限生成R-模且IM≠M时，我们有min{j；H^j（M）≠0}=depth（M）这里IM≠M是I-深度的定义的自带条件，当IM=M时，有H^j（M）=0对任何j都成立。
除了Ext函子之外，我们还可以用Koszul复形来计算局部上同调。
代数拓扑中上同调的计算理论
代数拓扑中上同调的计算理论代数拓扑是代数学和拓扑学的一个交叉学科，研究代数结构与拓扑空间之间的联系和相互作用。
其中一个重要的研究对象是上同调，它是一个用来描述拓扑空间性质的代数不变量。
本文将介绍代数拓扑中上同调的计算理论。
一、上同调的基本概念上同调是拓扑学中一个重要的代数不变量，用来研究拓扑空间的性质。
它通过一系列代数结构来描述空间的拓扑性质。
在代数拓扑中，上同调的计算主要依赖于复形和链复性质的理论基础。
1.1 复形复形是代数拓扑中的一种重要工具，它是由一系列交错的正整数维度的单纯形组成的，且满足一定的边界和奇异性条件。
复形的边界是指复形中各单纯形之间的边界共享关系。
1.2 链复形链复形是复形的抽象代数对象，它由链群和边界算子组成。
链群是复形中各维度的链构成的向量空间，边界算子则表示各维度之间边界的映射关系。
二、上同调的计算方法在代数拓扑中，我们可以通过计算上同调来研究拓扑空间的性质和结构。
上同调的计算方法主要包括以下几个方面：2.1 上同调群上同调群是指通过链复形的边界算子计算得到的相应维度上的代数不变量。
上同调群可以用来描述拓扑空间的连通性、同伦性等性质。
2.2 上同调序列上同调序列是一种通过上同调群之间的映射关系来计算上同调的方法。
在代数拓扑中，我们可以通过构造上同调序列来计算更高维度的上同调。
2.3 上同调的计算定理上同调的计算定理是代数拓扑中的重要理论工具，通过一系列的等式和运算关系，可以计算得到上同调群的具体表达式。
三、应用实例上同调的计算理论在代数拓扑中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用实例：3.1 同伦不变性通过计算拓扑空间的上同调，可以判断空间是否同伦不变。
同伦不变性是指具有相同上同调的拓扑空间可以进行同伦变换。
3.2 Poincaré双纽结定理Poincaré双纽结定理是代数拓扑中的一个重要结果，通过上同调的计算理论可以证明该定理。
3.3 拓扑流形的分类上同调的计算理论在拓扑流形的分类问题中起着重要作用。
上同调代数
上同调代数什么是同调代数？同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是拓扑空间的代数结构和其同调不变量之间的关系。
同调代数的研究对象可以是各种各样的代数结构，比如群、环、模等，而拓扑空间则可以是曲面、多维空间等。
同调代数的基本概念1. 同调群同调群是同调代数中的核心概念之一。
对于给定的拓扑空间X，我们可以定义一系列同调群，记作Hn(X)，其中n表示维度。
同调群描述了拓扑空间X中的代数结构，可以通过同调群来研究拓扑空间的性质。
2. 上同调代数上同调代数是同调代数中的一种重要扩展。
与普通的同调代数不同，上同调代数中的同调群是通过一种上同调操作定义的。
上同调操作是一种将代数结构映射到更高维度的操作，它可以将一个n维的代数结构映射到一个n+1维的同调群中。
3. 同调环同调环是同调代数中的另一个重要概念。
同调环是一个满足一定条件的环结构，它描述了拓扑空间中的环结构和同调群之间的关系。
同调环的研究可以帮助我们更好地理解拓扑空间的性质。
上同调代数的应用1. 拓扑学上同调代数在拓扑学中有广泛的应用。
通过研究上同调代数，我们可以得到拓扑空间的同调不变量，这些不变量可以帮助我们刻画拓扑空间的性质。
比如，同调不变量可以用来判断两个拓扑空间是否同胚，或者用来计算拓扑空间的欧拉数等。
2. 代数几何上同调代数在代数几何中也有重要的应用。
代数几何研究的是代数结构和几何结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将代数结构映射到几何结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到代数曲线、代数多面体等几何结构的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究几何结构的性质。
3. 数学物理上同调代数在数学物理中也有应用。
数学物理研究的是物理现象和数学结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将物理结构映射到数学结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到物理系统的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究物理系统的性质。
总结上同调代数是同调代数中的一种重要扩展，它通过上同调操作将代数结构映射到更高维度的同调群中。
Strongart数学笔记：谈谈调和分析中的极大函数
谈谈调和分析中的极大函数从经典实分析（实变函数）到近代调和分析的过渡中，极大函数可以说是一个标志性的概念，一般出现在实分析的末尾与近现代调和分析的开篇。
同时，极大函数又是一个比较难理解的概念，原因大概就在于它属于构造型的概念，非常缺少便于把握的实例。
极大函数一般定义为（Mf)(x)=sup{|B|^(-1)∫B|f（x）|dx}，其中sup在满足一定条件的可测集族中取值。
事实上，为了右边积分的方便，最常见的取值范围就是球体与方体，分别对应的球体极大函数与方体极大函数（按照x是否必须是中心，还分别有中心与非中心的差别）。
可即便如此，还有取上确界这个障碍，能得到Mf的简单表达式的情形，似乎就只有一些简单图形的特征函数（及其数乘），这时积分可以当做图形的测度来处理，上确界可以通过某种条件最小图直接看出。
此外，一个富有启发的例子就是某点P的δ分布，极大值可取为包含P的最小图，而对于非常接近δ分布的函数，它就在P点的某个小邻域中取极大，因此一般并不是这个函数的支集。
我们先以球形中心极大函数为例，讨论一下Mf的一些性质，主要就是说明它是弱（1,1）与（p，p）型的（1＜p≤∞）。
首先，直接的估计可以得到Mf是（∞，∞）的，假若能够证明它的弱（1,1）的，那么由Marcienkiewicz interpolation theorem可知，它是（p，p）型的（1＜p≤∞）。
在弱（1,1）型的估计中，使用覆盖引理是一个关键，其基本思想是相应图形的不交化，这样的过程常常是不计代价的，我把它概括为∫A∩B≤∫A+∫B≤2∫X。
当然，以上只是一般模式，在具体问题中可以灵活处理，比如在二进方体的极大函数中，两个二进方体若没有包含关系，那么它们天然的不相交，因此可以通过取极大的可能方体来代替覆盖引理，而相应的对强（p，p）型则可以直接估计，这样得到的界常数要远优于插值定理。
假设我们已经建立球中心极大函数，那就可以借助球中心极大函数来估计方体以及非中心的情况。
Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南
Hartshorne代数几何概型部分学习指南(2014-04-1614:30:14)在Hartshorne的著名教科书《代数几何》中，有这样一段话“对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革命，给代数几何带来了巨大的进步。
但是，跟概型打交道的人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。
约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特征为零的域，必要时就作为基域。
首先，我们遇到的第一个障碍就是层（sheaf），实际上层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会让初学者感觉一头雾水。
实际上，层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群（或其他良好代数对象）的映射，可以视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的，代数几何中对应的“拓扑流形”是交换环的局部环层空间（ringed space）.所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结构层。
假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环层空间。
给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R的素谱Spec R上给定，在各个茎上由环的局部化给出，这样对应的(Spec R,O_Spec R)又称为仿射概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。
X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在X的邻域U，使得（U，O_U）同构于仿射概型。
概型之间的态射可以通过局部环层空间的态射定义。
环层空间的态射f：（X，O_X）→（Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f：X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→（O_(X,x)，M_x).下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数或（Krull）拓扑。
Strongart数学笔记：Differential Forms in Algebraic Topology读后感
Differential Forms in Algebraic Topology读后感最近我读完了Raoul Bott的Differential Forms in Algebraic Topology（代数拓扑中的微分形式），开头还算是比较轻松愉快，后来遇到spectral sequences就开始发晕，到homotopy的时候就有点像放弃了，好在那是一个相对独立的章节，熬到最后的characteristic classes稍微总算好转一点。
下面主要就比较熟悉前半部分，谈一点阅读体会。
书中一开始是介绍de Rham cohomology，一个特色就是并列了带有compactly supports的情形，这样可以处理noncompact的情形。
然而，compact cohomology的很多性质是普通的cohomology相反的，这可以从Mayer-Vietoris sequence开始讨论。
就Ω*函子而言，普通的cohomology是反变的，但compact cohomology却有两种选择，书中主要还是取的共变形式，这就使得关于compact cohomology的Mayer-Vietoris sequence中箭头的方向与通常的cohomology相反。
接着我们看Poincare lemma，普通的cohomology中可以把×R 直接收缩掉，但对于compact cohomology而言，直接pullback会破坏compactly supports条件，最后只能得到一个降维的形式。
当然，具体的证明需要对微分形式做细致的讨论，尽管两种cohomology的讨论有点类似，但似乎都比较繁琐。
我们容易把Poincare lemma推广到向量丛M→E上，分别得到H^*(E)≌H^*(M)与H^*_c(E)≌H^(*-n)_c(M)，请注意对于compactly supports的情形，需要使用Poincare duality，因此要假定流形是有限型可定向的。
拓扑学中的同调论与同调群
拓扑学中的同调论与同调群拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是空间的形状与结构。
同调论是拓扑学中一项重要的工具，用于描述空间的性质和特征。
同调群则是同调论的基本概念之一，是研究同调论的重要工具和结构。
一、同调论的基本概念在介绍同调群之前，我们先来了解一下同调论的基本概念。
同调论是一种通过代数工具来研究拓扑空间性质的方法。
1. 链复形和边缘算子链复形是同调论的基本概念之一。
它由一系列的链群组成，每个链群由一些形式化的“链”组成。
形式化的“链”是指拓扑空间中的各个维度的“单纯形”或“边”。
边缘算子是链复形中的映射，它把一个维度高一些的链映射为一个维度低一些的链。
边缘算子的作用类似于求导操作，它描述了链的边缘的性质。
2. 同调群的定义同调群是由链复形的核和像构成的一系列代数群。
它描述了链复形中各个链的在不同维度上的“闭性”。
同调群的定义基于边缘算子的核和像，即同调群是边缘算子的核与其像的商群。
二、同调群的性质同调群作为同调论的重要工具和结构，具有一些重要的性质和特征。
1. 同调群的结构同调群的结构可以通过链复形的结构和边缘算子的性质来描述。
同调群的结构可以帮助研究拓扑空间的性质和特征。
2. 同调群的计算同调群的计算是同调论的一个重要问题。
由于同调群的定义通常涉及到大量的链和复杂的边缘算子，直接计算同调群是十分困难的。
为了解决这个问题，同调论提供了一些计算方法和定理，如蛇引理、长正合序列等，可以简化同调群的计算过程。
三、同调群的应用同调群作为拓扑学的重要工具，被广泛应用于各个领域。
1. 空间的分类同调群可以描述拓扑空间的性质和结构，从而用于空间的分类。
通过比较不同拓扑空间的同调群，可以判断它们是否同胚或同伦等。
2. 拓扑不变量同调群可以作为拓扑不变量，即在同伦形变下保持不变的量。
通过计算拓扑空间的同调群，可以得到关于拓扑空间的一些不变性质，如欧拉数等。
3. 嵌入问题同调群可以用于研究数学中的嵌入问题。
嵌入问题研究的是一个拓扑空间是否能够嵌入到另一个拓扑空间中。
代数拓扑中的上同调群计算方法
代数拓扑中的上同调群计算方法在代数拓扑学中，上同调群是对拓扑空间进行代数化描述的重要工具之一。
它可以帮助我们研究空间的性质以及它们之间的映射和变形。
本文将介绍上同调群的概念和计算方法，并探讨在代数拓扑中的应用。
一、上同调群的概念上同调群是一种用于描述拓扑空间的代数对象。
它是通过将空间中的链与边界联系起来来构建的。
对于给定的拓扑空间X，我们可以构造一系列复形Cx，其中x表示一种维度。
这些复形由一组群和一组边界映射构成。
简单来说，上同调群就是这样一组群的集合：每个维度的群由该维度复形中的闭链模去掉边界链的模得到。
二、上同调群的计算方法计算上同调群的方法主要有两种：直接计算和利用代数结构。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 直接计算方法直接计算上同调群的方法是通过构造拓扑空间的上链复形来计算。
对于给定的拓扑空间X，我们可以选择一种合适的上链复形，并通过计算该复形的闭链和边界链来得到上同调群。
这种方法的优点是直观易懂，但对于复杂的空间来说计算量较大。
2. 利用代数结构方法利用代数结构计算上同调群的方法是通过代数工具和性质来计算。
例如，我们可以利用同调群的长正合列、Mayer-Vietoris序列等工具来计算上同调群。
这种方法通常更高效，特别适用于一些含有特殊结构或性质的拓扑空间。
三、代数拓扑中的应用上同调群在代数拓扑学中有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 同伦不变性在拓扑学中，同伦等价是空间的一个重要性质。
上同调群可以用来刻画同伦等价的空间具有相同的上同调群。
通过比较不同空间的上同调群，我们可以判断它们是否同伦等价。
2. 基本群和覆叠空间上同调群可以和基本群以及覆叠空间进行联系。
通过计算拓扑空间的上同调群，我们可以推导出基本群以及覆叠空间的一些性质。
这对于研究空间的拓扑结构和几何性质非常重要。
3. 对偶性与切向量空间上同调群的对偶性是代数拓扑学中一个重要的性质。
通过定义上同调群的对偶群，我们可以研究拓扑空间的切向量空间以及其它几何性质。
拓扑学中的同伦和同调
拓扑学是研究空间和变形的数学学科，同伦和同调是拓扑学中的两个重要概念。
它们帮助我们理解空间的性质和形状，以及空间中的连续映射之间的关系。
同伦是指两个连续函数之间的变形过程。
在拓扑学中，我们关注的是连续变形，即保持空间内点之间的相关性质。
例如，两个函数f和g，如果存在一个连续变形h(t)，使得当t=0时，h(t)等于f，当t=1时，h(t)等于g，则称函数f和g是同伦的。
同伦的概念相当于拓扑空间中的连续映射的“连续”性质的推广。
同伦的研究可以揭示空间中的一些特殊形状的性质，比如环面连续变形成球面。
同调是拓扑学中另一个重要的概念，它用于描述空间的不同维度上的“空洞”。
在几何形状中，我们可以想象一个球面没有任何空洞，而环面上有一个空洞。
在拓扑学中，通过同调理论，我们可以用一组整数来衡量空间的空洞。
同调理论的基本思想是从拓扑空间中的链（chains）和边界（boundaries）的概念出发，构建一个链复形（chain complex）。
链复形是一系列向量空间及其线性映射组成的复杂结构，它描述了拓扑空间中的各维度的图像。
同调群（homology group）是链复形的基础上定义的，它是一组向量空间的集合，每个向量空间都对应一个维度的“空洞”。
同调群的计算方法是通过链复形和边界映射来实现的。
我们可以将拓扑空间分解为一系列连续函数的复合，而函数的边界则定义了拓扑空间的空洞。
同调群描述的是空洞的性质，比如空洞的个数和维度。
同调群的计算不仅仅是在拓扑空间中计数空洞的个数，更重要的是通过同调群的计算来揭示拓扑空间的形状和性质。
同伦和同调是拓扑学中的两个核心概念，它们是研究拓扑空间性质的重要工具。
同伦描述了连续函数之间的连续性变形，而同调则帮助我们理解空间中的“空洞”。
它们的应用领域广泛，涉及到数学、物理、计算机科学等多个学科。
通过研究同伦和同调，我们可以深入理解拓扑学的基础原理，并将其应用于各种实际问题的解决中。
上同调代数
上同调代数上同调代数同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构之间的映射和同态，特别是群或模的同态关系。
同调代数在几何学、代数学、数论和物理学等领域中都有广泛的应用。
一、同调代数的基本概念1.1群同调群同调是同调代数的最基本概念之一，它描述了群的代数结构与其拓扑性质之间的关系。
给定两个群G和H，它们的群同调是在一定条件下从G到H的同态映射的集合。
群同调可以用来研究群之间的同构、自同态和拓扑性质等。
1.2模同调类似于群同调，模同调研究的是模之间的同态关系。
给定两个模M 和N，它们的模同调是从M到N的同态映射的集合。
模同调的研究对于研究代数结构的性质和模之间的映射具有重要意义。
二、同调代数的基本性质2.1同调函子同调函子是同调代数中的重要工具，它将一个范畴上的对象映射为另一个范畴上的对象，并保持对象之间的映射关系。
同调函子可以用来构造新的代数结构，并研究它们之间的关系。
2.2长正合列在同调代数中，长正合列是一种重要的序列。
对于给定的同态映射，如果它们构成一个准同态序列，且满足一定条件，那么这个序列就是长正合列。
长正合列为研究代数结构和同态映射提供了有力的工具。
2.3上同调和下同调上同调和下同调是同调代数中的两个基本概念。
上同调是在同调函子作用下得到的同态映射的集合，而下同调是在同调函子作用下得到的模的集合。
上同调和下同调可以用来研究群或模之间的同态关系，并提供了计算同调群的方法。
三、同调代数的应用3.1几何学中的同调代数在几何学中，同调代数可以用来研究拓扑空间的性质和结构。
通过构建拓扑空间的上同调或下同调群，可以研究空间的连通性、维度、同伦不变性等问题。
同调代数在代数拓扑学、流形学和代数几何学等领域都有广泛的应用。
3.2代数学中的同调代数在代数学中，同调代数可以用来研究代数结构的同态关系和同构性质。
通过构建模的同调群，可以研究模的结构、模的分解和模的分类等问题。
同调代数在代数编码理论、代数数论和代数几何学等领域中都有重要的应用。
Strongart数学笔记：Munkres《代数拓扑基础》的阅读与思考
Munkres《代数拓扑基础》的阅读与思考原本是去年看完Munkres《代数拓扑基础》中译本之后写成的文章，一年之后自然又有了一些新收获，所以就补充一点新的体会重发出来。
先来说说读这个书所需要的预备知识，主要就是代数与拓扑两个方面的了。
其实书中对一些基础的知识都预先做了大致的介绍，所以起点还是比较低的，但若是已经掌握一些基本技术，那么就可以把注意集中到拓扑的主要内容上了。
代数方面，最好了解一点模正合列，特别是要把图表追赶的技术玩熟（尽管书中一般只涉及Abel群的情形），要是再了解一点Hom、Ext、Tor函子与张量积就更好了。
拓扑方面嘛，正规空间的知识是必须的，但更主要是商空间的理论，像20与37节都是很精彩的补充，而对复形的理解最好先了解一点凝聚拓扑（coherent topology），还有就是了解一点常见曲面的粘合与剖分将是非常有益的。
我想，这些知识大概可以从Munkres的第一本《拓扑学》中找到，虽然我没看过那本书，但它的口碑是不错的。
接着，我来简单介绍一下这本书的特色：从取材来看，这本书其实更适合叫做《同调论》，因为它主要就是处理复形的同调。
书里对同伦也就介绍了同论等价的概念，主要遇到的只是其特例形变收缩，目的还是为了得出同调群的相等（同伦不变性）。
其实，我以前曾见到过一本中文的《同调论》，其内容和这本书大致类似，现在新出的一本中文的《同调论》，仍然是依照着它的模式。
就内容来说，此书是从直观出发，直到引入许多比较“前卫”的概念。
书中对单纯形有很多具体的剖分，比如环面与Klein瓶都是经常出现的角色，对一些比较抽象的定理也独具匠心的在习题中安排了具体的例证。
我想，代数拓扑虽然有点抽象，但毕竟还不是同调代数，许多几何化的材料还是必不可少的。
同时，作者也引入了像无穷复形、同调流形这些同类书籍中不常见的概念，特别在链的意义上处理了同调与上同调的关系，这对进一步深入学习都是有所帮助的。
可见，此书内容还是比较丰富的，但同时编排还比较灵活，读起来有移步换景的感觉。
同调群的定义以及计算
同调群的定义以及计算同调群是数学中一个重要的概念，它与代数学、拓扑学等领域密切相关。
在代数学中，同调群是研究拓扑空间的一个重要工具，它描述了拓扑空间中的“空洞”或“孔”的性质。
本文将介绍同调群的定义以及计算方法。
一、同调群的定义同调群的定义涉及到拓扑空间的概念，其中最基本的是单纯形。
一个n-单纯形是由n+1个顶点组成的凸包，比如一个线段是一个1-单纯形，一个三角形是一个2-单纯形。
给定一个拓扑空间X，我们可以构造一个以X中单纯形为基础的复形C，复形C是一个由单纯形组成的集合。
复形C的边缘算子d将每个单纯形映射到它的边界。
在复形C上，我们可以定义一个链群C_n，它是由n-单纯形的线性组合构成的群。
链群是一个向量空间，它的元素是形如a_1σ_1 + a_2σ_2 + ... + a_kσ_k的形式，其中a_i是实数，σ_i是n-单纯形。
链群C_n的元素称为n-链。
链群之间的映射可以通过边缘算子d来定义。
边缘算子将n-链映射到(n-1)-链，满足边缘算子的性质：d^2 = 0。
这意味着边缘算子作用两次等于零。
对于链群C_n，我们可以定义其子群B_n，称为边界群。
边界群由所有边界为零的n-链组成，即B_n = ker(d)。
同时，我们可以定义其子群Z_n，称为周期群。
周期群由所有边界为零的n-1-链的边界组成，即Z_n = im(d)。
同调群H_n(X)是链群C_n模去边界群B_n得到的商群，即H_n(X) = C_n / B_n。
同调群描述了拓扑空间X中的“空洞”或“孔”的性质。
二、同调群的计算计算同调群的一种方法是使用上面提到的边界算子d。
通过计算边界群B_n和周期群Z_n，可以得到同调群H_n(X)。
我们可以计算边界群B_n。
对于n-链a，如果边界算子d(a) = 0，则a属于边界群B_n。
计算边界群B_n可以通过构造边界算子矩阵来实现。
边界算子矩阵的每一列对应一个n-单纯形，每一行对应一个(n-1)-单纯形，矩阵中的元素表示单纯形之间的边界关系。
拓扑群同调论中的上同调理论
拓扑群同调论中的上同调理论拓扑群同调论是研究拓扑空间及其对称性的一个重要分支。
在这个领域中，上同调理论是一种基本工具，用于描述空间的拓扑性质。
本文将介绍拓扑群同调论中的上同调理论，并探讨其在数学和物理学中的应用。
一、定义与基本概念在开始介绍上同调之前，我们先回顾一下拓扑群的概念。
拓扑群是指一个拓扑空间和一个群结构同时存在，并且群运算与拓扑结构相容。
具体而言，拓扑群要满足以下几个性质：闭合性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。
上同调是拓扑群同调论中的一个重要概念。
它描述了一个拓扑空间中闭合曲线的“不可缩”。
简单来说，上同调是用来描述空间中存在的“洞”或“孔”的性质。
上同调理论具体建立在链复形和同调群的概念之上。
二、链复形与上同调群链复形是拓扑群同调论中的一个重要工具。
它由链群和边缘算子组成。
链群是一组形如C_n的群，其中n代表链的维度。
边缘算子是一种映射，将高维链映射到低维链上，用来描述链之间的边界关系。
利用链复形，我们可以定义上同调群。
上同调群是链复形的同调群，它描述了链之间的“闭合性”。
通过对链复形的边缘算子进行计算，我们可以得到一系列上同调群，分别对应着不同维度的“洞”或“孔”。
三、上同调理论的应用上同调理论在数学和物理学中具有广泛的应用。
在数学领域，上同调理论被用于研究空间的同伦不变性、拓扑分类以及奇点论等方面。
在拓扑学中，通过上同调理论可以判断两个拓扑空间是否同伦等价，从而揭示了空间的基本性质。
在物理学中，上同调理论被应用于描述场论和几何物理等问题。
特别地，上同调理论在量子力学和弦论中扮演着重要角色。
例如，通过研究空间的上同调群，可以描述量子场论中的荷耦合、规范变换以及拓扑激发等现象。
四、总结拓扑群同调论中的上同调理论是研究拓扑空间的重要工具。
通过链复形和上同调群的定义，我们可以描述空间中的“洞”或“孔”的性质。
上同调理论在数学和物理学中都具有广泛的应用，揭示了空间的拓扑性质以及丰富的物理现象。
拓扑学中的同伦类与同调群的证明与计算
拓扑学中的同伦类与同调群的证明与计算拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间的性质和变形。
在拓扑学中，同伦类与同调群是两个重要的概念，它们可以帮助我们理解空间的结构和性质。
本文将介绍同伦类与同调群的定义、证明与计算方法。
一、同伦类的定义与证明在拓扑学中，同伦是一个重要的概念。
两个空间被称为同伦等价，如果它们可以通过连续变形相互转化。
同伦类是同伦等价的空间的等价类。
具体来说，给定两个空间X和Y，如果存在一个连续映射f：X→Y，以及一个连续映射g：Y→X，使得f和g的复合映射f∘g与恒等映射Id_X同伦等价，那么我们称X和Y同伦等价。
同伦等价关系是一种等价关系，因此同伦等价的空间可以构成一个等价类，这个等价类就是同伦类。
同伦类的证明通常需要使用一些拓扑学的基本定理和技巧。
其中一个重要的定理是同伦不变性定理，它指出同伦等价的空间具有相同的拓扑不变性。
也就是说，如果两个空间同伦等价，那么它们具有相同的拓扑性质，比如连通性、紧性等。
通过使用同伦不变性定理，我们可以证明两个空间同伦等价。
二、同调群的定义与计算同调群是拓扑学中另一个重要的概念。
给定一个拓扑空间X，我们可以定义一个与X相关的同调群，记作H_n(X)，其中n是一个非负整数。
同调群描述了X中n维空间的性质和结构。
同调群的计算可以通过使用同调复形来实现。
同调复形是一个由向量空间和线性映射构成的复形，它与拓扑空间X有着一一对应的关系。
具体来说，对于给定的拓扑空间X，我们可以构建一个同调复形C_*(X)，其中每个向量空间C_n(X)表示X中n维空间的链群，每个线性映射d_n：C_n(X)→C_{n-1}(X)表示X中n维空间的边缘映射。
通过计算同调复形的边缘映射的核和像，我们可以得到同调群H_n(X)。
同调群的计算通常需要使用一些代数拓扑学的技巧，比如长正合列、Mayer-Vietoris序列等。
这些技巧可以帮助我们将复杂的同调群计算问题转化为简单的线性代数问题，从而得到同调群的解。
同调和上同调群
1
2
流形上的积分
2
1.2
流形上单形的同调群
现在我们可将 Rr 上定义的 r 单形 σr 推广到流形 M 上去。显然，可
以定义映射 f : σr → M ，将 r 单形映射为流形 M 上的一个子集 Sr ，这个 子集也称为 M 上的 r 单形。实际上就是同胚变换，将直角坐标系中的图形 变换到任意流形上去，如下图：
c ∂c
用内积表示为 (c, dω ) = (∂c, ω ). 可以证明，对 c ∈ Br , ω ∈ Z r , (c, ω ) = 0; c ∈ Zr , ω ∈ B r , (c, ω ) = 0. 由于群代表元的等价性，可以将内积推广为等价类的内积，对 [c] ∈ Hr , [ω ] ∈ H r : ∫ ∧([c], [ω ]) = (c, ω ) =
p+q =r
bp (M1 ) × bq (M2 )
χ(M ) = χ(M1 ) · χ(M2 ) 例如，对 torus T 2 H 0 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) = R, H (S 1 ) = 0 H 0 (T 2 ) = H 0 (S 1 ) ⊗ H 0 (S 1 ) = R ⊗ R = R
4.2
上同调群的外积
对 m 维的流形 M，取 ω ∈ H r , η ∈ H m−r ，有：ω ∧ η ∈ Ωm . 可定义内 ∫ 积 ⟨ω, η ⟩ = M ω ∧ η ∈ R.
4
上同调群的性质
7
可以证明庞加莱对偶性：H r ∼ = H m−r . 由此得到推论：betti number br = bm−r , χ(M ) = 若 m 是偶数，则 χ(M ) = 0 ∧ 也有等价类的表示： 对 [ω ] ∈ H q , η ∈ H r , [ω ] ∧ [η ] = [ω ∧ η ] ∈ H q+r (M )
拓扑学中的同调群和同伦群的关系
同调群和同伦群是拓扑学中两个非常重要的概念。
它们都是用来研究拓扑空间的性质和形状的代数工具。
然而，尽管它们都是用来描述空间的不变量，同调群和同伦群之间存在着一些本质上的差别。
本文将介绍同调群和同伦群的定义和性质，并讨论它们之间的关系。
首先，我们来看同调群。
同调群是拓扑空间的一种代数不变量，它用来描述拓扑空间中的孔洞和空洞。
同调群的定义是基于奇异链复形的，奇异链复形是一种链复形的特殊情况，它将拓扑空间中的点、线、面等低维结构映射为代数上的元素。
通过构造奇异链复形，我们可以定义拓扑空间的奇异同调群，它描述了拓扑空间中边界和孔洞的性质。
同调群有一个重要的性质，即同调群之间存在着一种长正合序列的关系，这使得我们可以通过比较不同维度的同调群来研究拓扑空间中的不同结构。
而同伦群则是用来研究拓扑空间中连续映射的“可连续变形”的代数工具。
同伦群的定义是基于同伦的概念的，同伦是指在拓扑空间中，一个连续映射可以通过连续变形转化为另一个连续映射。
同伦群描述了拓扑空间中所有连续映射之间的同伦等价关系。
同伦群的一个重要性质是正合性，即同伦群之间存在着一种长正合序列的关系，这使得我们可以通过比较不同维度的同伦群来研究拓扑空间的连续映射的性质。
虽然同调群和同伦群都是用来描述拓扑空间的代数不变量，但它们之间存在着一些本质上的差别。
首先，同调群是基于奇异链复形的，它描述的是拓扑空间中的边界和孔洞的性质，而同伦群是基于同伦的，它描述的是拓扑空间中连续映射之间的可连续变形。
其次，同调群是拓扑空间的一个不变量，它只能描述空间的性质，而同伦群是连续映射的不变量，它可以描述空间中的映射的性质。
最后，同调群和同伦群之间存在一些相互作用的关系，比如同调群可以通过同伦映射来计算，而同伦群可以通过同调映射来计算。
总结起来，同调群和同伦群是拓扑学中两个重要的代数工具，它们分别用来描述拓扑空间中的孔洞和空洞、连续映射的可连续变形。
尽管同调群和同伦群有一些本质上的差别，但它们之间存在一些相互作用的关系。
上同调代数
上同调代数摘要：一、上同调代数简介1.上同调代数的定义2.上同调代数的基本性质二、上同调代数的结构1.上同调代数的对象2.上同调代数的运算3.上同调代数的单位元和逆元三、上同调代数在数学中的应用1.拓扑学中的应用2.代数学中的应用3.几何学中的应用四、上同调代数的意义和价值1.对数学理论的贡献2.对实际问题的解决3.对未来数学发展的影响正文：上同调代数是数学中一种重要的代数结构，它涉及到多个数学分支，如拓扑学、代数学和几何学等。
上同调代数的研究不仅丰富了数学理论，还为解决实际问题提供了有力的工具。
一、上同调代数简介上同调代数是一种具有封闭性的代数结构，它的定义可以从拓扑学的同调论中引入。
上同调代数的基本性质包括封闭性、结合律、单位元和逆元等。
二、上同调代数的结构上同调代数的对象通常是一组向量空间，这些向量空间之间通过一些特定的映射相互关联。
上同调代数的运算包括并集、差集和笛卡尔积等，这些运算使得上同调代数具有丰富的代数结构。
此外，上同调代数还有单位元和逆元，这些元素在代数的运算中起到关键作用。
三、上同调代数在数学中的应用上同调代数在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
在拓扑学中，上同调代数可以用于描述流形上的同调性质；在代数学中，上同调代数可以用于研究代数结构之间的同调关系；在几何学中，上同调代数可以用于描述几何对象的拓扑性质。
四、上同调代数的意义和价值上同调代数作为一种基本的代数结构，对数学理论的发展具有重要意义。
它不仅丰富了数学的理论体系，还为解决实际问题提供了有力的工具。
代数拓扑中的上同调群计算理论
代数拓扑中的上同调群计算理论代数拓扑是数学中重要的分支之一，它研究的是将代数方法应用于拓扑空间的理论。
在代数拓扑中，上同调群的计算理论是一项重要的课题。
本文将介绍上同调群的基本概念和性质，以及其在代数拓扑中的应用。
一、上同调群的基本概念1.1 定义在代数拓扑中，上同调群是用来描述拓扑空间性质的不变量。
上同调群由上同调群构成的一系列代数结构组成，可以通过对拓扑空间的连续映射进行操作得到。
1.2 上同调的计算方法上同调群的计算方法可以通过奇异上同调、流形上同调等不同的途径进行。
其中，奇异上同调是最常用的计算方法之一，其基本思想是通过定义奇异链复形，并通过链映射和边缘算子的操作来计算上同调群。
二、上同调群的性质2.1 同调同构定理同调同构定理是上同调群理论中的重要定理之一。
该定理表示在某些条件下，两个拓扑空间的上同调群是同构的。
具体而言，如果两个拓扑空间同胚，则它们的上同调群同构。
2.2 长正合列在代数拓扑中，长正合列是用来描述连续映射和上同调群之间关系的一种工具。
通过长正合列可以得到上同调群之间的精确序列，以及一个上同调群到另一个上同调群的自然映射。
三、上同调群的应用3.1 拓扑空间的分类问题上同调群在拓扑空间的分类问题中起着重要的作用。
通过计算上同调群，可以判断两个拓扑空间是否同胚，或者是否具有相似的拓扑结构。
3.2 镜像对称性的研究在代数拓扑中，镜像对称性的研究是一个重要的课题。
上同调群的计算可以用来描述镜像对称性的代数结构，进而研究镜像对称性在拓扑空间中的应用。
3.3 拓扑空间的外延上同调群的计算理论可以用来描述拓扑空间的外延。
通过计算上同调群，可以判断拓扑空间是否有限维、有限生成等性质，从而对拓扑空间进行分类。
四、总结与展望代数拓扑中的上同调群计算理论是一项关键的研究课题，它对于研究和理解拓扑空间的性质具有重要意义。
本文介绍了上同调群的基本概念和性质，并探讨了上同调群在代数拓扑中的应用。
未来，随着代数拓扑的发展，上同调群计算理论将在更广泛的领域中得到应用，并为数学研究提供更多的工具和方法。
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浅析群的同调与上同调
群的同调与上同调可以说是同调代数与代数拓扑的一个交叉领域，其成果又可以应用到群论本身，这里我来讲一点它的初步思想，主要还是侧重于中纯代数方面。
对于想了解拓扑背景的朋友，请参阅Kenneth S.Brown 的著作Cohomology of Groups（GTM87），还有他的paper：Lectures on Cohomology of Groups（收录于ALM12）.
在群的同调（或上同调）的定义中，一个关键的概念就是由群G给出的G-模，对此可以有两种理解方式。
第一种理解是群作用的，就是把G-模A中G的元素g对A的元素a的数乘ga理解为群（对Abel群）的作用，仔细的读者还会发现这样的作用并不完全，还要满足一个可加条件（g+h）a=ga+ha才行。
其中有一类作用是平凡的：ga=a，它们同调群计算特别简单。
第二种理解是表示论的，它实际上是考虑G到M的自同构群的同态σ：G→Aut（A），而把ga解释成σ（g）（a），它无疑比前者要更加优雅。
一般意义上同调都是在模正合列上定义的，特别是模的正合列，但这里群的同调中怎么会出现模的结构呢？事实上，第一种解释已经有一个雏形了，只不过它的系数还不是环，为此我们可以做一个自然的线性推广，也就是引入群代数ZG的概念，而这个群代数自带的环结构就是模的系数环。
做了上述分析之后，我们就可以引入群的同调（或上同调）的概念。
先ZG上Z的投射分解F（本文中表示链复形的字母加下划线以示区别），然后定义
H_*（G，A）=H_*（F⊙A)=Tor_*(Z，A)
H^*（G，B）=H^*（Hom（F，B））=Ext^*(B，Z)
其中，Hom函子与通常的Hom函子略有区别：Hom（F，B）n=Hom（F-n，B）.在被定义项中，群G实际上是作为张量积与Tor函子（或Hom与Ext函子）的系数出现的，而分解则是在Abel群Z上进行的。
这样一来，群的同调就被纳入到一般链复形同调的结构当中，关于一般链复形同调的结论，比如长正合列定理，也都可以应用到群的同调理论中。
对于一个新领域，一般都是先把容易得到的结论揭示出来，而把较难得到的结论作为专门的研究领域。
下面我们来计算一些最简单的情形，它们包括：1）低阶同调；2）循环群的同调；3）同调为零的情况。
1）零阶情形：H_0(G，A)=A_G,H^0(G，B)=B^G
其中A_G表示A关于G的上不动点集，即G对由所有形如ga-a的元素生成的子群的商；而B^G则是G在B上的不动点集，即所有满足gb=b对任何g∈G都成立的b∈N构成的群。
特别地，在平凡作用下，A_G=A，B^G=B，这些都可以通过张量积与Hom函子直接计算。
对一阶的情形，我们可以通过正合列来计算其同调，在平凡作用时有明显的结论：
H_1(G，A)=A⊙G ab
H^1(G，B)=Hom（G ab，B）
其中A ab是A的Abel化，即A对其交换子A'的商。
此外，H^1(G，A)还有其特殊的意义，它是G到A的导子群对主导子群的商，同时与G关于A的可裂扩张的可裂A-共轭类一一对应。
与之相应，H^2(G,A)则一一对应于G关于A的扩张的等价类。
对于二阶的情形，似乎没有特别简单的结论，只是当A=Z的时候，我们有重要的Hopf公式：若G可以分解成0→R→F→G→0，其中F是自由的，则H_2(G)=R∩[F,F]/[F,R].
2）循环群的同调：这里的计算过程非常有价值，它为我们提供了计算群同调与上同调的模板。
具体来说，计算n阶循环群G=<x>时，就是对Z作G-自由分解：
…→ZG—→ZG→ZG—→ZG→ZG→Z→0
其中ZG之间的长箭头—→是范映射N=1+x+…+x^(n-1),而短箭头则是
D=x-1，最后的箭头ZG→Z则是增广映射，也就是说对所有的系数求和。
n阶循环群的≥1阶同调群呈现出ABAB的形式，也就是说所有奇数阶或偶数阶的结论都是相同的。
对于一般情形，个人更推荐直接从定义计算，而对于平凡作用，我们有相对简单的结论：
H_(2k-1)(G,A)=A/nA，H_(2k)=A[n]
H^(2k-1)(G,A)=A[n]，H^(2k))=A/nA.
对于自由Abel群的情形，计算要更加简单，结论是二阶与二阶以上的同调和上同调为零，一阶的同调（或上同调）等于零阶的上同调（或同调）。
把他们组合起来，利用Abel群的结构定理与（上）同调的函子性质，就可以轻松的计算一般Abel群的情形，因此还是相当给力的。
3）同调为零的情况：利用Ext与Tor函子的基本性质，我们可以得到最初步的结论：
当A是投射模（或平坦模）时，则H_n(G,A)=0.n≥1
当B是内射模时，则H^n(G,B)=0,n≥1
事实上，我们还可以进一步把此结论推广到A（或B）是相对投射模（或相对内射模）的情形，它是诱导模（或上诱导模）的直和加项，后者实际上是下面要提到的诱导模在H={1}的特例，可以通过Shapiro引理直接得出。
下面讨论诱导的情形，设H是G的子群，利用张量积与Hom函子，可分别定义诱导模与上诱导模为：
Ind A=ZG⊙A
Coind B=Hom（ZG，B）
其中系数（未标出）都在ZH之中，事实上（上）诱导模的目的就是把G-模转化为H-模。
对于诱导模。
我们可以通过陪集分类进行刻画，实际上ZG⊙A就是G 关于H的各陪集代表在A上作用的直和，对于上诱导模也有类似的直积结构，而当（G:H）有限时，它们完全的同构的，即有Ind A≌Coind A.
这样的诱导有个好处，那就是其同调是不变的，这就是所谓的Shapiro 引理：
H_*（H，A）≌H_*(G，Ind A)
H^*（H，B）≌H^*(G，Coind B)
这个引理无非就是张量积与Hom函子的基本性质在高阶的推广，可以直接按定义引入投射分解进行证明，也可以建立相应的同调引理：零阶同构的可消同调函子是同构的，然后直接把它给看出来。
实际上，H*（G，A）（暂不区分上下同调）还有自然的函子结构，假设i：H→G是自然包含，那么它可以自然诱导出下列结构：
i^*=res:H^*(G，A）→H^*(H，A）
i_*=cor:H_*(H，A）→H_*(G，A）
分别称为对上同调的限制与对同调的上限制。
当（G:H）有限时，可以将Ind A与Coind A等同，此时这样的结构还有另一种解释。
考虑典型满射Ind A→A与典型单射A→Coind A，分别以H^*(G,-)和H_*(G,-)作用，再利用Shapiro引理即有上述构造。
同时还能得到另外两种情形的限制与上限制：
cor：H^*(H，A）→H^*(G，A）
res：H_*(G，A）→H_*(H，A)
这样的构造可总结为下表：
H_*(G，-)H^*(G，-)
Ind A→A
cor:H_*(H，A）
→H_*(G，A）
cor:H^*(H，A）
→H^*(G，A），若(G:H)有限
A→Coind A
res:H_*(G，A）
→H_*(H，A)，若(G:H)
res:H^*(G，A）
→H^*(H，A）
有限
这样一来，当群G有限时，对任何z∈H*（G，A），均有cor res z=（G:H）z.再令H={1}，就可以得到一个奇妙的结论：|G|H（G，A）=0。
由此我们就得到了一个关于（上）同调群的重要性质，可见（上）限制并不只是一个逻辑游戏，还是有相当价值的。
本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。
然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。
这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！
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