高中数学 第二章第二节等差数列课件(第一课时) 新人教A版必修5

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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5

【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1等差数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5

(3)通项法:an=kn+b(k、b为常数 ⇔{an}是等差 通项法: 为常数)⇔ 通项法 + 、 为常数 是等差 数列. 数列. 警示: + 为常数, ∈ 对任意n∈ 警示:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)对任意 ∈N 为常数 对任意 都要恒成立,不能几项成立便说{a 为等差数 +都要恒成立,不能几项成立便说 n}为等差数 列.
3.等差中项 等差中项 在由三个数a,A,b组成的等差数列中,A叫做 在由三个数 , , 组成的等差数列中, 叫做a 组成的等差数列中 叫做 的等差中项. 与b的等差中项.这三个数满足关系式 +b= 的等差中项 这三个数满足关系式a+ = ____ 2A.
思考感悟 2.任何两个实数都有等差中项吗? .任何两个实数都有等差中项吗? 提示:都有等差中项. 提示:都有等差中项.
【名师点评】 判断一个数列是否为等差数列的 名师点评】 方法有以下几种: 方法有以下几种: (1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+)⇔{an} 定义法: + 为常数, ∈ 定义法 为常数 ⇔ 为等差数列. 为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数 等差中项法: + 等差中项法 是等差数 + 列.
2.2 等差数列 . 2. 2.2.1 等差数列的概念及通项公式
学习目标 1.理解等差数列的概念. 理解等差数列的概念. 理解等差数列的概念 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, .掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念, 深化认识并能运用. 深化认识并能运用.
2. 2.1 等 差 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
例2
之间顺次插入三个数a, , 使这 在-1与7之间顺次插入三个数 ,b,c使这 与 之间顺次插入三个数

人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答:从2001到2010年,该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式:
n(a1 an ) Sn 2 n(n 1) S n na1 d 2
问题:1.两个公式中共有几个量?
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数, 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗?
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数,且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗?
小结:
1.知识点小结:1)等差数列的前
例1:2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》,某市计划从2001年起用10年的时间,在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施, 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题可知,从2001年起各年投入的资金构成等差数列, 设为{an },则 a1 500, d 50 则到2010年,投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式:
n(n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2

d 0 时, Sn 是 n的二
次函数形式,且常数项为 0
例2:已知一个等差数列{an }前10项的和是310,前20项的和是
解:由题意知 代入公式 得
1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?

新课标人教A版数学必修5全部课件:等差数列性质应(1)

新课标人教A版数学必修5全部课件:等差数列性质应(1)

f ( n )( n N ), 且 f (1) 2 求 f (101 )的值 tg ( A C )的值
(6)在 ABC 中 , A 、 B 、 C 成等差数列,求
练习题 2 (7)等差数列 a1 1 25 , 第10 项大于 1,求公差 d 的范围
(8 ) 若 a b , 且 a , x1 , x 2 , , x m , b 和 a , y1 , y 2 , , y n , b 都是 等差数列,试用 (9)已知等差数列 x 2 x1 m 、 n 的值表示 之值。 y 2 y1
a n , 满足 a 3 a 7
12 , a 4 a 6 4 94 , 数
求数列 a n 的通项公式 . (10 )四个数成等差数列,其 第一个数与第四个数的 的积少 18,求这四个数。 中四个数的平方和为 积比第二个数与第三个
练习题 1: (1)在等差数列中 a 3 5 , a 5 9 , 求 a10 的值 a15 33 , a 25 66 , 求 a 35的值 a 5 10 , a1 a 2 a 3 3, 求: a1、 d 使这五个数 。

( 2)在等差数列中, (3)在等差数列中,
( 4 .) 在 1与 7 之间依次插入三个数, 成等差数列,求此数列 (5)设 f ( n 1) 1 2
( 2 ) 若 lg 2、 2 1)、 2 3) 成等差数列,则 lg( lg(
x x
x?
(3)三数成等差数列,其
和为 9, ;
积为 15,求此三数 ( 若是五个数成等差数列 四个数成等差数列又如 何设未知数? )
(4)首项为 24 的等差数列,从第 为正数,求公差 d 的取值范围

高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列课件新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列课件新人教A版必修5

[规范解答] 方法一:设等差数列{an}的前三项分别为
a1,a2,a3.依题意得aa11·+a2a·a23+=a63= 6,18,
∴a31a·1+a1+3dd=·1a81,+2d=66,
2分
解得ad1==-115 或ad1==51.,
6分
∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0. 故取a1=11,d=-5, ∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10. ∴-34是数列{an}的项,且为第10项.
对称项设法.
2.(1)已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值 分别为________,________,________;
(2)已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求 数列{an}的通项公式.
解析: (1)因为数列8,a,2,b,c是等差数列, 所以2a=8+2,所以a=5, 因为公差d=5-8=-3, 所以b=2+(-3)=-1,c=-1+(-3)=-4.
解析: (1)∵a4=10,a10=4, ∴d=a1100--a44=-66=-1, ∴an=a4+(n-4)×(-1)=-n+14, ∴a7=-7+14=7. (2)∵a2=12,d=-2, ∴a1=a2-d=12-(-2)=14, ∴an=14-2(n-1)=16-2n=-20, ∴n=18.
等差数列的定义
如果一个数列从第__2__项起,每一项与它的_前__一__项___的差 等于_同__一__常__数__,那么这个数列就叫做等差数列,这个__常__数__ 叫做等差数列的__公__差__,通常用字母__d__表示.

高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

3.在等差数列{an}中,若 a1·a3=8,a2=3,则公差 d=( )
A.1 B.-1 C.±1 D.±2 a1(a1+2d)=8,
解析:由已知得 a1+d=3,
解得 d=±1. 答案:C
第九页,共32页。
4. lg( 3 + 2 ) 与 lg( 3 - 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________.
第十六页,共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3,9,15,…,3(2n-1),…, 那么 81 是它的第________项( )
A.12 B.13 C.14 D.15 (2)已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断 153 是不是这个数列的项,如果是,是第几项? 解析:(1)an=3(2n-1)=6n-3,由 6n-3=81,得 n =14.
第十七页,共32页。
(2)设首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n-1)d, a1+(15-1)d=33,
由已知 a1+(61-1)d=217,
a1=-23, 解得
d=4. 所以 an=-23+(n-1)×4=4n-27,
第十八页,共32页。
令 an=153,即 4n-27=153,解得 n=45∈N*, 所以 153 是所给数列的第 45 项. 答案:(1)C (2)45
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页,共32页。
2.已知等差数列{an}中,首项 a1=4,公差 d=-2,
则通项公式 an 等于( )
A.4-2n
B.2n-4
C.6-2n
D.2n-6
解析:因为 a1=4,d=-2,所以 an=4+(n-1)×(-
2)=6-2n.

高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件

高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件

a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想:形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n),
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?

高中数学人教A版必修5《等差数列》PPT课件

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本节课主要学习:
一个定义: an-an-1=d(d是常数,n≥2, n∈N*) 一个公式:an=a1+(n-1)d 一种思想:方程思想 一个概念: A=a+b/2
方法二
由递推公式:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
可得:
a2-a1=d
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
列。 这也是判断,证明一个数列是等差数列的一种方 法。 等差中项法
高中数学人教A版必修5《等差数列》P PT课件
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5.证明数列为等差数列的方法: (1)定义法: an an1 d (n 2) (2)等差中项法:2an an1 an1(n 2)
解法一
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证明: 1 , 1 , 1 成等差数列 abc
2 11 b ac
bcba bcabac2
ac
a
c
(a b c)(1 1) 2 ac
(a b c) 2 2 b
2(a c) 2b 2 bb
4
4 an1
(n
1)记bn
1 an 2
(1)求证:数列bn 是等差数列;
(2)求数列an 的通项公式
构造法
解:(2)由(1)知,b n
1 2
(n 1)
1 2
n 2
bn
1 an 2
an
1 bn
2
2 n
2
求数列通项公式的方法:
(1)公式法;
(2)累加法;an1 an f (n)
(3)累乘法;an1 f (n)

【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5

【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5

(4)若{an}是有穷等差数列,则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列, 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等,且等于首、末两项之和, 离的两项之和都相等,且等于首、末两项之和, 即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…. = + - - (5)数列 n+b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列.
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列,则有: 若数列 n}是公差为 d 的等差数列,则有: an-a1 am-ak (1)d= (m、n、k∈N*). = = 、 、 ∈ . n-1 m-k - - (2)若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),则 am+an 若 + = + 、 、 、 ∈ , =ap+aq. m+n + (3)若 若 =k,则 am+an=2ak(m、n、k∈N*). , 、 、 ∈ . 2
差d<0,所以利润构成的数列是一个递减数列, < ,所以利润构成的数列是一个递减数列, 即随着n的增大, 的值越来越小, 即随着 的增大,an的值越来越小,an<0时(此处 的增大 时 此处 暗含a - 成立 公司将出现亏损. 成立)公司将出现亏损 暗含 n-1≥0成立 公司将出现亏损.
变式训练2 变式训练
体考虑问题. 利用 利用2a 利用a 体考虑问题.(1)利用 4=a3+a5,(2)利用 n= 利用 am+(n-m)d. -
解析】 【 解析】 (1)∵a3+ a4+a5=12,∴ 3a4= 12,a4 ∵ , , =4. ∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+ + + + a4=7a4=28. (2)在等差数列 n}中,根据 an=am+(n-m)d, 在等差数列{a 中 在等差数列 - , 1 ∴a51=a11+40d,∴d= (54+26)=2. , = + = 40 =-26+ × =- =-20. ∴a14=a11+3d=- +3×2=- =-

高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),

an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d

an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.

人教版A版高中数学必修5:等差数列_课件26

人教版A版高中数学必修5:等差数列_课件26
等差数列
1
1.等差数列的定义及等差中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数 列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1an=d(n∈N*).
2
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am
、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果aa,A,bb成等差数

10n n2 n2 10n

50
(n≤5), (n 5).
38
错源二
忽略为零的项
【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且 S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
39
[错解]设公差为d,由S10 S15, 得
10a1

10 9 2
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
由此可得a1000=-1.
15
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得 an+3=-an,an+6=an,
通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
18
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且 p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列. [解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使

高中数学 第二章 2.2(一)等差数列(一)课件 新人教A版必修5

高中数学 第二章 2.2(一)等差数列(一)课件 新人教A版必修5

第十六页,共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效 例2
已知1a,1b,1c成等差数列,求证:b+a c,a+b c,a+c b也
成等差数列.
证明 ∵1a,1b,1c成等差数列,

∴2b=1a+1c,即 2ac=b(a+c).
讲 栏 目
∵b+a c+a+c b=cb+c+acaa+b=c2+a2+acba+c
开 关
(5)1,2,5,8,11,….
第七页,共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
解 (1)是等差数列,a1=4,d=3;
(2)是等差数列,a1=31,d=-6;
本 讲
(3)是等差数列,a1=0,d=0;
栏 目
(4)是等差数列,a1=a,d=-b;
开 关
(5)不是等差数列,a2-a1=1,a3-a2=3,∴a2-a1≠a3-a2.
高效 探究 若数列{an}满足:an+1=an+2an+2,求证:{an}是等差
数列.
证明 ∵an+1=an+2an+2

⇔2an+1=an+an+2
讲 栏
⇔an+2-an+1=an+1-an

开 关
∴an+1-an=an-an-1=…=a2-a1(常数).
∴{an}是等差数列.

第十三页,共25页。
跟踪训练 2 已知 a,b,c 成等差数列,那么 a2(b+c),b2(c
+a),c2(a+b)是否能构成等差数列?
证明 ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.
本 ∴a2(b+c)+c2(a+b)=a2b+a2c+c2a+c2b
讲 栏
=(a2b+c2b)+(a2c+c2a)=b(a2+c2)+ac(a+c)

高中数学人教A版必修5课件:2.3.1 等差数列的前n项和

高中数学人教A版必修5课件:2.3.1 等差数列的前n项和

-4-
第1课时 等差数列的 前n项和
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.等差数列{an}的前 n 项和 设等差数列{an}的公差是 d,则 Sn=
������(������1+������������ ) 2
������(������1 +������������ ) 2
=
������ 6-2 2
53
= −5, 解得n=15.∴a15 =
=
8(4+������8 ) 2
= 172, 解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 ������������ = ������1 + (������-1)������, ������������ = ������������1 + ������ = 7, ������ = 5, 解方程组得 或 ������1 = 3 ������1 = -1.
-12-
第1课时 等差数列的 前n项和
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点
������
������������ ������, ������
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7,������ = 1, ∴an= 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2. 7,������ = 1, 答案: 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2

高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5

a1n为等差数列
由等差数列 通―项―公→式
求a1n
―→
求an
[规范解答] (1)数列a1n是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=a2n+an2,∴an1+1=an2+an2=12+a1n, 4分
∴an1+1-a1n=12,
6分
即a1n是首项为a11=12,公差为d=12的等差数列.
等差数列的性质
• (1)若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列: • ①{c+an}(c为任一常数)是公差为d ____的等差数列; • ②{c·an}(c为任一常数)是公差为c_d___的等差数列; • ③ 列{.an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差2为d ___的等差数
• (数 的2)列等若差{{paa数nn}+,列q{.bbnn}}(分p,别q是是公常差数为)是pdd11公+,差qdd22为的_等__差__数__列__,__则_
• 【错解】 由已知两等差数列的前三项,容易求得 它们的通项公式分别为:
• an=3n-1,bn=4n-3(1≤n≤40,且n∈N*), • 令an=bn,得3n-1=4n-3,即n=2. • 所以两数列只有1个数值相同的项,即第2项.
• 【错因】 本题所说的是数值相同的项,但它们的 项数并不一定相同,也就是说,只看这个数在两个 数列中有没有出现过,而并不是这两个数列的第几 项.

利用等差数列的定义巧设未知量,可
以 的简项化数计n为算奇.数一时般,地可有设如中下间规一律项:为当a等,差再数用列公差{an为} d
向两边分别设项:…a-2d,a-d,a,a+d,a+
2d,…;当项数为偶数项时,可设中间两项为a-d,

a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…a-3d,a

新课标人教A版数学必修5全部课件:等差、等比数列的运用(1)

新课标人教A版数学必修5全部课件:等差、等比数列的运用(1)
在利用an≥0,an+1≤0或an≤0、an+1≥0求等差数列前n项和Sn 的最值时,符号不能丢掉.
2.在能力· 思维· 方法4中,如果数不清项数,看不清下标, 将会出错.
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3.下列命题中正确的是( B
)
A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1,则{an}为等差数列 B.数列{an}的前n项和是Sn=3n-c,则c=1是{an}为等比数列的 充要条件 C.数列既是等差数列,又是等比数列
D.等比数列{an}是递增数列,则公比q大于1
4.等差数列{an}中,a1>0,且3a8=5a13,则Sn 中最大的是 C ( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
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延伸·拓展
5.已知数列{an}和{bn}满足b n
1 a1 2 a 2 n a n 1 2 n
(n∈
N+),试证明:{an}成等差数列的充分条件是{bn}成等差数 列. 【解题回顾】题设中有a1+2a2+…+nan,应将其看做数列 {nan}的和Sn.而本题要证an+1-an为常数,故应在等式中消 去a1+2a2+…+(n-1)an-1,即消去Sn-1,因此,利用Sn-Sn-1, 就达到了用{bn}中的项表示an的目的.作差法是解决与数列 和有关的问题的常用方法.
第3课时 等差、等比数列的运用 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.差数列前n项和的最值 设Sn是{an}的前n项和,则{an}为等差数列 Sn=An2+Bn,其中A、B是常数. {an}为等差数列, an ≥0 若a1>0,d<0,则Sn有最大值,n可由 确定 an+1≤0 若a1<0,d>0,则Sn有最小值,n可由 an≤0 an+1≥0 确定.
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a 、a 、n、d知 •所 aaa234===以设aaaa2有一123-aaa+++a:个234ddd1---==,等…aaad=(123,差a(===aa3数-ddd11a++,,,列22d=d){d)a+,an}d+4(+∴的-daa…==3首12a=a-a项以通dan1+1+,-+1是(a3…用过)a2d+1的adna观=(1-,1系a(an与公察n3n数-差--d:a11有)是表2)a=)dd2什+示(,,n(则么出a-有a14特来-3):,ad点;3a)?a4都1与可d 三求一 an=ana-1a+n(-1n=-d1)d 即an=当an1=+1时(n,-1上)式d 也成立。
a1=3,d=7-3=4,
∴这个数列的通项公式是:
∴∴这aaa个4n1==0=4a数41×+×列(41n-的0-11-=通)11d=5项=3,49公n.-式1 是:a=n∴n7==1n120-0+257不(/(n7n是≥-1这1))个令N×数107列2=的7n项-5。,得
例题
例2 在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d .
同特10点072?,10144,10216,10与288前,1一0360项. 的差是7④2。
等差数列的定义
• 一般地,如果一个数列{an},从第2项起每一
项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。
那么对于以上四组等差数列,它们的公差 依次是5,5,-2.5,72。
请同学们思 10.5,8,5.5.

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利
考,这四个 息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=
数列有何共 本金×(1+利率×存期)。例如,按活期存入10000元钱,年利率是0.72%,
那么按照单利,5年内各年末的本从利和第(单二位项:元起),组成后一个一数项列:
pn q ( pn p q) p 为常数
∴{ a n }是等差数列 首项 a1 p q ,公差为 p。

4、已知数列{an}满足a1

4且an

4

4 an1
(n
1). 记bn

1 an
2
(Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列 ;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式
例 5、 an

3

an1 an1

1
,
a1
1 求数列
an
的通项公式.
解:取倒数: 1 3 an1 1 3 1 则 1 1 3
an
an1
an1 an an1


1 an

是等差数列,
1 an

1 a1
(n 1) 3
1 (n 1) 3
及数学表达式: an+1-an=d(n≥1且n∈N*);
• 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) . • 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任
意三个,应用方程的思想,可以求出另外一个。
思考题:
已知等差数列{an}中,am、公差d 是常数,试求出
等价变形: a1=an- (n-1)d d=(an-a1)/ (n-1) n=(an-a1)/d+1
思考:
等差数列
an=a1 +(n-1)d am=? am=a1 +(m-1)d am-an =? am-an =(m-n) d am=an +(m-n) d
d=am-an /(m-n)
an的值。
分析:本题是一个含有字母的计算题,做题时必须 将am ,d 看成是常数.
解:设等差数列{an}的首项是a1,依题意可得:
am=a1+(m-1)d

an=a1+(n-1)d

②- ①得:an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
复习回顾
数列的定义,通项公式,递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示,
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清
库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个从水第库的二水项位为起1,8m,后自一然放项水与每天
水作位的降那低天,2.水5m库,每最天低的降水至位5m组。成那数么列从(开前单始一位放:水项m算)的起:,差到是18可,-以12进5..5行5。,清1理3,工
定义的符号表示是:
an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
这就是数列的递推公式。
数列{an}为等差数列 an+1-an=d 或an+1=an+d
练习一
判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是? 如果是,写出首项a1和公差d, 如果不是,说明理 由。
(1)1,3,5,7,… 是 a1=1,d=2
解:由题意得:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组,
解之得:

a1 d
2 3
∴这个数列的首项a1是-2,公差d =3.
小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主 要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。
个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
四 个 实 例 我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列: 0,从5,第1二0 项,1起5 ,,后20 一,…项与前①一项的差是5。 赛项目20。00该年项,目在共澳设大置利了亚7悉个尼级举别行,的其奥中从运较会第轻上的二,4项个女级子起别举,体重重被后组正一成式项数列列为与比 (单位:kg): 48 ,53,58,63. 前一②项的差是5。
所以等差数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d
例题 例1 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?
如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
分析(1)由给出的等 解:(1)由题意得:
差数列前三项,先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20
从该例题中可以看出,等差数列的通项公 式其实就是一个关于、、d、n(独立的量 有3个)的方程;另外,要懂得利用通项 公式来判断所给的数是不是数列中的项, 当判断是第几项的项数时还应看求出的项 数是否为正整数,如果不是正整数,那么 它就不是数列中的项。
练习三
已知等差数列{an}中,a4=10,a7=19,求a1和d.
解:依题意得:
aa11
3d 6d
10 19
解之得:

a1 d

1 3
∴这个数列的首项是1,公差是3。
例 3、已知数列{ an }的通项公式 an pn q ,其中 p 、q 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是, 首项与公差分别是什么?
解: an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是:
写出通项公式,就可
an=a1+(n-1)d=-3n+11
以求出第20项a20.
∴a20=11-3×20=-49
分析(2)要想判断 -401是否为这个数列 中的项,关键是要求 出通项公式,看是否 存在正整数n,使得
an=-401。
(2)由题意得:
a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是:
变形
d an am nm
等差数列
等差数列的通项公式: 如果一个等差数列{an}的首项为a1 ,公差为d,
那么我们可以根据等差数列的概念得到:
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d …………
an-1-an-2=d + an-an-1=d
an-a1=(n-1)d
等差数列的通项公式: an=a1 +(n-1)d
(2)9,6,3,0,-3… 是 a1=9,d=-3
(3)-8,思-6考,-:4,在-2数,0列,… 是 a1=-8,d=2
(4)3(,31),3,,a3,100…=?我 是 a1=3,d=0
(5)1,们1该, 1如, 1何,求1 ,解K呢? 不是
2345
(6)15,12,10,8,6,… 不是
通 项 公 式 的 推 导 问an=?

an

1 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法,
可由复杂变为简单,使问题得以解决.
已知数列 an 中,
a1

2
,n≥2

an

7an1 3an1
3 1
,求通项公式.
设正项数列an满足 a1 1,an 2an21(n≥2).求数列an的通项公式.
课时小结
• 通过本课时的学习,首先要理解和掌握等差数列的定义
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
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