【人教A版】高中数学必修五：第2章《数列》2.1 数列的概念与简单表示法(第一课时)课件

3．是否所有的数列都有通项公式？若有，通项公式是否唯 一？
答：①不是，如 π 的不足近似值组成的数列 1,1.4,1.41,1.414，……就没有通项公式．
②若一个数列有通项公式，也不一定唯一，如数列：－1,1， －1,1，……的通项公式可以写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝(－ 1)n＋1，也可以写成 an＝－ 1n1为偶n数 为奇 . 数，
1．{an}与 an 有何区别？ 答：{an}表示一个数列，而 an 表示数列的第 n 项．
2．数列与数集有何区别？
答：集合中的元素具有确定性，无序性和互异性，而数列中 的数是按一定次序排列的，同一个数在数列中可以重复出现．次 序对于数列来说是十分重要的，有几个不同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不同．
探究 3 通项公式直接反映了 an 与 n 之间的关系，给出一个 数 a，可以通过通项公式来判断数 a 是否为数列中的项，判断时 只要看 an＝a 是否有正整数解即可．研究数列中项的某些性质时 一般利用通项公式，如由本例(2)的证明可知该数列具有周期性．
思考题 3 已知数列{an}的通项公式是 an＝n2＋3n－1，其 中 n∈N*.
通项公式 an＝n an＝2n
an＝2n－1 an＝n2 an＝2n an＝n1
an＝n·(n＋1) an＝(－1)n－1
an＝10n－1 an＝1 Nhomakorabea思考题 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)22－ 3 1，32－ 5 2，42－ 7 3，52－ 9 4，…； (3)5,55,555,5 555，…；
C．第 10 项
D．第 11 项
答案 B
2．数列{n2＋n}中的项不能是( )
A．56
B．72
C．60
D．132
答案 C
3．已知数列{an}的前 4 项为 11,102,1 003,10 004，…，则适 合它的一个通项为________．
答案 an＝10n＋n
4．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
(2)已知数列{an}的通项公式为 an＝3－2cosn2π. 求证：am＋4＝am.
【解析】 (1)令n2n＋2 1＝0.7，则 3n2＝7，即 n2＝73， 此时 n 无整数解，故 0.7 不是这个数列中的项． (2)因为 am＋4＝3－2cosm＋2 4π＝3－2cosm2π， 又 am＝3－2cosm2π.所以 am＋4＝am.
探究 4 (1)要注意 n 的取值范围 n∈N*. (2)要注意二次函数的对称性．
思考题 4 数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项是( )
A．108
B．107
C．106
D．109
【答案】 A
课后巩固
1．数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列的( )
A．第 6 项
B．第 7 项
(4)13，1，95，83，….
【 答 案 】 (1)an ＝ ( － 1)n ＋ 1(2n － 1) (3)an＝59(10n－1) (4)an＝nn＋22
(2)an
＝
n＋12－n 2n＋1
例 3 (1)已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1，试判断 0.7 是不是数列{an}中的一项？若是，是第几项？
(1)写出 a10，an＋1 和 an2； (2)7923是不是这个数列中的项？如果是，是第几项；如果不 是，请说明理由．
【答案】 (1)a10＝1309；an＋1＝n2＋33n＋1；an2＝n4＋n32－1 (2)是第 15 项
题型三 通项公式的应用
例 4 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值．
【解析】 (1)是无穷递减数列(1n>n＋1 1)． (2)是无穷递增数列(项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆动数 列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列．
探究 1 数列的主要特征是有序性，观察数列的前 n 项的变 化规律，考查数列的项随序号的变化趋势、符号特征，是刻画数 列性质的重要方面．
授人以渔
题型一
数列的概念
例 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是 递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1，12，13，…，1n，…； (2)1,2,22，…，263，…；
(3)1，－0.1,0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0,10,20，…，1 000； (5)－1,1，－1,1，…； (6)6,6,6，….
(5)将数列各项写为93，939，9939，….
【解析】 所给五个数列的通项公式分别为 (1)an＝2n2－n 1； (2)an＝n22； (3)an＝1＋2－1n；
－1nn＝2k－1，
(4)an＝3 n
n＝2k，其中k∈N*
由于 1＝2－1,3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成 an＝
(－1)n·2＋－n 1n；
第二章 数 列
2.1 数列的概念与简单表示法(第一课时)
授人以渔 课后巩固 课时作业
要点 1 数列的概念 按 一定顺序 排列的一列数，叫做数列． 要点 2 数列的表示 ①列举法：将每一项 按一定顺序，一一列举出来 表示数 列的方法． ②图像法：在坐标系中描出(n，an)这些孤立的点．
③通项公式法：an＝ f(n)． n∈N*. ④递推公式法：
给出数列{an}的第 1 项(或前几项)及以后各项与它相邻的 前一项(或前几项) 之间的关系式来表示数列．
要点 3 数列的分类 (1)根据数列的项数，可以将数列分为两类： ①有穷数列——项数 有限 的数列． ②无穷数列——项数 无限 的数列． (2)数列还可以按照项与项之间的大小关系进行以下分类： ①递增数列．②递减数列． ③摆动数列．④常数数列．
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个 数 n 之间的关系式可以是________．
答案 an＝2n＋1
思考题 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，217，811，…； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….
【思路分析】 考查各项的结构特点，联系基本数列． (1)分母依次是 2,4,8，…即 2n，而分子比分母少 1. (2)将分母统一为 2，分子恰为平方数． (3)这是个摆动数列，可寻找其平衡位置，并用(－1)n 去调节．
(4)此数列的每一项分为三部分：分子、分母、符号．奇数项 都为负，且分子都是 1，偶数项为正，且分子都是 3，分母依次 是 1,2,3,4，…正负号可以用(－1)n 调解．
【解析】 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)是递减数列； (6)是摆动数列； (3)(5)是常数列．
题型二 数列的通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)12，34，78，1156，3312，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)0,1,0,1,0,1，…； (4)－1，32，－13，34，－15，36，…； (5)3,33,333,3 333，….
(5)an＝13(10n－1)．
探究 2 一些基本数列的通项公式应当牢记在心滚瓜烂熟， 这对于归纳、猜想求解复杂数列的通项公式是大有好处的！能极 大的提高解题速度．
数列{an} 1,2,3,4，… 2,4,6,8，… 1,3,5,7，… 1,4,9,16，… 2,4,8,16，… 1，12，31，14，… 1×2,2×3,3×4,4×5，… 1，－1,1，－1，… 9,99,999,9 999，… 1,1,1,1，…
【思路分析】 只要令 an<0，解关于 n 的一元二次不等式， 所以要结合一元二次不等式解集研究．
由于 an＝n2－5n＋4 是关于 n 的二次函数，所以要结合二次 函数的图象去解决最小值问题．
【解析】 (1)令 an＝n2－5n＋4<0，解得 1<n<4. 又∵n∈N*， ∴n＝2 或 3，即数列中仅有两项是负数． (2)an＝n2－5n＋4＝n－522－94. 其对称轴为 n＝52＝2.5， 又∵n∈N*∴当 n＝2 或 3 时，an 取得最小值，最小值为2－52 2－94＝14－94＝－2.