动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程)
质点运动微分方程
t /s
动力学
质点动力学的两类问题
例题4 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径 r =1m。 （1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。
O 解：取质点为研究对象画受力图 当： 0
F
FN
n
r
mg
由（2）式解得：
ma mg F FN
: :
mr mg cos F mr 2 mg sin FN
1. 对研究对象进行受力分析，画其受力图；
2. 根据运动的特点，选取坐标系；
3. 建立矢量形式的微分方程；（可选）
4. 将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微分方程），
并写出相应的初始条件；
5. 求解微分方程（积分或数值解）； 6. 分析讨论数学结果的物理含义。
动力学
质点动力学的两类问题
例题1 质点M的质量为m，运动方程是x = bcosωt, y = dsinωt， 其中b, d, ω为常量。求作用在此质点上的力。 y Fy 解： 1、求质点的轨迹方程： 从运动方程中消去 t，得
x2 y2 2 1 2 b d
y
j o i
r
x
M x
Fx
2、求质点的加速度
d2x a x 2 b 2 cos t 2 x , dt
d2y a y 2 d 2 sint 2 y dt
3、求质点所受的力
由
d2x d2y m 2 Fxi , m 2 Fyi dt dt
牛 顿（1642－1727）的牛顿定律和万有引力定律
动力学
质点动力学的两类问题
第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。 归结为解微分方程或求积分问题。只有在一些比较特殊的 情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只 能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。 如：上个世纪末，预测到小行星撞击木星的时间； 确定飞行器返回舱着陆的时间和地点动力学
第二讲 质点的运动微分方程
钢丝
y
x2 = 4ay
小环
x 例：钢丝为抛物线，小环作约束运动，约束方程 2 = 4ay 。
x
（3） 约束反力——约束物（钢丝）对被约束的质点所施加的作用力。
O
注：
（1）约束反力不仅取决于约束本身，还与作用在质点上的其他力及质点本身的运动状态有 关（举例）；
=
0
方程通解 x = A cos (w0t + j ) ——振子的运动方程
×
×
设初始条件为 t = 0 时， x = x0 , x = x0
e0
×
由运动方程可得 x = - Aw0 sin (w0t + j ) 代入初始条件得
A=
x02
+
æ ç
ç è
×
x0
w
ö2 ÷
÷ ø
， tanj
=
-
×
x0
w x0
（2）单靠约束反力不能引起质点的任何运动，∴称约束反力为被动力（一般未知）， 而像：万有引力、电磁力等为主动力；
（3）摩擦力为被动力，因此也属于约束反力。 2、 求质点约束运动的方法——去掉约束，代之以约束反力（隔离体法） 3、 质点约束运动的微分方程
设质点所受主动力的合力为
ur F
æ ç
r r,
r× r
第二讲 质点的运动微分方程及有关应用
教学时间
教学目的要求：
1 使学生深刻理解牛顿运动三定律的内涵和伽利略力学相对性原理的意义。 2 使学生熟练运用牛顿运动定律，列出有关实际问题的运动微分方程并能进行求解。 重点：质点运动微分方程的建立，初始条件的确立。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
动力学方程与控制理论
动力学方程与控制理论动力学方程和控制理论是现代科学领域中至关重要的两个分支，它们分别研究物体的运动方式和如何对其进行控制。
本文将介绍它们的基本概念、应用和未来发展方向。
一. 动力学方程动力学方程是研究物体运动的基础。
它的核心是牛顿运动定律，即物体的加速度与作用于物体上的力成正比。
通过对牛顿运动定律的研究，人们得出了质点动力学方程和刚体动力学方程等不同类型的动力学方程。
质点动力学方程描述的是质点在空间中的运动，可以用一组关于时间的二阶微分方程表达。
即：m d^2r/dt^2=F其中，m 是质量，r 是位置矢量，F 是作用在质点上的外力。
刚体动力学方程则用于描述刚体的运动，它的基本方程为角动量守恒定律和动量守恒定律。
角动量守恒定律指物体的角动量在没有外力作用时保持不变，而动量守恒定律指物体的动量在没有外力作用时保持不变。
通过这两个定律可以推导出刚体动力学方程，从而对刚体的运动方式进行分析。
动力学方程在工程和物理学等领域有广泛应用。
例如在机器人控制中，动力学方程可以用来描述机器人的运动方式和状态，进而进行运动规划和控制。
在飞行器制造中，动力学方程可以用来分析飞机的飞行状态和特性，为飞机设计提供理论支持。
二. 控制理论控制理论则研究如何将物体的运动状态控制在期望范围内。
控制技术的核心是反馈控制原理，即根据物体的运动状态进行反馈，对其进行控制并调整。
控制理论主要包括线性控制和非线性控制两种形式。
线性控制是一种处理线性系统的控制方法，它的基本思路是将系统分解成可分析的小部分，并对每个部分进行控制。
线性控制包括PID控制和状态反馈控制等形式。
PID控制是一种最为基本的线性控制方法，它通过控制输出和目标点之间的误差，对系统进行调整和控制。
状态反馈控制则是一种更为高级的线性控制方法，它通过对系统状态进行反馈来调整控制器的参数，从而对系统进行更为精确的控制。
非线性控制是一种处理非线性系统的控制方法，它的基本思路是对系统进行非线性建模，并以此设计控制器。
动力学方程
动力学方程1. 引言动力学方程是研究物体在运动中受到的力学作用的数学描述。
它是物理学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括经济学、工程学、生物学等。
本文将介绍动力学方程的基本概念、求解方法以及应用等方面的内容。
2. 动力学方程的定义动力学方程描述了物体在运动过程中所受到的力学作用。
一般来说，动力学方程可以分为牛顿第二定律和拉格朗日方程两种形式。
2.1 牛顿第二定律牛顿第二定律是描述质点运动的基本定律之一。
它的数学表达式为：F = ma其中，F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据牛顿第二定律，我们可以得到物体在受到外力作用下的运动方程。
2.2 拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体运动的另一种形式，它基于能量守恒的原理。
拉格朗日方程的数学表达式为：d/dt ( ∂L/∂(dq/dt) ) - ∂L/∂q = 0其中，L表示物体的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间。
拉格朗日方程可以从运动的作用量原理推导得到，它可以描述多自由度、非洛加多力学系统的运动。
3. 动力学方程的求解方法求解动力学方程是研究物体运动的关键步骤之一。
常见的求解方法主要有解析解法和数值解法两种。
3.1 解析解法解析解法是通过数学计算的方法，求得动力学方程的精确解。
在一些简单的情况下，动力学方程可以直接求解得到解析解。
例如，简谐振动的运动方程可以通过解微分方程得到解析解。
3.2 数值解法数值解法是通过数值计算的方法，求得动力学方程的近似解。
数值解法通常采用数值求解微分方程的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
数值解法在复杂的情况下具有更好的适用性，但是精度相对较低。
4. 动力学方程的应用动力学方程广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些典型的应用。
4.1 经济学在经济学中，动力学方程可以用于描述经济系统的运动规律。
例如，经济增长模型可以通过动力学方程来描述经济发展的速度和方向，从而为经济政策制定提供理论依据。
牛顿第二定律微分方程
牛顿第二定律微分方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：牛顿第二定律是经典力学中一个非常重要的定律，它描述了物体运动的动力学规律。
牛顿第二定律的数学表达形式为\[ F = ma \]F代表物体受到的合力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个定律告诉我们，当一个物体受到一个力作用时，它会加速，而加速度的大小与受力的大小成正比，与物体的质量成反比。
在一些结构复杂的系统中，可能受到多个力的作用，牛顿第二定律的微分形式可以更好地描述这种情况。
使用微分方程描述物体的运动是一种非常重要的方法，通过微分方程可以更加精确地描述物体的加速度随时间的变化。
假设一个物体受到多个力的作用，这些力分别是\[ F_1, F_2,F_3, ..., F_n \]，根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为\[ a = \frac{\sum\limits_{i=1}^n F_i}{m} \]我们可以将受到的各个力拆解成不同的部分，比如重力，摩擦力等，最终得到微分方程的形式。
接下来，我们将对一个简单的例子进行分析，说明如何建立牛顿第二定律微分方程。
假设有一个质量为m的物体在水平面上运动，在受到一个恒定的外力F的作用下。
此时，物体受到的合力可以表示为\[ F_{\text{合}} = F - f \]f代表摩擦力，根据库仑摩擦定律，摩擦力大小正比于物体受力的大小，方向与物体的运动方向相反。
根据牛顿第二定律，物体的加速度可以表示为我们可以将摩擦力拆解成两部分，一部分是静摩擦力\[ f_s \]，一部分是动摩擦力\[ f_k \]。
在物体刚开始运动时，摩擦力等于静摩擦力，此时静摩擦力可以表示为\[ \mu_s \]是静摩擦系数，N是物体受到的支持力。
如果外力F小于或等于静摩擦力，物体会保持静止；如果外力大于静摩擦力，物体就会开始运动，此时摩擦力等于动摩擦力。
动摩擦力可以表示为\[ \mu_k \]是动摩擦系数。
在这种情况下，物体的加速度可以表示为根据牛顿第二定律微分方程的形式，我们可以进一步将N表示为物体受到的支持力，支持力可以表示为\[ N = mg \]，这里g是重力加速度。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
注电考试最新版教材-第102讲 理论力学：运动学(五)动力学(一)
六）例题[例4—2—6] 在图4—2—16所示曲柄连杆机构中，曲柄OA以角速度ω和角加速度ε绕O轴转动,并通过连杆带动滑块B在圆形槽内滑动。
如OA=R,AB=23R,且图示瞬时，α=30º，φ=60°，求在该瞬时，滑块B的切向和法向加速度。
[解] 杆AB作平面运动，其图示位置的速度瞬心为点C，故由速度瞬心法得B点的速度大小为方向如图。
杆AB的角速度大小为转向为逆时针向。
于是，B点的法向加速度大小为方向如图。
a，现根据加速度合成法列出aB的表达式为求 B将上式投影到x轴上，得式中代入上式，并经整理后得B点的切向加速度大小为3ω)>o，则图示τB a的指向是正确的，否则反之。
若(2ε—2注意，B点绕O1点作圆周运动的角速度ωl和角加速度ε1与杆AB的ωAB和εAB是不同的。
[例4—2—7] 图示机构由曲柄连杆机构使齿条I作往复直线运动。
曲柄OA绕轴O顺时针向转动，其转速为n=60r／min，OA=10cm，AB=20cm齿轮O1、O2上下均与齿条啮合。
求当φ=90°时，齿条I的速度和加速度。
[解] 图示为一多构件组成的平面机构。
由题意知，曲柄OA以匀角速度绕O轴转动；杆O1O2和齿条I均作平动；齿轮O1、O2和连杆AB均作平面运动。
在图示位置，杆AB作瞬时平动，齿条I的运动可取与齿轮啮合的一点M代之。
在具体解算时，一般可依照运动传递的顺序，从已知构件即曲柄的运动着手，通过连接点A、B和O2的运动分析，求得齿条上M点的速度和加速度。
因曲柄OA作匀速转动，所以有由于图示位置杆AB作瞬时平动，故该瞬时杆AB的角速度B点的速度大小为方向与vA相同。
B点的加速度aB，由加速度合成法得将上式投影到x轴上，并注意到故有即方向如图4—2—17所示。
由此可算得平动杆件为O1O2上一点O2的速度、加速度为因轮O2与上下两齿条均无相对滑动，故C2为轮O2的速度瞬心，并由速度瞬心法求得M点的速度为方向如图。
第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).
动力学两 类基本问 题：
(1) 已知运 动求力； (2) 已知力 求运动。
ma F
此外，尚有虚位移原理（分析力学一部分）——用动力学方法求解静力学 问题。
6
（动）力学原理分类：
先了解一下
微分 形式 力学 原理 积分 形式
非变分形式（如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程） 变分形式（如虚位移（功）原理、动力 学普遍方程） 非变分形式（如普遍定理、能量守恒原理） 变分形式（如哈密顿原理）
8
三、质点运动微分方程（动力学基本方程）（指惯性参考系下）
即牛二定律的微分形式： ma F
d 2r 矢径式 m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d2s m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
作业：11-3, 11-4
10
如此诸多名称，你一下子记不住，可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础（相当于静力学的公理）
复习或简介以下内容：
一、牛顿三大定律： 请同学叙述，请其他同学回答叙述是否正确。
问题：牛顿定律对刚体是否成立？
二、（运动）参考系：
提问：①什么是惯性参考系和非惯性参考系？一般如何确定惯性参考系？
4
哲 学 家 云： 静止是相对的，运动是绝对的 物理学家云：静止是相对的，运动也是相对的
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
（动）点 刚体 (无质量) 绝对法 合成法 点的 运动 学
牛顿第二定律
4、平面运动刚体的动能 刚体的平面运动可以分解为任选基点的平动和绕该基点的转动， 则以质心C为基点，刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能 与绕质心C转动的动能之和。
1 1 1 2 2 2 T = MvC + J Cω = J Pω 2 2 2
对整个质点系，有： d Σ 则：
P 为刚体平面运动的 瞬心，JP为刚体对瞬 心轴的转动惯量。
达朗贝尔原理 Alemberte)(动静法 D’Alemberte)(动静法) Alemberte)(动静法)
§1. 质点的达朗贝尔原理 G m 称为惯性力，则有： N F
ma=F+N F+N- ma=0
令
G = - ma F+N+G=0
即为质点的达朗贝尔原理。
上式在形式上是一个平衡方程，G 具有力的量纲，是质量和加 速度的乘积，因此称为惯性力。 惯性力是人为地、假想地加上去的，并不真实的作用在物体上。 达朗贝尔原理从形式上将动力学问题转化为静力学问题，它并不改 变动力学问题的实质，质点实际上也并不平衡。
5、质点系的动能定理 设一质点系由n个质点构成，对第 i个质点有：
dT = Σ δ W
m ivi = Σ δW i 2
2
m ivi d = δW i 2
2
即为质点系动能定理的微分形式。 即为质点系动能定理 的积分形式。
积分上式，有：
T2 − T1 = ΣW
动能定理主要用来求解
v、ω、a、ε，不能求反力！
动力学普遍定理
重点研究刚体在 各种运动形式下的 运动微分方程 动量定理 动量矩定理 动能定理
§1. 质点的动量定理 1.质点的动量: k=mv 矢量， 量纲为:kg ⋅ m/s = kg ⋅ m/s 2 ⋅ s = N ⋅ s 2.力的冲量: S =F t 矢量， 量纲为:N s 前式中， F为常力， 若F为变力， 则为 t1 s = F dt S 元冲量: dS =F d t
工程力学 05质点动力学的基本方程
● 5.2 质点的运动微分方程及其应用 ● 5.2.1 质点运动微分方程 (5-1) 在解决工程实际问题时，常将动力学的基本方程(5-1) (5-1)改写 为其他不同形式，以便应用。 1. 质点运动微分方程的矢量形式 5.1 如图5.1 5.1所示，设有质量为m的质 … 点M受到力F1，F2，…，Fn 的作用做 曲线运动，合力为FR，用r表示质点的 位矢，则质点的运动微分方程为
写出滑块沿x轴的运动微分方程
max = F cos β
由题设的运动方程，可以求得 d2 x ax = 2 = rω 2 (cos ω t + λ cos 2ω t ) dt a ω t = 0 时， x = rω 2 (1 + λ ) ，且 β = 0 ，得AB杆受拉力 当
F = mrω 2 (1 + λ ) π ω t = 时， x = rω 2 λ ，cos β = l 2 r 2 l ，则有 a 当 2
n
&= m r& ∑ Fi = FR
i =1
(5-2)
应用矢量形式微分方程进行理论分析非常方便，但有时求解 某些具体问题时很困难，而且所得到结果的力学意义也不很明显。 因此，多数问题的求解仍需根据具体问题选择合适的坐标形式。
2. 质点运动微分方程的直角坐标形式 (5-2) 5.1 由矢量方程(5-2) (5-2)在图5.1 5.1中的直角坐标系上投影，可得到质 点的运动微分方程的直角坐标形式
● 5.2.3 应用举例 5.1 5.3( 【例5.1 曲柄连杆机构如图5.3(a)所示。 5.1】 ω OA=r 曲柄OA以匀角速度 转动，其中OA=r OA=r、 AB=l AB=l，当 λ = r / l 比较小时，以O为坐标 原点，滑块B的运动方程可近似写 λ2 为 x = l(1 ) + r(cos ω t + λ cos 2ω 。 t) 4 4 如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB 的质量，试求当 = ω t = 0和 π 时，连 2 杆AB所受的力。 解：以滑块B为研究对象，当 = ω t 5.3(b) 时，受力如图5.3(b) 5.3(b)所示。由于不计 连杆质量，连杆AB 为二力杆，则它 对滑块B的力F沿AB方向。
周衍柏理论力学教案
i j k r x y z
}
m Fx ( x, y, z , x, y, z , t ) x y m Fy ( x, y, z , x, y, z , t ) ——很难解 mz Fz ( x, y, z, x, y, z , t )
－质点动力学方程
自由质点——质点在运动时不受任何其它物体的限制— —主动力、约束力 一、运动微分方程的各种分量表达式 1、直角坐标系：
F Fxi Fy j Fz k
i FX jFy kFz m i j k x y z
§ 5、动量矩定理及动量矩守恒定律
一、定义：
1、力矩： M r F , 大小： rF sin 方向：右手螺旋法则 M
2、动量矩：
J r p r mv
对某一点，某一轴
3、分量表达式：
i j k M r F x y z Fx Fy Fz i ( yFz zFy ) j ( zFx xFz ) k ( xFy yFx )
三、第二定律是三定律的核心。 ma F
适用条件: (1)低速宏观 (2)只对质点适用 (3)
F ma
是一个矢量方程
(4)只适用于惯性系 _＿ 牛顿运动定律能够成立的参考系
§
2、质点运动微分方程
F ma F F (r , r , t ) a r F m m F (r , r , t ) r r
F mr
r mr r F
d (r mr ) r m r mr r m r r dt d d ( r mr ) r F m ( yz zy ) yFz zFy dt dt d dJ m ( zx xz ) zFx xFz M dt dt d m ( xy yx) xF y yFx dJ M dt dt
运动微分方程
F = ma
铁球在未离开筒壁前m的vR2速度F，N等mvgcoRwsq πnR
于筒壁上与其重合点的速度。即
30
运动微分方程
mvR2 FNmgcosq
v Rw πnR
30
1
nπ3R0m R(FNmgcoqs)2
当θ=θ0 时铁球将落下，这时FN =0，于是得滚筒转速
n9.549 Rg cosq0
q0 F
速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地
面时的速度和加速度。
运动微分方程
例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。
q0 F
n
FN mg
视铁球为质点。铁球被旋 转的滚筒带着沿圆弧向上运动， 当铁球到达某一高度时，会脱 离筒壁而沿抛物线下落。
aC
Fe
OC
O'
R
这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。
应用循环变换q q dq，将式( a )的变量分离并代
dq
入初始条件进行积分
运动微分方程
q q dq dq
qw2siqn
qqdqqw2siqndq
2w
0
q w q 222(1co)s
w O
art
vr
FN M
ae
aC
Fe
arn qFC s
牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系； 速度远远小于光速； 宏观物体; 质点(平动刚体)
动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计 算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分 析等都需要有动力学的知识作为基础。
理论力学11 质点运动微分方程
质点。
2.质点系 质点系：由有限或无限个有着一定联系 质点系 的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 刚体 不变的质点组成,又称为不变质点系。
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 三.动力学分类: 质点动力学
5
二. 第二定律（力与加速度关系定律） 第二定律（力与加速度关系定律） 质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大 小成正比，与质点的质量成反比， 小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方 向相同。 向相同。
即：
r r F a= m
r r 或 ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程 动力学基本方程。 动力学基本方程 注意： 注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力的合力。
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授课教师：薛齐文 授课教师： 土木与安全工程学院力学教研室
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第十一章
质点运动微分方程
§11–1 动力学基本定律 §11–2 质点运动微分方程
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§11.1 动力学基本定律 动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为 动力学的理论基础 动力学的基本定律。 第一定律（惯性定律） 一. 第一定律（惯性定律） 任何质点如不受力作用， 任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。 直线运动的状态不变。 质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性 称为惯性 事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。 该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。
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第三节动力学【本节知识框架】【历年考点分布】说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。
一、牛顿定律及质点运动微分方程表4-3-1 牛顿定律及质点运动微分方程二、质点的直线振动物体在其平衡位置附近所作的周期性的往复运动称为振动。
这里仅研究单自由度系统在恢复力（或恢复力矩）、线性阻尼和谐扰力作用下的线性振动，主要包括自由振动、衰减振动和受迫振动。
1．自由振动（1）自由振动的基本要素表4-3-2 自由振动图4-3-1 单自由度系统自由振动模型（2）求固有频率的方法： ①列微分方程列出系统的运动微分方程，化为标准形式，如eq eq m x k x +=或eq eq m q k q +=即可得到ω=式中，m eq 为等效质量，表示系统的惯性；k eq为等效刚性系数，表示系统的弹性；q 为系统的广义坐标。
②平衡法在静平衡位置，刚度为k 的弹簧产生的弹性力与物块的重力mg 相等，即kδst ＝mg ，将其代入表4-3-1中固有圆频率的表达式，有：0ω===【典型例题】5kg 质量块振动，其自由振动规律是x ＝Xsinωn t ，如果振动的圆频率为30rad/s ，则此系统的刚度系数为（）。
[2016年真题]A ．2500N/mB ．4500N/mC ．180N/mD ．150N/m 【答案】B【解析】自由振动的圆频率计算公式为：ω=，故刚度系数为：k ＝m ω2＝5×900＝4500N/m 。
【典型例题】图4-3-2所示系统中，当物块振动的频率比为1.27时，k 的值是（ ）。
[2014年真题]图4-3-2A ．1×105N/mB ．2×105N/mC ．1×104N/mD ．1.5×105N/m 【答案】A【解析】已知频率比ω/ω0＝1.27，且ω＝40rad/s ，0(100kg)ωm ==。
所以，k ＝（40/1.27）2×100＝9.9×104N/m ≈1×105N/m 。
力学第十二章 动力学基本方程
第三节 质点运动微分方程
例12-2 研磨细矿石所用的球磨机可简化为如图12-3所示。当圆筒 绕水平纵轴O转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转到 一定角度α时，开始和筒壁脱离而沿抛物线下落，借以打击矿石。 打击力与α角有关，且已知当α＝５０°４０′时，可以得到最大的 打击力。设圆筒内径d=3.2m，问圆筒转动的转速n应为多少? 解 取研究对象：钢球M。 三、质点动力学第二类基本问题
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
表 12-2
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
表 12-2
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
B120206.TIF
4.转动惯量的平行移轴定理
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
图 12-7
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
投影到轨迹的切线和法线上，即自然坐标轴上，得 二、质点动力学第一类基本问题
图 12-2
第三节 质点运动微分方程
例12-1 电梯以匀加速度a上升，如图12-2所示，电梯的重量为W， 在电梯地板上放重物G，求绳索所受张力和重物对地板的压力。 解 1)求绳索所受张力F。 ２)求重物对地板的压力。
图 12-３
图 12-6
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
(2)均质圆盘对于通过中心的垂直轴的转动惯量 设圆盘单位面积 的质量为γ，z轴过重心(图12-6)。 2.回转半径
工程上为了表达和运算的方便，经常引用回转半径的概念。 将刚体的转动惯量Jz设想为刚体的总质量m与某一长度ρ的平方的 乘积，即 3.常用的几种简单形状刚体的转动惯量计算公式(见表12-2)
图 12-9
第四节 刚体绕定轴转动的微分方程、转动惯量
质点运动微分方程
式中：m——质点的质量； F——作用于质点上的所有力的合力； a——质点获得的加速度。 该式是研究质点动力学问题的基本依据，称为动力学基本方程。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 根据动力学基本方程，当质点不受力的作用(合力为零)时，其
加速度必为零，此时质点将保持静止或匀速直线运动状态不变。 物体的这种保持运动状态不变的属性称为惯性。两个质点受力相 同时，质量大的加速度小，说明其运动状态不容易改变，即它的 惯性大；质量小的加速度大，说明其运动状态容易改变，即它的 惯性小。因此，质量是质点惯性的度量。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
1.3 刚体平行移动微分方程
v0 v
0
解得活塞的速度为 v=v0e-kt
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
将上式写为
dx dt
v0ekt
再次积分
x
t
dx v0ektdt
解得
0
0
x v0 (1 ekt )
k
即为活塞的运动规律。
当t→∞时，e-kt→0，由v=v0e-kt 可知，活塞的速度趋于零；由上 式可知，此时x趋于最大值。由此确定液压缸的长度为
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程
解 把活塞看作一质点，作用于活塞上
的力为液体的阻力F。如图所示，取活塞初 始位置为坐标原点，建立x轴。列出活塞的 运动微分方程
m d2x F dt 2
或
m d2x v
dt 2
令k
m
，则上式成为
dv kv dt
分离变的方向恒指向椭圆中心，这种力称为有心力。
目录
质点与刚体的运动微分方程\质点运动微分方程 例7.2 液压减振器 （如图）的活塞在获得初速度v0后，在液压
第十一章 质点运动微分方程理论力学
第十一章 质点运动微分方程 该定律表明：
14
1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时 对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表 现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向 可以完全不同于作用力的方向。 2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点 上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越 大。 这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越 强，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点惯 性大小的度量。
Fmax
2 v0 = P(1 + ) gl
第十一章 质点运动微分方程
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※ 刚才介绍的是动力学第一类问题，其要点是运动方程的 建立，基本数学方法是求导 ※ 动力学第二类问题，是已知力求运动。基本数学方法是 积分。积分的难易取决于载荷的复杂程度。通常有： F=F（c、t、v、r） ※ 目前要求掌握： F=c F=F（v） F=F（t） F=F（r） 须将积分 变量作变换 dv dv dx m = m ⋅ = F ( x) dt dx dt
第十一章 质点运动微分方程 第二定律（力与加速度关系定律）
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质点受力作用时所获得的加速度的大小与作 用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速 度的方向与力的方向相同。 即：
F a= m
或
ma = F
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常 称上式为动力学基本方程。 当质点同时受几个力的作用时上式中的F 应理解 为这些力的合力。
α ω α B
l
M
F F N1 N2 an FN2 α mg M
a
a
l
第十一章 质点运动微分方程
A α ω α B l M a FN 1 sin α + FN 2 sin α ρ
动力学
2 x 0 n
例题7：质量为m的矿石在静止介质中由A处自由沉降，如图所示。 已知与矿石同体积的介质的质量为m1，介质对均匀下沉的矿石的 运动阻力为FC=μv2，v为矿石的沉降速度，系数μ与矿石形状、横 截面尺寸及介质的密度有关。试求矿石的沉降速度及运动规律。
A 浮力 F
M
FC 阻力
W x
v=0
v
mg mg
例题4：从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角即初 速度对水平线的仰角为α。试求物体在重力W作用下的运动 规律。 解：以小球为研究对象，建 y v 立坐标系xoy，小球负y方向 v0 M 受重力W作用，初始条件： W y x α t 0 时 , x0 y0 0, x
解：选地心O为坐标原点，x轴铅直向上，如图所示。将小 球 作为质点，根据万有引力定律：
F f
mM x2 mM
2
分离变量：
地球表面上： m g f
mvx dvx mgR
积分：
2
dx x2
2
R gR 2 f M 物体运动微分方程为：
v
v
0
m
d 2x dt
2
F
mgR2 x2
dx e 2 nct 1 vx c 2 nct c t anh( ) nct dt e 1 1 x ln[cot h( )] nct n
双曲正弦
双曲余弦 双曲正切
用题目已知符号，矿石沉降速度及运动规律分别为：
vx
am a g tanh( g t) m
沉降速度随时间增加而增大， 沉降速度还与矿石的尺寸、密 度μ有关，利用这一原理可将 不同的矿石分开。
m
质点动力学的基本方程 F——合力； 平动物体可看作质点,质量集中在质心；
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动力学
类基本问 体 运动与受力的关系。 动力学两
质点（质点动力学） 质点系（质点系动力学） 牛二定律（质点运动微分方程） 动力学普遍定理（三大定理） 达朗伯原理（动静法） “运动——力” 不同方法用不 （1）已知 同的概念建立 运动求力； 不同的关系式。 （2）已知 最基本的是牛 力求运动。 二定律：
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三、质点运动微分方程（动力学基本方程）（指惯性参考系下）
即牛二定律的微分形式： ma F
矢径式
d 2r m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d 2v m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
都是动力学基本方程矢量式 在不同坐标轴上的投影。
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ma F
此外，尚有虚位移原理（分析力学一部分）——用动力学方法 1 求解静力学问题。
第1章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础（相当于静力学的公理） 一、牛顿三大定律：
问题：牛顿定律对刚体是否成立？
二、（运动）参考系： 提问：①什么是惯性参考系和非惯性参考系？一般如何确定惯性参考系？ 惯性参考系——质点在此参考系中作匀速直线运动（惯性运动），且受 力为零。即牛顿所谓“绝对静止不动的参考系”。相对惯性参考系作匀 速直线运动的参考系为惯性参考系。 ②牛顿定律在何种参考系中成立？一定是惯性参考系吗？ 第一、第二定律在惯性参考系中成立，第三定律可在非惯性参考系中成立。 ③动力学普遍定理（动能定理、动量定理、动量矩定理）在何种参考系 中成立？ 惯性参考系。