2019届湖南湖北八市十二校高三第一次调研联考数学(文)试题

绝密★2018年10月4日17:00前湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本卷答题时间120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}|3Q x R x =∈<，则P Q =（ ） A.[]3,4B.(]3,4-C.(],4-∞D.()3,-+∞2．已知命题p ：1x ∀，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≥，则p ⌝是（ ） A ．1x ∃，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤ B ．1x ∀，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤ C ．1x ∃，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --< D ．1x ∀，2x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --<3．已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（ ）A.12B.12eC.1eD.21e 4．已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ）A ．1B ．3C ．4D ．55．为了得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象，只需把3sin y x =上所有的点（ ） A. 先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移6π个单位 B. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移6π个单位C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移3π个单位 D. 先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移3π个单位6．有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ） A ．13B ． 12C ． 23D ．347．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1312π+B ．112π+C ．134π+D ．14π+8．设双曲线22221x y a b-=（0b a <<）的半焦距为c ， ()(),0,0,a b 为直线l 上两点，已知原点到直线l 的距离为4，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ． 2C ． 2D ． 29．已知点()0,2A ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C相交于点M ，与其准线相交于点N ，若FM MN =，则p 的值等于（ ） A ．18B ．14C ． 2D ． 410．已知实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥+-01212y x x y x ，|122|--=y x z ，则z 的取值范围是（ ） A ．]5,35[ B ．)5,0[ C ．]5,0[ D ．)5,35[11．设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ）A.B. C. 1D. 12．若存在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得关于x 的不等式1ln 4x ax x ≤+成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． 211,22e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ． 211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ． 211,22e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭D ． 211,24e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．x ，y 互为共轭复数,且2()346x y xyi i +-=-则||||x y +=____________． 14．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，且1233a a a ++=，4566a a a ++=，则12S = ．15．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中应填入的条件是____．16．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若7tan()12π=-，则2cos sin 2B C +的最大值为 ．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()13,21122n n a S n a n ==++≥．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()*211n n b n N a =∈+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：()*710nT n N <∈．18．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=1，AB=BC=B 1B=2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．20．已知中心在原点的椭圆E 的两焦点分别为双曲线2212x y -=的顶点，直线0x =与椭圆E 交于M 、N 两点，且()M ，点P 是椭圆E 上异于M 、N 的任意一点，直线MN 外的点Q 满足0MQ MP ⋅=， 0NQ NP ⋅=．（1）求点Q 的轨迹方程；（2）试确定点Q 的坐标，使得MNQ ∆的面积最大，并求出最大面积．21．设函数2()ln (32)f x x a x x =+-+，其中a R ∈． （1）讨论()f x 极值点的个数； （2）设12a =-，函数()2()(3)2g x f x x λ=-++，若1x ，2x （12x x ≠）满足12()()g x g x =且1202x x x +=，证明：0'()0g x ≠．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程。

23. [选修4–5：不等式选讲]已知，函数的最小值为1．（Ⅰ）证明：。

（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值。

湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考文科数学试题参考答案及解析1．B.【解析】由题意得，[0,4]P =，(3,3)Q =-，∴(3,4]P Q =-，故选B. 考点：集合的运算.2．C 【解析】本题考查全称命题的否定.已知全称命题:,(),P x M p x ∀∈则否定为00:,(),P x M p x ⌝∃∈⌝故选C. 考点：全称命题的否定.3．C 【解析】设切点为00(,ln )x x ，∴切线方程是000001ln ()ln 1xy x x x y x x x -=-⇒=+-， ∴0011ln 10a x a e x ⎧=⎪⇒=⎨⎪-=⎩，故选C.考点：导数的运用.4．D 【解析】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故选D ．考点：向量的运算．5．A 【解析】把3sin y x =上所有的点横坐标缩短到原来的12倍可得到函数3sin 2y x =的图象，再把3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位得到函数3sin 2()3sin(2)63y x x ππ=+=+，故选A.考点：函数图象的平移变换与伸缩变换.6、A 【解析】试题分析：记3个社团分别为A 、B 、C ，依题意得，甲、乙两位同学参加社团的所有可能的情况有9种，分别为（A ，A ），（A ，B ），（A ，C ），（B ，A ），（B ，B ），（B ，C ），（C ，A ），（C ，B ），（C ，C ），而两位同学参加同一个社团的种数为3，故所求概率为3193=，故选A ． 考点：概率．7．B 【解析】几何体为锥与柱的组合体，其中锥的高为1，底面为四分之一个圆，圆半径为1；柱的高为1，底面为直角三角形，两个直角边长分别为1和2，所以体积为21111+112=134212ππ⋅⨯⨯⨯⨯⨯+，选B.考点：三视图8、【答案】A 【解析】试题分析：∵直线l 过()(),0,0,a b 两点，∴直线l 的方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab +-=，∵原点到直线l 的距离为，=．又222c a b =+，42316160e e ∴-+=，∴24e =，或243e =．∵0b a <<，∴22222c a b a =+<， ce a∴=<故离心率为3e = 故选：A ．考点：双曲线的简单性质.9、【答案】C 【解析】试题分析：设,是点到准线的距离，,FM MN=,即,那么,即直线的斜率是-2，所以，解得，故选C ．考点：抛物线的简单性质10、B【解析】由约束条件作出可行域如图：()22,110x A x y =⎧⇒-⎨+-=⎩， 21012,1033x y B x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩．令221u x y =--，变形可得12u y x +=-，平移目标函数线12u y x +=-使之经过可行域，当目标函数线过点()2,1A -时，纵截距最小，此时u 取得最大值，即()max 222115u =⨯-⨯--=．当目标函数线过点12,33B ⎛⎫⎪⎝⎭时，纵截距最大，此时u 取得最小值，即min 125221333u =⨯-⨯-=-．因为点()2,1A -不在可行域内，所以553u -≤<，[)0,5z u ∴=∈．故B 正确．考点：线性规划．11．A 【解析】设P 在平面ABCD 上的射影为',P M 在平面11BB C C 上的射影为'M ，平面1D PM 与平面ABCD 和平面11BCC B 成的锐二面角分别为,B α，则111''cos ,cos PM C DP MD PM D PMS S B S S α∆∆∆∆==， 1''cos cos ,DP M PM C B S S α∆∆=∴=，设P 到1'C M 距离为d，则1112,22d d =⨯⨯=点P 在与直线1'C MP ∴到1C的最短距离为d =故选A.考点：正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用 12、B 【解析】令(),ln x f x ax x =-则题目中问题等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，时，有14min f x ≤（） 成立”即可， （i ）当14a ≥时， 2111'024f x a lnx =--+-≤（）（）， f x ∴（） 在2e e ⎡⎤⎣⎦，上单调递减， 2222mine f x f e ae ∴==-（）（）， 由22124e ae -≤ 解得21124a e ≥-， （ii ）当14a ＜ 时， 2111'ln 24f x a x =--+-（）（） 在区间2e e ⎡⎤⎣⎦，上单调递增，其值域为14a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，， ①当0a -≥ 时，即0a ≤ 时， '0f x ≥（） 在区间2e e ⎡⎤⎣⎦，上恒成立， f x ∴（） 在2e e ⎡⎤⎣⎦，上单调递增， minf x f e e ae ∴==-（）（）， 由14e ae -≤， 解得114a e ≥- ，与0a ≤ 矛盾，②0a -＜时，即104a ＜＜时，由'f x （）的单调性以及值域可知，存在唯一的20x e e ∈（，） ，使'0f x =（）， 且满足当[]0'0x x f x f x ∈（，，（）＜，（） 为减函数，当20'0x x e f x ⎡⎤∈⎣⎦，，（）＞ ， f x （） 为增函数， 000014min x f x f x ax lnx ∴==-≤（）（） ，其中200011111114ln24244x e e a lnx x e ∈∴≥---=（，），＞＞ ，这与104a ＜＜矛盾，综上a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B ．13．【解析】设,x a b i y a b i =+=-，代入得()()2222346a a b i i -+=-，所以()()22224,36a a b =+=，解得1,1a b ==，所以x y +=考点：复数运算.14、45【解析】数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则可以证明： ,,,k k k k k s s s s s 232--也成等比数列，所以该等比数列依次为：3，6，12，24，…，故12S =3+6+12+24=45． 考点：等比数列的性质．15、6i <【解析】开始，1,0i sum ==满足条件；第一次循环110,2122sum i =+==⨯；满足条件；第二次循环114,32236sum i =+==⨯；满足条件；第三次循环413,46344sum i =+==⨯；满足条件；第四次循环314,54455sum i =+==⨯；满足条件；第五次循环415,65566sum i =+==⨯；不满足条件；∴判断框中应填入的条件是6i <故答案为：6i <． 考点：1.循环结构；2.计算. 16．32【解析】tantan7564tan()tan tan()21212641tan tan 64ππππππππ+-==+==-,∴2=+展开化简得tan 1,4A A π==,所以3344B C C B ππ+==-，,则23132cos sin 22cos 2sin 2()2(cos )422B C B B B π+=+-=--+,当1cos ,23B B π==,所求的2c o s s i n B C +有最大值32.考点：1.三角恒等变换；2.二次函数的最值.17．（1）当2n =时，22231S a =+，解得22a =； 当3n =时，33241S a =+，解得33a =．当3n ≥时，()211n n S n a =++，1121n n S na --=+， 以上两式相减，得()121n n n a n a na -=+-，∴11n n a a n n -=-， ∴1112n n n a a an n -====-， ∴3,12,2n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩（2）()()224,125111,21n n n b a n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥+⎪⎩ 当2n ≥时，()()21111111n b n n n n n =<=-+++， ∴41111113317252334150110n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 考点：已知n S 与n a 的关系求数列通项，放缩法证明不等式．18．（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．考点：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.19．（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.20．（1）由E 的焦点为2212x y -=的顶点，得E 的焦点1F()，)2F ．令E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，因为()M 在E 上，所以21b a=．于是由2222,{,a b b a -==解得2a =， 22b =，所以E 的方程为22142x y +=．由直线0x =与椭圆E 交于M 、N 两点，知M 、N关于原点对称，所以)1N -．令点(),Q x y ， ()00,P x y，则()1MQ x y =-，()001MP x y =-，()1NQ x y =-+，()001NP x y =+．于是由0MQ MP ⋅=， 0NQ NP ⋅=，得(()()(()()0110,{110,x x y y x x y y ++--=-+++=即(()()(()()011,{11,x x y y x x y y +=---=-++ 两式相乘得()()()()2222002211x x y y --=--．又因为点()00,P x y 在E 上，所以2200142x y +=，即220042x y =-， 代入()()()()2222002211x x y y --=--中，得()()220212y x --- ()()22011y y =--． 当2010y -≠时，得2225x y +=； 当2010y -=时，则点(),1P -或)，此时)1Q或()1-，也满足方程2225x y +=．若点P 与点M重合，即()P时，由223,{25,y x y =-+=解得)1Q-或2Q ⎫-⎪⎪⎝⎭． 若点P 与点N重合时，同理可得()Q或22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．综上，点Q 的轨迹是椭圆2225x y +=除去四个点)1-，,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()，,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，其方程为2225x y +=（x ≠． （2）因为点(),Q x y 到直线:MN0x =的距离d =，MN =所以MNQ ∆的面积12MNQS x ∆=⨯=+====≤====当且仅当2x =,{22,x y==或{22,x y =-=-()max2MNQ S ∆=，此时点Q 的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 21．（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1(23)1'()(23)ax x f x a x x x-+=+-=． 令()(23)1g x ax x =-+．①当0a =时，()1x ϕ=，()ln f x x =，所以，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，无极值；②当0a <时，()x ϕ在3(0,)4上单调递增，在3(,)4+∞上单调递减，且(0)10ϕ=>，所以，()x ϕ在(0,)+∞上有唯一零点，从而函数()f x 在(0,)+∞上有唯一极值点；③当0a >时，若39()1048a ϕ=-≥，即809a <≤时，则()0x ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，从而'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；若39()1048a ϕ=-<，即89a >，由于(0)10ϕ=>，则()x ϕ在(0,)+∞上有两个零点，从而函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点． 综上所述：当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在(0,)+∞上无极值点； 当89a >时，函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点． （2）2()2ln g x x x x λ=--，2()2g x x xλ=--．假设结论不成立，则有22111222120002ln 2ln , 2,220,x x x x x x x x x x x λλλ⎧⎪--=--⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩①②③由①，得221121222ln ()()0xx x x x x λ----=，∴12012ln22x x x x x λ=--，由③，得0022x x λ=-，∴12120ln1x x x x x =-，即121212ln 2xx x x x x =-+，即11212222ln 1x x x x x x -=+．④ 令12x t x =，不妨设12x x <，22()ln 1t u t t t -=-+（01t <<），则22(1)'()0(1)t u t t t -=>+， ∴()u t 在01t <<上增函数，()(1)0u t u <=， ∴④式不成立，与假设矛盾． ∴0'()0g x ≠．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的极值；3、反证法． 22．（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程。