必修五解三角形常考题型非常全面

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高三高考数学总复习《解三角形》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇

《解三角形》篇

经

典

试

题

大

汇

总

【题型归纳】

题型一利用正、余弦定理解三角形 (3)

题型二角的正弦值和边的互化 (4)

题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (5)

题型四和三角形面积有关的问题 (6)

【巩固训练】

题型一利用正、余弦定理解三角形 (8)

题型二角的正弦值和边的互化 (10)

题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (11)

题型四和三角形面积有关的问题 (11)

高考数学《解三角形》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一利用正、余弦定理解三角形

例1 在ABC ∆中，cos

2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB

A ．

D ．【答案】A

【解析】因为2

cos 2cos 121255

=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得2223

2cos 251251()325

=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，

所以=AB A ．

例2 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，13

5cos =C ，1=a ，则=b ．【答案】

【解析】∵4cos 5A =

，5

cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13

C =，所以()63

sin sin sin cos cos sin 65

B A

C A C A C =+=+=，由正弦定理得：

sin sin b a B A =

解得21

b =．

例3 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（）.

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

⼈教版必修五“解三⾓形”精选难题及其答案

⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）

1.锐⾓△ABC中，已知a=√3，A=π

，则b2+c2+3bc的取值范围是( )

A. (5，15]

B. (7，15]

C. (7，11]

D. (11，15]

2.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且满⾜sinA=2sinBcosC，则△ABC

的形状为( )

A. 等腰三⾓形

B. 直⾓三⾓形

C. 等边三⾓形

D. 等腰直⾓三⾓形

3.在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=√3，则a?2b+c

sinA?2sinB+sinC

的值等于( )

A. 2√39

3B. 26

√3 C. 8

√3 D. 2√3

4.在△ABC中，有正弦定理：a

sinA =b

sinB

sinC

=定值，这个定值就是△ABC的外接圆

的直径.如图2所⽰，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合)，对于M的每⼀个位置，记△DEM的外接圆⾯积与△DMF的外接

圆⾯积的⽐值为λ，那么( )

A. λ先变⼩再变⼤

B. 仅当M为线段EF的中点时，λ取得最⼤值

C. λ先变⼤再变⼩

D. λ是⼀个定值

5.已知三⾓形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三⾓形ABC的⾯积最⼤时，

AB的长为( )

A. 2√5

B. 3√6

C. 2√6

D. 3√5

6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内⾓A ，B ，C 所对的边，

b =

c ，且满⾜sinB sinA =1?cosB cosA

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(含答案解析)

一、选择题

1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若

()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，

3a b =，则c 的值为（）

A ．

B ．

C ．3

D ．23

2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且

24cos cos tan S

b C b

c B C

=+，2a b +=，3c =，则S =（） A ．

3 B ．

C ．

D ．

3 3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知

()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且7c =，3

C π

，则a =（）

A ．1

B ．

221

C ．1或

221

D ．

21 4．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（） A ．1 B ．2

C ．4

D ．6

5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解

的是（）

A ．2,4,120a b A ===︒

B ．3,2,45a b A ===︒

C ． 6,43,60b c C ===︒

D ．4,3,30b c C ===︒

6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π

3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( )

A. (5，15]

B. (7，15]

C. (7，11]

D. (11，15]

2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC

的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3，则

a−2b+c

sinA−2sinB+sinC

的值等于

( )

A. 2√39

263

√3

C. 8

3√3

D. 2√3

4. 在△ABC 中，有正弦定理：a

sinA =b

sinB =c

sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆

的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点

M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )

A. λ先变小再变大

B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值

C. λ先变大再变小

D. λ是一个定值

5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大

时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，

高一必修五解三角形复习题及答案

解三角形

一、选择题.本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，

若120

c b B ===，则a

等于【】 A

B ．2

2．在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，

已知13

A a b π

===，，

则c =【】 A ． 1

B ．2

3. 已知ABC △

中，a =

b =60B =，那么角A 等于【】

A ．135

B ．90

C ．

D ．30

4. 在三角形ABC 中，537AB AC BC ===，，，则BAC ∠的大小为【】

A ．

23π B ．56π C ．34π D ．3π

5．ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，且2c a =，则cos B =【】

A ．14

B ．3

4 C

．4 D

．3

6. △ABC 中，已知1tan 3A =，1

tan 2

B =，则角

C 等于【】 A ．135

B ．

120

C ．

D ． 30

7. 在ABC ∆中，AB =3，AC =2，BC =10，则AB AC ⋅=【】

A ．23-

B ．3

2- C ．32 D ．23

8. 若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则【】 A ．ABC △为等腰三角形 B ．ABC △为直角三角形 C ．ABC △为等腰直角三角形 D ． ABC △为等腰三角形或直角三角形 9. 若tan tan 1A B >，则△ABC 【】

高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5第一章解三角形复习

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理:

ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径

2正弦定理的一些变式：

iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2R

iiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）

3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角

abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】

a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB

2推论：

设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；

②若abc，则C90；③若abc，则C90．

3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角1

2222222

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）

12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习

高一必修五第一章解三角形复习

高中数学必修5 第一章解三角形复习

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).

2.正弦定理的一些变式：

；；

；（4）

3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】

1．余弦定理：推论： .

2.设、、是的角、、的对边，则：

①若，则；②若，则；③若，则．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.（其中为三角形内切圆半径）

【三角形中的常见结论】

1.(2)

2.若

若

（大边对大角，小边对小角）

3.三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

二、题型汇总

题型1【利用正、余弦定理解三角形】

解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．

1、中，则等于（）

A B C D

2、在中，，则=( )

A. B. C.或 D.

3、在中，分别是三内角的对边, ,,则此三角形的最小边长为（）A． B． C． D．

4、在△中，角所对的边分别为，已知，，．

（I）求的值；（II）求的值．

题型2【求面积相关问题】

5．在中，，则的面积为( )

A． B．

C． D.

必修五解三角形常考题型

1.1正弦定理和余弦定理

1・1・1正弦定理

【典型题剖析】

考察点1:利用正弦定理解三角形

例 1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.

例2在ABC中，已知c=..2+、6，C=30。，求a+b的取值范围。

考察点2 :利用正弦定理判断三角形形状

2 2

例3在厶ABC中，a • tanB= b • tanA，判断三角形ABC的形状。

例4在厶ABC中，如果lg a - lg c = lg sin B = - lg、、2，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。

考察点3 :利用正弦定理证明三角恒等式

2 2 2 2 2 2

例5在厶ABC中，求证a -b b C C a0.

cos A + cos B cosB+cosC cosC+cosA

例6在厶ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B求证c2—b2=ab.

考察点4 :求三角形的面积

例7在厶ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若a = 2,C = — ,COS_B =乙5,求

4 2 5

△ ABC的面积S.

例8已知△ ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ ABC的外接圆半径为12，且C二一

3 求厶ABC的面积S的最大值。

考察点5:与正弦定理有关的综合问题

例9已知△ ABC的内角A,B极其对边a,b满足a ^acot A bcot B,求内角C

cosA b 4

例10在厶ABC中，A, B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10, ，求a,b及厶ABC

cosB a 3

(必考题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测卷(有答案解析)

一、选择题

1．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，4a =，则

ABC ∆的面积为（）

A ．243+

B ．43+

C ．623+

D ．843+

2．在ABC 中，内角,A ,

B C 的对边分别为,a ,b c ，已知3b =，

22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（）

A ．3

B ．23

C ．32

D ．2

3．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知(

)

62km CD =

+，

30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是

（）

A ．43km

B ．210km

C 10km

D ．62km

4．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c 5△ABC 的面积S 5

cos A ，则a ＝（） A ．1 B ．5 C ．13D ．17

5．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与

BD 所成角的余弦值为（）

A 3

B ．

C ．

D 36．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2

c a a b =+，则

2cos cos()

C A -的取值范围是（）

A ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

B ．132⎛ ⎝⎭

C ．232⎛ ⎝⎭

D ．1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1,45a B ==，2ABC S ∆=，则

必修五解三角形题型归纳

一. 构成三角形个数问题

1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（

）

A. 2 x 2 2

B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2

2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k 的取值范围是

3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）

A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81；

B =

= 60°+J

C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b

20, "4亍二. 求边长问题

4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4

则c()

A. 5 B

C . V39D7

5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b =

三. 求夹角冋题

6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( )

v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5

.在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若

1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=(

B . 60°

C . 45°

D . 30°

四. 求面积问题

&已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为

a,b,c .若

ZbcosAB -，

c 1

，则

△ ABC 的面积等于 ( )

6 4 2

9.锐角

ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、

高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)

高一数学必修五第一章试题——解三角形

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )

A ．2∶3∶4

B ．3∶4∶5

C ．4∶5∶8

D ．3∶5∶7

3．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )

A ．4 3

B ．5

C ．5 2

D ．62

4．已知关于x 的方程x 2

－x cos A ·cos B ＋2sin 2C

2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )

A ．①②

B ．①④

C ．①②③

D ．③④

6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π

6，则b 的值为( )

(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)

一、选择题

1．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S =

B ．

C ．2

D ．4

2．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若

3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（）

A ．

π B ．

C ．12π

D ．3π

3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若222

ABC

a b c S +-=

（其中ABC

表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则

ABC 的形状是（）

A ．有一个角是30°的等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

4．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则

ABC 一定是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角

三角形

5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3a =，

(

b ∈，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（）．

A ．133,244⎡⎤

⎢

⎥⎣

⎦ B ．133,244⎛⎫

⎪⎝

⎭ C ．13,24

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．13,24⎛⎫

⎪⎝⎭

．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若b =

cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（）

A ．12+

B ．

C ．

D ．6+

高中数学必修五解三角形测试题及答案

1.在三角形ABC中，如果C=90度，a=6，B=30度，那么

c-b的值是多少？选项：A。1 B。-1 C。2/3 D。-2/3

2.如果A是三角形ABC的内角，那么下列函数中一定取

正值的是什么？选项：A。XXX

3.在三角形ABC中，角A和角B都是锐角，并且

cosA>sinB，那么三角形ABC的形状是什么？选项：A。直角

三角形 B。锐角三角形 C。钝角三角形 D。等腰三角形

4.在等腰三角形中，一条腰上的高为3，这条高与底边的

夹角为60度，那么底边的长度是多少？选项：A。2 B。3 C。3/2 D。2/3

5.在三角形ABC中，如果b=2sinB，那么角A等于多少？选项：A。30度或60度 B。45度或60度 C。120度或60度 D。30度或150度

6.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是多少？选项：A。90度 B。120度 C。135度 D。150度

填空题：

1.在直角三角形ABC中，如果C=90度，那么sinAsinB 的最大值是1/4.

2.在三角形ABC中，如果a=b+bc+c，那么角A的大小是60度。

3.在三角形ABC中，如果b=2，B=30度，C=135度，那么a的大小是2.

4.在三角形ABC中，如果

5.在三角形ABC中，如果AB=2(6-2)，C=30度，那么AC+BC的最大值是5.

解答题：

1.在三角形ABC中，如果acosA+bcosB=ccosC，那么三角形ABC是等腰三角形。

2.在三角形ABC中，证明：b-a/c = c-b/a。

高中数学人教A版必修五第一章《解三角形》章末知识整合

数学·必修5(人教A版)

题型1 利用正、余弦定理解三角形

解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．

解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；

(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．

在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为7

，求a .

如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．

题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状

判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝

sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π

等；二

是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

等，通

过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．

高一必修五解三角形复习题及答案

解三角形

一、多项选择题在这个大问题中有10个小问题，每个子问题中给出的四个选项中只

有一个符合问题的要求。1.内拐角a、B和C的相对侧△ ABC分别是a、B和C，如果是C？2，b？6，b？120等于a.6

b．2

c、三,

d．2?，则a2．在△abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知a?【】a．1

b、二,

c．3?1

3，a？3，b？1，那么C？

d．33.已知△abc中，a?a．135

2，b？3，b？60?，那么角度a等于[]

b、 90

c．45

d．30

4.在三角形中ABC，AB？5，空调？公元前3年？那么是7点吗？BAC的大小为[]a

2?3b．

5.6c。

3?4d．

35.内角a、B和C的相对侧△ ABC分别是a、B和C。如果a，B和C形成一个等比

序列，C？那么CoSb呢？【】

1322a．4b．4c．4d．3

6.在△ ABC，塔娜？a、 135

11，tanb?，则角c等于【】32?

b、 120

c．45

d．30

7.在哪里？在ABC中，ab=3，AC=2，BC=10，然后ab？交流电？【】

a．?32b．?23c．

23d。

328.若△abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且acosa?bcosb，则【】

a．△abc为等腰三角形

B△ ABC是一个直角三角形

d．△abc为等腰三角形或直角三角形

C△ ABC是等腰直角三角形

9.若tanatanb>1，则△abc【】a.一定是锐角三角形c.一定是等腰三角形

b、它可能是钝角三角形D，也可能是直角三角形

10.△abc的面积为s?a2?(b?c)2，则tana．

数学-高中必修五-解三角形-经典题目.doc

解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.1 正弦定理

【典型题剖析】

考察点1：利用正弦定理解三角形

例1

在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3, 求a :b :c.

【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

Q A:B :C1: 2: 3,而A B C .

解：A, B ,C ,

6 3 2

1 3

a :

b :sin A: sin B : sinC sin : sin : sin : :1 1: 3 :2.

6 3 2 2 2

【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2 在ABC 中，已知c= 2+ 6 ，C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，c= 2+ 6 ，∴由正弦定理得：

a b c

2 6 sin A sin B sin C sin 30

∴a=2( 2+ 6 )sinA,b=2( 2+ 6 )sinB=2( 2+ 6 )sin（150°-A） .

∴a+b=2( 2+ 6 )[sinA+sin(150 °-A)]= 2( 2+ 6 ) ·2sin75 °·cos(75 °-A)= 2

2 6 cos(75 °-A)

①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值

2 6 =8+4

3 ；

②∵A=180°-(C+B)=150 °-B, ∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75 °＜75°-A＜75°，∴cos75 °＜cos(75 °-A) ≤1，