人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 锐角△ABC 中，已知a =√3，A =π

3，则b 2+c 2+3bc 的取值范围是( )

A. (5，15]

B. (7，15]

C. (7，11]

D. (11，15]

2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sinA =2sinBcosC ，则△ABC

的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3. 在△ABC 中，∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3，则

a−2b+c

sinA−2sinB+sinC

的值等于

( )

A. 2√39

3

B.

263

√3

C. 8

3√3

D. 2√3

4. 在△ABC 中，有正弦定理：a

sinA =b

sinB =c

sinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆

的直径.如图2所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点

M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )

A. λ先变小再变大

B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值

C. λ先变大再变小

D. λ是一个定值

5. 已知三角形ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线长为3，当三角形ABC 的面积最大

时，AB 的长为( ) A. 2√5 B. 3√6 C. 2√6 D. 3√5 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，

b =

c ，且满足sinB

sinA =1−cosB cosA

.若

点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( )

A. 8+5√34

B. 4+5√34

C. 3

D. 4+5√32

7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30∘，则使△ABC 有两解的x 的范围是( )

A. (1，2√3

3

) B. (1，+∞)

C. (2√3

3

，2) D. (1，2)

8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的面积为( )

A. √3

B. √32

C. 2√3

D. 1

9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A

2，则△ABC 是( )

A. 等边三角形

B. 等腰三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

10. 在△ABC 中，已知∠C =60∘.a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a

b+c +b

c+a 为

( )

A. 3−2√3

B. 1

C. 3−2√3或1

D. 3+2√3

11. 设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，

则b 的取值范围为( ) A. (√2，√3) B. (1，√3) C. (√2，2) D. (0，2)

12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2bcosB =acosC +

ccosA ，若b =√3，则a +c 的最大值为( )

A. 2√3

B. 3

C. 3

2

D. 9

二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）

13. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且acosC +1

2c =b ，则角A 的大小为______ ；若a =1，则△ABC 的周长l 的取值范围为______ ．

14. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c.已知a +√2c =2b ，sinB =

√2sinC ，则sin C

2= ______ ．

15. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a −b =ccosB −ccosA ，则

△ABC 的形状是______ ． 16. 在△ABC 中，若

a 2

b 2=

tanA tanB

，则△ABC 的形状为______ ．

17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a −b)sinB =asinA −csinC ，

且a 2+b 2−6(a +b)+18=0，则AB

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 18. 如果满足∠ABC =60∘，AC =12，BC =k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是

______ ．

19. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足

tanA tanB

=

2c−b b

，则△ABC 面积的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）

20. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ．

(1)求角C 的大小；

(2)若a =2，且△ABC 的面积为

3√3

2

，求c 的值．

21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinB =√3bcosA ．

(1)求角A 的大小；

(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．