第13讲 纵断面设计4-2

抛物线上任一点的曲率半径为r 抛物线上任一点的曲率半径为r，
dy 2 r = [1 +( ) dx
]3 / 2 /
d2y dx 2
dy d2y 1 = i, = 2 k dx dx
抛物线上任一点的曲率半径 r = k（1+i2）3/2 竖曲线底部的切线坡度i 较小， 竖曲线底部的切线坡度 i1 较小 ， 故 i12 可略去不 计 ，则竖曲线底部的曲率半径R为： 则竖曲线底部的曲率半径R R = r ≈ k 二次抛物线竖曲线基本方程式（通式） 二次抛物线竖曲线基本方程式（通式）为
第三节 竖曲线 1．定义： 定义： 纵断面上两个坡段的转折处， 纵断面上两个坡段的转折处 ， 为了便于行车用一段 曲线来缓和，称为竖曲线。 曲线来缓和，称为竖曲线。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。 变坡点：相邻两条坡度线的交点。 变坡角： 相邻两条坡度线的坡角差， 变坡角 ： 相邻两条坡度线的坡角差 ， 通常用坡度值 之差代替， 表示， 之差代替，用ω表示，即 ω=α2-α1≈tgα2- tgα1=i2-i1
1 2 y= x + i1 x 2R
2．竖曲线诸要素计算公式 （1）竖曲线长度L或竖曲线半径R： 竖曲线长度L或竖曲线半径R L = xA - xB
L = Rω , R= L
ω
（2）竖曲线切线长T： 竖曲线切线长T 因为T 因为T = T1 = T2，则LRω T= = 2 2B
i
2
（3）竖曲线外距E： 竖曲线外距E
i3 凹型竖曲线 ω>0 i1 α1 i2 ω α2 凸型竖曲线 ω<0
2．竖曲线的作用： ．竖曲线的作用： 作用 其缓冲作用： （1）其缓冲作用：以平缓曲线取代折线可消除汽车在 变坡点的突变。 变坡点的突变。 保证公路纵向的行车视距： （2）保证公路纵向的行车视距： 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凸形：纵坡变化大时，盲区较大。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 凹形：下穿式立体交叉的下线。 3. 竖曲线的线形 规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 二次抛物线作为竖曲线的线形 《规范》规定采用二次抛物线作为竖曲线的线形。 抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。 抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切。
竖曲线外距E 竖曲线外距E： 上半支曲线x = T1时： 下半支曲线x = T2时：
T12 E1 = 2R
T2 2 E2 = 2R
由于外距是边坡点处的竖距，则E1 = E2 = E，
故 T1 = T2 = T
T2 E= 2R 或 Rω 2 L ω T ω E= = = 8 8 4
二、竖曲线的最小半径 （一）竖曲线设计限制因素 1．缓和冲击 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为: 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为:
x2 y= 2R
式中： 竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离， 式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离， 竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离 y——竖曲线上任意点到切线的纵距 ， 即竖曲线上任意点 竖曲线上任意点到切线的纵距， 竖曲线上任意点到切线的纵距 与坡线的高差。 与坡线的高差。
一、竖曲线要素的计算公式 竖曲线的基本方程式： 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i 抛物线竖曲线有两种可能的形式： 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： 包含抛物线底（ （1）包含抛物线底（顶）部； 不含抛物线底（ （2）不含抛物线底（顶）部。
1 2 x y= 2R 2R
v2 V2 V2 a= = , R= R 13R 13a
根据试验，认为离心加速度应限制在 ～ 根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较 合适。我国《标准》规定的竖曲线最小半径值， 合适。我国《标准》规定的竖曲线最小半径值，相当于 a=0.278 m/s2。
Rmin V2 , = 3.6 或 Lmin V 2ω = 3.6
T2 Lω Tω E= ，E = = 2R 8 4
A
（4）竖曲线上任一点竖距 ： ）竖曲线上任一点竖距h：
x2 x2 h = PQ = y P yQ = + i1 x i1 x = 2R 2R
下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’ 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 ’为：
( L x) 2 h' = 2R
L-x i2 h’ h
（3）竖曲线上任一点竖距 ： ）竖曲线上任一点竖距h：
x2 x2 h = PQ = y P yQ = + i1 x i1 x = 2R 2R
下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’ 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 ’为：
( L x) 2 h' = 2R
为简单起见，将两式合并写成下式， 为简单起见，将两式合并写成下式，
1 2 y= x + i1 x 2k 式中： 式中：k——抛物线顶点 抛物线顶点 处的曲率半径 ；
B
i1——竖曲线顶 竖曲线顶 点处切线的坡度。 （底）点处切线的坡度。
A
对竖曲线上任一点P 其切线的斜率（纵坡） 对竖曲线上任一点P，其切线的斜率（纵坡）为
iP = dy x = + i1 dx k
当x=0时，ip=i1； 时 当x=L时， i = L + i = i 时 p 1 2
式中： 式中：R——抛物线顶点 抛物线顶点 处的曲率半径
A
B
一、竖曲线要素的计算公式 竖曲线的基本方程式： 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i 抛物线竖曲线有两种可能的形式： 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： 包含抛物线底（ （1）包含抛物线底（顶）部； 不含抛物线底（ （2）不含抛物线底（顶）部。
k
抛物线顶点曲率半径：k = 抛物线顶点曲率半径： 曲率半径
L L = i2 i1 ω
竖曲线半径R系指竖曲线顶（底）部的曲率半径。 竖曲线半径R系指竖曲线顶（ 部的曲率半径。 若竖曲线包含抛物线顶点， 若竖曲线包含抛物线顶点，则 R=k。 R=k。
若竖曲线不包含抛物线顶点， 若竖曲线不包含抛物线顶点，则竖曲线半径指竖曲 线的顶（凸竖曲线）或底（凹竖曲线） 线的顶（凸竖曲线）或底（凹竖曲线）部的曲率半 径。可按下面的方法计算： 可按下面的方法计算：
2．时间行程不过短 ．时间行程不过短 最短应满足3 行程。 最短应满足3s行程。
Lmin V V = t= 3.6 1.2 则 Rmin V = = ω 1.2ω L min
3．满足视距的要求： 满足视距的要求： 凸形竖曲线： 凸形竖曲线：坡顶视线受阻 凹形竖曲线： 凹形竖曲线：下穿立交 4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。