2021届高考物理人教版一轮创新教学案：热点专题7第54讲电磁感应中的“杆+轨”模型

第54讲电磁感应中的“杆＋轨”模型

热点概述电磁感应“杆轨模型”中的杆有“单杆”和“双杆”等，有的回路中还接有电容器；电磁感应“杆轨模型”中的轨有“直轨”和“折轨”等，导轨有竖直的，也有水平的，还有放在斜面上的等各种情况。分析这类问题重在结合电动势的变化情况分析清楚其中的动力学过程，处理问题时经常涉及电磁学和动力学、能量、动量中的几乎所有规律，综合性较强。

热点一单杆模型

单杆模型的常见情况

v0≠0v0＝0

示意图

质量为m，电阻不计

的单杆ab以一定初速

度v0在光滑水平轨道

上滑动，两平行导轨

间距为L

轨道水平光

滑，单杆ab质

量为m，电阻

不计，两平行

导轨间距为L

轨道水平光

滑，单杆ab质

量为m，电阻

不计，两平行

导轨间距为L，

拉力F恒定

轨道水平光

滑，单杆ab质

量为m，电阻

不计，两平行

导轨间距为L，

拉力F恒定力学观

点

导体杆以速度v切割

磁感线产生感应电动

势E＝BL v，电流I＝E

R

S闭合，ab杆

受安培力F＝

BLE

r

，此时a＝

开始时a＝F

m

，

杆ab速度v

⇒感应电动势

开始时a＝F

m

，

杆ab速度v

⇒感应电动势

＝BL v

R

，安培力F＝

BIL＝B2L2v

R

，做减速

运动：v⇒F⇒a，当v＝0时，F＝0，a ＝0，杆保持静止BLE

mr

，杆ab速

度v⇒感应

电动势BL v

⇒I⇒安培力

F＝BIL⇒加

速度a，当E

感

＝E时，v最

大，且v m＝E

BL

E＝BL v⇒

I⇒安培力F

安

＝BIL，由

F－F安＝ma知

a，当a＝0

时，v最大，v m

＝FR

B2L2

E＝BL v，经

过Δt速度为v

＋Δv，此时感

应电动势E′

＝BL(v＋Δv)，

Δt时间内流入

电容器的电荷

量Δq＝CΔU

＝C(E′－E)

＝CBLΔv

电流I＝Δq

Δt

＝

CBL

Δv

Δt

＝

CBLa

安培力F安＝

BLI＝CB2L2a

F－F安＝ma，a

＝F

m＋B2L2C

，

所以杆以恒定

的加速度匀加

速运动

图象观点

能量观点动能全部转化为内

能：Q＝1

2m v

2

电源输出的电

能转化为动能

F做的功一部

分转化为杆的

F做的功一部

分转化为动

W

电

＝1

2m v

2

m

动能，一部分

产生电热：W F

＝Q＋1

2m v

2

m

能，一部分转

化为电场能：

W F＝

1

2m v

2

＋

E C

注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。

[例1]图甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。甲图中的电容器C原来不带电，所有导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，导体棒ab的质量为m。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，导轨足够长，间距为L。今给导体棒ab一个向右的初速度v0，则()

A．三种情况下，导体棒ab最终都静止

B．三种情况下，导体棒ab最终都做匀速运动

C．图甲、丙中ab棒最终都向右做匀速运动

D．图乙中，流过电阻R的总电荷量为

m v0

BL

解析图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab 棒不受安培力，向右做匀速运动。图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，ab棒速度减小，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒静止。图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向左做匀速运动，A、B、C错误；图乙中根

据动量定理－BILΔt＝0－m v0，流过电阻R的总电荷量为q＝IΔt＝m v0

BL

，D正确。

答案 D

(1)除了核心综述中的常见情况外，基于这些常见情况的变形，要综合分析杆的受力和运动过程，找出最后的稳定状态。

(2)电磁感应涉及通过某段电路的电量时可考虑用动量定理或q＝nΔΦ

R总

来处理。

[例2](2019·衡阳模拟)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨CD、EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为θ＝30°，两导轨间距为L，导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值R＝2r的电阻。一根质量为m，电阻为r的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间、另一端跨过定滑轮与质量M＝4m的重物相连。金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨电阻不计，初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸长状态，由静止释放重物，求：(重力加速度大小为g，不计滑轮阻力)

(1)若S1闭合、S2断开，重物的最大速度。

(2)若S1和S2均闭合，电容器的最大带电量。

(3)若S1断开、S2闭合，重物的速度v随时间t变化的关系式。

解析(1)S1闭合、S2断开时，M由静止释放后拉动金属棒沿导轨向上做加速运动，金属棒受到沿导轨向下的安培力及重力的分力作用，设最大速度为v m，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E＝BL v m

根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流