现代测量平差原理及其模型误差分析

1、测量平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的
数学函数关系的模型，是确定客观实际的本 质或特征的模型。
随机模型是描述平差问题中的随机量
（如观测量）及其相互间统计相关性质的模 型。
经典平差模型
n1
L AX
nu u 1
2 0 2 0
n1
1
D Q P
R（A）=U
T
R（Q）=n
y , m u u y ,
2
)
P P P
R R R F F F
广义测量平差原理
L AX GY LX X X
2 1 D 0 P
(LX X ) 2 1 D( x ) 0 PX D( x ) 0 (E() 0)
T V T PV VX PX VX min
ˆ X APL X
具有奇异协方差的平差模型
R（Q）=g<n
V T PV min
R(A)=u X非随机
P Q-
V T Q V min
ˆ N 1 AT P X (N A T Q - A或N A T Q A) 1 QX ˆX ˆ N ˆ V AX T T V Q V V Q V 2 ˆ0 g u R ( n) u 2 DX ˆ 0 QX ˆX ˆ
1
QX X N
1
ˆ X ˆ X ˆ Y
2 0
A T P A PX A T P G P N P T T G P G G P A
T V T PV VX PX V X ˆ nu
L L PX L X
2、广义高斯—马尔柯夫模型，最小二乘统一理论
L AX
n1 u1
D Q
2 0
R（A）=t
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R(D)=g
n≥g>t
u≥t
X非随机
最小二乘统一理论
Rao在文中提出的最小二小乘准则是
V (Q AUA ) V min
T T

陶本藻、刘大杰[5]（[5]1990）从奇异正态分布的密度函数
T

V PV ˆ f
2 0
T
3、平差系统的模型误差
模型误差分为函数模型误差和随机模型误差两类 最小二乘平差参数X的估值具有最优无偏性，单位 权方差的估值具有无偏性和渐进最优性。这些 良好的统计性质都是基于模型误差不显著的情 况。
但在实际平差系统中，由于种种原因的建模近似， 例如非线性观测方程的线性化；未顾及或近似 考虑某种系统误差影响；观测值的先验协方差 阵不尽合理等原因都会造成函数模型和随机模 型产生误差。模型近似在回归拟合模型中则更 为突出。
2

2
当参数个数选得不足时，所估参数有偏，单位 权方差有偏，而且偏大。
2）随机模型不完善参数估计性质 • 随机模型不完善可归结为定权不正确。 权的正确值应为p，现定权为q
X q ( AT qA) 1 AT q E( X q ) X
2 D( X q ) 0 ( AT qA) 1 AT qP1q( AT qA) 1
配置（似合推估）模型
L A X GY
n1 m1 u1
n1
E () o E( X ) X D X o
2 2 1 D X 0 Q XX 0 PX T D L ADX A D
2 2 1 D 0 Q 0 P
现代测绘学：研究地球和其他实体的与 地理空间分布有关的信息的采集、量测、 分析、显示、管理和利用的科学和技术
空间信息技术：以“3S”为主要内容、 计算机、通讯为主要技术支撑。
• 空间信息特点：多维、多源、多尺度、 多分辨率、多时态。 • 数据特性：不确定性、随机性、模糊性。 • 核心技术：以误差理论与测量平差为核 心的数据处理技术。以“3S”及其集成为 核心的数据采集技术。
秩亏自由网平差
R（A）=t<u
T
d=u-t
R(Q)=n
T
X非随机
V PV min
X X min
ˆ N - AT P X Q N ˆX ˆ m X ˆ V AX T T V PV V PV 2 2 ˆ0 DX Q ˆ ˆX ˆ 0 X n R( A) nt
f (l , x) (2 )
T

g 2
(1 , 2 g )

1 2
1 T exp (l l ) D (l l ) 2
V D V min
ˆ ( AT Q A) AT Q L X U U QU Q AUAT
V Q V min
D( X q ) D( X )
v T qv 2 E ( 0 ) E ( ) 0 fq
2
3)随机模型误差对函数模型的影响
函数模型
L AX GY
R F uy ~ F(u
H 0 : E(Y ) 0; H1 : E(Y ) Y
(n u u y )
X为非随机参数
T ˆ ˆ L) min V PV ( AX L) P( AX
经典平差公式
ˆ ( AT PA) 1 AT P N 1 AT P X ˆ ( L - AXo ) V AX ˆ LV L 1 QX ˆX ˆ N T V PV 2 ˆ 0 nu 2 D Xˆ 0 Q XˆXˆ
4、模型误差若干理论问题
1）函数模型不完善参数估计性质
函数模型不完善或者说存在函数模型误差，可理 解为所建模型的参数个数过多或不足。当参数 个数选得过多时 ) t (D ) t r (DX r XX yXy
L AX GY
E( X y ) X
E( 0 ) 0