2017版高考(理科)一轮复习：考点强化课1 (9)

基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二
平面向量的线性运算
【例 2】 (1) (2016· 济南一中模拟)在△ABC 中， AB 边的 → → 高为 CD， 若CB＝a， CA＝b， a· b＝0， |a|＝1， |b|＝2， → 则AD＝( 1 1 A.3a－3b 3 3 C. a－ b 5 5 ) 2 2 B.3a－3b 4 4 D. a－ b 5 5
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线. 其中错误命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析
①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终
点.②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能 比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小. ③错误.当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. ④错误 . 当 λ ＝ μ ＝ 0 时， λ a ＝ μb ，此时， a 与 b 可以是任 意向量. 答案 C
→ → → → OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
答案 b－a －a－b
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考点一
平面向量的有关概念
【例 1】 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； → → ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四 边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是( A.②③ B.②④ ) C.③④
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考点突破
课堂总结
a b 2.设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成 |a| |b| 立的充分条件是( A.a＝－b ) B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b 且|a|＝|b| a b 解析 表示与 a 同向的单位向量， 表示与 b 同向的 |a| |b|
a b 单位向量，只要 a 与 b 同向，就有 ＝ ，观察选项易 |a| |b| 知 C 满足题意.
1→ 1→ 4 → 3AB＝－3AB＋3AC.
答案 AM 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边 → → → → 形 ABCD 所在平面内任意一点， 则OA＋OB＋OC＋OD等 于( → A.OM ) → B.2OM → C.3OM → D.4OM
解析
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考点突破
课堂总结
规律方法
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，
但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向
量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a，b
共线是指存在不全为零的实数 λ 1 ， λ 2 ，使 λ1a ＋ λ2b ＝ 0 成立.
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课堂总结
→ → 【训练 3】 (1)已知向量 i 与 j 不共线， 且AB＝i＋mj， AD＝ ni＋j.若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 应该满足的 条件是( A.m＋n＝1 ) B.m＋n＝－1 C.mn＝1 D.mn＝－1
答案 (1)D (2)2
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考点突破
课堂总结
考点三
共线向量定理的应用
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB＝a＋b， BC＝2a＋8b， CD＝3(a－b).求证： A， B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
(1)证明 → → → ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b).
③正确.∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝c， ∴b，c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向 相同，故 a＝c. ④不正确.当 b＝0 时，a，c 可能不平行.综上所述，正确命题 的序号是②③.
答案 A
基础诊断 考点突破 课堂总结
规律方法
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有
传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向 量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不 a 要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量 a 与 的关 |a| a 系： 是与 a 同方向的单位向量. |a|
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练1】 给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
(2)(2015· 南京模拟)如图， 经过△OAB 的重心 G → 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP＝ 1 1 → → → mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，则n＋m的值为 ________.
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课堂总结
→ → 解析 (1)由 A，B，D 共线可设AB＝λAD，于是有 i＋mj＝ λ(ni＋j)＝λni＋λj.又 i，j
2 5 (1)∵a· b＝0，∴∠ACB＝90° ，∴AB＝ 5，CD＝ ， 5
5 4 5 ∴BD＝ 5 ，AD＝ 5 ，∴AD∶BD＝4∶1. 4 → 4→ 4 → → 4 ∴AD＝5AB＝5(CB－CA)＝5a－5b.
基础诊断 考点突破 课堂总结
→ → → (2)在△CEF 中，有EF＝EC＋CF. → 1→ 因为点 E 为 DC 的中点，所以EC＝2DC. → 2→ 因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以CF＝ CB. 3 → 1 → 2→ 1→ 2 → 1→ 2 → 所以EF＝2DC＋3CB＝2AB＋3DA＝2AB－3AD，故选 D.
运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： a＋b＝ b＋a . (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)
加法
求两个向量和
的运算
基础诊断
考点突破
课堂总结
求a与b的相
减法 反向量－b的 和的运算叫 做a与b的差 (1)|λa|＝ |λ||a| ；(2)当λ＞ λ(μa)＝ λμa ； 求实数λ与向 0时，λa的方向与a的方 数乘 量a的积的运 向 相同 ；当λ＜0时，λa 算 a－b＝ a＋(－b)
基础诊断
考点突破
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(2)如图， 正方形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， → 点 F 是 BC 的一个三等分点， 那么EF等于( 1→ 1 → A.2AB－3AD 1→ 1 → C. AB＋ DA 3 2
解析
)
1→ 1 → B.4AB＋2AD 1→ 2 → D. AB－ AD 2 3
基础诊断
D.②③④
考点突破 课堂总结
解析 相同.
①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定
→ → → → → → ②正确.∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若 → → → → → → 四边形 ABCD 为平行四边形， 则|AB|＝|DC|， AB∥DC且AB， DC → → 方向相同，因此AB＝DC.
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析
→ → → → 1→ → → 1→ (1)∵AD＝AB＋BD＝AB＋3BC，∴2AO＝AB＋3BC，
1→ 1→ 1 1 2 → 即AO＝ AB＋ BC.故 λ＋μ＝ ＋ ＝ . 2 6 2 6 3 → ＋AD → ＝AC → ＝2AO →， (2)因为 ABCD 为平行四边形，所以AB → ＋AD → ＝λAO → ，故 λ＝2. 已知AB
第 1讲
平面向量的概念及线性运算
基础诊断
考点突破
课堂总结
最新考纲
1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念
和两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示；4.掌握向 量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘 的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向
量线性运算的性质及其几何意义.
基础诊断
考点突破
课堂总结
知识梳理 1.向量的有关概念
名称 向量 定义 备注
既有大小又有方向的 平面向量是自由 量；向量的大小叫做向 向量 量的长度(或称模) 记作 0 非零向量 a 的单位 a 向量为± |a|
长度为零的向量；其方 零向量 向是任意的 单位向 长度等于 1 个单位的 量 向量
基础诊断
(λ＋μ)a＝ λa＋μa ；
的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝
当λ＝0时，λa＝ 0
基础诊断
λa＋λb
考点突破 课堂总结
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使 得 b＝λa .
基础诊断
考点突破
课堂总结
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( √ ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( × ) → → (3)向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点在 一条直线上.( × ) (4)若 a∥b，则∃λ ∈R 使 b＝λa.( × ) → 1 → → (5)在△ABC 中， D 是 BC 中点， 则AD＝2(AC＋AB).( √ )
→ → → → → → → → OA ＋OB ＋OC ＋ OD ＝ ( OA ＋OC ) ＋( OB ＋ OD ) ＝
→ → → 2OM＋2OM＝4OM.故选 D.
答案 D
基础诊断
考点突破
课堂总结
5.(人教 A 必修 4P92A12 改编)已知▱ABCD 的对角线 → → → AC 和 BD 相交于 O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝ → ______，BC＝________(用 a，b 表示). → → → → → 解析 如图， DC＝AB＝OB－OA＝b－a， BC＝
考点突破
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平行向量
方向 相同 或 相反 的非零
向量