第9章伺服系统设计

A=[0 1
0;0
0 1;-160
-56
-14];
B=[0;0;160]; C=[1 0 D=[0]; 0];
% ***** Enter step command and plot command *****
t=0:0.01:5; y=step(A,B,C,D,1,t); plot(t,y) grid title(‘Unit-Step Response’) xlabel(‘t Sec’)
显然， x1 () y () r 。在阶跃响应中没有稳态误差。 注意，由于
u () Kx() k1 r () Kx() k1 r
所以
x1 () u () [160 54 11] x 2 () 160r x 3 ( ) r [160 54 11] 0 160r 0 160r 160r 0 即在稳态时，控制输入 u 为零。
5.7 伺服系统设计
在经典控制理论中，我们通常按前馈传递函数中的积分 器数目来划分系统的类型，如 0 型系统、I 型系统等。I 型 系统在前馈通道中有一个积分器，且此系统的阶跃响应不存 在稳态误差。本节将讨论 I 型伺服系统的极点配置方法，此 时， 将假定系统只有一个纯量控制输入 u 和一个纯量输出 y， 即仅考虑单输入单输出线性定常系统。 所谓伺服系统是用来控制被控对象的某种状态，使其能 自动地、连续地、精确地复现输入信号地变化规律，通常是 闭环控制系统。 下面首先讨论针对 I 型被控对象(被控对象含积分器)的 I 型闭环伺服系统的设计问题，然后讨论针对 0 型被控对象 (被控对象不含积分器)的 I 型闭环伺服系统的设计问题。
因此
* * a1* 14, a 2 56, a3 160
为了利用极点配置方法来确定矩阵 K，采用式（5.13） ， 将其重写为
* * K [ a3 a3 a 2 a 2 a1* a1 ]P 1
(5.102)
由于式（5.96）已是能控标准形，所以 P = I。因此
Ax Bu ( A BK ) x Bk r x 1
(5.92)
设计 I 型闭环伺服系统，使得闭环极点配置在期望的位 置。这里设计的将是一个渐近稳定系统，y( )趋于常值 r(r 为阶跃输入)，u( )趋于零。 在稳态时，
() ( A BK ) x() Bk1 r () x
u ( k 2 x 2 k 3 x3 ) k1 ( r x1 ) Kx k1 r 式中 K [k1 k2 k3 ] (5.98)
此时，就可用极点配置方法确定状态反馈增益矩阵 K。 现检验系统的能控性矩性。由于
0 1 0 Q [ B AB A 2 B ] 0 1 3 1 3 7 的秩为 3。因此，该系统是状态完全能控的，并且可任意配
从式（5.99）减去式（5.100） ，可得
(5.100)
(t ) x () ( A BK )[ x(t ) x()] x
定义
x(t ) x() e(t )
那么
(t ) ( A BK )e(t ) e
(5.101)
式（5.101）确定了误差的动态特性。给定被控系统的特征 方程为
x1 x k kn ] 2 k (r x ) 3 1 1 xn
(5.91)
Kx k r 1
式中
K [k k kn ] 1 2
假设在 t = 0 时施加参考输入（阶跃函数） 。因此 t > 0 时，该系统的动态特性由式（5.89）和（5.91）描述，即
K。 x(t)和 u(t)的稳态值求法如下：在稳态（ t ）时，由
式（5.92）可得
() 0 ( A BK ) x() Bk1 r x
由于 A-BK 的期望特征值均在 s 的左半平面，所以矩阵
A-BK 的逆存在。从而，x( )可确定为
x() ( A BK ) 1 Bk1 r
( A BK )e e
式（5.95）描述了误差动态特征。
(5.95)
因此，I 型闭环伺服系统的设计转化为：对于给定的任意 初始条件 e(0),设计一个渐近稳定的调节器系统，使得 e(t） 趋于零。如果由式（5.89）确定的系统是状态完全能控的， 则对矩阵 A-BK，通过指定的期望特征值μ1，μ2，…,μn， 可由 5.2 节介绍过的极点配置方法来确定线性反馈增益矩阵
(5.93)
注意，r（t）是阶跃输入。对 t > 0，有 r( )=r(t)=r(常 值)。用式（5.92）减去（5.93） ，可得
(t ) x () ( A BK )[ x(t ) x()] x
定义
(5.94)
x(t ) x() e(t )
因此，式（5.94）成为
Y ( s) 1 U ( s) s ( s 1)( s 2) 试设计一个 I 型闭环伺服系统，使得闭环极点为
2 j 2 3和 - 10 。假设该系统的结构与图 5.9 所示相同，参
考输入 r 是阶跃函数。 [解] 定义状态变量 x1,x2 和 x3 为
1 ， x3 x 2 x1 y ， x2 x
所以期望的特征方程为
( s 1 )( s 2 )( s 3 ) ( s 2 j 2 3 )( s 2 j 2 3 )( s 10) s 3 14s 2 56 s 160
* * s 3 a1* s 2 a 2 s a3 0
-----------------------------------------------------------------------------
5.7.2 被控系统中不含积分器时的 I 型闭环伺服系统的设计 如果被控系统中没有积分器（0 型被控系统） ，则设计 I 型闭环伺服系统的基本原则是在误差比较器和系统间的前 馈通道中插入一个积分器， 如图 5.11 所示 （当不含积分器时， 图 5.11 所示方块图是 I 型闭环伺服系统的基本形式） 。
( A BK ) x() Bk1 r

MATLAB Program 5.9
% ------ Unit-step response ------
% ***** Enter the state matrix A,control matrix B, output matrix C， % and direct transmission matrix D *****
ylabel(‘Output y’)
图 5.10
例 5.7 设计的系统之 y(t)对 t 的单位阶跃响应曲线
由于
0 ( A BK ) 1 0 160
所以
1 0
0 1 56 14
1
2 1 7 20 80 160 1 0 0 0 1 0
(5.103)
(5.104)
当 r 为单位阶跃函数时，求解式（5.103）和（5.104） ， 即可得到 y(t) 对 t 的单位阶跃响应曲线。利用 MATLAB Program 5.9，将可轻松地求出单位阶跃响应。相应的单位阶 跃响应曲线如图 5.10 所示。
() 0 ，因此由式（5.100） 注意到 x ，可得
0 0 1 56 14 1
由式（5.99） ，可得此闭环反馈系统的状态方程为
1 0 x x 2 0 3 160 x
输出方程为
0 x1 0 0 1 x 2 0 r 56 14 160 x3 1 x1 y [1 0 0] x 2 x3
5.7.1 被控系统具有积分器的 I 型闭环伺服系统 考虑由下式定义的线性定常系统 Ax Bu x y Cx (5.89) (5.90)
式中， x R n , u R1, y R1, A R nn , B R n1, C R1n 。 如前所述，假设控制输入 u 和系统输出 y 均为纯量。选择 一组适当的状态变量，例如可以选择输出量等于其中的一个
由图中可得 Ax Bu x y Cx (5.105) (5.106) (5.107) (5.108)
u Kx k I
r y r Cx 式中，
x R n , u R 1 , y R 1 , R 1 , r R 1 , A R nn , B R n1 , C R 1n 。
则该被控系统的状态空间表达式为 Ax Bu x y Cx 式中 (5.96) (5.97)
1 0 0 0 , B 0, C [1 0 0] A 0 0 1 2 3 0 1 参见图 5.9 并注意到 n = 3，则控制输入 u 为
s sI A 0 0 s 3 3s 2 2 s
1 s 2
0 1 s3
s 3 a1 s 2 a2 s 0
因此 a1 3, a 2 2, a3 0 由于 A-BK 的期望特征值为
1 1 j 2 3, 2 2 j 2 3, 3 10
置极点。 将式（5.98）代入式（5.96） ，可得
Ax B ( Kx k1 r ) ( A BK ) x Bk1 r x
(5.99)
式中的 r 为阶跃函数。因此，当 t 趋于无穷时，x(t)趋于定 常向量 x( )。在稳态时，
() ( A BK ) x() Bk1 r x
* * K [ a3 a3 a 2 a 2 a1* a1 ]P 1
[160 056 214 3 ]I [160 54 11]