课时作业11：§2 数学证明

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课时作业2：二用数学归纳法证明不等式

二用数学归纳法证明不等式一、选择题1.设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k 2成立时,总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立.那么下列命题总成立的是( )A.若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B.若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C.若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D.若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立2.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程,由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A.1项B.k 项C.2k －1项D.2k 项3.若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >m 24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A.12B.13C.14D.不存在4.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1、12k ＋2C.增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D.以上各种情况均不对二、填空题5.用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________.6.在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立.猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，类似成立的不等式为________.三、解答题7.试证明1＋12＋13＋…＋1n <2n (n ∈N *).8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2).(1)判断{1S n}是否为等差数列，并证明你的结论； (2)证明S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. 9.已知函数f (x )＝13x 3-x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，证明：a n ≥2n －1(n ∈N *).10. 已知f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n ，对于n ∈N ＋，试比较f (2)与n 2－1n 2＋1的大小并说明理由.参考答案一、选择题1.【解析】根据题中条件可知：由f (k )≥k 2，必能推得f (k ＋1)≥(k ＋1)2，但反之不成立，因为D 中f (4)＝25＞42故可推得k ≥4时，f (k )≥k 2，故只有D 正确.【答案】D2.【解析】1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1－1， ∴共增加2k 项.【答案】D3.【解析】令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，易知f (n )是单调递增的. ∴f (n )的最小值为f (2)＝13＋14＝712.依题意712>m 24，∴m <14.因此取m ＝13. 【答案】B4.【解析】∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1. 【答案】C二、填空题5.【解析】当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.【答案】21＋1≥12＋1＋26.【解析】由题中已知不等式可猜想：1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N ＋). 【答案】1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N ＋) 三、解答题7.【证明】 (1)当n ＝1时，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k <2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1< k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1. 这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知不等式对n ∈N *成立.8.【解】(1)S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，即S n －S n －1＝－2S n S n －1.∴1S n －1S n －1＝2. 故{1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列. (2)证明：①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，不等式成立. ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，不等式成立，即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k成立，则当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋14(k ＋1)2＝12－14[1k－1k ＋12]＝12－14·k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<12－14·k 2＋k k (k ＋1)2＝12－14(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，不等式成立.由①，②可知对任意n ∈N *不等式成立.9.【证明】由f (x )＝13x 3－x ，得f ′(x )＝x 2－1. 因此a n ＋1≥f ′(a n ＋1)＝(a n ＋1)2－1＝a n (a n ＋2)(1)当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥2k －1当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)＝22k －1. 又k ≥1，∴22k ≥2k ＋1，∴n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2k ＋1－1，即不等式成立. 根据(1)和(2)知，对∀n ∈N *，a n ≥2n －1成立.10.【解】据题意f (x )＝x n －x －n x n ＋x －n ＝x 2n －1x 2n ＋1＝1－2x 2n ＋1，∴f (2)＝1－22n ＋1，又n 2－1n 2＋1＝1－2n 2＋1，∴要比较f (2)与n 2－1n 2＋1的大小，只需比较2n 与n 2的大小即可，当n ＝1时，21＝2＞12＝1，当n ＝2时，22＝4＝22，当n ＝3时，23＝8＜32＝9，当n ＝4时，24＝16＝42，当n ＝5时，25＝32＞52＝25，当n ＝6时，26＝64＞62＝36.故猜测当n ≥5(n ∈N ＋)时，2n ＞n 2，下面用数学归纳法加以证明.(1)当n ＝5时，不等式显然成立.(2)假设n ＝k (k ≥5且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＞k 2，则当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k ＞2·k 2＝k 2＋k 2＋2k ＋1－2k －1＝(k ＋1)2＋(k －1)2－2＞(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n ≥5，n ∈N ＋，2n ＞n 2成立.综上所述，当n ＝1或n ≥5时，f (2)＞n 2－1n 2＋1. 当n ＝2或n ＝4时，f (2)＝n 2－1n 2＋1，当n ＝3时，f (2)＜n 2－1n 2＋1.。

八年级数学苏科版下册课件：11.2证明(2)

• 证明：由∠1=∠2 （已知），
• 根据：内错角相等，两直线平行.
• 得AB∥EF.
B
• 又由∠1=∠B（已知）.
• 根据：同位角相等，两直线平行
• 得 DE ∥ BC .
A D1 E
2
F
C
如图，已知：∠1+∠2=180°，求证：AB∥CD.
• 证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
• ∠1=∠3（对顶角相等）.
E
F
• 得：AD∥ EF .
B
C
• 由：∠ADC+∠DCB=180°（已知）.
根据：同旁内角互补，两直线平行.
• 得：AD∥ BC .
• 再根据：平行于同一直线的两条直线互相平.行
• 得：EF∥BC
如图，已知：∠2=∠3，∠1+∠3=180°，求证：EF∥GH.
• 证明：由：∠2=∠3 （已知）
1
• 又由：∠2=∠1（已知）根据：等量代换
2
3
.
B
C
• 得：∠3= ∠1 . 根据：内错角相等，两直线平行. 得： AD ∥ BC .
如图，已知：AB∥CD，AE∥BD，试说明∠ABD=∠E.
• 证明：由 AB∥C（D 已知），
根据：两直线平行，内错角相等
得：∠ABD= ∠ BDC.
A
B
由AE∥BD（已知）.
请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.
回顾反思
证明------用推理的方法证实真命题的过程.
推理------
因为A
所以B (事实依据) 定义
基本事实(原本) 事实依据------ 定理
等式或不等式的性质

2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第十一章第二节证明不等式的基本方法

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课时提升作业(七十四)一、选择题1.设a>b,a+b>0，则下列不等式中不一定成立的是( ) (A)a 2>ab>-a 2(B)2a b >2a-b(C)a 2>b 2(D)2b a>2b-a2.(2013·孝感模拟)已知a,b,m 是正实数，则不等式b m ba m a+<+ ( ) (A)当a>b 时成立 (B)当a<b 时成立 (C)是否成立与m 有关 (D)一定成立 3.设实数a,b,c 满足:a+b+c=0且abc ≠0，则必有( ) (A)abc>0(B)13(a+b+c)(C)ab+bc+ac<0 (D)a 3+b 3+c 3>abc4.若x 2+xy+y 2=1,且x,y ∈R,则n=x 2+y 2的取值范围是( ) (A)0＜n ≤1 (B)2≤n ≤3 (C)n ≥2 (D)23≤n ≤25.已知a,b 为正实数，x y =则有( ) (A)x<y (B)x ≤y (C)x ≥y (D)x>y6.已知a ＞0，b ＞0，m n p===则m ，n ，p 的大小顺序是 ( )(A)m ≥n ＞p (B)m ＞n ≥p (C)n ＞m ＞p (D)n ≥m ＞p 7.x y zP x 1y 1z 1=+++++(x>0,y>0,z>0)与3的大小关系是( ) (A)P ≥3 (B)P=3 (C)P<3 (D)P>38.(2013·武汉模拟)设a,b,c 为正实数，且a+b+c=1，若111M (1)(1)(1)abc=---，则必有( )(A)0≤M<18(B)18≤M<1 (C)1≤M<8 (D)M ≥89.已知函数f(x)=-2x+1，对于任意正数ε，使得|f(x 1)-f(x 2)|<ε成立的一个充分但不必要条件是( )(A)|x 1-x 2|<ε (B)|x 1-x 2|<2ε (C)|x 1-x 2|<4ε (D)|x 1-x 2|>4ε10.设a,b 是正实数，以下不等式: 2ab;a b>+②a>|a-b|-b;③a 2+b 2>4ab-3b 2; ④ab+2ab>2.其中恒成立的序号为( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 11.设a,b,c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+3)2＞2a 2+6a+11 (B)221a a +≥1a a+(C)|a-b|+1≥2-a b二、填空题12.设x=a2b2+5，y=2ab-a2-4a，若x>y，则实数a,b应满足的条件为________.13.若{a n}是各项都为正的等比数列，且公比q≠1,则a1+a4与a2+a3的大小关系是________.14.已知a,b,c为正实数，则111+++的大小关系是________.a b c15.已知α，β是实数，给出下列四个论断:①|α+β|=|α|+|β|;②|α-β|≤|α+β|;③|α|>|β|>④|α+β|>5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.三、解答题16．(2013·荆州模拟)(1)设x是正实数，求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.(2)若x∈R，不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值.答案解析1.【解析】选B.由条件a>b,a+b>0可知，b 的符号不确定，故不等式2a b>2a-b不一定成立. 2.【解析】选B.≧b m b ,a m a +<+≨b m b0,a m a+-<+ 即(a b)m0,a(a m)-<+≧a>0,b>0,m>0,≨a-b<0,即a<b,故选B.3.【解析】选C.≧a+b+c=0,≨(a+b+c)2=0, 即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=0, ≨ab+bc+ac=2221(a b c ).2-++≧abc ≠0,≨a 2+b 2+c 2>0,≨ab+bc+ac<0.【变式备选】已知x>y>z,且x+y+z=0，则下列不等式恒成立的是( ) (A)xy>yz (B)xz>yz (C)xy>xz (D)x|y|>z|y|【解析】选C.由x+y+z=0，且x>y>z 得x>0,z<0,而y>0,y=0，y<0均有可能.若y=0,A,D 错误.又x>y,z<0，所以xz<yz,因此B 错误，同理C 正确.4.【思路点拨】可利用22x y xy 2+≤建立关于n 的不等式,同时要注意隐含条件(x+y)2≥0.【解析】选D.≧x 2+y 2≥2xy, ≨1=x 2+y 2+xy ≤223x y 2+()，即n ≥2.3又≧(x+y)2=x 2+y 2+2xy=n+2(1-n)≥0，≨n ≤2,≨23≤n ≤2.5.【思路点拨】化简y 6-x 6，配方后判断符号得出答案.【解析】选A.≧y 6-x 6=66-=(a 2+b 2)3-(a 3+b 3)2 =a 6+3a 4b 2+3a 2b 4+b 6-a 6-2a 3b 3-b 6=3a 2b 2(a-b)2+4a 3b 3>0，6.【解析】选A.由已知，m n==得a=b ＞0时m=n ，可否定B ，C.比较A ，D 项，不必论证m,n 与p 的关系.取特值a=4，b=1，则19m 422=+=， n=2+1=3，≨m ＞n ，可排除D. 7.【解析】选C.≧x>0,y>0,z>0, ≨x y z x 1y 1z 1P 3.x 1y 1z 1x 1y 1z 1+++=++<++=++++++故选C. 8.【解析】选D.由已知得a b c a b c a b c M (1)(1)(1)a b c ++++++=-⋅-⋅-=(b c)(a c)(a b)abc+++≥abc=8.【变式备选】已知a ，b ∈(0,+≦)，且a+b=1，求证:(1)111a bab ++≥8. (2)a 2+b 2≥1.2(3)2211a b+≥8.(4)2211(a )(b )a b +++≥25.2(5)11(a )(b )a b ++≥25.4【思路点拨】以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab 或1ab，因此只要利用a+b=1得出ab 及1ab的范围，就能够证出以上六个不等式.【证明】由a b2a b1a,b(0,)+⎧≥⎪⎪+=⎨⎪∈+∞⎪⎩，，12≤⇒ab≤14⇒1ab≥4.(1)≧111111(a b)()a b ab a b ab++=+++≥≨111a b ab++≥8.(2)≧a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1112,42-⨯=≨a2+b2≥1.2(3)≧2211a b+≥2ab≥8,≨2211a b+≥8.(4)由(2)、(3)的结论，知2222221111(a)(b)a b4a b a b+++=++++≥12548,22++=≨2211(a)(b)a b+++≥25.2(5)方法一:欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,即证4(ab)2-33ab+8≥0，即证ab≤14或ab≥8. ≧a>0,b>0,a+b=1,≨ab≥8不可能成立.≧1=a+b≥≨ab≤14，从而得证.方法二:≧a+b=1,a>0,b>0,≨a+b≥≨ab≤1,4221125a1b125(a)(b)a b4a b4++++-=⋅-=224a b33ab8(14ab)(8ab)4ab4ab-+--=≥0.≨11(a )(b )a b ++≥25.4方法三:≧a+b=1,a>0,b>0,≨a+b≥≨ab ≤1,4≨1-ab ≥13144-=⇒(1-ab)2≥916⇒ 225(1ab)1,1614,ab⎧-+≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩⇒2(1ab)1ab -+≥25,4 即11(a )(b )a b ++≥25.4(6)方法一:≧x>0,y>0,≨x+y≥≨2(x+y)≥(x+y)+2=由此得=方法二:≤即证28,≤即证2(a+b)+2+8, ≧a+b=1≤2, 2,只需证ab ≤1,4而a>0,b>0,1=a+b ≥≨ab ≤14显然成立，故原不等式成立.9.【解析】选C.由|f(x 1)-f(x 2)|=|(-2x 1+1)-(-2x 2+1)|=2|x 1-x 2|<ε知|x 1-x 2|<,2ε≨选项A 是必要但不充分条件，选项B 是充要条件，选项C 是充分但不必要条件，选项D 是既不充分也不必要条件.10.【解析】选D.≧a>0,b>0,≨a+b ≥≨2aba b ≤=+故不等式①缺等号，不恒成立，因此排除选项A ，B ，又≧(a 2+b 2)-(4ab-3b 2)=a 2-4ab+4b 2=(a-2b)2≥0,故不等式③也缺等号，也不恒成立，因此又排除选项C ，故选D.11.【解析】选C.(a+3)2-(2a 2+6a+11)=-a 2-2＜0，故A 不成立;在B 项中不等式的两侧同时乘以a 2,得a 4+1≥a 3+a ⇐(a 4-a 3)+(1-a)≥0⇐a 3(a-1)-(a-1)≥0⇐(a-1)2(a 2+a+1)≥0，所以B 项中的不等式恒成立; 对C 项中的不等式，当a ＞b 时，恒成立，当a ＜b 时，不成立;,知D 项中的不等式恒成立.故选C.12.【解析】若x>y,则x-y=a 2b 2+5-(2ab-a 2-4a) =a 2b 2-2ab+a 2+4a+5=(ab-1)2+(a+2)2>0, ≨ab ≠1或a ≠-2. 答案:ab ≠1或a ≠-2 【方法技巧】1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论. (2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时，常用作商比较法. (3)利用作商比较法时，要注意分母的符号. 13.【解析】(a 1+a 4)-(a 2+a 3) =a 1+a 1q 3-a 1q-a 1q 2=a 1(1+q)(1-q)2, ≧a n >0,≨q>0,又q ≠1,≨a 1(1+q)(1-q)2>0,即a 1+a 4>a 2+a 3. 答案:a 1+a 4>a 2+a 314.【解析】因为11ab+≥11b c +≥11a c +≥ 三式相加可得111a b c+++ 答案: 111abc++15.【解析】①③成立时，|α+β|=|α|+|β|>≨④成立.又由①，知αβ>0,≨|α-β|≤|α+β|成立，即②成立，同理②③⇒①④.答案:①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可) 16．【解析】(1)因为x 是正数，由基本不等式知，x+1≥1+x 2≥2x,x 3+1≥故(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥2x ⋅=8x 3(当x=1时等号成立).(2)若x ∈R,不等式(x+1)(x 2+1)(x 3+1)≥8x 3仍然成立. 由(1)知，当x>0时，不等式成立;当x ≤0时，8x 3≤0. 而23(x 1)(x 1)(x 1)+++ =(x+1)2(x 2+1)(x 2-x+1)=(x+1)2(x 2+1)［213(x )24-+］≥0, 此时不等式仍然成立.【方法技巧】不等式证明的方法与技巧(1)不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式最基本的方法.①比较法证不等式有作差(商)、变形、判号、结论四个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.②综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.(2)不等式证明还有一些常用的技巧:拆项、添项、逆代、换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中提取.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.(3)证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，圆学子梦想铸金字品牌要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.在证明的过程中要正确运用不等式的有关性质及重要的结论.关闭Word文档返回原板块。

人教版2021年八年级数学上册课时作业本全等三角形-证明题专练(含答案)

人教版2021年八年级数学上册课时作业本全等三角形-证明题专练1.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.(1)求证：DF=EF.(2)试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由.3.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并进行证明.4.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．5.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．6.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.7.如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。

求证：BE⊥AC。

8.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE.9.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB．10.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．11.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC．（1）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC；（2）若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．12.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD 上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．13.如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括点O），CD⊥CP交x轴于点D，当P点运动时：（1）求证：∠CPO=∠CDO；（2）求证：CP=CD；（3）下列两个结论：①AD﹣BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值．参考答案1.证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180° ∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．2.3.证明：CD=BE，CD⊥BE，理由如下：因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.因为，所以△BAE≌△DAC(SAS).所以BE=DC，∠BEA=∠DCA.如图，设AE与CD相交于点F，因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE，所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD⊥BE.4.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE5.证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．6.解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。

课时作业11：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用

1.2.1 常数函数与幂函数的导数~ 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用学业达标一、选择题1．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x B ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos x C ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x22．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)3．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 3＋1D ．f (x )＝x 4－14．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( ) A ．4 B ．－4 C ．28D ．－285．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝12，则下列α的值中满足条件的是( )A.π3B.π6C.23πD.56π 二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________. 7．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________.8．已知函数y ＝f (x )的图象在M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________.三、解答题9．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求质点P 在t ＝8 s 时的瞬10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．能力提升1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( ) A ．64 B ．32 C ．16D ．83．点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是__________． 4．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．参考答案学业达标1．【答案】 C【解析】 ∵(cos x )′＝－sin x ，∴A 不正确； ∵(sin x )′＝cos x ，∴B 不正确； ∵(x )′＝12x ，∴D 不正确．2．【答案】 D【解析】切线的斜率k ＝tan 34π＝－1，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1，又f ′(x )＝－1x 2，∴－1x 20＝－1，∴x 0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D. 3．【答案】 B【解析】由f ′(x )＝4x 3知f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入选项中验证可得，选B. 4．【答案】 C【解析】 ∵y ′＝3x 2，∴点(2,8)处的切线斜率k ＝f ′(2)＝12. ∴切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16， ∴k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28. 5．【答案】 A【解析】 ∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x . 又∵f ′(α)＝cos α＝12，∴α＝2k π±π3(k ∈Z)．当k ＝0时，α＝π3.二、填空题 6．【答案】 1【解析】因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x且x >0，f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1.7．【答案】 ln 2－1【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x ，由题意知1x 0＝12，∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1.8．【答案】 3【解析】依题意知，f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12，∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.三、解答题9．解：∵s ′＝(3t 2)′＝(t 23)′＝23t －13，∴v ＝23×8－13＝23×2－1＝13，∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s.10．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. 能力提升1．【答案】 C【解析】 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′ ＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x . 2．【答案】 A【解析】因为y ′＝－12x －32，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线方程为：y －a －12＝－12a －32(x －a )，由x ＝0得y ＝32a －12，由y ＝0得x ＝3a ，所以12·32a －12·3a ＝18，解得a ＝64.3．【答案】328【解析】与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－112＋12＝328.4．解：(1)因为y ′＝2x .P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14，与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.。

课时作业13：第2课时　不等式的证明

第2课时不等式的证明1.(2019·山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区联考)设函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋n |，其中m >0，n >0.(1)当m ＝1，n ＝1时，求关于x 的不等式f (x )≥4的解集；(2)若m ＋n ＝mn ，证明：f (x )≥4.(1)解由m ＝1，n ＝1，得f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x ≥4得x ≤－2；当－1≤x ≤1时，2≥4不成立；当x >1时，由2x ≥4得x ≥2，所以f (x )≥4的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞).(2)证明由m ＋n ＝mn ，可得1m ＋1n＝1， f (x )＝|x －m |＋|x ＋n |≥|m ＋n |，当且仅当(x －m )(x ＋n )≤0时取等号.因为m >0，n >0，所以f (x )≥m ＋n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥4，当且仅当m ＝n ＝2时等号成立.所以f (x )≥4.2.(2020·晋冀鲁豫中原名校联考)已知函数f (x )＝x 2－|x ＋1|－|x －1|.(1)求不等式f (x )≤0的解集A ；(2)在(1)的条件下，若a ，b ∈A ，求证：2|a ＋b |≤|ab ＋4|.(1)解 ①当x <－1时，不等式f (x )≤0可化为x 2＋(x ＋1)－(1－x )≤0，解得－2≤x ≤0，故有－2≤x <－1；②当－1≤x ≤1时，不等式f (x )≤0可化为x 2－(x ＋1)－(1－x )≤0，解得－2≤x ≤2，故有－1≤x ≤1；③当x >1时，不等式f (x )≤0可化为x 2－(x ＋1)－(x －1)≤0，解得0≤x ≤2，故有1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤0的解集A 为{x |－2≤x ≤2}.(2)证明要证2|a ＋b |≤|ab ＋4|，即证|ab ＋4|2≥4|a ＋b |2，由|ab ＋4|2－4|a ＋b |2＝(a 2b 2＋8ab ＋16)－4(a 2＋2ab ＋b 2) ＝a 2b 2－4a 2－4b 2＋16＝(a 2－4)(b 2－4).因为a ，b ∈A ，所以a 2≤4，b 2≤4，所以a 2－4≤0，b 2－4≤0，所以(a 2－4)(b 2－4)≥0.所以|ab ＋4|2≥4|a ＋b |2，故不等式2|a ＋b |≤|ab ＋4|成立.3.已知函数f (x )＝|x －5|，g (x )＝5－|2x －3|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)设F ＝f (x 2＋y 2)－g (3y ＋12)，求证：F ≥2.(1)解由题意得原不等式为|x －5|＋|2x －3|<5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >5，x －5＋2x －3<5或⎩⎪⎨⎪⎧ 32≤x ≤5，5－x ＋2x －3<5或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，5－x ＋3－2x <5，解得x ∈∅或32≤x <3或1<x <32，综上可得1<x <3.∴原不等式的解集为{x |1<x <3}.(2)证明 F ＝|x 2＋y 2－5|＋|2(3y ＋12)－3|－5＝|x 2＋y 2－5|＋|6y ＋21|－5≥|x 2＋y 2－5＋6y ＋21|－5＝|x 2＋(y ＋3)2＋7|－5＝x 2＋(y ＋3)2＋2≥2，当且仅当x ＝0且y ＝－3时等号成立.4.已知函数f (x )＝|2x ＋1|.(1)求不等式f (x )≤8－|x －3|的解集；(2)若正数m ，n 满足m ＋3n ＝mn ，求证：f (m )＋f (－3n )≥24.(1)解不等式f (x )≤8－|x －3|即为|2x ＋1|＋|x －3|≤8，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，2x ＋1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，2x ＋1＋x －3≤8，解得－2≤x <－12或－12≤x ≤3或3<x ≤103，即不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－2，103. (2)证明 ∵m >0，n >0，m ＋3n ＝mn ，∴m ＋3n ＝13(m ·3n )≤13×(m ＋3n )24，即m ＋3n ≥12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ，m ＋3n ＝mn ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝2时取等号， ∴f (m )＋f (－3n )＝|2m ＋1|＋|－6n ＋1|≥|2m ＋6n |，当且仅当－6n ＋1≤0，即n ≥16时取等号，又|2m ＋6n |≥24，当且仅当m ＝6，n ＝2时取等号， ∴f (m )＋f (－3n )≥24.5.已知函数f (x )＝|x －3|.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5；(2)若|a |>1，且f (ab )>|a |·f ⎝⎛⎭⎫b a ，证明：|b |>3.(1)解 |x －3|＋|x －2|≥5，当x >3时，(x －3)＋(x －2)≥5，x ≥5；当2≤x ≤3时，(3－x )＋(x －2)≥5,1≥5，无解；当x <2时，(3－x )＋(2－x )≥5，x ≤0，综上，不等式的解集为{x |x ≥5或x ≤0}.(2)证明 f (ab )>|a |·f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于|ab －3|>|a |·⎪⎪⎪⎪b a －3，即|ab －3|>|b －3a |，则(ab －3)2>(b －3a )2，化简得a 2b 2＋9－b 2－9a 2>0，即(a 2－1)(b 2－9)>0.因为|a |>1，所以a 2－1>0，所以b 2－9>0，|b |>3.。

证明问题练习题

证明问题练习题一、给出结论的证明：问题一：证明1 + 1 = 2。

解：可以通过数学原理进行证明。

首先，我们将1作为集合A的元素，将1作为集合B的元素。

根据集合的定义，集合A和集合B中的元素都是不同的。

然后，我们将这两个集合A和B合并成一个新的集合C，即C = {1, 1}。

由于集合中元素的重复是没有意义的，所以集合C中只包含一个元素1。

因此，我们得出结论，1 + 1 = 2。

问题二：证明任何正整数n加上自身等于n乘以2。

解：设任意正整数n，根据数学运算法则，n加上自身可以表示为n + n，而n乘以2可以表示为2n。

我们需要证明n + n = 2n。

通过数学归纳法可以证明这一点。

首先，当n = 1时，左边等式为1 + 1 = 2，右边等式为2 × 1 = 2，两边相等。

假设当n = k时，等式成立，即k + k = 2k。

接下来，我们需要证明当n = k + 1时，等式同样成立。

左边等式为(k + 1) + (k + 1)，根据结合律可化简为k + 1 + k + 1。

根据假设，左边等式可以继续化简为(k + k) + 1 + 1。

再根据结合律，可以化简为2k + 1 + 1。

继续化简，得到2k + 2。

右边等式为2 × (k + 1)，根据结合律可化简为2k + 2。

因此，左边等式等于右边等式，得证。

问题三：证明任意直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

解：设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边平方和，即c^2 = a^2 + b^2。

为了证明这一点，我们可以通过几何证明。

首先，假设直角三角形ABC，角B为直角。

从顶点B引垂直于斜边c的高，垂足记为D。

连接线段AD和BD。

根据垂直平分线定理，线段BD将线段AC平分为两个相等的部分，记为DE和EC。

由于角A和角D是直角，根据三角形内角和定理，角A + 角D =90度。

因此，角E也为直角。

2023课时作业本人教版数学九年级上册

第一单元：数与代数
1.有理数的性质与运算
2.一元一次方程
3.一元一次不等式组
4.简单的函数
第二单元：几何
1.三角形和四边形
2.圆
3.圆的度量
4.轴对称图形和中心对称图形
第三单元：统计与概率
1.数据的收集与整理
2.数据的分析与处理
3.简单的概率
第四单元：数学与实践
1.直线与方程的应用
2.三角形与四边形面积的应用
3.圆面积和圆周长的应用
4.数据的应用
期末复习
1.数与代数
2.几何
3.统计与概率
4.数学与实践
课时作业
1.（填空题）一个三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形是（）三
角形。

2.（判断题）一个一元一次方程有唯一解，即（）。

3.（选择题）一个圆的半径为5，则这个圆的面积是（）。

4.（计算题）一个班级有30名学生，其中男生占60%，则这个班级中有多少
名男生？
5.（应用题）某商店销售一种商品，原价为100元，现在打八折销售，则这
种商品现在售价为多少元？
答案
1.直角
2.正确
3.25π
4.18
5.80。

高中数学第二章推理与证明课时作业新人教A版选修22

【优化方案】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明课时作业新人教A 版选修2-2[学业水平训练]1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n 8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C ．n n －4＋n ＋4n ＋4－4＝2 D ．n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2 解析：选A.观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．对命题“正三角形的内切圆切正三角形于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切正四面体于四面的( )A ．各正三角形内的任意点B ．各正三角形的某高线的中点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C ．三角形的三边与四面体的面是类比对象，边的中点与正三角形的中心相对应．3．因为奇函数的图象关于原点对称(大前提)，而函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋1，x ＞00，x ＝0x x －1，x ＜0是奇函数(小前提)，所以f(x)的图象关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选B.本题主要考查演绎推理的三段论与分段函数的综合应用．因为f(1)＝f(－1)＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错，故选B.4．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为( )A ．1＋12＋13＋…＋12n ＋1＞2n ＋12 B ．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2C ．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2 D ．1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2 解析：选D ．3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2. 5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·…·(n ＋n)＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N*)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析：选B.左边增乘的式子是k ＋1＋k k ＋1＋k ＋1k ＋1＝2(2k ＋1)． 6．(2014·珠海质检)用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．解析：“a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案：a ，b 不全为07．(2014·多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱5 6 9 五棱锥6 6 10 立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，F ，V ，E 所满足的等式是____________．解析：观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝28．(2014·银川调研)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴填10.答案：109．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x ＋y|≤|1＋xy|.证明：要证|x ＋y|≤|1＋xy|，即证(x ＋y)2≤(1＋xy)2，即证x2＋y2≤1＋x2y2，即证(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，|y|≤1，所以x2－1≤0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．[高考水平训练]1．0＜a≤15是函数f(x)＝ax2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若f(x)为(－∞，4]上的减函数，则a ＞0且－a －1a ≥4⇔0＜a≤15或a ＝0，即a ∈[0，15]．而由a ∈(0，15]⇒a ∈[0，15]，但由a ∈[0，15]⇒a ∈(0，15]．故选A.2．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________________________________________________________________；充要条件②________________________________________________________________________. (写出你认为正确的两个充要条件)解析：运用类比思想，从平面到空间，由四边形到四棱柱．四棱柱为平行六面体的充要条件为其底面四边形为平行四边形．因此，只要保证底面是平行四边形即可．答案：①底面为平行四边形 ②两组相对侧面分别平行(注：答案不唯一)3．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋an ＋1＝(15)n(n ∈N*)，若Tn ＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn ＝6Tn －5nan ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．解：因为Tn ＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n －1，①所以5Tn ＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋an －1·5n －1＋an·5n ，②由①＋②得：6Tn ＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an －1＋an)·5n －1＋an·5n＝1＋15×5＋(15)2×52＋…＋(15)n －1×5n －1＋an·5n＝n ＋an·5n ，所以6Tn －5nan ＝n ，所以数列{bn}的通项公式为bn ＝n.4．(2014·高考广东卷)设数列{an}的前n 项和为Sn ，满足Sn ＝2nan ＋1－3n2－4n ，n ∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意知S2＝4a3－20，∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k(k≥1)时，ak ＝2k ＋1，则Sk ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k[3＋2k ＋1]2＝k(k ＋2)．又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.。

高中数学课时作业(人教A版选修第一册)课时作业(十一)

课时作业(十一) 直线的倾斜角与斜率[练基础]1．直线l 经过原点和点(－2，2)，则l 的斜率是( )A ．0B ．－1C ．1D ．不存在2．下列直线中，倾斜角为锐角的是( )A ．x －y ＋1＝0B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝1D ．x ＝23．已知点A (1，3 )，B (－1，33 )，则直线AB 的倾斜角为( )A ．2π3B ．π6C ．π3D ．5π64．直线l 的倾斜角等于直线3 x －y ＝0倾斜角的2倍，则直线l 的斜率是( ) A ．233 B ．3 C ．23 D ．－3 5．(多选)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，且tan α>0，则α为锐角B ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α6．已知点A (m ，2)，B (3，0)，若直线AB 的斜率为1，则m ＝________．7．已知点A (1，1)，B (3，5)，若点C (－2，t )在直线AB 上，则实数t 的值为________．8．已知两点P (1－m ，1＋m )和Q (3，5m ).(1)m 为何值时，直线PQ 的斜率不存在；(2)m 为何值时，直线PQ 的斜率等于－3.[提能力]9．(多选)若经过A (1－a ，1＋a )和B (3，a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为( )A ．－2B ．0C ．1D ．210．若直线l 的方程为x －y sin θ＋2＝0，则直线l 的倾角α的范围是( )A ．[0，π]B ．[π4 ，π2] C ．[π4 ，3π4 ] D ．[π4 ，π2 )∪(π2 ，3π4) 11．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角α的取值范围是________；直线l 的斜率k 的取值范围是________．12．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求证：1a ＋1b ＝12. [培优生]13．已知正△ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点P (x ，y )是△ABC内部及其边界上一点，则y x ＋1的最大值为( ) A ．12 B ．32C ．23D ．33－32。

高三数学第一轮复习课时作业(11)函数模型及其应用

课时作业(十一) 第11讲函数模型及其应用时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·济南模拟汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A ．100元B ．110元C ．150元D ．190元3．2011·淄博模拟某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中( )A ．不能确定哪种省钱B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱4．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x能力提升5．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别如图K11－2所示．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面7．2011·汕头模拟某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( )A ．100台B ．120台C．150台 D．180台8．图K11－3是统计图表，根据此图表得到以下说法，其中正确的有( )①这几年人民的生活水平逐年得到提高；②人民的生活收入增长最快的一年是1998年；③生活价格指数上涨最快的一年是1999年；④虽然2000年生活收入增长量缓慢，但由于生活价格指数有较大下降，因而人民的生活仍有较大改善．A．1项 B．2项C．3项 D．4项9．2011·郑州模拟将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有a8，则m的值为( )A．7 B．8C．9 D．1010．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成________．11．某出租车公司规定乘车收费标准如下：3公里以内为起步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)；若超过3公里，除起步价外，超过的部分再按1.5元公里计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱．已知该乘客下车时乘车里程数为7.4公里，则该乘客应付的车费为________．12．2011·焦作模拟计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．13．2011·滨州模拟鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6.设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．14．(10分)电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图K11－4所示，其中MN∥CD.(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各应付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案优惠？图K11－415．(13分)2011·潍坊模拟某企业拟在2011年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，当年促销费用t＝0万元时，年销量是1万件．已知2011年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)将2011年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2011年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)难点突破16．(12分)如图K11－5所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB ＝1米，高0.5米，CD ＝2a ⎝⎛⎭⎫a ＞12米．上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是一个由电脑控制形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆．(1)设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数； (2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．－5课时作业(十一)【基础热身】1．A 解析从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，可比较图像中所反映的速度，速度是由慢到快，再到匀速，最后到减速，所以A 选项正确．2．C 解析设售价在100元基础上提高x 元，则依题意y ＝(100＋x )(1000－5x )－80×1000＝－5x 2＋500x ＋20000，故当x ＝50元时，y 取最大值32500元，此时售价为150元．3．D 解析方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)，方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)， ∵210＜211.6，故方法①省钱．4．B 解析由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x. 【能力提升】5．C 解析设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额y 为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(x ≤800)，(x －800)×14%(800<x ≤4000)，11%·x (x >4000)，如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间， ∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.6．A 解析由图像可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0、t 1时刻，甲车均在乙车前面，选A.7．C 解析由y ≤25x ，得(x ＋200)(x －150)≥0，x ≥150，选C. 8．D 解析根据图像可以分析出各项指数的特征．9．D 解析令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.10．y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m ) 解析依题意有y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )．11．15元解析依题意得，实际乘车费用为：8＋1.5×(7.4－3)＝14.6，应付车费15元． 12．300 解析设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－⎝⎛⎭⎫1313，∴9年后的价格y ＝8100⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1313－19＝8100×⎝⎛⎭⎫133＝300(元)．13．0.6,1,0.8 解析函数模型y ＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4，①ab ＝0.6，②x ＝3a ＋5b ＋8c ，③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2，当且仅当⎩⎨⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6时等号成立．解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8，由于y ＝lg2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．14．解答 (1)设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为f A (x )和f B (x )，由图知M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD ，则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧98(0≤x ≤60)，310x ＋80(x >60)，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168(0≤x ≤500)，310x ＋18(x >500)，故通话2小时的费用分别是116元、168元．(2)f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－⎝⎛⎭⎫310n ＋18＝0.3(n >500)，∴方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由图知，当0≤x ≤60时，f A (x )＜f B (x )；当60<x ≤500时，由f A (x )＞f B (x )得 310x ＋80>168，解得x >8803，∴8803<x ≤500. 当x ＞500时，f A (x )＞f B (x )．综上，通话时间在⎝⎛⎭⎫8803，＋∞内，方案B 比方案A 优惠．15．解答 (1)由题意：3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入得k ＝2，∴x ＝3－2t ＋1，当年生产x (万件)时，年生产成本＝32x ＋3＝323－2t ＋1＋3，当销售x (万件)时，年销售收入＝150%⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t ，由题意，生产x 万件产品正好销完．∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，即y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)∵y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝⎛⎭⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42，∴当促销费投入7万元时，企业年利润最大．【难点突破】16．解答 (1)当0≤x <12时，由平面几何知识，得MN －12a －1＝x12，∴MN ＝2(2a －1)x ＋1，S ＝12MN ·⎝⎛⎭⎫12－x ＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，当12<x <a ＋12时，S ＝12·2a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12，∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，x ∈⎣⎡⎭⎫0，12，a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12，x ∈⎝⎛⎭⎫12，a ＋12.(2)①当0≤x <12时，S ＝f (x )＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，∵a >12，∴a －12(2a －1)－12＝－a 2(2a －1)<0，∴a －12(2a －1)<12. 当a －12(2a －1)≤0时，12<a ≤1，此时当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14，当0<a －12(2a －1)<12时，a >1，此时当x ＝a －12(2a －1)时，f (x )max ＝f ⎣⎡⎦⎤a －12(2a －1)＝a 24(2a －1)， ②当12<x <a ＋12时，S ＝f (x )＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122·⎝⎛⎭⎫x －12＝⎝⎛⎭⎫x －122⎣⎡⎦⎤a 2－⎝⎛⎭⎫x －122≤ ⎝⎛⎭⎫x －122＋⎣⎡⎦⎤a 2－⎝⎛⎭⎫x －1222＝122，等号成立⇔⎝⎛⎭⎫x －122＝a 2－⎝⎛⎭⎫x －122⇔x ＝12(2a ＋1)∈⎝⎛⎭⎫12，a ＋12.∴当x ＝12(2a ＋1)时f (x )max ＝a22.(i)12<a ≤1时，∵a 22－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22， ∴12<a ≤22时，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14； 22<a ≤1时，当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max ＝a 22. (ii)a >1时，∵12a 2－a 24(2a －1)＝4a －34(2a －1)a 2>0，∴当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max ＝a22.综上，12<a ≤22时，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14，即MN 与AB 之间的距离为0米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为14平方米．a >22时，当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max ＝a 22，即MN 与AB 之间的距离为12(2a ＋1)米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为a22.。

高二数学(文)选修1—2课时作业计划安排表

高二《数学选修1-2》文科校本课时作业安排表
第一章统计案例（）
§1 回归分析（）
1.1回归分析（1）
1.2相关系数（1）
1.3可线性化的回归分析（1）
§2 独立性检验（）
2.1条件概率与独立事件（1）
2.2独立性检验（1）
2.3独立性检验的基本思想（1）
2.4独立性检验的应用（1）
全章测试（）
第二章框图（）
§1 流程图（）
§2 结构图（）
全章测试（）
第三章推理与证明（）
§1 归纳与类比（）
1.1归纳推理（1）
2.2类比推理（1）
§2 数学证明（）
§3 综合法与分析法（）
3.1综合法（1）
3.2分析法（1）
§4 反证法（1）
全章测试（）
第四章数系的扩充与复数的引入（）
§1 数系的扩充与复数的引入（）
1.1数系概念的扩展（1）
1.2复数的有关概念（1）
§2 复数的四则运算（）
2.1复数的加法与减法（1）
2.2复数的乘法与除法（1）
全章测试（）。

北师大版高中数学选修1-2：数学证明课时作业

数学证明课时作业A级基础巩固一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(C)A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确[解析]函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是(D)A．①B．②C．①②D．③[解析]本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为(A)[解析]三段论中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有这种性质，也可能不是P 的子集，即不具有这种性质．4．(2019·广东东莞石竹附中高二月考)某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f(x)＝lg x是对数函数；②对数函数y＝log a x(a>1)是增函数；②函数f(x)＝lg x是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是(C)A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①[解析]由题意可知，大前提是“对数函数y＝log a x(a>1)是增函数”，小前提是“函数f(x)＝lg x是对数函数”，结论是“函数f(x)＝lg x是增函数”，故选C．5．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理(A) A．完全正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致 [解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确． 6．若a >b >0，c <d <0，则一定有( B ) A ．a d >b cB ．a d <b cC ．a c >b dD ．a c <b d[解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，又∵a >b >0，∴a d <bc .选B ．二、填空题7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3、4、5，所以△ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形__.8．三段论“平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M 到两定点F 1(－2,0)、F 2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是__大前提__.[解析] 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密．而因为F 1(－2,0)、F 2(2,0)间距离为|F 1F 2|＝4，所平平面内动点M 到两定点F 1(－2,0)、F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹应为线段而不是椭圆．三、解答题9．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ．求证：四边形ABCD 为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等．(大前提)如果△ABC 和△CDA 的三边对应相等．(小前提) 则这两个三角形全等．(结论) 符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA．②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)如果△ABC和△CDA全等，(小前提)则它们的对应角相等，(结论)符号表示：△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D．③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)直线AB、DC和直线BC、AD被直线AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]则AB∥DC，BC∥AD．[结论(同理)]④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)四边形ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)四边形ABCD为平行四边形．(结论)符号表示：AB∥DC且AD∥BC⇒四边形ABCD为平行四边形．B级素养提升一、选择题1．“在四边形ABCD中，∵AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程(A)A．省略了大前提B．省略了小前提C．是完整的三段论D．推理形式错误[解析]上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为(C)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[解析]用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分．3．下面几种推理过程是演绎推理的是(A)A．两条直线平行，同位角相等．由此可知，若∠A、∠B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，则∠A＝∠BB．某校高一(1)班有45人，高一(2)班有46人，高一(3)班有48人，由此得出该校高一各班的人数均不超过50C．由平面上圆的性质，推测空间球的性质D ．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式[解析] “两条直线平行，同位角相等”是一般性原理，∠A 、∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，故∠A ＝∠B ，因此是演绎推理．4．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( A )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误[解析] 大前提错误，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数，故选A ．二、填空题5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__A 城市__.[解析] 由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．6．以下推理中，错误的序号为__①__. ①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ； ②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数； ④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥α.[解析] 当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立．7．已知数列{a n }满足a 1＝12，且前n 项和S n 满足S n ＝n 2a n ，则a n ＝__1n ＋n .[解析] 解法一：(归纳法)a 1＝12，a 2＝16，a 3＝112，a 4＝120，寻找分母的规律，a 1＝11×2，a 2＝12×3，a 3＝13×4，a 4＝14×5，所以a n ＝1n (n ＋1).解法二：(演绎推理)S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，所以(n 2＋2n )a n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋2，a n a n －1＝n －1n ＋1，…，a 4a 3＝35，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13，所以a n ＋1a 1＝2(n ＋2)(n ＋1).因为a 1＝12，所以a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2).又因为a 1＝12＝11×2.三、解答题8．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根．[解析] 已知方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m )2－4(m 2＋1)＝－4<0，所以方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根．说明：此推理过程用三段论表述为：大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；小前提：一元二次方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0的判别式Δ<0；结论：一元二次方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根．解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．9．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数； ③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为多少； (2)该小组人数的最小值为多少？[解析] (1)若教师人数为4，则男学生人数小于8，最大值为7，女学生人数最大时应比男学生人数少1人，所以女学生人数的最大值为7－1＝6.(2)设男学生人数为x (x ∈N ＋)，要求该小组人数的最小值，则女学生人数为x －1，教师人数为x －2.又2(x －2)>x ，解得x >4，即x ＝5，该小组人数的最小值为5＋4＋3＝12.。

新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-2直接证明与间接证明课时作业

新高考人教A 版选修数学作业汇编第二章推理与证明数学归纳法1．（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-；（2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：,a b 中至少有一个不小于0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）假设0a <且0b <，则由210a x =-<得11x -<<，由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设不成立，所以,a b 中至少有一个不小于0． 2．（1111052<；（2）已知函数3()e 2xx f x x -=++，用反证法证明方程()0f x =没有负数根．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1111052<，只需证221110)52)<，只需证212110945-<-625110+<，只需证56245110+<，即证459<，即证8081<， 111052<．学（2）假设存在0m <，使得()0f m =，则3e 2mm m -=-+，因为0m <，所以0e 1m <<，则3012m m -<-<+，解得132m <<，这与0m <矛盾，因此假设不成立，故方程()0f x =没有负数根． 3．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+；（2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为0a >，0b >，所以0a b +>，要证22a b ab a b+≥+，只要证2()4a b ab +≥，只要证2()40a b ab -+≥，即证2220a ab b -+≥，而2222()0a ab b a b -+=-≥恒成立，所以22a b aba b+≥+．4．设数列{}n a 满足10a =，且111111n na a +--=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n a b n+-=，记1nkk n bS ==∑，证明：1n S <．【答案】（1）11n a n=-；（2）证明见解析．【解析】（1）由题设111111n n a a +--=-，可得数列1{}1na -是公差为1的等差数列．又1111a -=，所以11n n a -=，所以11n a n=-．（2）由（1）得1111111n n a n n nn n n n b +-+-==-+⋅+=，所以11111()1111nnk n k k b k k n S ===-=-<++=∑∑． 5．（1）当2a >时，求证：222a a a ++-<；（2）证明：235,,不可能是同一个等差数列中的三项．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）假设3,5是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，则23m n a a d m n --==-为无理数，学又253m p a a d m pm p m p---===---为有理数，矛盾．所以假设不成立，即3,5不可能是同一个等差数列中的三项． 6．（1）当2a ≥112a a a a +<--（2）已知,a b 是互不相等的正数，且3322a b a b -=-，求证：413a b <+<．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1112a a a a +<--121a a a a +-<-只需证22(12)1)a a a a +-<-，只需证122(1)(2)12(1)a a a a a a a a ++-++-<+-+-，只需证(1)(2)(1)a a a a +-<-，只需证(1)(2)(1)a a a a +-<-，即证20-<，而20-<显然成立，所以112a a a a +-<---成立．7．（1）若函数()f x 在区间[],a b 上的图象连续，()0f a <，()0f b >，且()f x 在[],a b 上单调递增，求证：函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点；（2）已知a ，b ，c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）因为函数()f x 在[],a b 上的图象连续，且()0f a <，()0f b >，所以()0)·(f a f b <，所以()f x 在(),a b 内至少存在一个零点，设零点为x m =，则()0f m =，假设()f x 在(),a b 内还存在另一个零点x n =，即()0f n =，则n m ≠．若n m >，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m >，即00>，矛盾；若n m <，由()f x 在[],a b 上单调递增，可得()()f n f m <，即00<，矛盾．因此假设不成立，故函数()f x 在(),a b 内有且只有一个零点．（2）假设a ，b ，c 均不大于0，即0a ≤，0b ≤，0c ≤，则0a b c ++≤，223b y z π=-+，226c z x π=-+，所以222222222(1)(1)(1)3236a b c x y y z z x x y z πππ++=-++-++-+=-+-+-+π-，显然2(1)0x -≥，2(1)0y -≥，2(1)0z -≥，30π->，故0a b c ++>，学这与0a b c ++≤矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c 中至少有一个大于0． 8．（1）已知实数a ，b 满足||2a <，||2b <，证明：2|||4|a b ab +<+；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，ABC △的面积为14，其外接圆的半径为1，求证：111a b c++> 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）设ABC △的外接圆的半径为R ，面积为S ．因为4abc S R =，1R =，14S =，所以1abc =，且,,a b c 不全相等，否则1a =与2sin603a R =︒=矛盾，所以111bc ac ab a b c++=++，又222bc ac abc c +≥=，222ca ab cba a +≥=，222bc ab acb b +≥=，因为,,a b c 不全相等，所以上述三式中“=”不能同时成立，所以2()2()bc ac ab a b c ++>++，即bc ac ab a b c ++>++，所以111a b c a b c++>++．9．（1）若x ，y 都是正实数，且x ＋y ＞2，求证：12x y +<和12yx+<中至少有一个成立；（2）已知(0,)a b c ∈+∞、、，求证：22233a b c a b c ++++≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（222233a b c a b c++++≥，只需证：2222()33a b c a b c ++++≥，只需证：222222333222a b c a b c ab ac bc ++≥+++++，只需证：222222222a b c ab ac bc ++≥++，只需证：222()()()0a b b c a c -+-+-≥，而这显然是成立的，22233a b c a b c++++≥成立． 10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+，1n a ≥，n ∈*N ．（1）猜想{}n a 的通项公式，并加以证明；（2）设0x >，0y >，且1x y +=112(2)n n a x a y n +++【答案】（1）n a n =，证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）分析前几项，然后进行猜想，利用1(2)n n n a S S n -=-≥化简，再结合等差数列的概念即可得证；（2）利用分析法和基本不等式易证．（2）要证112(2)nx ny n +++≤+，只要证2()22()12(2)n x y n xy n x y n ++++++≤+，代入1x y +=，即证224(1)(2)n xy n n ++≤+，即证41xy ≤， ∵0,0x y >>，且1x y +=，∴122x y xy +≤=，即41xy ≤，得证．故112(2)nx ny n +++≤+，即112(2)n n a x a y n +++≤+．11．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知30,3,33A a b ===o ．（1）求B 和ABC △的面积；（2）当B 是钝角时，证明：tan(118)B -o不可能是有理数．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由正弦定理得，即．因为是三角形内角且，所以或．记ABC △的面积为．学当时，；当时，．12．数列{}n x 由下列条件确定：10x a =>，11()2n n nax x x +=+，n ∈*N ．（1）证明：对任意的2n ≥，总有n x a ≥；（2）证明：对任意的2n ≥，总有1n n x x +≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由10x a =>及11()2n n nax x x +=+，易得0>n x ，从而有11()()2n n n n na ax x x a n x x +=+≥⋅=∈N ，所以对任意的2n ≥，总有n x a ．（2）方法1：当2n ≥时，0n x a ≥>，11()2n n nax x x +=+，所以2111()022nn n n n n na x a x x x x x x +--=+-=⋅≤，故当2n ≥时，1n n x x +≥．方法2：当2n ≥时，0n x a >，11()2n n na x x x +=+，所以2221221()2122n n n n n n n n n na x x x x a x x x x x x ++++==≤=，故当2n ≥时，1n n x x +≥．13．已知函数()e (0,)x f x x a b a b =-+>∈R ．（1）若函数()f x 为R 上的增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，证明：122ln x x a +<-．【答案】（1）(,0]-∞；（2）证明见解析．（2）由题知1212e 0e 0xx x a b x a b -+=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，两式相减得，即，故要证，只需证1212122lne e x x x x x x -+<--，即证1212212e (e )ex x x x x x +-<-，即证，不妨设，令，则需证，设，则，设，则，故在上单调递减，∴，即，∴在上单调递减， ∴，即，故原不等式得证．学 14．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+．（1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）用反证法证明：()0f x =没有负数根．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由于函数23 ()111x xxf a ax xx-=+=+-++，而函数(1)xy a a=>和函数31yx=-+在(1,)-+∞上都为增函数，可得函数()f x在(1,)-+∞上为增函数；（2）假设()0f x=有负数根为00(0)x x x<=，则有0311xax+=+①，分0(1,0)x∈-，0(,1)x∈-∞-两种情况，分别根据31x+和01xa+的取值范围，可得①式不可能成立，综上可得假设不成立，命题得证．（2）假设()0f x=有负数根为00(0)x x x<=，则有0()0f x=，即0311xax+=+①．由于函数1xy a=+在R上是增函数，且012a+=，所以012xa+<．由于函数31yx=+在(1,)-+∞上是减函数，当0(1,0)x∈-时，333101x>=++，所以①式不可能成立；由于函数31yx=+在(,1)-∞-上是减函数，当0(,1)x∈-∞-时，31x<+，而011xa+>，所以①式不可能成立．综上可得，①式不可能成立，学故假设不成立，即()0f x=没有负数根．15．（2015浙江）已知数列{}n a 满足112a =，且21()n n n a a n a +=-∈*N ．（1）证明：112()nn a n a +≤≤∈*N ；（2）设数列2{}n a 的前n 项和为n S ，证明：11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n n a a +<-≤，从而可得112(1)n a n +≤<+1()2n n ∈+*N ，即可得证11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N .【解析】（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=-可得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤，得211(1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，故112()n n a n a +≤≤∈*N . （2）由题意得21n n n a a a +=-，所以11n n S a a +=- ①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤得，11112n na a +<-≤，所以11112n n n a a +<-≤，因此111()2(1)2n a n n n +≤<∈++*N ②，由①②得112(2)2(1)n S n n n <≤++，所以11()2(2)2(1)n S n n n n ≤≤∈++*N . 16．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【思路分析】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得n n n n n a a a a a --+++++=21124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．学。