超几何分布、二项分布、正态分布 练习
第10章 §10.7 二项分布、超几何分布与正态分布 2024届高考数学一轮复习拔高冲刺练
1．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E (ξ)为( ) A.45 B.910 C ．1 D.652．(2023·盐城模拟)某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得，数学成绩X ～N (110,100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P (|X －μ| ≤σ)≈0.682 7，P (|X －μ|≤2σ)≈0.954 5)( ) A ．16 B ．10 C ．8 D ．23．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )A.532B.516C.316D.3324．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ改编)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等5．(多选)下列说法正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.9，则P (0<X <2)＝0.4C ．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是17D ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3，D (2X ＋3)＝2D (X )＋36．(2022·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则( ) A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) B ．E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2) C ．E (ξ1)＝E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________． 8．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 ________.(结果四舍五入精确到个位)参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.9．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为35，每位选手每次编程都互不影响．(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X 的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.消费金额(千元)[3,5) [5,7) [7,9) [9,11) [11,13) [13,15] 人数305060203010(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N (μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数x 以及方差s 2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)； ②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．参考数据：2≈1.4；若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.11．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5(例如10 100)，其中A 的各位数a k (k ＝2,3,4,5)中，出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，则当程序运行一次时，下列选项正确的是( )A ．X 服从二项分布B ．P (X ＝1)＝481C ．X 的均值E (X )＝83D ．X 的方差D (X )＝8312．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是 ________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E (X )＝________.13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X 服从柯西分布为X ～C (γ，x 0)，其中当γ＝1，x 0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f (x )＝1π(1＋x 2).已知X ～C (1,0)，P (|X |≤3)＝23，P (1<X ≤3)＝112，则P (X ≤－1)等于( )A.16B.23C.14D.1214．(2023·开封模拟)已知随机变量ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≤1)＝P (ξ≥a －3)，则1x ＋9a －x (0<x <a )的最小值为________.。
2022届高考数学二轮专题：二项分布超几何分布和正态分布
二项分布、超几何分布和正态分布1．正态分布1．已知随机变量 6,X B p ，2,Y N :，且 122P Y， E X E Y ，则p （）A．12B．13C．14D．16【答案】B【解析】因为随机变量 6,X B p ，所以 6E X p ，因为2,Y N :， 122P Y，所以2 ，即 2E Y ，又 E X E Y ，所以62p ，即13p ．2．（多选）已知三个正态分布密度函数22()2i i x i x(x ∈R，i ＝1，2，3)的图象如图所示，下列关于μ1，μ2，μ3，σ1，σ2，σ3的大小关系正确的是（）A．123 B．123 C．123 D．123【答案】AB【解析】正态分布关于x 对称，且 越大图象的对称轴越靠近右边，故第一个曲线的均值比第二和第三的均值小，且二，三两个的均值相等，故123 ．越小，曲线越瘦高，则第二个图象 要比第三个的 要小，故123 ．故选AB．3．某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分分别为7，8，10，15，17，19，21，23．（1）根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值 和标准差 ；（2）假设甲在每场比赛的得分服从正态分布2(,)N ，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数(结果保留整数)．5.66 ， 5.68 5.70 ．正态总体2(,)N 在区间(2,2) 内取值的概率约为95.4%．【答案】（1）估计甲每场比赛中得分的均值 为15，标准差 为5.68；（2）估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数为2．【解析】（1）由题意可得1(78101517192123)158，2222222221[(8)(7)(5)02468]32.258，所以 5.68 ，所以估计甲每场比赛中得分的均值 为15，标准差 为5.68．（2）设甲每场比赛中的得分为随机变量X ，由（1）得甲在每场比赛中得分不低于26分的概率1126[1(22)]10.9540.02322P X P X ，设在82场比赛中，甲得分不低于26分的次数为Y ，则(82,0.023)Y B :，Y 的均值()820.0232E Y ，由此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数为2．4．5G 网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．2020年初以来，我国5G 网络正在大面积铺开．A 市某调查机构为了解市民对该市5G 网络服务质量的满意程度，从使用了5G 手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组： 40,50､ 50,60､ 60,70､…， 90,100，统计结果如图所示：（1）由直方图可认为A 市市民对5G 网络满意度得分Z （单位：分）近似地服从正态分布 2,N ，其中 近似为样本平均数x ， 近似为样本的标准差s ，并已求得14.31s ．若A 市恰有2万名5G 手机用户，试估计这些5G 手机用户中满意度得分位于区间41.88,84.81的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的5G 手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为13．每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X 的数学期望．参考数据：若随机变量Z 服从正态分布2,N ，即2~,Z N ，则0.6827P Z ， 220.9545P Z ．【答案】（1）16372（人）；（2）130027（元）．【解析】（1）由题意知样本平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x ，∴70.5x ，∵14.31s ，所以， 2,41.88,84.81s s ，而 1122222P x Z s P Z Z0.8186 ，故2万名5G 手机用户中满意度得分位于区间 41.88,84.81的人数约为200000.818616372 （人）．（2）由题意可知X 的可能取值有0､100､200､300，203p X， 122100339p X ， 112220033327p X， 111130033327p X ，∴ 22211300010020030039272727E X（元）．2．二项分布1．足球运动是一项在学校广泛开展､深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用．某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A ，B ，C三个层次，其中A ，B ，C 三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A ，B ，C 三个层次的球员所占比例如图所示．层次A B C概率231214（1）若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；（2）若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）12；（2）分布列见解析，数学期望为2.5．【解析】（1）从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A ，B ，C 的成员踢进球的事件分别记为事件A ，B ，C ，则321111111(),(),()10352245420P A P B P C．因为事件A ，B ，C 为互斥事件，所以1111()()()()54202P A B C P A P B P CU U ．故从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，球员踢进球的概率为12．（2）由（1）可知从该社团中随机选择1人进行1次射门测试，球员踢进球的概率为12，每次踢进球与否相互独立，所以X 服从二项分布，即15,2X B:，5550125551115110(0),(1),(2)232232232P X C P X C P X C，5553455551101511(3),(4),(5)232232232P X C P X C P X C．X 的分布列为X 012345P13253210321032532132故X 的数学期望1()5 2.52E X．2．某厂生产,A B 两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中1154p ．（注：收益率利润总投资额）等级一等品二等品三等品指标值m 140m 120140m 120m 产品收益率p24p 2p （1）求a 的值；（2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．①从产品B 中随机抽取3件，求其中一等品件数X 的分布列及数学期望；②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A 或产品B ，试分析投资哪种产品收益更大．【答案】（1）0.030a ；（2）①分布列见解析，95；②投资产品A 的收益更大．【解析】（1）由题可得 0.0050.0100.0150.040101a ，解得0.030a ．（2）①由直方图知：产品B 为一等品的概率是35，二等品概率是310，三等品概率是110，由题知随机抽取3件是一等品的件数X 可能的取值是0，1，2，3，且5~33,X B，3003238055125P X C ， 21132336155125P X C， 12235412523255P X C， 03332712523355P X C，则X 的分布列为：X 0123P8125361255412527125∴ 8365427901231251251251255E X．②由题可得，产品A 为一等品的概率为710，二等品的概率为14，三等品的概率为120，产品B 为一等品的概率为35，二等品的概率为310，三等品的概率为110，产品A 的收益：22217112174104202010E p p p p p ，产品B 的收益：2222331133451010105E p p p p p ，∴ 22151152201020E E p p p p ，因为1154p ，所以210E E ，即21E E ，故投资产品A 的收益更大．3．印刷行业的印刷任务是由印张数（单位：千张）来衡量的．某印刷企业有甲，乙两种印刷设备，每年的各单印刷任务在180~240千张；当一单任务的印张数不大于210千张时，由甲种印刷设备来完成，当一单任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷设备来完成．资料显示1000单印制任务的印张数的频率分布直方图如图所示，现有4单印刷任务，印张数未知，只知道印张数在180~240千张，以相关印张数的频率视为相应事件发生的概率．（1）求a 的值，并求这1000单印刷任务的印张数（单位：千张）的中位数；（2）用X ､Y 分别表示这4单印刷任务中由甲､乙两个印刷设备来完成的个数，记||X Y ，求随机变量 的分布列与数学期望．【答案】（1）0.005a ，中位数为214；（2）分布列见解析，数学期望为1012625．【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.01520.02020.025)101a ，解得0.005a ．设这1000单印刷任务的印张数（单位：千张）的中位数为x ，由0.005100.015100.02100.4 ，得(210)0.0250.50.4x ，解得214x ．（2）由频率分布直方图知，一个任务由甲种印刷机器来完成的概率为：20.005100.015100.02100.45，所以由乙种印刷机器来完成的概率为35，由题意||X Y ，则 的可能取值为0，2，4；0 表示甲乙分别完成两个任务，概率为222423216(0)55625P C；2 表示甲完成1个任务而乙完成3个任务或甲完成3个任务而乙完成1个任务，概率为1331134********(2)C C 5555625P；4 表示任务全部由甲完成或乙完成，其概率442397(4)55625P，则随机变量 的分布列为：024p21662531262597625所以随机变量 的数学期望为216312971012()024625625625625E．4．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p ，58p ，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合．（1）现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为 f p ，求出 f p 的最大值点0p ；（2）若以0p 作为p 的值，①求每一个互助组合做对题的概率；②现选取n 个组合，记做对题的组数为随机变量X ，当90X 时， P X 取得最大值，求相应的n 和 E X ．【答案】（1）045p；（2）①0.9；②答案见解析．【解析】（1）由题可知 4445151f p C p p p p ， 3545f p p p ，令 0f p ，得45p ．当40,5p 时， 0f p ， f p 在40,5上单调递增；当4,15p时， 0f p ， f p 在4,15上单调递减，所以 f p 的最大值点045p．（2）①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题，则4()5P B， 451582P C ， 11110.952P A P B P C ．②由题意知随机变量 ,0.9X B n :， 0.90.10,1,2,,k k n kn P X k C k n ，因为 90P X 最大，所以9090909191919090908989890.90.10.90.10.90.10.90.1n n n n n n n n C C C C ，解得901999n ，因为n 是整数，所以99n 或100n ，当99n 时， 990.989.1E X np ；当100n 时， 1000.990E X np ．3．超几何分布1．2021年8月8日，东京奥运会落下帷幕．400多名中国奥运健儿在比赛中积极弘扬奥林匹克精神，敢于挑战极限、超越自我，展现了精湛的竞技水平和顽强的拼搏精神．为了鼓励更多的市民参与体育锻炼，某城市随机抽取了100名市民对其每月（按30天）的运动天数进行了统计：平均每月运动的天数x5x 515x 1525x 25x 人数20403010我们把每月运动超过15天称为热衷运动，不超过15天称为一般运动，为了了解运动是否与性别有关，得到了以下22 列联表：一般运动热衷运动合计男性22女性1250合计100（1）完成22 列联表，并判断是否有99%的把握认为运动与性别有关？（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取10个，再从抽取的10个人中随机抽取3个，用X 表示抽取的是“热衷运动”的人数，求X 的分布列及数学期望 E X ．附：20P K k 0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.82822n ad bc K a b c d a c b d，n a b c d ．【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为运动与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望 65E X．【解析】（1）完善22 列联表如下表所示：一般运动热衷运动合计男性222850女性381250合计604010022100221238283210.667 6.635604050503K，所以有99%的把握认为运动与性别有关．（2）根据分层抽样，10个人中抽取的热衷运动的人数为4人，一般运动的人数为6人，从抽取的10个人中随机抽取3个，X 表示抽取的是“热衷运动”的人数，X 的可能取值为0、1、2、3，则 36310C 10C 6P X ， 2164310C C 11C 2P X ， 1264310C C 32C 10P X ， 34310C 13C 30P X，所以X 的分布列为：X 0123P1612310130所以X 的数学期望 1131601236210305E X．2．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办．为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数454331（1）从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛．（i）恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？（ii）设这2名学生中来自高一（2）的人数为 ，求 的分布列及数学期望；（2）如果该校高中生的优秀率为0.1，从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为 ，求 的期望．【答案】（1）（i）1495；（ii）分布列见解析，12；（2）0．2．【解析】（1）（i ）20名学生中随机抽取两名学生共有220190C ，设恰好2名学生都来自同一班级共有222224543328C C C C C ，2814()191095P A ．（ii ） 可取0，1，2，215220105(0)190C P C ，1115522075(1)190C C P C ，2522010(2)190C P C ， 的分布列为：012P 1051907519010190的期望 75110211901902E ．（2） 可取0，1，2，(2,0.1)B :，所以 0.120.2E ．3．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类．为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张．每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分．从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]，绘成如下频率分布直方图：（1）求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；（2）学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”．为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A ，B 两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A ，B 两人至少有1人被选中的概率；（3）从所抽取的40人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，用X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）56；（2）1328；（3）分布列见解析，65．【解析】（1）由频率分布直方图可求得各组的频率自左到右依次为：0．1，0．15，0．3，0．25，0．2，所以得分的平均数100.1300.15500.3700.25900.256x ．（2）所抽取的40人中，得分在80分以上的有400.28 人，故所求概率为2628C 151311C 2828．（3）由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，得分在[0,20]的人数400.14 ，得分在(20,40]的人数为400.156 人．36310C 1(0)C 6P X ，1246310C C 1(1)C 2P X ，2146310C C3(2)C 10P X ，34310C 1(3)C 30P X ，所以X 的分布列为X 0123P 1612310130所以X 的数学期望11316()01236210305E X ．。
二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
⼆项分布、超⼏何分布、正态分布总结归纳及练习⼆项分布？还是超⼏何分布⼆项分布与超⼏何分布是两个⾮常重要的、应⽤⼴泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利⽤这两个概率模型来解决．在实际应⽤中，理解并区分两个概率模型是⾄关重要的．下⾯举例进⾏对⽐辨析．例1袋中有8个⽩球、2个⿊球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到⿊球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到⿊球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的⿊球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．⼜由于每次取到⿊球的概率均为51，3次取球可以看成3次独⽴重复试验，则1~35X B ??，． 0331464(0)55125P X C ==?= ? ?∴； 12131448(1)55125P X C ==?=； 21231412(2)55125P X C ==?= ? ?； 333141(3)55125P X C ==?= ? ?．因此，X 的分布列为（2）不放回抽样时，取到的⿊球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为Y 0 1 2P715 715 115例2 某⾷品⼚为了检查⼀条⾃动包装流⽔线的⽣产情况，随机抽取该流⽔线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此得到样本的频率分布直⽅图，如图4（1）根据频率分布直⽅图，求重量超过505克的产品数量,（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流⽔线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
X 0 1 2 3 P64125 48125 12125 112517.:(1)505解重量超过克的产品数量是:40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:22353(3)10373087*********3087.10000设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则YB(5,),从⽽P(Y=2)=C ()()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为超⼏何分布与⼆项分布特点(A)判断⼀个随机变量是否服从超⼏何分布,关键是要看随机变量是否满⾜超⼏何分布的特征: ⼀个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超⼏何分布,按照超⼏何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --== （0,1,2,,k m =）进⾏处理就可以了.(B)⼆项分布必须同时满⾜以下两个条件:①在⼀次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发⽣的概率为p ,事件A 发⽣的概率为1p -；②试验可以独⽴重复地进⾏,即每次重复做⼀次试验,事件A 发⽣的概率都是同⼀常数p ,事件A 发⽣的概率为1p -.辨析：通过2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因⽽每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独⽴重复试验，此种抽样是⼆项分布模型．⽽不放回抽样时，取出⼀个则总体中就少⼀个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超⼏何分布模型．因此，⼆项分布模型和超⼏何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关⼆项分布和超⼏何分布问题时，仔细阅读、辨析题⽬条件是⾮常重要的．例1与例2中的EX=EY=0.6 注意▲超⼏何分布和⼆项分布都是离散型分布超⼏何分布和⼆项分布的判断⽅法（1）超⼏何分布需要知道总体的容量，⽽⼆项分布不需要；（2）超⼏何分布是不放回抽取，⽽⼆项分布是放回抽取（独⽴重复）（3）当总体的容量⾮常⼤时，超⼏何分布近似于⼆项分布。
二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习
二项分布？还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率均为1， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则1，．550312∴ P(X 0) C301464 ；P(X 1)C311448 ；551255512521P(X 3) C33130P(X 2) C321412 ；4 1 ．5512555125因此， X 的分布列为X0123P6448121 125125125125（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有：P(Y 0)C20C837；P(Y1)C21C827；P(Y2)C22C81 1 ．C10315C10315C10315因此， Y 的分布列为Y012771P151515例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 ,（ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y 的分布列；（ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505克的概率。
17.解 : (1)重量超过 505克的产品数量是 :40 (0.055+0.01 5)=40 0.3=12.(2)Y 的分布列为 :Y 0 1 2PC 282 C 281 C 121C 122C 402C 402C 402(3)设所取的 5件产品中 , 重量超过 505克的产品件数为随机变量 Y, 则Y B(5, 3),102 3 2 7 33087 从而 P(Y=2)=C 5( 10 )( 10 ) =10000 .即恰有 2件产品的重量超过 505克的概率为3087.10000超几何分布与二项分布特点(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布 , 关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征 :一个总体 ( 共有 N 个) 内含有两种不同的事物 A(M 个) 、 B(N M 个) , 任取 n 个 , 其中恰有 X 个A . 符合该条件的即可断定是超几何分布C M k C N nk M, 按照超几何分布的分布列 P( X k)C N n（ k 0,1,2, , m ）进行处理就可以了 . (B) 二项分布必须同时满足以下两个条件: ①在一次试验中试验结果只有A 与 A 这两个 , 且事件 A 发生的概率为 p , 事件 A 发生的概率为 1 p ；②试验可以独立重复地进行 , 即每次重复做一次试验 , 事件 A 发生的概率都是同一常数 p , 事件 A 发生的概率为 1 p .辨析：通过 2 个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例 1 与例 2 中的 EX=EY=0.6 注意▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的判断方法（ 1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （ 2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）（ 3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
最新二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习讲解学习
二项分布？还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为51，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．331464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为Y 0 1 2P715 715 115例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此 得到样本的频率分布直方图，如图4（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
X 0 1 2 3 P64125 48125 12125 112517.:(1)505⨯⨯⨯⨯解重量超过克的产品数量是:40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:(3)10.10000B(5,),从而即恰有2件产品的重量超过505克的概率为: (共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --== （0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概 率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生 的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例1与例2中的EX=EY=0.6 二项分布、超几何分布、正态分布练习题一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( )A.516B.316C.58D.7162．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.19273．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球 出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫5824．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则 事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1) 5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为______． 8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 三、解答题9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率 为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布 列，并求出均值E (X ).10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”频率组距的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．11、2015年南京青奥组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
最新二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习讲解学习
二项分布？还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为51，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．331464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为Y 0 1 2P715 715 115例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此 得到样本的频率分布直方图，如图4（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
X 0 1 2 3 P64125 48125 12125 112517.:(1)505⨯⨯⨯⨯解重量超过克的产品数量是:40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:(3)10.10000B(5,),从而即恰有2件产品的重量超过505克的概率为: (共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --== （0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概 率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生 的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例1与例2中的EX=EY=0.6 二项分布、超几何分布、正态分布练习题一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( )A.516B.316C.58D.7162．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.19273．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球 出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫5824．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则 事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1) 5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为______． 8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N (4,0.25)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 三、解答题9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率 为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布 列，并求出均值E (X ).10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”频率组距的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．11、2015年南京青奥组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
二项分布、超几何分布、正态分布学生
二项分布、超几何分布、正态分布学生一、单选题1．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：mm ）服从正态分布()2180,N σ，且()()1900.9,1600.04≤=≤=P z P z ，则()190200P z <<=（ ）A ．0.1B ．0.04C ．0.05D ．0.062．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X 表示取出的最大号码； ①X 表示取出的最小号码；①取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ①X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①①3．（原创）已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13B ．23C ．15D ．254．若随机变量()2~30,X N σ，且()30400.3P X <≤=，则()20P X <=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.85．根据历史数据，某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p ，且在该季节的连续4天中，都不出现雾凇的概率为81256．据此估计，该地在该季节接下来的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为（ ）． A ．2764B ．964C ．49D ．296．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，有下列四个命题：甲：(1)(2)P X m P X m >+><-； 乙：()0.5P X m >=； 丙：()0.5P X m ≤=；丁：(1)(12)P m X m P m X m -<<<+<<+ 如果只有一个假命题，则该命题为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是310的事件为（ ） A ．恰有1个是坏的 B ．4个全是好的 C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的8．随机变量ξ服从正态分布N （μ，2σ），若函数()()1f x P x x ξ=-≤≤为偶函数，则μ=（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．19．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）. A ．60，24 B ．80，120C ．80，24D ．60，12010．若(),B n p ξ，且()3E ξ=，()32D ξ=，则()1P ξ=的值为A ．32B ．14C ．332D ．11611．已知随机变量~(4,)X B p ，若8()3E X =，则(2)P X ==（ ）A ．29 B ．49 C ．89 D ．82712．设随机变量M 服从正态分布，且函数()26f x x x M =-+没有零点的概率为12，函数()2242g x x x M =-+有两个零点的概率为15，若()15P M m >=，则m =（ ）A ．17B ．10C ．9D ．不能确定13．已知随机变量()2,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.7282C ．0.6587D ．0.864114．下列命题中不正确的为（ ）①随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()40,30E X D X ==，则14p =； ①将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍； ①随机变量ξ服从正态分布()0,4N ，若(2)P p ξ>=，则1(20)2P p ξ-<<=-； ①某人在10次射击中，击中目标的次数为(),10,0.8X X B ~，则当8X =时概率最大.A ．①B ．①①C ．①①D ．①①15．已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，且(3)1(5)4P P ξξ<=<，则(35)P ξ<<=（ ）A ．35B ．15C ．13D ．1616．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P XA ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.917．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p ，且12p >，若此人通过的科目数X 的方差是43，则()E X =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．518．已知随机变量8ξη+=，若(10,0.3)B ξ~，则(),()E D ηη分别是（ ）A ．4和2.4B ．5和2.1C ．2和2.4D ．4和5.619．一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X 表示样本中黄球的个数，则X 服从（ ）A ．二项分布，且()8E X =B ．两点分布，且()12E X =C ．超几何分布，且()8E X =D ．超几何分布，且()12E X =20．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X 表示小球落入格子的号码，则（ ）A ．()()11664P X P X ==== B ．()52E X = C ．()32D X = D ．()54D X =。
高考数学专题 二项分布、超几何分布与正态分布问题(学生版)
专题06 二项分布、超几何分布与正态分布问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样 本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【知识总结】 1．二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．E (X )＝n ·MN.3．正态分布解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x ＝μ. (2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【题型突破】1．2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计．要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心．某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机变量为X，求X的分布列与均值．2．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．3．某市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2 000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：(1)求a的值，并估计这2 000名学生视力的平均值(精确到0.1)；。
第9练超几何分布、二项分布和正态分布(精练)(原卷版)
第9练 超几何分布、二项分布和正态分布【题型解读】【题型一 超几何分布】1.（华师大二附中高三练习）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班-（8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（x 轴表示对应的班号，y 轴表示对应的优秀人数）(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；(2)若从以上统计的高一（4）班的10名学生中抽出2人，设X 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X 的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“1k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“0k ξ=”表示第k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀()1,2,,8k =⋅⋅⋅．写出方差()()()()1234,,,D D D D ξξξξ的大小关系（不必写出证明过程）．2. 为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415. (1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.3. （贵州省思南中学高三月考）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组[)90,100，第二组[)100,110，…，第五组[]130,140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；（2）若从第一､五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.4．（全国高三课时练习）研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽车销量占比 1.5%2%3%5%8%9%20%(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．【题型二二项分布】1.（四川模拟）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()2P k χ>0.05 0.01 k3.8416.6352.（武昌模拟）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是23，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．3．（石家庄模拟）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占12，通过电视收看的约占13，其他为未收看者：(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X表示通过电视收看的人数，求X的分布列和期望．4. （临沂二模）某种植户对一块地上的n（*n∈N）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则概率均为12需要补种.（1）当n取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？n=时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列.（2）当4【题型三正态分布】1.（唐山二模）每年4月15口为全民国家安全教育日，某地教育部门组织大学生“国家安全”知识竞赛．已N，知当地只有甲、乙两所大学，且两校学生人数相等，甲大学学生的竞赛成绩X服从正态分布(60,100)N．乙大学学生的竞赛成绩Y服从正态分布(70,100)(1)从甲大学中随机抽取5名学生，每名学生的竞赛成绩相互独立，设其中竞赛成绩在[50,70]内的学生人数为T，求T的数学期望；(2)从两所大学所有学生中随机抽取1人，求该学生竞赛成绩在[60,70]内的概率；(3)记这次竞赛所有大学生的成绩为随机变量Z ，并用正态分布()200,N μσ来近似描述Z 的分布，根据（2）中的结果，求参数0μ和0σ的值．（0σ的值精确到0.1）附：若随机变量()2~,X N μσ，则(||)0.6826P X μσ-≤=，(||0.44)0.3413P X μσ-≤=．2.（山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若()2,XN μσ，令X Y μσ-=，则(0,1)YN ，且()a P X a P Y μσ-⎛⎫≤=≤ ⎪⎝⎭．(i)利用直方图得到的正态分布，求(10)P X ≤；(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(1)P Z ≥(结果精确到0.001)，以及Z 的数学期望(结果精确到0.01)．1.64 1.2816.4 4.05，200.59870.000035≈，200.72910.0018≈，200.78230.0074≈.若(0,1)YN ，则(0.25)0.5987P Y ≤≈，(0.61)0.7291P Y ≤≈，(0.78)0.7823P Y ≤≈.3．（高三课时练习）绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球、b 个黄球、5个黑球（*,a b N ∈），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．（1）经统计，每人的植树棵数X 服从正态分布()20,25N ，现有100位植树者，请估计植树的棵数X 在区间()15,25内的人数（结果四舍五入取整数）；（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？ 附参考数据：若()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈．4.（广东高三模拟）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数X 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数X ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()47.279.9P X <<；（ii ）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率. 参考数据：若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11910.9≈，60.95440.76≈，50.97720.89≈，60.97720.87≈.【题型四 特殊分布的综合应用】1（山东·高密三中高三阶段练习）某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%.现用此药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X .(1)若6X =，从这10人中随机选3人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数Y 的分布列和数学期望； (2)当k 为何值时，概率()P X k =最大？并说明理由.2．（常州市新桥高级中学高三模拟）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以ξ表示这2人中使用AI作业的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“1X=”表示该使用=”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X0=”表示该不使用“AI作业”积”，用“1Y=”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y0的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）。
二项分布与超几何分布、正态分布
一、基础小题
1．设随机变量 X～N(1,52)，且 P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数 a 的值
为( ) A．4 C．8
B．6 D．10
答案 A
解析 x＝0 与 x＝a－2 关于 x＝1 对称，则 a－2＝2，a＝4.故选 A．
2．设随机变量 X～B6，12，则 P(X＝3)＝(
10．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次 随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X) ＝________.
答案 1.96 解析 由题意，得 X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝ 1.96.
答案 32
解析 根据正态曲线的对称性知，要使误差 εn 在(－0.5，0.5)内的概率 不小于 0.9545，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，又 μ＝0，σ＝ 2n，所以 0.5≥2 2n⇒n≥32.
17．(2020·天津南开高三一模)甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各 射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为87，若第一 次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙 进行第三次射击，射击的命中率为12.乙若射中，则不再继续射击．则甲三 次射击命中次数的期望为________，乙射中的概率为________.
14．(多选)(2020·山东济南二模)已知在某市的一次学情检测中，学生
的数学成绩 X 服从正态分布 N(100,100)，其中 90 分为及格线，120 分为
优秀线．下列说法正确的是( )
附：随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，
超几何分布、二项分布、正态分布 练习
北京四中【过关练习】1、一个班级有30名学生，其中有10名女生，现在从中任选3名学生当班委，令变量x表示3名班委中女生的人数，令变量y表示3名班委中男生的人数，试求x与y的概率分布。
2、设20件商品中有15件一等品，其余为二等品，现从中随机选购2件，用x表示所购2件中的二等品件数，写出x的概率分布。
3、甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率为0.25，假定随机变量x表示译出此密码的人数：(1)写出x的分布列；(2)密码被译出的概率。
4、对患某种病的人，假定施行手术的生存率是70%，现有8个这种病人施行该种手术，设x为8个病人中生存下来的人数：(1)求p(x＝7)；(2)写出x的概率分布。
5、某种灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h后，至多只坏一个的概率。
6、假定随机变量z～N(0,1)，查表求：(1)P(z≤2.75)；(2)P(z＜0.5)；(3)P(z ＞－1.5)；(4)P(2＜z＜2.9)；(5)P(－2＜z＜2.9)。
7、设～N(0，1)，查表求：(1)P(0＜＜1.9)；(2)P(－1.83＜＜0)；(3)P(||＜1)。
8、设随机变量x只能取5，6，7，……，16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求：(1)P(x＞8)；(2)P(6＜x≤14)；(3)P(x≥10)。
9、设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以x表示取出的3件中的不合格品件数，试求x的概率分布。
10、随机变量x的分布列为P(x＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，试求：(1)P(x＜3)；(2)P；(3)P(2≤x≤4)。
11、一制药厂组织两组技术人员分别独立地试制不同类型的新药，设每组试制成功的概率都是0.40。
当第一组成功时，该组研制的新药的年销售额为400万元，若失败则没有收入；当第二组成功时，该组研制的新药的年销售额为600万元，若失败则没有收入，以x表示这两种新药的年销售总额，求x的概率分布。
2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练55二项分布与超几何分布正态分布
课时规范练55 二项分布与超几何分布、正态分布基础巩固组1.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A. B. C. D.2.某高三学生进行考试心理素养测试,场景相同的条件下每次通过测试的概率为,则连续测试4次,至少有3次通过的概率为()A. B. C. D.3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲竞赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于()A. B. C. D.4.某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成果X近似听从正态分布N(80,σ2),且P(75≤X≤80)=0.1.该市某校有350人参加此次统测,估计该校数学成果不低于85分的人数为()A.140B.105C.70D.355.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,则质点P移动六次后位于点(2,4)的概率是()A.6B.4C.6D.66.一个袋中有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球,则小明得分大于6分的概率是()A. B. C. D.7.(多选) “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的探讨、应用与推广,独创了“三系法”籼型杂交水稻,成功探讨出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食平安、农业科学发展和世界粮食供应做出了杰出贡献.某杂交水稻种植探讨所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)听从正态分布,其密度曲线函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是()A.该地水稻的平均株高为100 cmB.该地水稻株高的方差为10C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100,110)(单位:cm)的概率一样大8.设事务A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事务A至少发生一次的概率为,则事务A恰好发生一次的概率为()A. B. C. D.9.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产状况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为[490,495),[495,500),[500,505),[505,510),[510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)依据频率分布直方图,求质量超过500克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.10. 11分制乒乓球竞赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局竞赛结束.甲、乙两位同学进行单打竞赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局竞赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事务“X=4且甲获胜”的概率.综合提升组11.(多选)掷一个质地不匀整的硬币6次,每次掷出正面的概率均为,恰好出现k次正面的概率记为P k,则下列说法正确的是()A.P1=P5B.P1<P5C.P k=1D.P0,P1,P2,…,P6中最大值为P412.某个游戏中,一个珠子按如图所示的通道,由上至下地滑下,从最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜.假如你在该游戏中,猜得珠子从口4出来,那么你取胜的概率为()A. B. C. D.以上都不对13.在一次篮球投篮测试中,记分规则如下(满分为10分):①每人可投篮7次,每投中一次记1分;②若连续两次投中加0.5分,连续三次投中加1分,连续四次投中加1.5分,以此类推,…,七次都投中加3分.假设某同学每次投中的概率为,各次投篮相互独立,则:(1)该同学在测试中得2分的概率为;(2)该同学在测试中得8分的概率为.14.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2024年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如图所示:(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z听从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在[14.55,38.45]内的概率;②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列.附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ=≈11.95;若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954.15.为了引导居民合理用电,国家确定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯级别第一阶梯其次阶梯第三阶梯月用电范围/度(0,210] (210,400] (400,+∞)某市随机抽取10户同一个月的用电状况,得到统计表如下:居民用电户编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10用电量/度53 86 90 124 132 200 215 225 300 410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,其次阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出其次阶梯的部分每度0.8元,试计算用电410度时应交电费多少元?(2)现要在这10户家庭中随意选取3户,求取到其次阶梯电量的用户数的分布列与数学期望;(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k的值.16.某公司选购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽测120个零件的长度(单位:分米),按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]这6组,得到如图所示的频率分布直方图,其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个,其长度分别为1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69, 1.71,1.72,1.74,以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.(1)求这批零件的长度大于1.60分米的频率,并求频率分布直方图中m,n,t的值;(2)若从这批零件中随机选取3个,记X为抽取的零件长度在(1.4,1.6]的个数,求X的分布列和数学期望;(3)若变量S满足|P(μ-σ≤S≤μ+σ)-0.683|≤0.05且|P(μ-2σ≤S≤μ+2σ)-0.954|≤0.05,则称变量S满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.假如这批零件的长度Y(单位:分米)满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺当被签收;否则,公司将拒绝签收.试问,该批零件能否被签收?参考答案课时规范练55二项分布与超几何分布、正态分布1.D∵每次取到黄球的概率为,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为2.A4次独立重复试验,故概率为34=3.D P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-4.A因为X近似听从正态分布N(80,σ2),所以P(80≤X≤85)=P(75≤X≤80)=0.1,即有P(X≥85)=0.5-0.1=0.4,故该校数学成果不低于85分的人数为350×0.4=140.5.C依据题意,易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点(2,4),在移动过程中向上移动4次向右移动2次,则其概率为P=42=6.6.A记得分为X,则X的可能取值为5,6,7,8,P(X=7)=;P(X=8)=,所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=7.AC f(x)=,故μ=100,σ2=100,故A正确,B错误;P(X>120)=P(X<80)>P(X<70),故C正确;依据正态分布的对称性知P(100<X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故D错误.8.C假设事务A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得事务A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,故事务A恰好发生一次的概率为1-2=9.解 (1)质量超过500克的产品数量是40×(0.07×5+0.05×5+0.01×5)=26(件);(2)由题意知Y的全部可能取值为0,1,2.质量超过505克的产品数量是40×(0.05×5+0.01×5)=12(件),质量未超过505克的产品数量是28件.P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,∴Y的分布列为Y0 1 2P10.解 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局竞赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局竞赛结束,且这4个球的得分状况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.11.BD P1=,P5=5,P1<P5,故A错误,B正确;P k=1,故C错误;由二项分布概率公式可得P0=,P1=,P2=,P3=,P4=,P5=,P6=,最大值为P4,D正确.12.C从入口到出口4共有=10(种)走法,其中每一岔口的概率都是,所以珠子从口4出来的概率为P=13只得2分,只能投中2次,且不相邻,概率为P1=;得8分,前3次和后3次均投中,中间一次不中;起先连中5次,第6次不中,第7次中或第1次中,第2次不中,然后连中5次,或分别连中4次和连中2次,中间有1次不中,概率为P2=+2+214.解(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.(2)①∵Z听从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,∴P(14.55≤Z≤38.45)=P(26.5-11.95≤Z≤26.5+11.95)≈0.683,∴Z落在[14.55,38.45]内的概率是0.683.②依据题意得X~B,P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=;P(X=4)=∴X的分布列为X0 1 2 3 4P15.解(1)210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元).(2)设取到其次阶梯电量的用户数为ξ,可知其次阶梯电量的用户有3户,则ξ可取0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=故ξ的分布列是ξ0 1 2 3P所以E(ξ)=0+1+2+3(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,满足X~B10,,可知P(X=k)=k10-k(k=0,1,2,3, (10)由解得k,k∈N*,所以当k=6时,用电量为第一阶梯的可能性最大,所以k=6.16.解(1)由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件,则这批零件的长度大于1.60分米的频率为=0.15,记Y为零件的长度,则P(1.2≤Y≤1.3)=P(1.7<Y≤1.8)==0.025,P(1.3<Y≤1.4)=P(1.6<Y≤1.7)==0.125,P(1.4<Y≤1.5)=P(1.5<Y≤1.6)=(1-2×0.025-2×0.125)=0.35,故m==0.25,n==1.25,t==3.5.(2)由(1)可知从这批零件中随机选取1件,长度在(1.4,1.6]的概率P=2×0.35=0.7,且随机变量X听从二项分布X~B(3,0.7),则P(X=0)=(1-0.7)3=0.027,P(X=1)=(1-0.7)2×0.7=0.189,P(X=2)=(1-0.7)×0.72,P(X=3)=0.73=0.343,故随机变量X的分布列为X0 1 2 3P0.027 0.189 0.441 0.343E(X)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1(或E(X)=3×0.7=2.1).(3)由题意可知μ=1.5,σ=0.1,则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)=P(1.4≤Y≤1.6)=0.7;P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)=P(1.3≤Y≤1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95,因为|0.7-0.683|≈0.017≤0.05,|0.95-0.954|≈0.004≤0.05,所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布.应认为这批零件是合格的,将顺当被该公司签收.。
高中数学选择性必修三 专题05二项分布、超几何分布与正态分布(含答案)高二数学下学期期中专项复习
专题05二项分布、超几何分布与正态分布一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X 表示向上一面出现6点的次数，则X 的数学期望()E X 的值为（ ）A ．13 B ．49C ．59D ．23【答案】D 【详解】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为16()112(4,)4663XB E X ∴=⨯=故选：D2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（ ） A ．43 B ．119C ．1D ．89【答案】A 【详解】由题意可知：2~(2,)3X B ，因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是242=33⨯. 故选：A3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ，且()6E X =，则()D X =（ ） A ．1.8 B ．6C ．2.1D ．4.2【答案】D 【详解】因为X 服从二项分布~(20,)X B p ，所以()206==E X p ，得0.3p =，故()(1)200.30.7 4.2=-=⨯⨯=D X np p ．故选：D.4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（ ） A ．14B ．13C ．34D ．45【答案】A 【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故选：A ．5．（2020·全国高二课时练习）已知圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =的值为（ ） A ．23 B ．35C ．13D ．2764【答案】D 【详解】由题意，知圆心坐标为()1,4，圆心到直线()10kxy k +-=∈Z 的距离为=17k =-或1k =．因为k Z ∈，所以1k =． 因为14,4XB ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()141141127114464P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）A ．1128B ．7128C ．21128D ．35128【答案】C 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2527112122128P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：C.7．（2020·江苏省苏州中学园区校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，若(21)(1)P m P m ξξ<+=>-，则实数m 的值是（ ）A ．23B ．43C ．53D ．2【答案】B 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，(21)(1)P m P m ξξ<+=>-， 根据正态分布的特征，可得21122m m ++-=，解得43m =.故选：B ．8．（多选）（2021·全国高二课时练习）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A ．这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B ．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C ．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D ．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128【答案】ACD 【详解】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题； B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题. 故选：ACD.9．（多选）（2020·全国高三专题练习）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =（例如10100）其中A 的各位数中()2,3,4,5k a k =出现0的概率为13，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，则当程序运行一次时（ ）A ．X 服从二项分布B ．()8181P X ==C ．X 的期望()83E X = D ．X 的方差()83V X =【答案】ABC 【详解】解：由于二进制数A 的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类： ①后4个数出现0，X 0=，记其概率为411(0)()381P X ===；②后4个数位只出现1个1，1X =，记其概率为134218(1)()()3381P X C ===； ③后4位数位出现2个1，2X =，记其概率为22242124(2)()()3381P X C ===， ④后4个数为上出现3个1，记其概率为3342132(3)()()3381P X C ===，⑤后4个数为都出现1，4X =，记其概率为4232(4)()381P X ===，故2~(4,)3X B ，故A 正确；又134218(1)()()3381P X C ===，故B 正确；2~(4,)3X B ，28()433E X ∴=⨯=，故C 正确；2~(4,)3X B ，X ∴的方差218()4339V X =⨯⨯=，故D 错误．故选：ABC ．10．（2020·江苏南京市·南京田家炳高级中学高三期中）下列命题中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量服从二项分布(),B n p ，若()30E x =，()20D x =，则23p =B ．已知34n n A C =，则27n =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0.8X B ，则当8X =时概率最大. 【答案】BCD 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，故选项A 错误； 对于选项B ：根据排列数和组合数的计算公式可得，()()()3!213!n n A n n n n ==---，()()()()4321!4!4!24n n n n n n C n ---=-=，因为34n n A C =，所以有()()()()()3212124n n n n n n n -----=，即3124n -= 解得27n =，故选项B 正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，即()1102P p ξ-<<=-，故选项C 正确； 对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP x k C -==⨯0.8⨯，所以当1k时，()()()101011101104110.80.210.80.2kk kk k k P x k k C P x k C k----+=-⋅⋅===-⋅⋅， 由()()()41111P x k k P x k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤，因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈， 即8k时，概率()8P x =最大，故选项D 正确．故选：BCD . 二、填空题11．（2021·江西高三其他模拟（理））已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，()60.84P ξ≤=，则()0P ξ≤=______.【答案】0.16 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，所以(0)(6)P P ξξ≤=≥， 又(6)0.84P ξ≤=，所以(0)1(6)10.840.16P P ξξ≤=-≤=-=.故答案为：0.1612．（2020·福建三明市·高二期末）已知某批零件的长度误差X 服从正态分布()2,N μσ，其密度函数()()222,12x x e μσμσϕπσ--=的曲线如图所示，则σ=______；从中随机取一件，其长度误差落在()3,6内的概率为______.（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<≤+=，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=.）【答案】3 0.1359 【详解】解：由图中密度函数解析式，可得3σ=；又由图象可知0μ=，则长度误差落在(3,6)内的概率为： 1(36)[(22)()]2P X P P μσξμσμσξμσ<<=-<+--<+1(0.95440.6826)0.13592=-=． 故答案为：3；0.1359． 三、解答题13．（2021·全国高二课时练习）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率； （3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析 【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人 ∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人 （2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A ∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+= 依题意可知：~(3,0.3)X B3(0)0.7P B ==,1123(1)0.30.7P X C == 22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C X P ====所以,X 的分布列为 X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027()30.30.9E X np ==⨯=14．（2020·全国高三专题练习（理））袋子中有1个白球和2个红球． （1）每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；（2）每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； （3）每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【详解】（1）由题意，X 可能取值1，2，3. 则()113P X ==，()2112323P X ==⨯=，()211133213P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为（2）X 可能取值为1，2，3，4，5.则()113P X ==，()2122339P X ==⨯=，()221433327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()321843381P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42165381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为（3）由题意可得，15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()551233kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5k =，则()320243P X ==，()801243P X ==，()802243P X ==，()403243P X ==，()104243P X ==，()15243P X ==， 所以X 的分布列为15．（2021·全国高三其他模拟）某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率． （2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算． 【答案】（1）825；（2）选择方案一更划算． 【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件A ，则()232615C P A C ==．∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为()()22118[1]215525P C P A P A ⎛⎫=⋅⋅-=⨯⨯-=⎪⎝⎭． （2）若小勇选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为360，480，600．则()232613605C P X C ===，()11332634805C C P X C ===，()232616005C P X C ===． 故X 的分布列为∴()131360480600480555E X =⨯+⨯+⨯=（元）．若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则600100Z Y =-． 由已知，可得12,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()1212E Y =⨯=， ∴()()()600100600100600100500E Z E Y E Y =-=-=-=（元）．由上知：()()E X E Z <，故小勇选择方案一更划算．16．（2021·全国高二课时练习）第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p .（i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列.参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.【答案】（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==， 所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p f p p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =， 当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增； 当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减；所以()f p 的最大值点034p =； （ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=； 所以X 的分布列为。
项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
二项分布还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用 这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例1袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为51，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．331464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为Y 0 1 2P715 715 115例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，……，(510,515]，由此 得到样本的频率分布直方图，如图4（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
X 0 1 2 3 P64125 48125 12125 112517.:(1)505⨯⨯⨯⨯解重量超过克的产品数量是:40(0.055+0.015)=400.3=12.(2)Y 的分布列为:22353(3)10373087*********3087.10000:设所取的5件产品中,重量超过505克的产品件数为随机变量Y,则Y B(5,),从而P(Y=2)=C ()()=.即恰有2件产品的重量超过505克的概率为: (共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --== （0,1,2,,k m =L ）进行处理就可以了.:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概 率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生 的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.2个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题二项分布、超几何分布、正态分布练习题一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( )2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球 出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810·⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589·⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫5824．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则 事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[,1)B ．(0,]C ．(0,]D ．[,1) 5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ＜0)＝( ) A ． B ．0.32 C ． D ． 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为______． 8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N (4,．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 三、解答题9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率 为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布 列，并求出均值E (X ).10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机频率组距年抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁” 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．11、2015年南京青奥组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
第十章 §10.6 二项分布、超几何分布与正态分布-2025届高中数学大一轮复习练习
一、单项选择题1．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ＝0)＝49，则D (Y )等于()A.23B.43C.49D.892．(2023·福建名校联盟大联考)甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为()A.827 B.427 C.49 D.293．(2023·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布N (72,82)，则数学成绩位于(80,88]的人数约为()参考数据：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9973.A ．455B ．2718C ．6346D ．95454．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E (ξ)为()A.45B.910C ．1 D.655．32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()A ．24B ．25C ．26D ．276．(2024·赤峰模拟)某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖．客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有()A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张二、多项选择题7．(2023·莆田模拟)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N (8，σ2)，且P (ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为X，则() A．P(7<ξ<9)＝0.8B．E(X)＝1.8C．E(ξ)>E(5X)D．P(X≥1)>0.98．(2023·汕头模拟)一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，均值和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，均值和方差分别为E(X2)，D(X2)，则()A．E(X1)＝E(X2)B．E(X1)>E(X2)C．D(X1)>D(X2)D．D(X1)<D(X2)三、填空题9．(2023·石家庄模拟)某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．10．(2023·唐山模拟)近年来，理财成为了一种趋势，老黄在今年买进某个理财产品．设该产品每个季度的收益率为X，且各个季度的收益之间互不影响，根据该产品的历史记录，可得P(X>0)＝2P(X≤0)．若老黄准备在持有该理财产品4个季度之后卖出．则至少有3个季度的收益为正值的概率为________．11．(2024·南开模拟)一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品．若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为________；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品________次．12．(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值x i(i＝1,2,3，…，100)，经计算错误!i＝7200，错误!2i＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.四、解答题13．某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从均值的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？14．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：(1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)；(2)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.。
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北京四中【过关练习】1、一个班级有30名学生，其中有10名女生，现在从中任选3名学生当班委，令变量x表示3名班委中女生的人数，令变量y表示3名班委中男生的人数，试求x与y的概率分布。
2、设20件商品中有15件一等品，其余为二等品，现从中随机选购2件，用x表示所购2件中的二等品件数，写出x的概率分布。
3、甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率为0.25，假定随机变量x表示译出此密码的人数：(1)写出x的分布列；(2)密码被译出的概率。
4、对患某种病的人，假定施行手术的生存率是70%，现有8个这种病人施行该种手术，设x为8个病人中生存下来的人数：(1)求p(x＝7)；(2)写出x的概率分布。
5、某种灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h后，至多只坏一个的概率。
6、假定随机变量z～N(0,1)，查表求：(1)P(z≤2.75)；(2)P(z＜0.5)；(3)P(z ＞－1.5)；(4)P(2＜z＜2.9)；(5)P(－2＜z＜2.9)。
7、设～N(0，1)，查表求：(1)P(0＜＜1.9)；(2)P(－1.83＜＜0)；(3)P(||＜1)。
8、设随机变量x只能取5，6，7，……，16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求：(1)P(x＞8)；(2)P(6＜x≤14)；(3)P(x≥10)。
9、设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以x表示取出的3件中的不合格品件数，试求x的概率分布。
10、随机变量x的分布列为P(x＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，试求：(1)P(x＜3)；(2)P；(3)P(2≤x≤4)。
11、一制药厂组织两组技术人员分别独立地试制不同类型的新药，设每组试制成功的概率都是0.40。
当第一组成功时，该组研制的新药的年销售额为400万元，若失败则没有收入；当第二组成功时，该组研制的新药的年销售额为600万元，若失败则没有收入，以x表示这两种新药的年销售总额，求x的概率分布。
12、批量较大的一批产品有30%的一级品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求：(1)取出的5个样品中恰有2个一级品的概率；(2)取出的5个样品中至少有两个一级品的概率。
13、一种报警器可靠性为80%，那么安装两台这样的报警器将可靠性提高到多大？14、某城市小汽车的普及率为20%，即平均每10个家庭中有两个家庭有小汽车，若从这个城市中任意选出9个家庭，试求有3个以上(包括3个)的家庭有小汽车的概率。
15、若～N(0，1)，且令φ(x)＝P(≤x)，判断下列等式是否成立：(1)φ(－x)＝1－φ(x)；(2)P(||≤x)＝1－2φ(x)；(3)P(||≤x)＝2φ(x)－1；(4)P(||＞x)＝2[1－φ(x)]。
16、假定随机变量z～N(0，1)且P(－a＜z≤a)＝0.6，a＞0，求a。
17 、某纺织厂里一个女工照顾800个纱绽。
设在某一段时间内每个纱绽上的纱被扯断的概率等于0.005，求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。
【过关练习参考答案】1、解：用P(x，y)表示班委中有x个女生，y个男生的概率，其中x＋y＝3，则P(0，3)＝，P(1，2)＝，P(2，1)＝，P(3，0)＝，故班委中有3个男生的概率为P(0，3)＝，有一名女生，两名男生的概率为P(1，2)＝，有两名女生，一名男生的概率为P(2，1)＝，只有三名女生的概率为P(3，0)＝。
2、解：用x表示所购2件商品中一等品的件数，则P(x＝k)满足超几何分布，故P(x＝0)＝，P(x＝1)＝，P(x＝2)＝。
3、解：(1)设译出此密码的人数为x，则由题知，x～B(3，0.25)，故有P(x＝0)＝，P(x＝1)＝，P(x＝2)＝，P(x＝3)＝，(2)密码被破译的概率为P(x≥1)＝1－P(x＝0)＝。
4、解：由题可知，随机变量x～B(8，0.7)，故(1)P(x＝7)＝＝8×0.77×0.3≈0.1977。
(2)∵P(x＝0)＝≈0.0001，P(x＝1)＝≈0.0012，P(x＝2)＝＝0.0100，P(x＝3)＝＝0.0467，P(x＝4)＝＝0.1361，P(x＝5)＝＝0.2541，P(x＝6)＝＝0.2965，P(x＝7)≈0.1977，P(x＝8)＝＝0.0576，∴所求分布列为：5、解：设某只灯泡在1000h内损坏的事件为A，则P(A)＝0.8，P()＝0.2，3只灯泡在使用1000h后，损坏x只，则x～B(3，0.8)，∴P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝×0.8×0.22＝0.008＋0.096＝0.104 。
6、解：(1)P(z≤2.75)＝0.9970。
(2)P(z＜0.5)＝0.6915。
(3)P(z＞－1.5)＝P(z≤1.5)＝0.9332。
(4)P(2＜z＜2.9)＝P(z＜2.9)－P(z≤2)＝0.9981－0.9772＝0.0209。
(5)P(－2＜z＜2.9)＝P(z＜2.9)－P(z≤－2)＝P(z＜2.9)－P(z≥2)＝P(z＜2.9)－[1－P(z≤2)]＝P(z＜2.9)＋P(z≤2)－1＝0.9981＋0.9772－1＝0.9753。
7、解：(1)P(0＜＜1.9)＝P(＜1.9)－P(≤0)＝0.9713－0.5＝0.4713。
(2)P(－1.83＜＜0)＝P(＜0)－P(≤－1.83)＝P(＜0)－P(≥1.83)＝P(＜0)－[1－P(≤1.83)]＝P(＜0)＋P(≤1.83)－1＝0.5＋0.9664－1＝0.4664。
(3)P(||＜1)＝P(－1＜＜1)＝P(＜1)－P(≤－1)＝P(＜1)－P(≥1)＝P(≤1)－[1－P(≤1)]＝2P(≤1)－1＝2×0.8413－1＝0.6826。
8、解：(1)P(x＞8)＝。
(2)P(6＜x≤14)＝。
(3)P(x≥10)＝。
9、解：由题可知，x满足超几何分布H(3，2，15)，故P(x＝0)＝H(0；3，2，15)＝，P(x＝1)＝H(1；3，2，15)＝，P(x＝2)＝H(2；3，2，15)＝。
10、解：(1)P(x＜3)＝P(x＝1)＋P(x＝2)＝。
(2)P＝P(x＝1)＋P(x＝2)＝。
(3)P(2≤x≤4)＝P(x＝2)＋P(x＝3)＋P(x＝4)＝。
11、解：设第一组试验成功的事件为A，第二组试验成功的事件为B，则A、B互相独立，且P(A)＝P(B)＝0.40，由题意可知，P(x＝0)＝P()＝P()P()＝(1－0.4)(1－0.4)＝0.36，P(x＝400)＝P(A)＝P(A)P()＝0.4×(1－0.4)＝0.24，P(x＝600)＝P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.4＝0.24，P(x＝1000)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.4＝0.16。
12、解：设取出一级品的事件为A，则P(A)＝0.3，P()＝0.7，故(1)取出的5个样品中恰有两个一级品的概率为：P(k＝2)＝＝0.3087。
(2)取出的5个样品中至少有两个一级品的概率为：P(k≥2)＝1－P(k＝0)－P(k＝1)＝1－＝1－1×1×0.75－5×0.3×0.74＝0.5772213、解：设第一个报警器正常工作的事件为A，第二个报警器正常工作的事件为B，则两个报警器至少有一个正常工作的概率为：P(k≥1)＝P(AB)＋P(A)＋P(B)＝P(A)P(B)＋P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×0.8＋0.8×0.2＋0.2×0.8＝0.64＋0.16＋0.16＝0.96∴安装两只报警器将可靠性提高到96%。
14、解：设抽出的家庭中有小汽车的事件为A，则p＝P(A)＝0.2，q＝P()＝0.8，则所求概率满足二项分布，故有P(k≥3)＝1－P(k≤2)＝1－＝0.7382。
15、解：(1)当x＞0时，φ(－x)＝P(≤－x)＝P(≥x)＝1－P(＜x)＝1－φ(x)，当x＜0时，φ(x)＝P(＜x)＝P(≥－x)＝1－P(＜－x)＝1－φ(－x)φ(－x)＝1－φ(x)，∴φ(x)＝1－φ(－x)恒成立。
(2)P(||≤x)＝P(－x＜＜x)＝P(＜x)－P(≤－x)＝φ(x)－φ(－x)＝φ(x)－[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，∴P(||≤x)＝1－2φ(x)不成立。
(3)P(||≤x)＝2φ(x)－1恒成立。
(4)P(||＞x)＝P(＞x或＜－x)＝P(＞x)＋P(＜－x)＝[1－P(≤x)]＋P(＜－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋[1－φ(x)]＝2[1－φ(x)]，∴P(||＞x)＝2[1－φ(x)]恒成立。
16、解：∵P(－a＜z≤a)＝P(z≤a)－P(z≤－a)＝P(z≤a)－P(z≥a)＝P(z≤a)－[1－P(z≤a)]＝2×P(z≤a)－1＝2φ(a)－1，∴2φ(a)－1＝0.6φ(a)＝0.8，∴a≈0.84。
17、解：本题可化为n＝800次的独立贝努利试验，故出现m次断纱的事件概率为b(m；800，0.005)＝，在这段时间内断纱次数不大于10的概率为：≈0.9972。
(或利用Excel计算P(k≤10)＝≈0.9972)。