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中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附详细答案

中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附详细答案

中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附详细答案中考数学压轴题专题：圆的综合一、圆的综合1.如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E。

1) 求证：AC∥OD；2) 如果DE⊥BC，求AC的长度。

答案】(1) 证明见解析；(2) 2π。

解析】试题分析：(1) 由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；(2) BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度。

试题解析：1) 证明：因为OC=OD，所以∠OCD=∠XXX。

因为CD平分∠ACO，所以∠XXX∠ACD。

因此，∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD。

2) 因为BC切⊙XXXC，所以XXX。

因为DE⊥BC，所以OC∥DE。

因为AC∥OD，所以四边形ADOC是平行四边形。

因为OC=OD，所以平行四边形ADOC是菱形，所以OC=AC=OA。

因为△AOC是等边三角形，所以∠AOC=60°，因此弧AC的长度为2π。

点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式。

此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。

2.(类比概念) 三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切。

以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形。

性质探究) 如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系。

猜想结论：(要求用文字语言叙述)写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）性质应用)①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形(填序号)：A：平行四边形；B：菱形；C：矩形；D：正方形。

中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)

中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)

中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。

(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF 的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,ADC BAD∠<∠,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连结EF,使AFE ADC∠=∠.(1)若60O∠的度数.∠=,CD为直径,求ABDAFE(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,AC BD=,E ∠=∠．在BA的延长线上,CEA CAD(1)如图1,求证:CE是O的切线OA=,求BD的长．(2)如图2,若2CEA DAB∠=∠,85.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD BD =.(1)求证：△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求AC 的长．8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC中,90ACB∠=︒,AC BC=,O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交O于点D,过点E作EF CD∥,交AC于点F．(1)求证:EF是O的切线;(2)若BM=,1tan2BCD∠=,求OM的长．11.(24年绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的O 与AD相切于点E,与AC相交于点F．(1)求证:AB与O相切．(2)若正方形ABCD1,求O的半径．(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN OC⊥交CE于点N．当:1:4CM FM=时,求CN的长．12.(24年河北中考)已知O的半径为3,弦MN=ABC中.∠=︒==在平面上,先将ABC和O按图1位置摆放(点B与点N重90,3,ABC AB BC合,点A在O上,点C在O内),随后移动ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在O上=．随之移动,设BN x(1)当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.(2)当OA MN∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.(3)设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.①直接写出d的最小值．13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题: 如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系．(提示:分别作AB 和BC 边上的高．)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===(R 为ABC 外接圆的半径)． 请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===．【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒．求过A,B,D 三点的圆的半径．14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos ADC ∠=. O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长(2)求O 的半径．15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为CB 上一点,且AC CE =．(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积．16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径,BC BD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠．(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值．18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证:DE BE ⊥(2)若AB =5BE =,求O 的半径．19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、．(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径．20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF ．(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径． 21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠．(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长．22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠．(1)求证:AD 是O 的切线．(2)若4,BE AD ==求O 的半径长．23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F ．(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长．24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明:点D 为BC 上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;①若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围．25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD ．(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长．26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD ．(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径．27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =,求cos ABC ∠的值．28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G ．(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM ．①求证:AM 是O 的切线;①若6DG =,5DF =,求O 的半径．29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1,若1BE =,CE =求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥．(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F ．(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N ．求证:MN 是O 的切线．31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===． 以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG ．(1)求证：CG 为EF 所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)32.(24年青海中考) 如图,直线AB经过点C,且OA OB=．=,CA CB(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若圆的半径为4,30∠=︒,求阴影部分的面积．B中考压轴题圆的切线证明与计算答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略 (2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解 (2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略 (2).6.(24年新疆中考)【答案】(1) 略 (2)CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析 (2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略 (2)43π 9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略 (2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略 (2)12.(24年河北中考)【答案】(1)π (2)点B 到OA 的距离为2;3 (3)①3d =2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =．14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC = (2)O 的半径为715.(24年乐山中考)【答案】(1)略 (2)3π-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略 (2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略 (2)tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略 (2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略 (2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略 (2)略 (3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略 (2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略 (2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略 (2)45 24.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;①DF 的取值范围为2DF <<25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略 (2)CD =DE =． 26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略 (2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略 28.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略 (2)①证明略,①O 的半径为203． 29.(24年包头中考)【答案】(1)3 (2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1 (2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略 3π32.(24年青海中考) 【答案】(1)详见解析 (2) 83S π=阴影。

中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案

中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案

题库:圆的证明与计算题1.如图，AB是⊙O的直径，点D是»AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长．第1题图(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，∴∠EAB＝∠CBE，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE，如解图，连接DO，第1题解图∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠EBD＝∠OBD，∴∠EBD＝∠ODB，∴OD∥BE，∴PDPE＝POPB，∵P A＝AO，∴P A＝AO＝OB，∴POPB＝23，∴PDPE＝23，∴PDPD＋DE＝23，∵DE＝2，∴PD＝4.2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，cos A＝25，求DF的长．第2题图（1）证明：如解图，连接OD，第2题解图∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∵OD是⊙O的半径，G∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝25，∴OA ＝5，∴OG ＝OA 2－AG 2＝21，∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，∴四边形OGFD 为矩形，∴DF ＝OG ＝21.3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD .(1)求证：AD ＝AN ；(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，∴∠BAD ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，∴∠AEN ＝∠AMC ＝90°，∵∠ANE ＝∠CNM ，∴∠BAM ＝∠BCD ，∴∠BAM ＝∠BAD ，在△ANE 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM ＝∠BAD AE ＝AE∠AEN ＝∠AED， ∴△ANE ≌△ADE (ASA)，∴AN ＝AD ； (2)解：∵AB＝42，AE ⊥CD ,∴AE ＝12AB ＝22，又∵ON ＝1，∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，如解图，连接AO ，则AO ＝OD ＝2x －1，第3题解图 ∵△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1，∴(22)2＋(x－1)2＝(2x－1)2，解得x1＝2，x2＝－43(舍)，∴AO＝2x－1＝3，即⊙O的半径为3.4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sin B＝55，EF＝25，求CD的长．第4题图（1）证明：如解图，连接DE.第4题解图∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B. ∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；(2)解：∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝25，∴AB＝2AE＝4 5.在Rt△ABC中，AC＝AB·sin B＝4，∴BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3.5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE 的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作Y ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA=DC；(2)求∠P及∠AEB的度数.第5题图（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∵CB ⊥AE ，∴AD ⊥AE ，∴∠DAO ＝90°，又∵直线DP 和⊙O 相切于点C ，∴DC ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°，∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中，⎩⎨⎧DO ＝DO AO ＝CO， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)，∴DA ＝DC ；(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径，∴CF ＝FB ＝12BC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∴CF ＝12AD ，又∵CF ∥DA ，∴△PCF ∽△PDA ，∴PC PD ＝CF AD ＝12，即PC ＝12PD ，DC ＝12PD .由(1)知DA ＝DC ，∴DA＝12PD ，∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°.∵DP ∥AB ，∴∠F AB ＝∠P ＝30°，又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝90°－30°＝60°.6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .(1)求证：∠ABD ＝∠ADE ；(2)若⊙O 的半径为256，AD ＝203，求CE 的长．第6题图（1）证明：如解图，连接OD .第6题解图∵DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∴∠ADO ＋∠ADE ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠ODB ＝90°.∴∠ADE ＝∠ODB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ABD ＝∠ADE ;(2)解：∵AB ＝AC ＝2×256＝253，∠ADB ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠C ，BD ＝CD .∵O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵OD ⊥DE ，∴AC ⊥DE ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（253）2－（203）2＝5， ∵∠C ＝∠C ，∠DEC ＝∠ADC ＝90°， ∴△DEC ∽△ADC ，∴CEDC＝DCAC，即CE5＝5253，∴CE＝3.7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．第7题图(1)证明：如解图①，连接OD，第7题解图①则∠DOB＝2∠DCB，又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，即OD ⊥AB ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线．（2）解：如解图②，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，第7题解图②∵OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，∠BDO ＝90°， ∴∠B ＝30°， ∴∠DOB ＝60°， ∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2， ∴OD ＝2，∴BD ＝OD tan60°＝2 3.8.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交⊙O 于点A ，连接P A ，AO ，并延长AO 交⊙O 于点E ，与PB 的延长线交于点D . (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)若cos ∠CAO ＝45，且OC ＝6，求PB 的长．第8题图1）证明：如解图，连接OB，（∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，∴∠P AO＝∠PBO.∵PB为⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠P AO＝90°，∵OA 为⊙O 的半径， ∴P A 是⊙O 的切线； (2)解：∵cos ∠CAO ＝45，∴设AC ＝4k ，AO ＝5k ，由勾股定理可知OC ＝3k ， ∴sin ∠CAO ＝35，tan ∠COA ＝43， ∴CO OA ＝35，即6OA ＝35，解得OA ＝10， ∵tan ∠POA ＝tan ∠COA ＝AP AO ＝43， ∴AP10＝43，解得AP ＝403， ∵P A ＝PB ， ∴PB ＝P A ＝403.9.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，∠ACD ＝∠ABC . (1)求证：CA 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan ∠ABC ＝23，tan ∠AEC ＝53，求⊙O 的直径．第9题图(1)证明：∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DCB ＝90°， ∵∠ACD ＝∠ABC ， ∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°， 即BC ⊥CA ，又∵BC 是⊙O 的直径， ∴CA 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △AEC 中，tan ∠AEC ＝53， ∴AC EC ＝53，EC ＝35AC .在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝23， ∴AC BC ＝23，BC ＝32AC . ∵BC －EC ＝BE ＝6，∴32AC －35AC ＝6，解得AC ＝203， ∴BC ＝32×203＝10， 即⊙O 的直径为10.10.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．第10题图（1）证明：如解图,连接OD，AD，第10题解图∵DE与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴D为BC中点，又∵O为AB中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；(2)解：∵AB=10，∴OB=OD=5.由(1)知OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴ABBFOBBFAFOFAEOD++==，设BF=x,则有10585++=xx解得x=310，∴BF=310.11.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长；(3)求证：AF＋2DF＝AB.第11题图（1）证明：如解图，连接OC.第11题解图∵AC 平分∠BAD ,∴∠OAC =∠CAD ， 又∠OAC =∠OCA ,∴∠OCA =∠CAD ， ∴CO ∥AD . 又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥OC ，又∵OC 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △ADE 中，∵AD =6，DE =8， 根据勾股定理得：AE =10， ∵CO ∥AD ， ∴△EOC ∽△EAD , ∴ADOCEA EO =. 设⊙O 的半径为r ，∴OE =10-r .∴61010rr -=， ∴r =415，∴BE =10-2r =25；（3）证明：如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G . ∵∠OAC =∠CAD ，AD ⊥CD ， ∴CG =CD ，在Rt △AGC 和Rt △ADC 中， ∵CG =CD ，AC =AC ，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），∴AG=AD.又∵∠BAC=∠CAD，∴BC=CF，在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵BC=FC，CG=CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），∴GB=DF.∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求BD︵的长；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE2＝AB·EF.第12题图（1）解：如解图，连接OD，第12题解图∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10， ∴OB ＝5， ∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 中点， ∴DE ＝12AC ＝EC ， 在△DOE 与△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE， ∴△DOE ≌△COE (SSS)． ∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE ≌△COE ， ∴OE 是线段CD 的垂直平分线，∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ，∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ，∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .13.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第13题图（1）证明：如解图，连接OB ，第13题解图∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ，∴AD ＝BD ，∴点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，∴∠APO ＝∠BPO ，∵∠ADP ＝∠BDP ＝90°，∴△APD ≌△BPD ，∴AP ＝BP ，在△P AO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ∠APO ＝∠BPO OP ＝OP，∴△P AO ≌△PBO （SAS ），∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵OA 为⊙O 的半径，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴OA OP ＝OD OA ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∴tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12，∴DF ＝2x ，∴OA ＝OF ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理得(2x －3)2＝x 2＋32，解得x 1＝4或x 2＝0(不合题意，舍去)，∴OA ＝2x －3＝5，∵AC 为⊙O 的直径，∴AC ＝2OA ＝10.14.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连接BE .(1)求证：AC 平分∠DAB ；(2)求证：PC =PF ；(3)若tan ∠PCB ＝34，BE ＝52，求PF 的长．第14题图（1）证明：如解图，连接OC ，第14题解图 ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵PC 是⊙O 的切线，且AD ⊥CD ，∴∠OCP ＝∠D ＝90°，∴OC ∥AD ，∴∠CAD ＝∠OCA ＝∠OAC ，即AC 平分∠DAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，又∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；(3)解：如解图，连接AE，∵∠ACE＝∠BCE，∴AE︵＝BE︵，∴AE＝BE，又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2BE＝10，∴OB＝OC＝5，∵∠PCB＝∠P AC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△P AC，∴PBPC＝BCCA，∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝34，∴PBPC＝BCCA＝34，设PB＝3x，则PC＝4x，在Rt△POC中，根据勾股定理得，(3x ＋5)2＝(4x )2＋52，解得x 1＝0，x 2＝307. ∵x ＞0，∴x ＝307，∴PF ＝PC ＝1207.15.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，且点C 是劣弧»AG 的中点，过点C 的直线CD ⊥BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若ED ＝3DB ，求证：3OF ＝2DF ；(3)在(2)的条件下，连接AD ，若CD ＝3，求AD 的长．第15题图(1)证明：如解图①，连接OC 、AC 、CG ，∵AC ︵＝CG ︵，∴AC ＝CG ，∴∠ABC ＝∠CBG ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCB ＝∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；第15题解图○1(2)证明：∵O C ∥BD ，∠CFO ＝∠DFB ，∴∠OCB ＝∠CBD ，∠EOC ＝∠EBD ，∴△OCF ∽△DBF ，△EOC ∽△EBD ，∴OC BD ＝OF DF ，OC BD ＝OE BE ，∴OF DF ＝OE BE ，∵ED ＝3DB ，∠EDB ＝90°，∴∠E ＝30°，∴OC ＝12OE ，∵OA ＝OC ，∴AE ＝OA ＝OC ＝OB ，∴OF DF ＝OE BE ＝2OA 3OA ＝23，即3OF ＝2DF ； (3)解：如解图②，过A 作AH ⊥DE ，交DE于点H ，∵∠E ＝30°，∴∠EBD ＝60°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝12∠EBD ＝30°，∵CD ＝3，∴BD ＝CD tan30°＝33，∴BE ＝33sin30°＝63，DE ＝3BD ＝9，∵AE ＝13BE ，AH ∥BD ，∴AH ＝13BD ＝3，DH ＝23DE ＝6，∴AD ＝（3）2＋62＝39.第15题解图○216.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线.以O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，连接AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D.(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若tan D＝12，求AEAC的值；(3)设⊙O的半径为3，求AB的长．第16题图(1)证明：如解图，过O作OF⊥AB交AB于F，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，∴CO＝FO，∴FO为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；第16题解图(2)解：如解图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO＋∠OCD＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＋∠ECO ＝90°，∴∠ACE ＝∠OCD ，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ，∴∠ACE ＝∠ODC ，∵∠CAE ＝∠CAE ，∴△ACE ∽△ADC ，∴AE AC ＝CE DC ，∵tan D ＝CE CD ＝12，∴AE AC ＝12；(3)解：由(2)知AE AC ＝12，设AE ＝c ，则AC =2c ，在Rt △ACO 中，∴(2c )2＋32＝(c ＋3)2，解得c ＝2或c =0（舍去），∴AF ＝AC ＝2c ＝4，∵在△BFO 和△BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BFO ＝∠BCA ＝90°， ∴△BFO ∽△BCA ，∴BF BC ＝FO CA ＝BO AB ，设BF＝x，BO＝y，∴x3＋y＝34＝y4＋x，解得x＝727，y＝757，∴AB＝AF＋BF＝4＋727＝1007.17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．第17题图(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.如解图，连接OD.第17题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°.即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝5 2.∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDCA，即PB＝DC·BDCA＝52×528＝254.18.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB.(1)求证：CE⊥AB；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求tan P的值．第18题图（1）证明：如解图，连接OC，第18题解图∴∠COB ＝2∠CAB ， 又∵∠POE ＝2∠CAB ， ∴∠COD ＝∠EOD ， 又∵OC ＝OE ， ∴CE ⊥AB ;(2)证明：∵CE ⊥AB ，∠P ＝∠E ， ∴∠P ＋∠PCD ＝∠E ＋∠PCD ＝90°， 又∠OCD ＝∠E ，∴∠OCD ＋∠PCD ＝∠PCO ＝90°， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线；(3)解：设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，则BD ＝2x ，r ＝3x ， ∵CD ⊥OP ，OC ⊥PC ， ∴Rt △OCD ∽Rt △OPC ，∴OC 2＝OD ·OP ，即(3x )2＝x (3x ＋9)， 解得x ＝32或x =0（舍去）， ∴⊙O 的半径r 为92，同理可得PC 2＝PD ·PO ＝(PB ＋BD ) ·(PB ＋OB )＝162， ∴PC ＝92，在Rt △OCP 中，tan P ＝OC PC ＝24.19.如图，AC 是⊙O 的直径，弦BE ⊥AC 于H ，F 为⊙O 上的一点，过点F 的直线与AC 的延长线交于点D ，与BE 的延长线交于点M ，连接AF 交BM 于G ，且MF ＝MG .(1)求证：MD 为⊙O 的切线；(2)求证：当MD ∥AB 时，FG 2＝MF ·EG ；(3)在(2)的条件下，若cos M＝45，FD ＝6，求AG 的长．第19题图(1)证明：∵MF ＝MG ， ∴∠MFG ＝∠MGF ＝∠AGB ， 如解图，连接FO ， ∵OF ＝AO ， ∴∠OF A =∠OAF ， ∵BE ⊥AC ，∴∠AGH +∠OAF =∠MFG +∠OF A =90°， 即∠MFO ＝90°， ∵OF 为⊙O 的半径， ∴MD 为⊙O 的切线； (2) 证明：∵MD ∥AB ， ∴∠M ＝∠ABM ，如解图，连接EF，∵∠EFG＝∠ABM，∴∠M＝∠EFG，∵∠MGF＝∠FGE，∴△MGF∽△FGE，∴FGMG＝EGFG，又∵MG=MF，∴FG2＝MF·EG；第19题解图：∵∠M＝∠ABM，cos M＝45，∴设AH＝3k，AB＝5k，HB＝4k，如解图，连接OB，∵∠FOD＝∠M，FD＝6，∴FO＝8＝OB＝OA，∴OH＝8－3k，∴OH 2＋HB 2＝OB2，∴(4k)2＋(8－3k)2＝82，(3)解解得k ＝4825或k =0（舍去）， ∵MD ∥AB ， ∴∠MFG ＝∠BAF ， ∴∠BGA ＝∠BAG ， ∴AB ＝GB ＝5k ， ∴GH ＝k ， ∴AG ＝10k ， ∴AG ＝482510.20.如图①，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线; (2)若AB ＝10，AC ＝6，求BD 的长；(3)如图②，若F 是OA 的中点，FG ⊥OA 交直线DE 于点G ，若FG ＝194，tan ∠BAD ＝34，求⊙O 的半径．图① 图②第20题图（1）证明：如解图①，连接OD ，第20题解图①∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE＋∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12AC，∴∠ONB ＝90°，且ON ＝3，OB =5，则BN ＝4，ND ＝2， ∴BD ＝42＋22＝25；（3）解：如解图②，设FG 与AD 交于点H ，第20题解图②根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，则AF ＝54x ，FH ＝AF ·tan ∠BAD ＝54x ·34＝1516x ，AH ＝AFcos ∠BAD ＝54x 45＝2516x ，HD ＝AD －AH ＝4x －2516x ＝3916x ， 由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°， 在Rt △HF A 中，∠F AH ＋∠FHA ＝90°， ∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ， ∴∠DHG ＝∠HDG ，∴GH ＝GD ，过点G 作GM ⊥HD ，交HD 于点M ， ∴MH ＝MD ，∴HM ＝12HD ＝12×3916x ＝3932x ，∵∠F AH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°， ∴∠F AH ＝∠HGM ，H在Rt △HGM 中，HG ＝HMsin ∠HGM ＝3932x 35＝6532x ，∵FH ＋GH ＝194， ∴1516x ＋6532x ＝194， 解得x ＝85，∴此⊙O 的半径为52×85＝4.中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案。

中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)及答案

中考数学压轴题之圆的综合(中考题型整理,突破提升)及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在⊙O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I 随之运动形成的路径长．23【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分∠ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD，可求出∠BAD的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，可证得∠DAI1=∠AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：∵点I是∠ABC的内心∴CI平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD∴弧AD=弧BD∴AD=BD（2）AB=DI理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD∴∠BCD=×120°=60°∵弧BD=弧BD∴∠DAB=∠BCD=60°∵AD=BD∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∠ABD=∠C∵I是△ABC的内心∴BI平分∠ABC∴∠CBI=∠ABI∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD∴∠BID=∠IBD∴ID=BD∵AB=BD∴AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD∴∠AED=∠ACB=×120°=60°∵圆的半径为2，DE是直径∴DE=4，∠EAD=90°∴AD=sin∠AED×DE=×4=2∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°∴弧AB的度数为120°，∴弧AM、弧BF的度数都为为40°∴∠ADM=20°=∠FAB∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°∴∠DAI1=∠AI1D∴AD=I1D=2∴弧I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB=，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF：（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，∴∠FBA+∠ABO=90°，∴∠FAB+∠BAO=90°，即∠FAO=90°，∴PA⊥OA，∴PA是圆O的切线；（3）过点F作FH⊥AD于点H，∵BD⊥AD，FH⊥AD，∴FH∥BC，由(2)，知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF.∵BF=FG，∴AF=FG，∴△AFG是等腰三角形.∵FH⊥AD，∴AH=GH，∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°，∴四边形BDHF 是矩形，∴BD =FH ，∵FH ∥BC∴△HFG ∽△DCG ，∴12FH HG CD DG ==， 即12BD CD =， ∴23 2.153≈， ∵O 的半径长为32，∴BC =62，∴BD =13BC ＝22. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.5．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是BC 上的一点，且PB ＜PC ，PA 交BC 于E ，点F 是PC 延长线上的点，CF=PB ，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP ≌△ACF ；（2）求证：AC 2=PA•AE ；（3）求PB 和PC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC 2=PA •AE 计算出AE=134 ，则PE=AP-AE=34，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长．试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，又∠ACP+∠ACF=180°，∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆．(2)在AEC ∆和ACP ∆中，∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º，∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ，∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，∴∠BAP=∠CAF ， CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中，∵∠BAP=∠ECP ，又∠APB=∠EPC=60°，∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅， ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =．∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =，∴PB 和PC 的长分别是1和3。

中考数学压轴题-圆的压轴题 含解析

中考数学压轴题-圆的压轴题 含解析

圆的压轴题（1）1、如图，BF 为⊙O 的直径，直线AC 交⊙O 于A ，B 两点，点D 在⊙O 上，BD 平分∠OBC ，DE ⊥AC 于点E 。

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若 BF=10，sin ∠BDE=，求DE 的长。

2、如图，AN 是M ⊙的直径，NB x ∥轴，AB 交M ⊙于点C .(1)若点()0,6A ，()0,2N ，30ABN =∠°，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M ⊙的切线.x y C D M O B NA3、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．4、已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．5、如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．6、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB=∠ECF；（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．9、如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．10、如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．11、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．（2）求PA+PB的最小值．12、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．13、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF ∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．16、已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN．参考答案1、【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4。

2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)

2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)

圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是　P 1，P 3　；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是　P 2、P 3　；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是　D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是　P1，P2　；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是　P1　；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是　Q 2，Q 4　．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为　(2,0)　；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标　(2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)=　23-2　，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围　1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2　；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。

人教备战中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题含答案

人教备战中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．2．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（235 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．3．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(2632)．【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）∵点A6，0），点B为（02）∴62∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：2∴M的半径r=122.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=263=∴点E 的坐标为（26，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×3=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.6．如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ．已知∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝2，AC ＝4，BD ＝6，求⊙O 的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35. 【解析】【分析】 (1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ，从而证明AD 为圆O 的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠B ，∵∠B ＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD＝22AC CD＝25∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB＝352∴⊙O的半径为352．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键7．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：BCE 1S2=S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18yx=；【探究应用2】见解析；【迁移【解析】【分析】（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝12AD＝3，求出平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝12BD×AM＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝12平行四边形ABCD的面积，得出12AF×BM＝12CE×BN，证出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四边形的性质得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，由直角三角形的性质得出BP＝12AB＝2x，BQ＝12BE，AP＝BP＝，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝x，CE，连接DF、DE，由三角形的面积关系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ． （4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP BP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ， ∴EQ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝x ，CE ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解； （3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0，∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635TH , ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8； 综上，25252t --<<--或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．9．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE ＝BD ，∠GOE ＝90°，⊙O 的半径为2，求EP 的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由见解析；②PE 3． 【解析】【分析】 （1）证明∠OFA ＝∠BAC ，由∠EAO +∠EOA ＝90°，推出∠OFA +∠AOE ＝90°，推出∠FAO ＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．连接FC ．由FC ＝FG ＝FA ，以F 为圆心FC 为半径作⊙F ．因为AG AG =，推出∠GFA ＝2∠ACG ，再证明∠ACG ＝∠ABC ．②图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．想办法证明∠GFA ＝120°，求出EF ，OF ，OG 即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC ．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.10．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为35； （2）相似，理由见解析， 如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.。

中考数学压轴题专练之圆的综合

中考数学压轴题专练之圆的综合

中考数学压轴题专练之圆的综合1．（1）如图1，在⊙O中AB为直径，C为⊙O上一点，D为上一动点，E为BD上一点∠BAE＝∠CAD，①求证：△ABC∽△AED．②若⊙O半径为5，BC＝6，当D运动至中点时，如图2，求CD的长．（2）若三角形ABC形状发生变化，AB＝AC，BC＝6，点D为上的动点，且cos∠ABC ＝，求AD•AE的值．2．如图，AB是⊙O的直径，直线BM经过点B，连接AC、BC，满足∠CBM＝∠BAC．（1）求证：直线BM是⊙O的切线；（2）过⊙O上一动点C作CD⊥OA交OA于点D，过点O作OE∥AC交直线BM于点E，连接AE交CD于点F．①求证：△ACD∽△OEB；②若CD＝2，求DF的长．3．对于平面直角坐标系xOy中的点P（2，3）与图形T给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．（1）如图，⊙O的半径为2且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为，⊙O关于点P的“宽距”为．②点M（m，0）为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．（2）已知一次函数y＝x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K，都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P 可以与点C，E重合），连接OP，DP．①线段OP的最小值为，最大值为；线段DP的取值范围是；②在点O，点D中，点与线段DE满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．5．已知△ABC为等边三角形，BC＝2，点D从C向A运动（包括端点C，A），以BD为直径在BD上方作半圆O，半圆O与AB交于点F，点G为AC的中点，点H为半圆弧的中点，∠CBD＝α．（1）如图1，当α＝0°时，BH＝；（2）如图2，0°＜α＜30°，半圆O是否始终经过点G，判断并简要说明理由；（3）如图3，α＝30°时，求图中阴影部分的面积S；（4）当0＜α≤60°时，直接写出AH长度的取值范围．6．如图，已知与的公共弦AB＝2，对应的圆心分别是点O，C，对应的圆心角分别是120°，180°；点N，M分别是与上的动点，且∠MAN＝60°．（1）如图1，连接OC，求OC长度；（2）连接ON，CM，若存在线段ON与CM交于点D．①如图2，当点D与点O重合时，求的值；②如图3，当点D异于点O，C时，∠MDN是否为定值？若是，求出该值；否则说明理由．（3）如图4，连接MN，直接写出MN的最小值．7．在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AC交⊙O于点F，∠A+∠C＝90°．（1）如图1，求证：CD＝BD；（2）如图2，过点D作DE⊥AB于点E，连接BF，求证：BF＝2DE；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠BDH＝∠ABF，DH交AB于点Q，连接BH，tan ∠BDE＝，EQ＝，求CF的长．8．已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E（点E不与O重合），连结AC，AD，AC＝AD．（1）如图1，求证：AB⊥CD．（2）如图2，过点D作弦DH⊥AC于点G，求证：＝＝．（3）如图3，在（2）的条件下，点Q为弧AD上一点，连结AQ，HQ，HQ交AB于点P，若AQ＝，DE＝3，∠HPB+2∠CAB＝90°．①求AP的长；②求⊙O的半径．9．已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD 与⊙O的另一个交点为E，连结AE．（1）当点E在线段CD上时，如图1．①求证：△ABC∽△AED．②若tan∠ABC＝3，△AEC的面积为，求⊙O的半径．（2）当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F．如图2，若时，求的值．10．在半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，延长OB到点C．使BC＝OB＝10．点D 为上的动点，点E是扇形所在平面内的点，连接OD，DE，EC，当DE＝EC＝10时，解答下列问题：论证：如图1，连接OE，DC，当OD∥EC时、求证：OE＝DC；发现：当∠DOC＝60°时，∠ODE的度数可能是多少？尝试：如图2，当点D，E，C三点共线时，求点D到OA所在直线的距离；拓展：当点E在OC的下方，且DE与相切时，直接写出∠DOC的余弦值．11．如图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N．（1）比较大小：cos∠OPQ sin∠OQP；（2）请你判断MP﹣NP与OP•cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明；（3）当∠APO＝60°时，设MQ＝m•MP，NQ＝n•NP．①求m+n的值；②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝﹣1，在Q点的移动过程中，1+﹣恒为非负数，请直接写出实数c的最大值．12．已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，交BD于点G，连接AG．（1）求证：CG＝CD；（2）如图1，若AG＝4，BC＝10，求⊙O的半径；（3）如图2，连接DF，交AC于点H，若∠ABD＝30°，CH＝6，试判断+是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．13．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，过点E作AC的平行线交BA延长线于点F．（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）如图2，当∠BAC＝36°时，连接FD．求证：FD平分∠BFE；（3）如图3，当∠BAC＝30°，AB＝+1时，求FE的长．14．已知：BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一点，连接AB，点K在AB上，连接CK、OK，∠AKC＝2∠ABC．（1）如图1，求证：KO平分∠BKC；（2）如图2，PA、PC为⊙O的切线，切点为点A、C，求证：∠AKC+∠APC＝180°；（3）如图3，在（2）的条件下，MN是⊙O的弦，MN∥BC，分别交KC、KB于点F、G，NO的延长线交PK的延长线于点E，交AB于点D，延长KO交FG于点T，若，FN+BC＝6TO，，FG＝，求△KFG的面积．15．已知：⊙O是△ACD的外接圆，直径AB交CD于点E．（1）如图1，求证：∠ADC+∠BAC＝90°；（2）如图2，过点D作DF⊥AB于点G，交⊙O于点F，连接BF，若DC平分∠ADF，求证：BE＝BF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EK∥BF交DG于点K，在BF上取一点N，连接KN、GN，使∠EKN+∠ADC＝90°，若EK＝20，OG＝7，求线段GN的长．16．梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于点C，AB＝10，tan B＝，⊙O1以AB为直径，⊙O2以CD为直径，直线O1O2与⊙O1交于点M，与⊙O2交于点N（如图1），设AD＝x．（1）记两圆交点为E、F（E在上方），当EF＝6时，求x的值；（2）当⊙O2与线段AO1交于P、Q时，设PQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AM，线段AM与⊙O2交于点G，分别联结NG、O2G，若△GMN与△GNO2相似，求x的值．17．数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心M在x轴正半轴上，点P为⊙M第一象限内的一个动点，据此：【前提条件】假若sin∠ABO＝，r＝5；【探究规律】如图1，连接DP并延长交y轴于点E，那么在P点移动过程中，是否有DP•DE为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．【归纳总结】如图2，小明发现做题越来越有意思，于是作∠ADH＝2∠ABO，BH⊥DH，交x轴于点F，连接PF，OP．点G为线段OP的三等分点（OG＜OP）．以点O为圆心，以线段OG为半径作⊙O，设⊙O半径为r，在点P移动过程中，是否有r2（17﹣15cos ∠FPO）为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．【拓展提升】如图3，若圆心和半径大小均不固定，那么点P，A，B，C，D，M均为动点，作PT∥y轴，交动圆M于点T．Q，R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT＝QR．那么在点P运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．18．已知AB为⊙O直径，△PCD是⊙O内接三角形，AB＝CD．（1）如图1，求∠P的度数；（2）如图2，PD交AB于点M，作CE⊥AB交AB于点E，连接CO并延长交PD于点N，若CP平分∠ECO，求证：OM＝ON；（3）如图3，在（2）的条件下，F是⊙O外一点FC是⊙O的切线，FD∥PC，若CF﹣CO＝ON，AE＝2，求PD的长．19．如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C，E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BD＝2，CD＝4，求直径AB的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OF，求tan∠BOF的值．20．等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC ＝2∠BAC；（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，①求证：GM∥BC，GM＝BC；②请直接写出的值．。

2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)

2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)

专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ， 在AF 上取一点O ， 以OA 为半径作圆， 恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2， 将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为 ；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

初三数学18道圆相关的压轴题汇总，理解透彻，中考不带怕的

初三数学18道圆相关的压轴题汇总，理解透彻，中考不带怕的

初三数学18道圆相关的压轴题汇总，理解透彻，中考不带怕的圆的基本性质一. 性质圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心二. 垂径定理及其推论1. 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧2. 推论：•平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧•弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧•平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧•在同圆或者等圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等3. 垂径定理与推论的延伸：三. 弦、弧、圆心角的关系1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等2. 推论：•在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等•弧的度数等于它所对圆心角的度数•四. 圆周角定理及其推论1. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2. 推论•同弧或等弧所对的圆周角相等•半圆（或直径）所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦是直径五. 圆与多边形1. 圆内接多边形2. 正多边形和圆六. 三角形的外接圆与圆有关的位置关系一. 点与圆的位置关系（设圆的半径为ｒ，平面内任一点到圆心的距离为ｄ）点在圆外ｄ＞ｒ，如右图中点Ａ点在圆上ｄ＝ｒ，如右图中点Ｂ点在圆内ｄ＜ｒ，如右图中点Ｃ二. 直线与圆的位置关系（设圆的半径为ｒ，圆心到直线的距离为ｄ）三. 切线的性质数量关系：圆心到切线的距离等于半径位置关系：切线垂直于过切点的半径四. 切线的判定直线与圆有公共点，连半径，证垂直直线与圆无公共点，作垂线，证半径五. 切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角如图，过⊙Ｏ外一点Ｐ可引两条切线ＰＡ、ＰＢ，则ＰＡ＝ＰＢ，ＰＯ平分∠ＡＰＢ六. 三角形的内切圆18道与圆相关的压轴题。

初三中考数学与圆有关的压轴题

初三中考数学与圆有关的压轴题

中考数学分类汇编——与圆有关的压轴题【题1】（年江苏南京,26题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O 为△ABC的内切圆．（1）求⊙O的半径；（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．【分析】：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．【解】：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF．∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．∵∠C=90°，∴四边形CEOF是矩形，∵OE=OF，∴四边形CEOF是正方形．设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB==5cm．∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，∴4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，即⊙O的半径为1cm．（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G．∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．∴△PBG∽△ABC，∴．∵BP=t，∴PG=，BG=．若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．①当⊙P与⊙O外切时，如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四边形PHEG是矩形，∴HE=PG，PH=CE，∴OH=OE﹣HE=1﹣，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣．在Rt△OPH中，由勾股定理，，解得t=．②当⊙P与⊙O内切时，如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四边形OEGM是矩形，∴MG=OE，OM=EG，∴PM=PG﹣MG=，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣，在Rt△OPM中，由勾股定理，，解得t=2．综上所述，⊙P与⊙O相切时，t=s或t=2s．【点评】：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．【题2】（•泸州24题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．【考点】：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【分析】：（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出结论．（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，求得DF=．【解答】：（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•PA∴PA=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在RT△APF中有，，求得DF=．【点评】：本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．【题3】（•济宁21题）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）r．∴r=．（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．【考点】：圆的综合题．【分析】：（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．（2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r1、r2、易得．【解答】：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=+++=，∴r=．（2）如图3，过点D作DE⊥AB于E，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴AE===5，∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16．在Rt△AED中，∵AD=13，AE=5，∴DE=12，∴DB==20．∵S△ABD===126，S△CDB===66，∴===．【点评】：本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养．【题4】（.福州20题）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32=，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.【解析】∴BC33=+.（2）由（1）得，在R t△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23.∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB ACCB CD=，即3223CD33=+.∴DM=4.∴⊙O的半径为2.【考点】：1.锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.【题5】（.广州25题）如图7，梯形中，，，,，，点为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为．（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；（2）试用表示，并写出的取值范围；（3）当的外接圆与相切时，求的值．【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图2，交于点，与关于对称，则有：，又又与关于对称，（3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得则又解得：（舍去）①②③【题6】（•湖州24题）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t ＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．【解答】：证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，（Ⅱ）如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．【题7】（•宁波26）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【分析】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值．（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论．【解答】：解：（1）方案一中的最大半径为1．分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当x=时，r最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．【题8】（•苏州28）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．【考点】：圆的综合题．【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．【解答】：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．【题9】（•泰州25题）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系．【题10】(年江苏徐州28) 如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】：（1）只要证到三个内角等于90°即可．（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．【解答】：解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE=（）2•S△DAB=××3×4=．∴S矩形ABCD=2S△CFE=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如图2③所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．∴4×3=5×CF″′．∴CF″′=．∴≤CF≤4．∵S矩形ABCD=，∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．∴≤S矩形ABCD≤12．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．【点评】：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强．而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键．【题11】（.连云港25题）为了考察冰川融化的状况，一支科考队在某冰川上设一定一个以大本营O为圆心，半径为4km 圆形考察区域，线段P1、P2是冰川的部分边界线（不考虑其它边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动.若经过n年，冰川的边界线P1P2移动的距离为s(km),并且s与n（n为正整数）的关系是。

人教中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案

人教中考数学圆的综合-经典压轴题附详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为A （6，0）、B （0，2），点C （x ，y ）在线段AB 上，计算（x+y ）的最大值。

中考数学几何综合圆的综合大题压轴题

中考数学几何综合圆的综合大题压轴题

中考数学几何综合圆的综合大题压轴题(总34页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的综合大题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD；（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP．（1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由；（2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．（1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）与是否相等？请你说明理由；（3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考）4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF．（1）求证：∠ACD＝∠F；（2）若tan∠F＝①求证：四边形ABCD是平行四边形；②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长．6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．7．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA＝1，AB＝，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若cos∠BAD＝，BE＝，求OE的长．9．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．10．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．11．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．12．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D 作⊙O的切线交BC边于点E．（1）如图，求证：EB＝EC＝ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF•DC若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE＝CE；（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC 的面积；（3）若EC＝4，BD＝，求⊙O的半径OC的长．14．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若∠AOP＝60°，求∠OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，①若∠COP＝∠DOP，求证：AC＝BD；②连接CD，设△PCD的周长为l，若l＝2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．15．如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD 上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF •OF如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．16．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD＝6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD＝11，求AB的长．17．如图1，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H，BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线相交于点D．（1）求证：DA＝DC；（2）当DF：EF＝1：8，且DF＝时，求AB•AC的值；（3）将图1中的EF所在直线往上平行移动到⊙O外，如图2的位置，使EF 与OB，延长线垂直，垂足为H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的半径，AB的延长线交⊙O于C，过C作⊙O的切线交EF于D．试猜想DA＝DC 是否仍然成立？并证明你的结论．18．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧的中点，连AD 并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．19．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于C，AD⊥PD，CM⊥AB，垂足分别为D，M．（1）求证：CB平分∠PCM；（2）若∠CBA＝60°，求证：△ADM为等边三角形；（3）若PO＝5，PC＝a，⊙O的半径为r，且a，r是关于x的方程x2﹣（2m+1）x+4m＝0的两根，求m的值．20．已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）．在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，请说明理由；（2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；②若＝n（n＞0），试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）．21．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP＝RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2＝PB•PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC 的延长线于点G．ⅰ）试探究线段CF与CD之间满足的数量关系；ⅱ）若CD＝4，tan∠BCE＝，求线段FG的长．23．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G，且D是的中点．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点P，连接CF，求证：CF＝DO+OP；（3）在（2）的条件下，连接CD，若tan∠HDC＝，CG＝4，求OP的长．24．如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）25．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是劣弧AC上的一点，连结AD并延长与BC的延长线交于点E，AC、BD相交于点M．（1）求证：BC•CE＝AC•MC；（2）若点D是劣弧AC的中点，tan∠ACD＝，MD•BD＝10，求⊙O的半径．（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC，交CD的延长线于点F，求﹣的值．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OM∥BC，交AC于点M．（1）求∠AMO；（2）延长OM交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交BC延长线于点F，连接FM，并延长FM交AB于点G．①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；②若AG＝2，CM＝3，求四边形CFEM的面积．28．如图1，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DP∥BA交CA的延长线于点P；（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，试猜想线段AE，EF，BF之间有何数量关系，并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图2，若AC＝6，tan∠CAB＝，求线段PC的长．29．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO 的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC＝12，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．30．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长度；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF＝CE；（3）当＝时，求劣弧的长度（结果保留π）32．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．（1）求证：△ACF∽△DAE；（2）若S△AOC＝，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．33．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC 于点D，连接AG、CP、PB．（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．34．如图1，点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上，以点O为圆心，以24为半径作半圆，分别交直线l于A，B两点．已知：CD＝18，CF＝24，矩形自右向左在直线l上平移，当点D到达点A时，矩形停止运动．在平移过程中，设矩形对角线DF与半圆的交点为P（点P为半圆上远离点B的交点）．（1）如图2，若FD与半圆相切，求OD的值；（2）如图3，当DF与半圆有两个交点时，求线段PD的取值范围；（3）若线段PD的长为20，直接写出此时OD的值．35．图1和图2中，优弧纸片所在⊙O的半径为2，AB＝2，点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．发现：（1）点O到弦AB的距离是，当BP经过点O时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M，N重合）为半圆上一点，将圆形沿NP折叠，分别得到点M，O的对称点A′，O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图3，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）如图4，当α＝°时，NA′与半圆O相切，当α＝°时，点O′落在上．（3）当线段NO′与半圆O只有一个公共点N时，直接写出α的取值范围．36．如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE＝EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．37．如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．38．（1）特例探究．如图（1），在等边三角形ABC中，BD是∠ABC的平分线，AE是BC边上的高线，BD和AE相交于点F．请你探究＝是否成立，请说明理由；请你探究＝是否成立，并说明理由．（2）归纳证明．如图（2），若△ABC为任意三角形，BD是三角形的一条内角平分线，请问＝一定成立吗？并证明你的判断．（3）拓展应用．如图（3），BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BD是∠ABC的平分线，交⊙O于点E，过点E作AB的垂线，交BA的延长线于点F，连接OF，交BD于点G，连接CG，其中cos∠ACB＝，请直接写出的值；若△BGF的面积为S，请求出△COG的面积（用含S的代数式表示）．39．已知：AB是⊙O直径，C是⊙O外一点，连接BC交⊙O于点D，BD＝CD，连接AD、AC．（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点E，延长CF交⊙O于点G．过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K，求证AK＝2OF；（3）如图3，在（2）的条件下，EH交AD于点L，若OK＝1，AC＝CG，求线段AL的长．40．如图，以△ABC的AB边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O切线交AC 于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：DE⊥AC；（2）如图2，设CA的延长线交⊙O于点F，点G在上，＝，连接BG，求证：AF＝BG；（3）在（2）的条件下，如图3，点M为BG中点，MD的延长线交CE于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，求DE长．41．已知AB，CD都是⊙O的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E．（1）如图1，求证：∠AOD+2∠E＝180°；（2）如图2，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，求证：DG＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，当＝时，在⊙O外取一点H，连接CH、DH分别交⊙O于点M、N，且∠HDE＝∠HCE，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q，若PD＝11，DN＝14，MQ＝OB，求线段HM的长．42．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE ＝AF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF＝2EG，AC＝2，求OE的长．43．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM的长．44．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点D在上，连接AD，BD，AD的延长线交BC的延长线于点E，点F在BD上，连接EF，∠ACB＝2∠DEF．（1）如图1，求证：∠DEF＝∠DFE；（2）如图2，延长EF交AB于点G，若AE＝BF，求证：AG＝BG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OG，若cos∠AGE＝，S△BEF＝60，AD＝BD，求线段OG的长．45．已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD∥AB，过点B的切线与射线AD 交于点M，连接AC、BD．（1）如图l，求证：AC＝BD；（2）如图2，延长AC、BD交于点F，作直径DE，连接AE、CE，CE与AB交于点N，求证：∠AFB＝2∠AEN；（3）如图3，在（2）的条件下，过点M作MQ⊥AF于点Q，若MQ：QC＝3：2，NE＝2，求QF的长．46．如图1，△ABC内接于圆O，点D为弧BC上一点，连接AD交BC于点E，∠ACD﹣∠B＝2∠BAD．（1）求证：AE＝AC；（2）如图2，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，∠DAF＝2∠BCD，求证：AF＝AE；（3）如图3，在（2）条件下，过点F作FH∥BC交AB于点H，连接CH，过点A作AK∥BF交CH于点K，当AK＝EC，AB＝3时，求线段AD的长度．47．如图1，⊙O中，AB为直径，弧BC＝弧AC，点P在⊙O上，连接PC交AB 于点E，过C作PC的垂线交⊙O于点Q（1）求证：弧AP＝弧BQ；（2）如图2，点F在弧AC上，∠FEA＝∠QEB＝30°，连接PF，求证：PF＝AO；（3）在（2）的条件下，如图3，过E作EG⊥FP于点G，若EG＝6，求OE的长．48．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．（1）求证：D是弧EC的中点；（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK+DO；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO＝，KG＝2，求QH．49．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF，OP⊥AB交⊙O于点P，连接ED、EP，过点A作DQ⊥PE于点Q，（1）求证：DF＝2CE；（2）求证：∠A＝2∠P；（3）在（2）的条件下：若BC＝6，sin B＝，连接OQ，求线段OQ的长．50．已知：AD、DE是⊙O的弦，DB平分∠ADE交⊙O于B，（1）求证：＝；（2）连接AB、AE、DB，若DE是⊙O的直径，AE、BD交于C，CD＝2AB，求∠E的度数；（3）在（2）的条件下，K是弧AE上一点，连接OK，交AE于点G，F是AD 上一点，连接AK、KE，FG，若∠AFG＝4∠KAE，FG＝5，DE＝6，求KG 长．。

中考数学压轴题提升训练圆中证明及计算问题含解析

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圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=， 即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（ ）A. 2πB. π C 。

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用及参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用及参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.（1）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则BC 边上的伴随圆的半径为.（2）如图②，ABC 中，5AB AC ==，6BC =，直接写出它的所有伴随圆的半径.（3）如图③，ABC 中90ACB ∠=︒，点E 在边AB 上，2AE BE =，D 为AC 的中点，且90CED ∠=︒.①求证：CED 的外接圆是ABC 的AC 边上的伴随圆；②DE CE 的值为▲.2．定义：有两边之比为1的三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC 中，2AB BC AD ==，为BC 边上的中线，求AD AC的值；（2）如图2，ABC 是O 的内接三角形，AC 为直径，过AB 的中点D 作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交O 于点E ，连结BE 交AC 于点G ．①求证：ABE 是智慧三角形；②如图3，在（2）的条件下，当53AF FG =：：时，则EG EF ＝▲．（直接写出结果）3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．（1）如图1，点C 是弧BD 的中点，DAB ∠是弧BD 所对的圆周角，AD AB >，连接AC 、DC CB 、，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形．（2）如图2，ABC 与DEF 是偏等三角形，其中A D AC DF BC EF ∠=∠==，，，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以ABC 与DEF 为例说明)；（3）如图3，ABC 内接于63045O AC A C ∠∠==︒=︒ ，，，，若点D 在O 上，且ADC 与ABC 是偏等三角形，AD CD >，求AD 的值．4．如图1，已知ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，38A ∠=︒，D 为 AB 上一点.图1图2（1）当点D 为 AB 的中点时，连接DB ，DC ，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（2）如图2，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，且DP AC ，连接DC ，OC ，求OCD ∠的大小.5．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形.（1）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD AB ＞，点C 是弧BD 的中点，连接AC ，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形.（2）如图2，ABC 与ABD 是偏等三角形，AD BC =，30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，求AB 的长.（3）如图3，ABC 内接于O ，8AC =，30A ∠=︒，45C ∠=︒，若点D 在O 上，且ADC 与ABC是偏等三角形，AD CD ＞，求AD 的值.6．如图1，△ABC 是⊙O 内接三角形将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE=DC ；（2）如图2，过点B 作BF ∥CD 分别交AC 、AD 于点M 、N ，交⊙O 于点F ，连结AF ．求证：AN·DE=AF·BM ：（3）在(2)的条件下，若13AB AC =时，求BF BC的值．7．如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1，AD ABC 是的中线，则ABD 和ACD 就是互补三角形.（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）①互补三角形一定不全等.命题②互补三角形的面积相等.命题（2）如图2，ABC 和ADE 为互补三角形，AB AE AC AD AF ＝，＝，是ABC 的中线.求证：12AF DE ＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若B E D ，，三点共线，连结CE ，CD ，四边形ABEC 为圆内接四边形.当120BAE ∠ ＝时，求BD AF CD -的值.8．如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC=2∠ACB ，点D 平分 AC ，连接AD ，BD ，CD ．（1）求证：AB=CD ．（2）过点D 作DG ∥AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，交⊙O 于点G ．①若AD=a ，BC=b ，求线段EF 的长(用含a ，b 的代数式表示)．②若∠ABC=72°，求证：FG 2=EF·DF ．9．已知钝角三角形ABC 内接于O E D ，、分别为AC BC 、的中点，连接DE .（1）如图1，当点A D O 、、在同一条直线上时，求证：12DE AC =.（2）如图2，当A D O 、、不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当2AB AC AG +=时.①求证：DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交O 于点H ，连接AH .求证：AH FG .10．如图，在1111⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的111A B C ；（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的22A B C ；（3）在（2）的案件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为底边BC 的中点，AB 切O 于点D ，连接OD ，O 交BC 于点M ，N .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）42B ∠=︒，①若4OD =，求劣弧DM 的长；②如图2，连接DM ，若4DM =，直接写出OD 的长.（参考数据：sin24︒取0.4，cos24︒取0.9，tan 24︒取0.45）12．如图，ABC 是O 的内接三角形，CD 为O 的直径，过点A 的直线交CD 的延长线于点E ，连接AD ，且AD DE =，DAB ACD ∠=∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若2DE =，=60B ∠︒，75BAC ∠=︒，求AB 和BC 的长度．13．如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，PAC B ∠=∠，AD 为O 的直径，过C 作CG AD ⊥交AD 于E ，交AB 于F ，交O 于G ．（1）判断直线PA 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2AG AF AB =⋅；（3）若O 的直径为10．AC =AB =AE FG ⋅的值．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，求图中阴影部分的面积.15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O 交斜边AB 于点D ，点M 是 CD中点，过点M 作直线ME AB ⊥于点E ，交AC 于点F.（1）证明：EF 是O 的切线；（2）若ME =.16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 是AB 上任意一点，以D 为圆心，DB 为半径作D ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，过点F 作FG AC ⊥，垂足为G .（1）判断直线FG 与D 的位置关系并证明.（2）若2AE =，3BC =，2BF CG=，求D 的半径.17．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若ABC 是“准互余三角形”，9060C A ∠>︒∠=︒，，则B ∠=.（2）如图（1），AB 是半圆的直径，106AB BC C ==，，是半圆上的点，D 是 AC 上的点，BD 交AC 于点E.①若D 是 AC 的中点，则图中共有▲个“准互余三角形”；②当DEC 是“准互余三角形”时，求CE 的长；③如图（2）所示，若F 是 BC 上的点（不与B C 、重合），G 为射线AF 上一点，且满足2CBG CAB ∠=∠.当ABG 是“准互余三角形”时，求AG 的长.18．已知，锐角三角形ABC 内接于⊙O.（1）如图1，当点A 是 BAC的中点时，①求证：AO BC ⊥.②若BC ＝8，AB =，求⊙O 的半径.（2）如图2，当AB AC >时，连接BO 并延长，交边AC 于点D.若45A ∠= ，23OD OB =，求AD DC.19．如图1，ABC 是圆内接等腰三角形，其中AB AC =，点P 在 BC上运动（点P 与点A 在弦BC 的两侧），连接PA PB PC ，，，设αBAC ∠=，PB PC y PA+=，小明为探究y 随α的变化情况，经历了如下过程：（1）若点P 在 BC 的中点处，α90=︒时，y 的值是；（2）小明探究α变化获得了一部分数据，并以表中各组对应值为点的坐标在如图2平面直角坐标系中进行描点，并画出函数图象.从图象或表格中可知，y 随着α的变化情况是；y 的取值范围是.α…25°50°75°100°125°150°170°…y …0.430.85 1.221.53 1.55 1.93 1.99…（3）从变化趋势上看，当α=▲时，PB PC PA +=.并证明你的结论.20．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD BC ⊥于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：AEB AFD ∠=∠；（2）若10AB =，5BF =，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）2（2）解：ABC 的伴随圆的半径分为83或209或12049.（3）解：①证明：如图（4）连接OE 、OB ，∵CED 为直角三角形，∴CED 的外接圆圆心O 在CD 中点上，设O 的半径为r ，则2DC r =，3OA r =，∴23AD AO =，∵2EA BE =，∴23EA AB =，∴AD EA AO AB =，∴PD OB ，∴12∠=∠，3=4∠∠，∵OE OD =，∴32∠=∠，∴14∠=∠，在BCO 和BEO 中O =O ∠1=∠4O =O ，∴BCO BEO ≌，∴90BEO BCO ∠=∠=︒，∴AB 是O 的切线.∴CED 的外接圆是ABC 某一条边上的伴随圆；②222．【答案】（1）解：AD 是BC 的中线，2AB BC ==，，12BD BC ∴==，22BD AB AB BC ∴==，B B ∠=∠ ，ABD CBA ∴~ ，2AD BD AC AB ∴==；（2）解：①如图，连结OE ，设ABE α∠=，22AOE ABE α∴∠=∠=，OA OE = ，()11802902OAE αα∴∠=︒-=- ，DE OA ⊥ ，90AED OAE ∴∠+∠=︒，9090AED α∴∠+︒-=︒，AED ABE a ∴∠=∠=，EAD BAE ∠=∠ ，ADE AEB ∴ ∽，AE AD AB AE ∴=，2AE AD AB ∴=⋅，D 是AB 的中点，12AD AB ∴=，2212AE AB ∴=，AB ∴=，即1AE AB =：，ABE ∴ 是智慧三角形；②83．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC=CD ，BAC DAC ∠=∠．又∵AC=AC ，∴ACB 与ACD 是偏等三角形（2）解：互补；如图，在线段DE 上取点G ，使DG=AB ，连接FG．由题意可知在ABC 和DGF 中AB DG A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABC DGF ≅ ，∴B DGF ∠=∠，BC GF =．∵BC EF =，∴GF EF =，∴E FGE ∠=∠．∵180DGF FGE ∠+∠=︒，∴180B E ∠+∠=︒，即另一组等边的对角互补．（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，∵BC=CD ，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠>∠，∴AD>CD 符合题意，∴AD=AC=6；②当AB=CD 时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB=CD ，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠>∠，∴AD CD >，符合题意．设CE=x ，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即6x =+，∴1)x =，∴1)9AE DE ===-∴(9AD ==-=．综上可知AD 的值为6或-．4．【答案】（1）解：如图1，连接OD ，图1∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∵38BAC ∠=︒，∴9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒.∵D 为 AB 的中点，∴ AD AD =.∴1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒.∴1452ABD AOD ∠=∠=︒.（2）解：如图2，连接OD ，图2∵OA OC =，OC OD =，∴38OAC OCA ∠=∠=︒，OCD ODC ∠=∠.设OCD ODC x ∠=∠=︒.∴()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒.∵DP 为O 的切线，∴OD DP ⊥.∴()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒.∵DP AC ，∴CDP ACD ∠=∠.即9038x x -=+，解得：26x =.∴26OCD ∠=︒.5．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC CD =，BAC DAC ∠=∠，又∵AC AC =，∴ACB 与ACD 是偏等三角形；（2）解：作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，∵30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，∴4DE =，6CF =，∴AF ==，BE ==，∵设EF x =，∴AE x =，BF x =，∵AD BC =，∴2224)6)x x +=+，∴1033x =，∴3AB AE EF BF =++=；（3）解：①当BC CD =时，如图，∵BC CD =，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒，∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞符合题意，∴8AD AC ==；②当AB CD =时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB CD =，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞，符合题意，设CE x =，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即8x =+，∴1)x =，∴12AE DE ==-，∴AD ==综上可知AD 的值为8或6．【答案】（1）证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针转至△AED∴BC=DE ，∠BAC=∠EAD ∴ BCCD =所以BC=CD∴DE=CD（2）解：∵∠F=∠ACB∠AMF=∠BMC∴△AMF ∽△BMC ∴AM AF BM BC=由题间可知BC=DEAC=AD∵BF ∥CD ∴AM AN AC AD=∴AM=AN∴AN AF AD DE=即AN·DE=AF·BM（3）解：设AB 为a ，则AC 为3a 由△CDE ∽△CAD 可得，CD CE CA CD=即CD 2=3a·2a=6a 2∵CD>0∴a∵AC=AD∴ AC AD=∵BF ∥CD ∴ BCFD =∴ AB AF=∴AB=AF∴∠ABF=∠AFB=∠ACB ∴△ABM ∽△ACB ∴AB AM BM AC AB BC==即3a AM a a ==∴AM=13a BM=63a 根据据对称轴可知FN=63a 由△AMN ∽△ACD 可得∴AM MN AC CD=即133a a =∴MN=9∴a∴79BF CD ==7．【答案】（1）假命题；真命题（2）证明：延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连结CG ，又∵F 为BC 的中点，∴12AF CG =∵∠BAC ＋∠DAE ＝∠BAC ＋∠CAG ＝180°，∴∠DAE ＝∠CAG ，∵AB ＝AE ，AB ＝AG ，∴AG ＝AE ，∵AD ＝AC ，∴△ADE ≌△ACG （SAS ），∴DE ＝CG ，∴12AF DE =（3）解：∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAE ＋∠DAC ＝180°，∵∠BAE ＝120°∴∠DAC ＝60°∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BE =，∠ACB ＝∠AEB ＝30°，∴BC 是AD 的垂直平分线∴BD ＝AB ∴1152ABC DBC ABE ∠=∠=∠=︒，∴∠AEC ＝∠ABC ＝15°，∴∠DEC ＝45°，∵∠ACE ＝180°－∠ABE ＝150°，∠ACD ＝60°∴∠DCE ＝90°，∴∠EDC ＝45°＝∠DEC ，∴DC ＝CE ，设AF a =，由（2）知，22DE AF a ==，∴CE DC ==，∵BE =，BE=BD+DE ，BD=AB ，∴)3112BD DE a +===∴162a aBD AF CD --=8．【答案】（1）证明：∵点D 平分 AC ，∴ AD CD=∴12ABD CBD ABC ∠=∠=∠.∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠CBD ．∴ AB CD=，∴AB=CD.（2）解：①∵ AD CD=∴∠ADB ＝∠DBC ，∴AD ∥BC ．又∵DG ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．由（1）得 AB CDAD ==∴AB ＝AD ．∴四边形ABFD 是菱形．∴AB ＝BF ＝DF ＝AD ＝a ．∴CF ＝b －a ．∵DG ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ．∴EF CF AB BC=，∴2ab a EF b-=.②连接CG ．∵∠ABC ＝72°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACB ＝36°，∵DG ∥AB ，∴∠BDG ＝∠ABD ＝36°．∵∠BCG ＝∠BDG ，∠DGC ＝∠DBC ，∴∠BCG ＝∠DGC ，∴FC ＝FG ．∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝108°．∵在菱形ABFD 中，∠ADG ＝∠ABC ＝72°，∴∠FDC ＝36°，∴∠ACB ＝∠FDC ．又∵∠DFC ＝∠CFE ，∴△CDF ∽△ECF ，∴FC DF EF FC=，∴2FC EF DF =⋅，∴2FG EF DF =⋅.9．【答案】（1）证明：∵D 是BC 的中点，点A D O 、、在同一条直线上，∴OD BC ⊥，∴ AB AC =，∴AB AC =，∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴DE 是ABC 的中位线，∴12DE AB =，∴12DE AC =.（2）证明：①∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴22AB DE AC AE ==，，∵2AB AC AG +=，∴222DE AE AG +=，∴DE AE AG +=，∵AE EG AG +=，∴DE EG =，∴DEG 是等腰三角形.②延长HO 交O 于点N ，连接OB OC BN CN ，，，，∵DE EG =，∴EDG EGD ∠=∠，∴2AED EDG EGD EGD ∠=∠+∠=∠，∴12EGD AED ∠=∠，∵DE AB ，∴180BAC AED ∠+∠=︒，∵180BAC BNC ∠+∠=︒，∴AED BNC ∠=∠，∵HO BC ⊥，∴2BOC COH ∠=∠，∵2BOC BNC ∠=∠，∴COH BNC ∠=∠，∵1122CAH COH BNC ∠=∠=∠，∴CAH EGD ∠=∠，∴AH FG .10．【答案】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）解：如图，设C 点为原点，则A （-3，-2），B （-1，-4），A 点绕C 点顺时针旋转90°后A 2的坐标为（-2，3），B 点绕C 点顺时针旋转90°后B 2的坐标为（-4，1），连接相应顶点，22A B C 即为所求；（3）解：勾股定理可得BC ==，∴B ，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90π1717π1802︒⨯=︒．11．【答案】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，连接OA ，如图，AB AC = ，O 为底边BC 的中点，AO ∴为BAC ∠的平分线，OD AB ⊥ ，OE AC ⊥，OD OE ∴=，OD 为O 的半径，OE ∴为O 的半径，∴直线AC 到圆心O 的距离等于圆的半径，AC ∴是O 的切线（2）解：①∵AB 切O 于点D ，∴90ODB ∠=︒，∵42B ∠=︒，∴48BOD ∠=︒，∵4OD =，∴劣弧DM 的长为4841618015ππ⨯⨯=；②过点O 作OF DM ⊥于点F ，如图，OF DM ⊥ ，122DF MF DM ∴===，OD OM = ，OF DM ⊥，OF ∴为DOM ∠的平分线，1242DOF BOD ∴∠=∠=︒.在Rt ODF 中，sin DF DOF OD ∠=，2sin 24OD ∴︒=，225sin 240.4OD ∴=≈=︒.12．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，90CAO OAD ∴∠+∠=︒，OA OC = ，CAO ACD ∴∠=∠，DAE ACD ∠=∠ ，DAE CAO ∴∠=∠，90DAE OAD ∴∠+∠=︒，90OAE ∴∠=︒，OA 是O 的半径，AE ∴是O 的切线；（2）解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，60B ∠=︒ ，30BAF ∴∠=︒，75BAC ∠=︒ ，45FAC ∴∠=︒，AFC ∴ 是等腰直角三角形，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，2AD DE == ，60ADC ∠=︒，AC ∴=，在Rt AFC 中，AF CF ==，3BF AF ∴==2AB BF ∴==，BC BF CF =+=．13．【答案】（1）解：PA 与O 相切，理由：连接CD ，AD 为O 的直径，90ACD ∴∠=︒，90D CAD ∴∠+∠=︒，B D ∠=∠ ，PAC B ∠=∠，PAC D ∴∠=∠，90PAC CAD ∴∠+∠=︒，即DA PA ⊥，点A 在圆上，PA ∴与O 相切．（2）证明：如图2，连接BG ，AD 为O 的直径，CG AD ⊥，∴ AC AG =，AGF ABG ∴∠=∠，GAF BAG ∠=∠ ，AGF ∴ ∽ABG ，AG ∴：AB AF =：AG ，2AG AF AB ∴=⋅；（3）解：如图3，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒，2AG AF AB =⋅ ，AG AC ==AB =2AG AF AB∴==CG AD ⊥ ，90AEF ABD ∴∠=∠=︒，EAF BAD ∠=∠ ，AEF ∴ ∽ABD ，AE AF AB AD ∴=，510=，解得：2AE =，1EF ∴=，4EG == ，413FG EG EF ∴=-=-=，236AE FG ∴⋅=⨯=．14．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒，∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ，∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒，∴OB BD ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线BD 与O 相切；（2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∵AB =∴433602AB sin AEB sin AE AE ∠=︒===，∴8AE =，∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴3303OB tan ADB tan BD ∠=︒==，∴3BD =，∴图中阴影部分的面积2160π48π423603OBD BOES S ⨯=-=⨯⨯= 扇形.15．【答案】（1）证明：连接OM 、BM∵点M 是弧CD 中点，∴DBM OBM∠=∠∵OB OM=∴OMB BMO∠=∠∴DBM BMO∠=∠∴BE OM（2）解：连接CD 交OM 于点N 、连接OD∵BC 是直径，∴CD BD ⊥，∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45B ∠=︒，∴BDC ∆也是等腰直角三角形，∴BD CD =，OD CD ⊥.∵OM EF ⊥，EF BE ⊥，CD BD ⊥，∴四边形MNDE 是矩形，∴DN EM =，∵ME =DN =∵OM CD ⊥，∴2CD DN ==∴4BC =∴2OD OB ==，∵OBDBOD S S S ∆=-阴影扇形∴90π4122π23602S ⋅=-⨯⨯=-阴影16．【答案】（1）解：直线FG 是D 的切线；证明：连接DF ，如图所示：∵在ABC 中，AB AC =，∴B C ∠=∠.∵DB DF =，∴DBF DFB ∠=∠，∴DFB C ∠=∠，∴DF AC ，∴180DFG AGF ∠+∠=︒，∵FG AC ⊥于点G ，∴90AGF ∠=︒，∴90DFG ∠=︒，∴DF FG ⊥，∵DF 是D 的半径，∴直线FG 是D 的切线.（2）解：连接EF ，如图所示：∵BE 是D 的直径，∴90BFE ∠=︒，∵90FGC ∠=︒，∴BFE FGC ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴BFE CGF ∽，∴BF BE CG CF =，∵2BF CG =，∴2BE CF =，设D 的半径为x ，则2BE x =，BD CF x ==，∵DF AC ，∴BF BD CF AD=，∵2AE =，∴2AD x =+，∴2BF x x x =+，∴22x BF x =+，∴222222x x x BC BF FC x x x +=+=+=++.∵3BC =，∴22232x x x +=+，解得：2x =或32x =-（舍去），经检验，2x =是原方程的根，∴D 的半径为2.17．【答案】（1）15°（2）解：①1；②由题意AB 是半圆的直径，106AB BC ==，，∴∠ACB=90°，∴8AC ==，根据题意△DEC 是“准互余三角形”时分两种情况：当∠D+2∠DCE=90°时，∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴∠CAB+2∠ABE=90°，又∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CBA=2∠CBD ，即BD 平分∠ABC ，过E 作EF AB ⊥于F （如图（1）），∴EF=CE ，∵∠BCE=∠BFE ，∠CBE=∠FBE ，∴CBE FBE ∆≅∆（AAS ），∴BC=BF ，由勾股定理即知：222AF EF AE +=，∴()()222AB BF CE AC CE -+=-，即()()2221068CE CE -+=-，解得CE=3；当2∠D+∠DCE=90°时（如备用图），∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴2∠CAB+∠ABE=90°，连接AD ，∵∠DAC=∠CBE ，∴ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即86AD CE BE -=，∵2∠CAB+∠ABE=90°，又∠DAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠CAB ，∴ADE ABC ~ ，∴84105AD AC AE AB ===，又∵ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即AD BC AE BE =，故645BE =，∴152BE =∴由勾股定理得92CE ==；③如图将ABC 沿AB 翻折得到ABM ，∵2CBG CAB ∠=∠，∴CBG CAM ∠=∠，∵∠CAB+∠CBA=90°，∴∠MAB+∠MBA=90°，∴∠CAM+∠CBM=180°，∴∠CBM+∠CBG=180°，∴M 、B ，G 三点共线，∵ABG 是“准互余三角形”，∴2∠CAB+∠G=90°或∠CAB+2∠G=90°，∵∠CAM+∠G=90°，∵∠CAB<∠BAM ，∴290CAB G ∠+∠≠︒，故∠CAB+2∠G=90°，∴∠CAM+∠G=∠CAB+2∠G ，∴∠BAM =∠G ，又∠M =∠M ，∴AMB GMA ∆~∆，∴AM MB MG AM =，即868MG =，解得：323MG =，由勾股定理得：403AG =；18．【答案】（1）解：①证明：连接OB ，OC ，设AB 与BC 交于点P ，∵点A 是 BAC的中点，∴ AB AC=，∴AB ＝AC ，又∵OB ＝OC ，∴AO 是BC 的垂直平分线，∴AO ⊥BC ；②∵AB ＝AC ，AP ⊥BC ，∴BP ＝CP ＝4，∴AP 8=，∵BO 2＝OP 2＋BP 2，∴BO 2＝（8−OB ）2＋16，∴BO ＝5，∴⊙O 的半径为5；（2）解：延长BD 交⊙O 于点H ，连接CH ，CO ，AH ，∵23OD OB =，∴设BO ＝3a ＝OC ＝OH ，OD ＝2a ，∴DH ＝a ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，∴CD=，CH=，∵BH 是直径，故∠BAH=90°，∵∠BAC ＝∠BHC ＝45°∴∠CAH=90°-∠BAC ＝45°=∠CHD又∵∠ACH ＝∠DCH ，∴△ACH ∽△HCD ，∴AC CH CH CD=，=，∴AC∴AD ＝AC−CD，∴ADCD＝513AD CD ==.19．【答案】（1（2）y 随着α的增大而增大；0＜y ＜2（3）解：60°；当α60=︒时，PB PC PA +=，证明如下：如图所示，延长BP 到D ，使得PD CP =，连接CD，∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴180120BPC BAC ∠=︒-∠=︒，∴18060CPD BPC ∠=︒-∠=︒，∴CPD 是等边三角形，∴60CP CD PD PCD ∠===︒，，∵α60BAC AB AC ∠==︒=，，∴ABC 是等边三角形，∴60AC BC ACB ∠==︒，，∴ACB BCP DCP BCP ∠∠∠∠+=+，即BCD ACP ∠=∠，∴()SAS BCD ACP ≌，∴AP BD =，∵BD BP PD BP CP =+=+，∴AP BP CP =+，∴当α60=︒时，PB PC PA +=.20．【答案】（1）证明：∵AE 是⊙O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∴90BAE AEB ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AFD DAF ∠+∠=︒，∵AE 平分∠BAD ，即BAE ∠=，∴AEB AFD ∠=∠；（2）解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴AEB BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴在Rt ABE 中，AE ==如图，过点B 作BH EF ⊥于点H ，∴1122ABE S AB BE AE BH =⋅=⋅ ，即105BH ⨯=，解得：BH =∴在Rt BHE 中，EH ==，∴EF =，AF AE EF =-=，∵BFH AFD ∠=∠，BHF ADF ∠=∠，∴BHF ADF ∽，∴BF BH AF AD =AD=，解得：6AD =；（3）解：BF =，理由如下：∵G 是AB 的中点，O 是AE 的中点，∴OG BE ，∴OG AB ⊥，∴AD BD =，∵AD BC ⊥，∴ABD 是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，过点F 作FP AB ⊥于点P ，∵AF 平分∠BAD ，∴FD FP =，∵45ABD ∠=︒，∴BF ==．。

与圆有关的中考数学压轴题精选

与圆有关的中考数学压轴题精选

与 圆 有关的中考数学压轴题1．如图所示，在直角坐标系中，⊙P 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （－6，0）、B （0，－8）两点． （1）求直线AB 的函数表达式；（2）有一开口向下的抛物线过B 点，它的对称轴平行于y 轴且经过点P ，顶点C 在⊙P 上，求该抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点Q ，使得S △QDE＝151S △ABC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A (－1，0)，B (4，0)，C (0，－4)，⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ ⊥x 轴交BC 于Q ，设PQ ＝k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，并求出S 的最大值．3．如图，在平面直角坐标系中，半圆M 的圆心M 在x 轴上，半圆M 交x 轴于A （－1，0）、B （4，0）两点，交y轴于点C ，弦AC 的垂直平分线交y 轴于点D ，连接AD 并延长交半圆M 于点E ． （1）求经过A、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求证：AC ＝CE ； （3）若P 为x 轴负半轴上的一点，且OP ＝21AE，是否存在过点P 的直线，使该直线 与（1）中所得的抛物线的两个交点到y 若不存在．请说明理由．4．如图1，直线y ＝43x －1与抛物线y ＝－41x2交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C． （1）求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆与直线x ＝m 有公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n 个单位（n ＞0），抛物线与x 轴交于P ，Q 两点，过C ，P ，Q 三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n 的值，若不存在，请说明理由．5．如图，⊙M 与x 轴相切于点A （32－，0），⊙M 交y 轴正半轴B ，C 两点，且BC ＝4． （1）求⊙M 的半径；（2）求证：四边形ACBM 为菱形；（3）若抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过O ，A 两点，且开口向下，当它的顶点不在直线AB 的上方时，求a 的取值范围．6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？7．如图，在平面直角坐标系xO y中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点D，与直线y＝x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，以点A(－3，0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于D、M两点（点D在点M的下方）．（1）求以直线x＝－3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式；（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围；（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，⊙P经过点A、B （圆心P在x轴负半轴上），已知AB＝10，AP＝425．（1）求点P到直线AB的距离；（2）求直线y＝kx＋b的解析式；（3）在⊙P上是否存在点Q，使得以A，P，B，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．。

中考数学圆-经典压轴题(带答案)

中考数学圆-经典压轴题(带答案)

1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD =，求DF的长．2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．4.5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=。

（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。

6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交l 于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）∴=∴=∴=4==2，∴=中有，2解：（1）如答图1，连接OG ．∵EG 为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AKH+∠OAG=90°，又OA=OG ，∴∠OGA=∠OAG ，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE ，∴KE=GE ．（2）AC ∥EF ，理由为：连接GD ，如答图2所示．∵KG 2=KD GE ，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE ，∴△GKD ∽△EGK ，∴∠E=∠AGD ，又∠C=∠AGD ，∴∠E=∠C ，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．.45.6.7.8.。

冲刺2020年全国中考数学选择压轴题专题训练：圆(含答案解析)

冲刺2020年全国中考数学选择压轴题专题训练：圆(含答案解析)

冲刺2020年全国中考数学选择压轴题专题训练：圆一．选择题1．已知如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC ＝45°，给出以下结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧是劣弧的2倍．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．103．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（）A．2πB．πC．D．6π4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连结OC，P是半径OC上的一个动点，连结PD、P B，则么∠DPB的大小可能为（）A．40°B．80°C．110°D．130°5．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D6．腰长为13cm，底长为1Ocm的等腰三角形，若以底边中点为圆心，6cm长为半径作圆，则顶角的顶点在（）A．圆上B．圆内C．圆外D．无法确定7．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO＝10，点A是⊙O上的一个动点，连接P A，直线l垂直平分P A，当直线l与⊙O相切时，P A的长度为（）A．10B．C．11D．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BC的长为，∠A＝45°，则⊙O的半径为（）A．1B．2C．D．9．如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，则MN的长为（）A．B．2C．2D．810．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝2，则弦CD的长是（）A．4B．6C．8D．1011．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC ＝2，则这朵三叶花的面积为（）A．3π﹣3B．3π﹣6C．6π﹣3D．6π﹣612．如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（）A．33°B．57°C．67°D．66°14．如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°15．如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2B．P A＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA16．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．8B．6C．12D．1017．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则P A的最小值为（）A．3B．2C．D．18．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．19．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别是AB、AC上的点，BD＝2AD，EC＝2AE，则sin∠BAC的值等于线段（）A．DE的长B．BC的长C．的长D．的长20．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N，P、Q分别是、上一点（不与端点重合）．若∠MNP＝∠MNQ，下面结论：①∠PNA＝∠QNB；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④PM＝QM；⑤MN2＝PN•QN．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个参考答案一．选择题1．解：①∵∠A＝45°，AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠EBC＝67.5°﹣45°＝22.5°，此选项正确；②连接AD，∵AB＝AC，AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD，此选项正确；③∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，由①知∠EBC＝22.5°，∠C＝67.5°，∴BE＝tan67.5°•CE，∴BE≠2CE，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∴AE≠2CE，此选项错误；④∵∠ABE＝45°，∠BAD＝22.5°，∴劣弧AE＝2劣弧BD，∵劣弧BD＝劣弧DE，∴劣弧AE＝2劣弧DE，此选项正确．正确的有①②④，故选：B．2．解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．3．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴阴影部分的面积＝＝2π．故选：A．4．解：连接OB、OD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，由圆周角定理得，∠DOB＝2∠DCB＝100°，∴∠DCB≤∠BPD∠DOB，即50°≤∠BPD≤100°，∴∠BPD可能为80°，故选：B．5．解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．6．解：如图：AB＝AC＝13cm，BC＝10cm．△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC；∴BD＝DC＝BC＝5cm；Rt△ABD中，AB＝13cm，BD＝5cm；由勾股定理，得：AD＝＝12cm．所以底边中点到顶点的距离为12cm，因此顶角的顶点一定在圆的外部．故选：C．7．解：如图所示．连接OA、OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．设AB的长为x，在Rt△AOB中，OB2＝OA2﹣AB2＝16﹣x2，∵l与圆相切，∴OC⊥l．∵∠OBD＝∠OCD＝∠CDB＝90°，∴四边形BOCD为矩形．∴BD＝OC＝4．∵直线l垂直平分P A，∴PD＝BD+AB＝4+x．∴PB＝8+x．在Rt△OBP中，OP2＝OB2+PB2，即16﹣x2+（8+x）2＝102，解得x＝．P A＝2AD＝2×＝．8．解：连接OB、OC，如图，∵∠BOC＝2∠A＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，∴OB＝BC＝×＝1，即⊙O的半径为1．故选：A．9．解：过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，则MN＝2DN，∵AB是⊙O的直径，AP＝2，BP＝6，∴⊙O的半径＝（2+6）＝4，∴OP＝4﹣AP＝4﹣2＝2，∵∠NPB＝45゜，∴△OPD是等腰直角三角形，∴OD＝，在Rt△ODN中，DN＝，∴MN＝2DN＝2．故选：C．10．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∵AE＝2，AB＝10，∴OC＝5，OE＝3，∴CE＝4，∴CD＝8，故选：C．11．解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM∵AO＝2，∴AM＝．＝×π×MA2＝．∵S扇形AMOS＝AM•MO＝1，△AMO＝﹣1，∴S弓形AO＝6×（﹣1）∴S三叶花＝3π﹣6．故选：B．12．解：∵△AOC≌△BOD，∴在旋转过程中所扫过的图形的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．13．解：连结CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，而∠DBC＝33°，∴∠D＝90°﹣33°＝57°，∴∠A＝∠D＝57°．故选：B．14．设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC＝，由AC＝AB，解得n＝，故选：D．15．解：由切线长定理可得：∠1＝∠2，P A＝PB，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝P A＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．16．解：∵P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝P A+AC+PD+BD＝P A+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．17．解：如图，直线y＝x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x＝0时，y＝x+2＝2，则D（0，2），当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，则C（﹣2，0），∴CD＝＝4，∵OH•CD＝OC•OD，∴OH＝＝，连接OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，∴P A＝＝，当OP的值最小时，P A的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴P A的最小值为＝．故选：D．18．解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠AOC＝60°，∠B OC＝120°，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝2，∴△BOC的面积＝×△ABC的面积＝××2×2＝，扇形BOC的面积＝＝π，则阴影部分的面积＝π﹣，故选：A．19．解：如图，作直径CF，连接BF，在Rt△CBF中，sin∠F＝＝；∵BD＝2AD，EC＝2AE，∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，又∵∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，∴BC＝3DE，∴sin∠A＝sin∠F＝＝＝DE．故选：D．20．解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图：∵MN⊥AB，∴∠MNA＝∠MNB＝90°，∵∠MNP＝∠MNQ，∴∠PNA＝∠QNB，故①对；∵∠P+∠PMN＜180°，∴∠P+∠Q＜180°，故②错；因为AB是⊙O的直径，MN⊥AB，＝，∵∠PNA＝∠QNB，∠ANC＝∠QNB，∴∠PNA＝∠ANC，∴P，C关于AB对称，∴＝，∴＝，∴∠Q＝∠PMN，故③对；∵∠MNP＝∠MNQ，∠Q＝∠PMN，∴△PMN∽△MQN，∴MN2＝PN•QN，PM不一定等于MQ，所以④错误，⑤对．故选：B．。

以圆的新定义为背景阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题(学生版)

以圆的新定义为背景阅读材料压轴题-2023年中考数学压轴题(学生版)

以圆的新定义为背景阅读材料压轴题1.考向分析1(2023春•兴化市月考)如图，已知⊙O 的半径为1，P 是平面内一点．(1)如图①，若OP =2，过点P 作⊙O 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，连接EF ．则∠EPO =°，EF =　3　．(2)若点M 、N 是⊙O 上两点，且存在∠MPN =90°，则规定点P 为⊙O 的“直角点”．①如图②，已知平面内有一点D ，OD =2，试说明点D 是⊙O 的“直角点”．②如图③，直线y =23x -2分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，若线段AB 上所有点都是半径为r 的圆的“直角点”，求r 的最小值与该圆心的坐标．2(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T外一点P画它的两条切线，切点分别为M、N，若∠MPN≥90°，则称点P为⊙T的“限角点”．，③P3(-1，-1)，④P4(2，(1)在平面直角坐标系xOy中，当⊙O半径为1时，在①P1(1，0)，②P2-1，12-1)中，⊙O的“限角点”是；(填写序号)(2)如图2，⊙A的半径为2，圆心为(0，2)，直线l：y=-34x+b交坐标轴于点B、C，若直线l上有且只有一个⊙A的“限角点”，求b的值．(3)如图3，E(2，3)、F(1，2)、G(3，2)，⊙D的半径为2，圆心D从原点O出发，以2个单位/s的速度沿直线l：y=x向上运动，若△EFG三边上存在⊙D的“限角点”，请直接写出运动的时间t(s)的取值范围．3(2023•海淀区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，若图形M上存在点Q，使得直线PQ经过第四象限，则称点P是图形M的“四象点”．已知点A(-2，4)，B(2，1)．(1)在点P1(-4，-2)，P2(-1，-2)，P3(1，-2)中，2，P3　是线段AB的四象点；(2)已知点C(t，0)，D(t+4，0)，若等边△CDE(C，D，E顺时针排列)上的点均不是线段AB的四象点，求t的取值范围；为圆心且半径为2的⊙T，若线段AB上的点P是⊙T的四象点，请直接写出点P (3)已知以T-52，0的横坐标x P的取值范围．2.压轴题速练1(2022秋•泗阳县期末)概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，△ABC，⊙O经过点A，并与点A的对边BC相切于点D，则该⊙O就叫做△ABC的切接圆．根据上述定义解决下列问题：理解应用(1)已知，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10．①如图2，若点D在边BC上，CD=254，以D为圆心，BD长为半径作圆，则⊙D是△ABC的“切接圆”吗？请说明理由．②在图3中，若点D在△ABC的边上，以D为圆心，CD长为半径作圆，当⊙D是Rt△ABC的“切接圆”时，求⊙D的半径(直接写出答案)．思维拓展(2)如图4，△ABC中，AB=12．AC=BC=10，把△ABC放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边AB落在x轴上．试说明：以抛物线y=116x2+4图象上任意一点为圆心都可以作过点C的△ABC的“切接圆”．2(2022秋•平谷区期末)如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD，其中A(1，0)、B(4，0)、C(4，2)、D (1，2)，定义如下：若点P关于直线l的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“关联点”，(1)已知点P1(-1，2)、点P2(-2，1)、点P3(-4，1)，点P2(-3，-1)中是矩形ABCD关于y轴的关联点的是，P3　；1半径为32，若⊙O上至少存在一个点是矩形ABCD关于直线x=t的关联点，(2)⊙O的圆心O-72，1求t的取值范围；(3)⊙O的圆心O(m，1)(m<0)半径为r，若存在t值使⊙O上恰好存在四个点是矩形ABCD关于直线x=t的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围(用含m的式子表示)．3(2022秋•西城区期末)给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P 关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，-2)，B(5，-2)，C(-1，4)．(1)在点D(-4，0)，E(2，2)，F(6，0)中，与点O关于线段AB双对合的点是；(2)点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，①若点A与点T(0，t)关于⊙K双对合，求t的取值范围；②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．4(2022秋•丰台区期末)对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，点P'落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．(1)已知点A(1，1)，B(3，1)，C(3，2)．①在点P1(-1，0)，P2(-1，1)，P3(-1，2)中，点2，P3　是线段AB关于原点O的“伴随点”；②如果点D(m，2)是△ABC关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；(2)⊙E的圆心坐标为(1，n)，半径为1，如果直线y=-x+2n上存在⊙E关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．5(2022秋•石景山区期末)在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d．对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”．(1)如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为(0，3)，点C的坐标为(4，3)，则d=．在点P1(-1，0)，P2(2，8)，P3(3，1)，P4(-21，-2)中，矩形AOBC的“关联点”是2，P4　；(2)如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为(1，1)．若直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”，求b的取值范围；(3)已知点M(1，0)，N(0，3)．图形W是以T(t，0)为圆心，1为半径的⊙T，若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．6(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2，0)，P3(2，1)中，⊙O的环绕点是1　；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，(2)⊙T的半径为2，圆心为(0，t)，以-m，33m若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．7(2022秋•海淀区期末)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．(1)已知A(3，0)，B(5，0)，①在点P1(6，0)，P2(1，-2)，P3(3，2)中，线段AB的融合点是1，P3　；②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；(2)已知⊙O的半径为4，A(a，0)，B(a+1，0)，直线l过点T(0，-1)，记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．8(2022秋•北京期末)对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W 上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”．(1)已知点A(0，4)，B(4，4)，①在点M1(-2，2)，M2(0，2)，M3(2，2)中，是点O关于点A的“旋垂点”的是1，M3　；②若点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；(2)直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为10，圆心为T(t，0)．若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=2，直接写出t的取值范围．9(2022秋•朝阳区校级期中)在平面直角坐标系xOy中的⊙W上，有弦MN，取MN的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转90°得到点Q，称点Q为弦MN的“中点对应点”．设⊙W是以W(-3，0)为圆心，半径为2的圆．(1)已知弦MN长度为2，点Q为弦MN的“中点对应点”．①如图1：当MN∥x轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段OQ的长度；②当MN在圆上运动时，直接写出线段WQ的取值范围．(2)已知点M(-5，0)，点N为⊙W上的一动点，设直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段AB上存在弦MN的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．10(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2，0)．①点P1(0，0)，P2(-1，1)，P3(2，2)中是关于MN的“折弦点”的是1，P2　；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．11(2022春•海淀区校级月考)△ABC中，D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，若经过D、E的⊙M与△ABC有n个公共点(相切算一个公共点)，则称⊙M为△ABC关于D、E的“中n点圆”．例如，图1中的圆是△ABC关于D、E的“中4点圆”．(1)①如图1，则△ABC的“中n点圆”中n可以取的值为(写所有可能的值)；②在所给图1中画出一个“中3点圆”；(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(a，6)，点B(0，0)，C(4，0)，⊙M为△ABC的“中n点圆”．①当a=0，n=4时，求圆心M纵坐标的取值范围．②若n=3时，圆心M总在△ABC外，直接写出a的取值范围．12(2022•盐城一模)对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．(1)已知点A(4，0)，在点Q1(0，4)，Q2(2，23)，Q3(-2，23)，Q4(22，-22)中，是点A关于点O的锐角旋转点的是2，Q4　．(2)已知点B(5，0)，点C在直线y=2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．(3)点D是x轴上的动点，D(t，0)，E(t-3，0)，点F(m，n)是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y=2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．13(2022秋•盐都区期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ、QN组成折线段MQN．若点P在折线段MQN上，MP=PQ+QN，则称点P是折线段MQN的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O的半径为2，PA是⊙O的切线，A为切点，点B是折线段POA的中点．若∠APO=30°，则PB=；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线段ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，点M是ABC的中点，从M向BC作垂线，垂足为D，求证：D是折弦ABC的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M是AC的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC是⊙O的直径，点A为⊙O上一定点，点D为⊙O上一动点，且满足∠DAB=45°，若AB =8，BC=10，则AD=2或2　．14(2022秋•慈溪市期中)如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC=∠BPD，则称∠CPD是CD的“幸运角”．(1)如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是BC上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD 是CD的“幸运角”吗？请说明理由；(2)设CD的度数为n，请用含n的式子表示CD的“幸运角”度数；(3)在(1)的条件下，直径AB=10，CD的“幸运角”为90°．①如图3，连结CD，求弦CD的长；②当DE=72时，求CE的长．15(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1，1)，①点P(-2，0)的“对应点”Q的坐标为；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1，3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0，2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q 为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a，b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为2.(用含m的式子表示)16(2022•长沙县校级三模)约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．(1)如图2，在△ABC中，BC=2AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；(2)如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．①求证：直线CA与⊙O相切；②若⊙O的直径为26，求线段AB的长；(3)已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC=4，∠B=30°，求△ABC的面积．17(2022秋•海淀区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2，对于点P，直线l和⊙O，给出如下定义：若点P关于直线l对称的点在⊙O上或⊙O的内部，则称点P为⊙O关于l的反射点．(1)已知直线l为x=3，①在点P1(4，0)，P2(4，1)，P3(5，1)中，是⊙O关于l的反射点有1、P3　；②若点P为x轴上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的横坐标的最大值为．(2)已知直线l的解析式为y=kx+2(k≠0)，①当k=-1时，若点P为直线x=72上的动点，且点P为⊙O关于l的反射点，则点P的纵坐标t的取值范围是-72≤+72　；②点B(2，2)，C(3，1)，若线段BC的任意一点都为⊙O关于l的反射点，则k的取值范围是3≤k≤-33　．18(2022•钟楼区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(-1，0)，C(0，-1)，D(1，0)．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M)．已知点E(3，0)．①直接写出d(点E)的值；②过点E画直线y=kx-3k与y轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；③设T是直线y=-x+3上的一点，以T为圆心，2长为半径作⊙T．若d(⊙T)满足d(⊙T)>3 210+2，直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．。

挑战中考压轴题_圆压轴100题

挑战中考压轴题_圆压轴100题

第100题(2010.广东省深圳市中考模拟)如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ．（1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC 必经过圆心O ； （2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵，求BC 的长．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=12 BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．已知：如图，抛物线y=13x2-233x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB=90°，（1）求m的值及抛物线顶点坐标；（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；（3）在条件（2）下，设P为CBD上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足: AH•AP=k？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A，B，C，D，直线y=3-3x-533与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．第095题(自选)如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．（1）求点C的坐标；（2）连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求证：PC PDPA的值不变如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以HF为直径的圆与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H．其中H 为AD的中点，F为BC的中点．连接HG、GF．（1）若HG和GF的长是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，求⊙O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围．（2）如图，连接EG、DF. EG与HF交于点M，与DF交于点N，求GNNE的值．直线y=-x+m与直线y=3-3x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）经过上述A、B、C三点作⊙E，求∠ABC的度数，点E的坐标和⊙E的半径；（3）若点P是第一象限内的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，设∠APC=θ，试求点M、N的距离．（可用含θ的三角函数式表示）AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合．（1）求证：△AHD∽△CBD；（2）连HO，若CD=AB=2，求HD+HO的值．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．在平面直角坐标系xoy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，OFPF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN= 2OM；（2）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1= 2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=12，⊙O的半径为3，求OA的长．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．第085题(2009.北京市房山区九上期末)如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；（2）求B、C两点的坐标及直线CD的函数解析式；（3）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．第084题(自选)如图，直角坐标系中，已知两点O（0，0），A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）求B，C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积．在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）设⊙O交BC于点F，连接EF，求EFAC的值．如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC；（2）当ABBC=54时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=2011，求AC的值．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2-2），求⊙O的面积．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF•AC，cos∠ABD=35，AD=12．（1）求证：△ANM≌△ENM；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1 3（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1 3第076题(2010.辽宁省铁岭市)如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径，将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上，BN交AD与点M．若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm．（1）求点O到线段ND的距离；（2）过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=3，∠ACB=30°．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）分别求AB，OE的长；（3）如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则求r的取值范围.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．第072题(2006.山东省莱芜市)半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知43BCCA，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．第071题(2010.湖北省荆门市中考)如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知43BCCA，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．第070题(2006.山东省烟台市中考)如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧上一动点，当M点运动到使△ABM的面积最大时，CM交AB于点N，求MN•MC的值．第069题(2011.江苏省镇江市实验学校中考数学二模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．第068题(2011.北京市昌平区中考数学二模试卷)如图，已知点C在⊙O上，延长直径AB到点P，连接PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=PC，且PB=3，M是⊙O下半圆弧的中点，求MA的长．第067题(自选)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求∠CNA的度数．第066题(2010.内蒙古包头市中考)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=12 AB；（3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．第065题(2012.江苏省南京市江宁区中考数学一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，连接BE．（1）直线BE是否与△DEC的外接圆⊙O相切？为什么？（2）当AB=3时，求图中阴影部分的面积．第064题(2010.陕西省中考)如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE．（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小；（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．第063题(2011.江苏省无锡市锡中实验学校九上期中考试)四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上任意一点，且CD切⊙O于点D．（1）试求∠AED的度数．（2）若⊙O的半径为32cm，试求：△ADE面积的最大值．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若AB=5，BC=8，求⊙O的半径．（3）若∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF=43，求图中阴影部分的面积．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．（1）求证：PM=PN；（2）若BD=4，PA=32AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形．第055题(2008.陕西省中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的∠ACB的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）求AD的长．第054题(2008.山东省枣庄市中考)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=15．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值．第053题(2012.四川省成都市金牛区重点学校中考二模)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=15．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求sin∠EOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．如图，AB为⊙O的直径，OE交弦AC于点P，交AM于点M，且AM=CM．（1）求证：OP=12 BC；（2）如果AE2=EP•EO，且AE=65，BC=6，求⊙O的半径．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径R的长．。

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(第4题图) H E DB O AC 1 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB 的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标.（2）若点C 的坐标为（-1，0），试猜想过D 、C 的直线与△AOB 的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式.2 如图（4），正方形111OA B C 的边长为1，以O 为圆心、1OA 为半径作扇形¼1111OAC AC ，与1OB 相交于点2B ，设正方形111OA B C 与扇形11OA C 之间的阴影部分的面积为1S ；然后以2OB 为对角线作正方形222OA B C ，又以O 为圆心，、2OA 为半径作扇形22OA C ，¼22A C 与1OB 相交于点3B ，设正方形222OA B C 与扇形22OA C 之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续作下去，设正方形n n n OA B C 与扇形n n OA C 之间的阴影部分面积为n S ． （1）求123S S S ，，； （2）写出2008S ；（3）试猜想n S （用含n 的代数式表示，n 为正整数）．3 (10分)如图，点I 是△ABC 的内心，线段A I 的延长线交△ ABC 的外接圆于点D ，交BC 边于点E ．（1）求证：I D =BD ；（2）设△ABC 的外接圆的半径为5，I D =6，AD x =，DE y =，当点A 在优弧上运动时，求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧»BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △； （3分） （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线． （3分）1B 2 B 3A 1A 2 A 3 OCC C 图4S 2 S 1 S 35 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为»BC上的一动点．（1）问添加一个什么条件后，能使得BD BEBC BD=？请说明理由；（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．6 如图1M是P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．7 如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，Me与x轴的正半轴交于A B，两点，A在B的左侧，且OA OB，的长是方程212270x x-+=的两根，ON是Me的切线，N为切点，N在第四象限．（1）求Me的直径．（2）求直线ON的解析式．（3）在x轴上是否存在一点T，使OTN△是等腰三角形，若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出OTN△（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）若不存在，请说明理由．·M·AF COPED图1·P DOGEMFBAC图2图1 图21 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,∴∠ADO=60°…..1分由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有 cot ∠ADO=ODOA,…………….2分 ∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3×33=3. ∴点D 的坐标为（0，3）……………3分（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下: 由（1）得OD=3 ,OA=3. ∴2222(3)323AD OD OA =+=+=.又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.∴22221(3)2CD OC OD =+=+=………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4,∴CD 2+AD 2=22+(23)2=42=AC 2…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC.由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.） （3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）.如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F. ∵EF 垂直平分OA ， ∴EF 是圆的直径. 又∵AD 是圆的直径,∴EF 与AD 的交点M 是圆的圆心………….7分由（1）、（2）得OA=3，AD=23.∴AN=12OA=32，AM=FM=EM=12AD=3. ∴222233(3)()2MN AM AN =-=-=.∴FN=FM-MN=3-32=32,EN=EM+MN=3+32=332. ∴点E 的坐标是(32 , 332)，点F 的坐标是(32, -32)……..8分当点E 为抛物线顶点时，M EFN有32(3233a=23.∴y=23即y=2323…………………………9分当点F 为抛物线顶点时，有32(32-3)a=-32, a=239.∴y=239x(x-3).即y=239x 2233-x.故二次函数的解析式为y=233-x 23x 或y=39x 233-x ….10分2 （1）2211π1π1144S =-=-g g ； ····················· 2分 2222121ππ24228S ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭g g ； ···················· 4分223221221ππ22422416S ⎛⎛=-=- ⎝⎭⎝⎭g g g g ； ················ 6分（2）2008200720091π22S =-； ························ 8分（3）111π22n n n S -+=-（n 为正整数）． ··················· 10分3 (1) 证明： 如图，∵ 点I 是△ABC 的内心，∴ ∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ． ………………2分 ∵ ∠CBD =∠CAD ，∴ ∠BAD =∠CBD ． ……………………………3分 ∴ ∠BID =∠ABI +∠BAD =∠CBI +∠CBD =∠IBD ．∴ ID =BD ． ………………………5分 (2)解：如图，∵∠BAD =∠CBD =∠EBD ， ∠D =∠D ，∴ △ABD ∽△BED ． …………………………7分∴BD ADDE BD=． ∴ 22AD DE BD ID ⨯==． …………………8分 ∵ ID =6，AD =x ，DE =y ，∴ xy =36． ………………9分 又∵ x =AD >ID =6， AD 不大于圆的直径10， ∴ 6<x ≤10．∴ y 与x 的函数关系式是36y x =．（610x <≤） …………………………10分说明：只要求对xy =36与6<x ≤10，不写最后一步，不扣分．4 （1）证明：∵C 是劣弧»BD的中点， ∴DAC CDB ∠=∠． ···································· 1分 而ACD ∠公共，∴DEC △∽ADC △． ·································· 3分（2）证明：连结OD ，由⑴得DC ECAC DC=， ∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=， ∴2313DC AC EC ==⨯=g ．∴DC = ．···························································································· 4分由已知BC DC ==AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒ ，∴22222312AB AC CB =+=+=．∴AB = ∴OD OB BC DC ====， ∴四边形OBCD 是菱形． ∴DC AB DC AB <∥，， ∴四边形ABCD 是梯形． ········································· 5分 法一：过C 作CF 垂直AB 于F ，连结OC ，则OB BC OC === ∴60OBC ∠=︒． ························································································ 6分∴sin 60CFBC︒=，3sin 602CF BC =︒==g，∴()(113222ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝ ·································· 7分法二：（接上证得四边形ABCD 是梯形）又DC AB ∥ ∴AD BC =，连结OC ，则AOD △，DOC △和OBC △ 6分∴AOD △≌DOC △≌OBC △，∴23344AOD ABCD S S ⨯g △梯形＝＝＝····················································· 7分 （3）证明：连结OC 交BD 于G 由（2）得四边形OBCD 是菱形， ∴OC BD ⊥且OG GC =． ········································································· 8分 又已知OB ＝BH ， ∴BG CH ∥． ························································· 9分 ∴90OCH OGB ∠=∠=︒ ， ∴CH 是⊙O 的切线． ········································ 10分5 解： （1）添加 AB =BD ····································································································· 2分∵AB =BD ∴»AB =»BD ∴∠BDE =∠BCD ········································································ 3分 又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE ∽△BCD∴BD BEBC BD=······························································································································· 4分 （2）若AB ∥DO ，点D 所在的位置是»BC 的中点 ················································ 5分∵AB ∥DO ∴∠ADO =∠BAD ······························································ 6分∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴»DB =»DC ········································ 7分（3）在（1）和（2）的条件下，．∵»AB =»BD =»DC ∴∠BDA =∠DAC ∴ BD ∥OA 又∵AB ∥DO ∴四边形AODB 是平行四边形 ···································· 9分 ∵O A =OD ∴平行四边形AODB 是菱形 ·········································· 10分6 解：（1）FB ＝FE ，PE ＝PA ·································································· 2分（2）四边形CDPF 的周长为FC ＋CD ＋DP ＋PE ＋EF ＝FC ＋CD ＋DP ＋PA ＋BF ································· 3分＝BF ＋FC ＋CD ＋DP ＋PA ································ 4分 ＝BC ＋CD ＋DA ····································· 5分＝3＝ ······································· 6分（3）存在．7分若BF FG CF OF =g g ,则BF CFOF FG=∵ cos ∠OFB ＝BF OF ，cos ∠GFC ＝CFFG∴ ∠OFB ＝∠GFC又 ∵ ∠OFB ＝∠OFE∴ ∠OFE ＝∠OFB ＝∠GFC=60o······················································ 8分 ∴ 在Rt OFB △中 FE ＝FB ＝tan 60OBo＝1∴ 在Rt GFC △中CG＝()tan tan 601tan 606CF GFC CF ∠===oog g ∴6DG CG CD =-=-∴tan tan 303DP DG PGD DG =∠==og g ································· 9分 ∴()33AP AD DP =-== ····································· 10分7 解：（1）解方程212270x x -+=，得19x =，23x =A Q 在B 的左侧3OA ∴=，9OB = 6AB OB OA ∴=-=OM ∴的直径为6 ·························································································· 1分 （2）过N 作NC OM ⊥，垂足为C ， 连结MN ，则MN ON ⊥31sin 62MN MON OM ===Q ∠30MON ∴=o ∠又cos ONMON OM=∠cos30ON OM ∴=⨯=o 在Rt OCN △中9cos3022OC ON ===o g1sin 3022CN ON ===o g N ∴的坐标为92⎛ ⎝⎭， ·············································································· 3分 （用其它方法求N 的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分．） 设直线ON 的解析式为y kx =92x = k ∴=∴直线ON 的解析式为y x = ···································································· 4分 （3）如图2，1T ，2T ，3T ，4T 为所求作的点，1OT N △，2OT N △，3OT N △，4OT N △为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） ···················································································· 8分。

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