16.中考数学专题复习圆的对称性尖子生同步培优题典(原卷版)

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2024年中考数学复习圆的对称性压轴题六种模型全攻略(原卷+答案解析)

圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】【考点三利用垂径定理求值】【考点四利用垂径定理求平行弦问题】【考点五垂径定理的推论】【考点六垂径定理的实际应用】【过关检测】15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是()A.30°B.35°C.40°D.55°【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为()A.20°B.80°C.50°D.100°2(2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习)下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，已知⊙O 的半径OA ，OB ，C 在AB �上，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD =CE ，求证：AC=BC．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)已知：如图，在⊙O 中，∠ABD =∠CDB ．求证：AB =CD ．2(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，C 是弧AB 中点．求证：∠A =∠B ．【考点三利用垂径定理求值】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若AB =10，CD =6，则弦AD 的长为．【变式训练】1(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O 到AB的距离为cm．2(2023·浙江·九年级假期作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸．则直径AB的长为寸．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】1(2023秋·天津和平·九年级校考期末)⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为()A.1B.7C.1或7D.3或4【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．2(2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⎳CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【考点五垂径定理的推论】1(2023·新疆喀什·统考二模)某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高CD为4米，则⊙O的半径为米．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A ，B 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB =16厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．2(2023春·江苏无锡·九年级校联考期末)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD 为⊙O 的半径，弦AB ⊥OD ，垂足为C ，CD =1寸，AB =1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．【考点六垂径定理的实际应用】1(2023春·安徽亳州·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，CE =DE ，则下列说法错误的是()A.CB =BDB.OE =BEC.CA =DAD.AB ⊥CD【变式训练】1(2023春·九年级单元测试)下列说法正确的是()①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A.②③B.①③C.②④D.①④2(2023·四川攀枝花·校联考二模)下列说法中正确的说法有( )个①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A.1B.2C.3D.4【过关检测】一、单选题1(2023·上海普陀·统考二模)下列关于圆的说法中，正确的是()A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴2(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为()A.90°B.270°C.90°或270°D.45°或135°3(2023·全国·九年级专题练习)如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE 长为6，则⊙O半径是()A.5B.6C.8D.104(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)如图，CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，连接AC，BC，AD，BD，则下列结论不一定成立的是()A.AE=BEB.CE=OEC.AC=BCD.AD=BD5(2023·浙江衢州·统考二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6(2023春·九年级单元测试)AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD =6cm ，OE =4cm ，则AB =．7(2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠AOE =78°，则∠COB 的度数是．-8(2023春·九年级单元测试)半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP =4，则过点P 的最短的弦长是，最长的弦长是．9(2023·河南南阳·校联考二模)已知半径为5的圆O 中有一条长度为8的弦AB ，分别以A ，B 为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M ，N ，连接MN ，点C 为直线MN 与圆O 的交点，点D 为直线MN 与弦AB 的交点，则CD 的长度为．10(2023·浙江·九年级专题练习)图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O 是AB所在圆的圆心，OA =OB ，点A ，点B 离地高度均为15cm ，水平距离AB =90cm ．则OA =cm ．当半径OA 转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B 离地高度应小于cm ．三、解答题11(2023秋·河北邢台·九年级校联考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD，∠COD =50°，求∠AOD 的度数．12(2023·江苏·九年级假期作业)如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．(1)求证：AC=BD．(2)若CD=8，EF=2，求⊙O的半径．13(2023春·全国·九年级专题练习)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE=2，CD=8．(1)求⊙O的半径长；(2)连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．14(2023·河北衡水·校考模拟预测)图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，(即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线)，通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等(AE=AB)，求该手机的宽度．15(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习)如图1，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 外，连接AC 、BC 分别交⊙O 于D 、E ，AC =BC(1)求证：CD =CE ．(2)如图2，过圆心O 作PQ ∥AB ，交⊙O 于P 、Q 两点，交AC 、BC 于M 、N 两点，求证：PM =QN ．(3)如图3，在(2)的条件下，连接EO 、AO ，∠EON +∠CAO =120°，若CD =112，NQ =32，求弦BE 的长．圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】【考点三利用垂径定理求值】【考点四利用垂径定理求平行弦问题】【考点五垂径定理的推论】【考点六垂径定理的实际应用】【过关检测】15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是()A.30°B.35°C.40°D.55°【答案】B【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠AOC=35°．∠OCB=12【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°∴∠AOC=∠AOD=70°，∵OB=OC，∠AOC=35°，∴∠OBC=∠OCB=12故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为()A.20°B.80°C.50°D.100°【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC =40°，∴∠BOC =2∠BAC =2×40°=80°，故选：B ．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2(2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习)下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，已知⊙O 的半径OA ，OB ，C 在AB �上，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD =CE ，求证：AC=BC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得∠AOC =∠BOC ，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵CD =CE ，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠AOC =∠BOC ，∴AC=BC．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明∠AOC =∠BOC 是解题关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)已知：如图，在⊙O 中，∠ABD =∠CDB ．求证：AB =CD ．【答案】见解析【分析】根据∠ABD =∠CDB ，可知AD =BC ，则有AD +AC =BC +AC ，由此可得AB =CD，进而可证AB =CD ．【详解】证明：∵∠ABD =∠CDB ，∴AD=BC，∴AD +AC=BC +AC，∴AB=CD，∴AB =CD ．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，C 是弧AB 中点．求证：∠A =∠B ．【答案】见解析【分析】连接OC ，通过证明△AOC ≌△BOC (SAS )即可得结论．【详解】证明：如图，连接OC ，∵C 是AB的中点，∴AC=BC ，∴∠AOC =∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA =OB∠AOC =∠BOC OC =OC，∴△AOC ≌△BOC (SAS )，∴∠A =∠B ．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【考点三利用垂径定理求值】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若AB =10，CD =6，则弦AD 的长为．【答案】310【分析】由题意易得DE =12CD =3,OD =5，根据勾股定理可求OE 的长，然后问题可求解．【详解】解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，AB =10，∴OD =OB =12AB =5，∵CD ⊥AB ，CD =6，∴DE =12CD =3,∠DEO =90°，∴OE=OD2-DE2=4，∴AE=OA+OE=5+4=9，∴AD=DE2+AE2=92+32=310,故答案为310．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O 到AB的距离为cm．【答案】12【分析】过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得到BH=12AB=5cm，在Rt△BOH中，利用勾股定理即可得到圆心O到AB的距离．【详解】解：如图，⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，过点O作OH⊥AB于点H，则BH=12AB=5cm，∠BHO=90°，∴OH=OB2-BH2=132-52=12cm，即圆心O到AB的距离为12cm，故答案为：12【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．2(2023·浙江·九年级假期作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸．则直径AB的长为寸．【答案】26【分析】连接OC构成直角三角形，先根据垂径定理，由CD⊥AB得到点E为CD的中点，由CD=10可求出CE的长，再设出圆的半径OC为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得2x的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，且CD=10寸，∴CE=DE=5寸，设圆O的半径OC的长为x，则OC=OA=x，∵AE=1，∴OE=x-1，在Rt△COE中，根据勾股定理得：x2-(x-1)2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴AB=26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】1(2023秋·天津和平·九年级校考期末)⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为()A.1B.7C.1或7D.3或4【答案】C【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD 之间的距离=OE-OF．【详解】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，OE=OA2-AE2=52-32=4；在Rt△OCF中，OC=5，OF=OC2-CF2=52-42=3；当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE-OF=1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102-82=6，OF=102-62=8，∴EF=OF-OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO=102-82=6，OF=102-62=8，EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2(2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⎳CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12-5=7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点五垂径定理的推论】1(2023·新疆喀什·统考二模)某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高CD为4米，则⊙O的半径为米．【答案】6.5【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OC=R-4，由题意得，OD⊥AB，AB=6，∴AC=BC=12在Rt△AOC中，由勾股定理得R2=62+R-42，解得R=6.5，则⊙O的半径为6.5米．故答案为：6.5．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得AD=BD=8厘米．在Rt△OBD中，利用勾股定理求得OD的长，据此求解即可．【详解】解：连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，则AD=BD=8厘米．由题意得OB=OC=10厘米，在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=6厘米，∴CD=OD+OC=16厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2(2023春·江苏无锡·九年级校联考期末)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为C，CD=1寸，AB=1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．【答案】26【分析】连接AO，依题意，得出AC=5，设半径为r，则AO=r，在Rt△AOC中，AO2=AC2+CO2，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接AO，∵CD=1，AB=10，AB⊥OD，OD为⊙O的半径，∴AC=5，设半径为r ，则AO =r ，在Rt △AOC 中，AO 2=AC 2+CO 2，∴r 2=52+r -1 2，解得：r =13，∴直径为26，故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点六垂径定理的实际应用】1(2023春·安徽亳州·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，CE =DE ，则下列说法错误的是()A.CB =BDB.OE =BEC.CA =DAD.AB ⊥CD【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径与弦CD 交于点E ，CE =DE ，∴根据垂径定理及其推论可得，点B 为劣弧CD的中点，点A 为优弧CD的中点，AB ⊥CD ∴CB=BD，AC=AD，∴CA =DA但不能证明OE =BE ，故B 选项说法错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1(2023春·九年级单元测试)下列说法正确的是()①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A.②③ B.①③C.②④D.①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2(2023·四川攀枝花·校联考二模)下列说法中正确的说法有( )个①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．【过关检测】一、单选题1(2023·上海普陀·统考二模)下列关于圆的说法中，正确的是()A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．2(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为()A.90°B.270°C.90°或270°D.45°或135°【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB 的度数为：360°×14=90°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90°，优弧AB 的度数为：360°×34=270°，即：优弧所对的圆心角的度数为270°，∴弦AB 所对圆心角的度数为90°或270°；故选C ．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．3(2023·全国·九年级专题练习)如图，线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，若AB 长为16，OE 长为6，则⊙O 半径是()A.5B.6C.8D.10【答案】D【分析】连接OB ，由垂径定理可得BE =AE =8，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB ，∵线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，AB =16，∴BE =AE =12AB =12×16=8，∴在Rt △OBE 中，可有OB =OE 2+BE 2=62+82=10，∴⊙O 半径是10．故选：D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．4(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则下列结论不一定成立的是()A.AE =BEB.CE =OEC.AC =BCD.AD =BD【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，∴AE =BE ，AC=BC，AD=BD，∴AC =BC ，AD =BD ，而CE =OE 不一定成立，故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．5(2023·浙江衢州·统考二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A ，B ，C ，D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm ，AB =3cm ，CD =4cm ．请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm【答案】B【分析】设圆心为O ，根据垂径定理可以得到CE =2，AF =1.5，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】设圆心为O ，EF 为纸条宽，连接OC ，OA ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴CE =12CD =12×4=2，AF =12AB =12×3=1.5，设OE =x ，则OF =3.5-x ，又∵OC =OA ，∴CE 2+OE 2=AF 2+OF 2，即22+x 2=1.52+3.5-x 2，解得：x =1.5，∴半径OC =22+x 2=2.5，即直径为5cm ，故选B ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．二、填空题6(2023春·九年级单元测试)AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD =6cm ，OE =4cm ，则AB =．【答案】10cm【分析】由垂径定理可知CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中由勾股定理可求得OC 即AB 的值．【详解】解：如图：依题意可知OA =OC =12AB ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∴CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中，OC =OE 2+CE 2=42+32=5cm ，∴AB =2OC =10cm ，故答案为：10cm ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相关知识．7(2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠AOE =78°，则∠COB 的度数是．-【答案】34°/34度【分析】先由平角的定义求出∠BOE 的度数，由BC=CD=DE，根据相等的弧所对的圆心角相等可得∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE ，即可求解．【详解】∵∠AOE =78°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-78°=102°，∵BC=CD=DE，∴∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE =34°，故答案为：34°．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8(2023春·九年级单元测试)半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP =4，则过点P 的最短的弦长是，最长的弦长是．【答案】 610【分析】过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，过点P 的最长的弦是直径，利用勾股定理和垂径定理进行求解即可得到答案．【详解】解：如图，OP 在直径AB 上，AB ⊥CD 于点P ，过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，即CD 的长∵OC =5，OP =4，由勾股定理得：PC =OC 2-OP 2=3，∴CD =2PC =6，∴过点P 的最短的弦长是6；过点P 的最长的弦是直径，即AB 的长，∵AB =5×2=10，．∴过点P 的最长的弦长是10，故答案为：6；10．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9(2023·河南南阳·校联考二模)已知半径为5的圆O 中有一条长度为8的弦AB ，分别以A ，B 为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M ，N ，连接MN ，点C 为直线MN 与圆O 的交点，点D 为直线MN 与弦AB 的交点，则CD 的长度为．【答案】2或8【分析】根据作图可知，MN 为AB 的中垂线，则MN 必过圆心O ，连接OA ，利用垂径定理求出OD 的长，分点C 在劣弧AB 上和点C 在优弧AB 上两种情况进行求解即可．【详解】解：由题意，得：MN 是弦AB 的中垂线，D 为AB 的中点，如图，连接OA ,OD ,OB ，则：OA =OB =5,AD =12AB =4，∴OD ⊥AB ，∵CD ⊥AB ，∴O ,C ,D 三点共线，∴OC =5，∴OD =OA 2-AD 2=3；①当点C 在劣弧AB 上时：CD =OC -OD =2；②当点C 在优弧AB 上时：CD =OC +OD =8；故答案为：2或8【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到MN 是AB 的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．10(2023·浙江·九年级专题练习)图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O 是AB所在圆的圆心，OA =OB ，点A ，点B 离地高度均为15cm ，水平距离AB =90cm ．则OA =cm ．当半径OA 转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B 离地高度应小于cm ．。

圆(限时满分培优训练)-九年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题24.1圆（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•大荔县期末）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．√3cm2．（2022秋•郯城县校级期末）有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种3．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（）A．42°B．29°C．21°D．20°4．（2022秋•郧西县期末）由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．5πD．13π5．（2022秋•广水市期中）下列说法正确的是（）A．直径是弦，弦是直径B．半圆是弧C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径D．直径的长度是半径的2倍6．（2022春•莘县期末）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2021春•阳谷县期末）已知AB是⊙O的弦，⊙O的半径为r，下列关系式一定成立的是（）A．AB＞r B．AB＜r C．AB＜2r D．AB≤2r̂上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，8．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为AB若CD＝OA，∠O＝72°，则∠A的度数为（）A．35°B．52.5°C．70°D．72°9．（2021秋•莱阳市期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与̂）向右水平拉直（保持M端不动），根据该周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝（MN古率，与拉直后铁丝N端的位置最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D10．（2022秋•南岗区校级月考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（）A．3√5B．4√5C．13D．2√10二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•夏邑县期中）下列说法中正确的有（填序号）．①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆．12．（2022秋•新罗区校级期中）如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为cm．13．（2022秋•通榆县期中）如图，在⊙O中，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外，若OA＝3，OC＝5，则OB的长度可能为（写出一个即可）．14．（2022秋•通榆县期中）如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为．15．（2021秋•延平区校级月考）如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a、b、c三者间的大小关系为．16．（2022•望花区模拟）如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．上述说法正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设AB＝4cm，作出满足下列要求的图形（1）到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形；（2）到点A的距离小于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形；（3）到点A的距离大于3cm，且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形．18．（2021秋•崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．19．（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．20．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．21．（2021秋•东台市月考）如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为BĈ上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．22．（2021秋•赣榆区校级月考）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．23．如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝；③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝；…④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n＝；（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积S n与大圆的面积S的关系是：S n＝S．。

中考数学一轮复习与圆有关的概念——专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

与圆有关的概念——专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD）；直径等于半径的2倍。

4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

中考典例精选考点典例一、★★★垂径定理【例1】如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，AB ON ⊥，垂足为N ，则=ON （）A.5B.7C.9D. 11【答案】A.【解析】考点：垂径定理；勾股定理.【点睛】根据“两条辅助线（半径和边心距），一个直角三角形，两个定理（垂径定理、勾股定理）”解决即可。

【举一反三】如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为． N OBA【答案】13．【解析】试题分析：已知弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，根据垂径定理可得AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理可求得OA=13．考点：垂径定理；勾股定理.考点典例二、求边心距【例2】小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm【答案】B．【解析】考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．【举一反三】如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A. 241B. 234 C. 4 D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，考点典例三、最短路线问题【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A． B．1 C． 2 D． 2【答案】A.【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=2OA=2×1=2，即PA+PB的最小值=2．故选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．【举一反三】如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（）A ． 6B ． 1132C ． 9D ．332 【答案】C ．【解析】考点：切线的性质；最值问题．课后能力提升自测小练习一．选择题1．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A ．4B ．2C ．23D ．43【答案】A ．【解析】考点：正多边形和圆．2. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【答案】B．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∵∠CAB=40°，∴∠C=50°，∴∠ABD=∠C=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=50°，∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，故选B．考点：圆周角定理；垂径定理．3.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A. 25cmB. 45cmC. 25cm或45cmD.523cm或43cm【答案】C．【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4.已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为【】A．33B．36C．332D．362【答案】C．【解析】5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=22，则PA+PB的最小值是（）A．22 B．2 C．1 D．2【答案】D.【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．故选D ．二．填空题6. 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP =2cm ，则tan ∠OPA 的值是．【答案】53．【解析】考点：垂径定理；解直角三角形．7. 如图，⊙O 的直径CD =20cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，若OM =6cm ，则AB 的长为 cm ．【答案】16．【解析】试题分析：连接OA ，∵⊙O 的直径CD =20cm ，∴OA =10cm ，在Rt △OAM 中，由勾股定理得：A M =22106 =8cm ，∴由垂径定理得：A B =2AM =16cm ．故答案为：16．考点：垂径定理．8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE= cm．【答案】4.【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理．9.如图， AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为．【答案】3.【解析】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可．试题解析：连接OC，∵AB 为⊙O 的直径，AB=10， ∴OC=5，∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=4， ∴OE=2222543OC CE -=-=．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．10.如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O 到弦CD 的距离为．【答案】3.【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理．11.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3【解析】试题分析：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=23，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=3，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（3）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．考点：1、垂径定理；2、勾股定理．。

2020—2021年北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》同步检测题及答案.docx

圆的对称性一、选择题1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为( )A．2 B．3C．4 D．52、如图3－35所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm3．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图3－36所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB＝2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是( )A．3∶2 B．5∶2C．5∶2D．5∶45．下列语句中，不正确的有( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③C．②D．②④6.下列语句中不正确的有①平分弦的直径垂直于弦②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴③长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对7．如图3－37所示，在⊙O中，弦AB的长为6 cm．圆心O到AB的距离为4 cm，则⊙O的半径长为( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 8．如图3－38所示，C为»AB的中点，CN⊥OB于N，弦CD⊥OA于M．若⊙O的半径为5 cm，ON＝4 cm，则CD的长等于．二、填空题9．如图3－39所示，在⊙O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA的长为．10．P为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为．11.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.12．(2014•陕西,第17题3分)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题13、如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径。

九年级数学圆的对称性和圆中角专项培优(含完整答案)

圆的对称性和圆中角专项培优（含完整答案）一、选择题：（共八道题，每题4分）1、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=22，BD=3，则AB 的长为（ B ）A 、2B 、3C 、4D 、52、如图，在平面直角坐标系中，⊙O ′与两坐标轴分别交于（第一题图）A 、B 、C 、D 四点，已知：A （6,0）B （0，-3），C （-2,0），则点D 的坐标是（）A 、（0,2）B 、（0,3）C 、（0,4）D 、（0,5）3、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦 MN 的两端在圆周上滑动，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 得距离为21,h h ，则21h h 等于（）（第二题图） A 、5 B 、6 C 、7 D 、84、对于内接于圆的梯形，下面四个结论：⑴该梯形是等腰梯形； ⑵该梯形是直角梯形；⑶该梯形对角线相等且互相平分；⑷该梯形对角互补.其中正确的结论个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4 （第三题图）5、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（） A 、4+5B 、9C 、45D 、62(第五题图)6、如图，矩形ABCG （A B ＜BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（第六题图）7、已知⊿ABC 中，AB=AC=83，高AD=8，则⊿ABC 外接圆的半径为（） A 、8 B 、9 C 、10 D 、128、已知在半径为2的圆中，圆内接⊿ABC 的边AB=23，则∠C 的度数为（）DCBAOyxD CBAO O 'h 2h 1N MB A O G F E DC B A ODC BAA 、60°B 、30°C 、60°或120°D 、30°或150°二、填空题：（共七道题，每题4分）9、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点E ， BC 交⊙O 于点D,CD=BD ，∠C=70°.现给出以下四个结论：⑴∠A=45°：⑵AC=BC ;⑶弧AE 等于弧BE ;⑷C E ×AB=2BD 2. （第九题图）其中正确结论的序号是 .10、如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O 交于点 G 、B 、F 、E ，GB=1cm,DE=2cm,则EF= . (第十题图)11、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于M(0，﹣4),N(0，﹣10), 函数y=xk(x ＜0)的图像过点P ，则k= .(第十一题图) 12、⑴如图①，多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，⊙O过A 、D 、E 三点，则⊙O 的半径等于 .⑵如图②，若多边形ABDEC 是由等腰三角形ABC和矩形BDEC 组成，AB=AC=BD=2，⊙O 过A 、D 、E 三点，则⊙O 的半径是否改变？答： . (第十二题图)图① 图② 13、如图，⊿ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=4，则⊙O 的半径为 .14、如图，在⊿ABC 中，AB=AC=5,BC=2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点DE ，则⊿CDE 的面积为 .15、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD.若∠BAC=25°，∠CAD=75°，则∠BDC= , ∠DBC= .EDC BOFE D COy xN MPO E D C B E D C B O O(第十五题图)DCBA（第十四题图）EDBO（第十三题图）OC B A三、解答题：（共三道题，第16题12分，第17题14分，第18题14分） 16、如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，弧AB =弧BD,B M ⊥AC 于M.求证：AM=DC+CM.17、如图，在⊙O 的内接⊿ABC 中，AB+AC=12，A D ⊥BC 于D,且AD=3，设⊙O 的半径为y,AB 的长为x.⑴求与的函数关系式；⑵当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积.18、如图①，已知⊙M 与x 轴交于A\D 两点，与y 轴正半轴交于B 点，C 是⊙M 上一点，且A (﹣2,0),B(0,4),AB=BC. ⑴求圆心M 的坐标；⑵求四边形ABCD 的面积；⑶如图②，过C 点作弦CF 交BD 于E 点，当BC=BE 时，求CF 的长.图① 图②MD CBA O D CB A F xy O A B CM D DM CB A O y参考答案：一、1、B 2、C 3、B 4、B 5、C 6、C 7、D 8、C 二、9、②④ 10、6cm 11、﹣28 12、2;不变13、22 14、5215、12.5°；37.5°；三、16、证明：延长DC 至点F ，使CF=CM,连接AD.则∠BCF =∠BAD =∠BCA,易证⊿BC F ≌⊿BCM ,∴∠BFC=90°，BF=BM.易证⊿AB M ≌⊿DBF ,∴AM=DF=DC+CF,又CF=CM ,∴AM=DC+CM.17、①作直径AE ，连接CE ，易证⊿AB D ～⊿AEC,得AC AE AD AB =,即xyx -=12123, ∴y=x x 2612+-; ②由以上知：y=x x 2612+-=6)6(612+--x ， ∴当x=6时，y 有最大值6，∴⊙O 的最大面积为36∏.18、解：①连接BM ，由勾股定理可求BM=5，∴M(3,0)② 连接AC 交BM 于G ，则BMAC,且AG=GC.可证AMGBMOAG=OB=4，AC=8，OM=MG=3， BG=2，AD=10，CD=6.图1 图2四边形ABCD 的面积等于③∠BCF=∠BEC 得∠BCA+∠ACF=∠FCD+∠CDB.∵∠BCA=∠BAC=∠CDB,∴∠ACF=∠FCD.∴ AF=DF,∴⊿AFD 是等腰直角三角形.由②知道，AD=10，∴AF=FD=25.作DH ⊥CF 于H,可证三角形CHD 是等腰直角三角形，CD=6， ∴CH=DH=23.Rt ⊿DFH 中，DF=25,DH=23,∴FH=24,∴CF=CH+FH=27.H F x y O A B C M D DM C B A O yS ΔACD+S ΔABC =32。

人教中考数学圆的综合培优练习(含答案)及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；（2）求证：直线PC是⊙A的切线；（3）若OD=10，求⊙A的半径．【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 .【解析】【分析】（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．∵四边形OBCD是平行四边形，∴∠B=∠ODC∵四边形OHCD是圆内接四边形∴∠OHB=∠ODC∴∠OHB=∠B∴OH=OB=2∴在Rt△OMH中，∵∠BOH=30°，∴MH=12OH=1，33∴点H的坐标为（13（2）连接AC．∵OA=AD，∴∠DOF=∠ADO∴∠DAE=2∠DOF∵∠PCD=2∠DOF，∴∠PCD=∠DAE∵OB与⊙O相切于点A∴OB⊥OF∵OB∥CD∴CD⊥AF∴∠DAE=∠CAE∴∠PCD=∠CAE∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线；（3）解：⊙O的半径为r．在Rt△OED中，DE=12CD=12OB=1，OD=10，∴OE═3∵OA=AD=r，AE=3﹣r．在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1解得r=53．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．2．如图1，已知扇形MON2，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 1422=x . 【解析】分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论；（2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122x （），再判断出2OA OC DMOE OD OD==，即可得出结论；（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD==， ∴22DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜（3）（i ）当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x ===．在Rt △ODM 中，222124OD OM DM x =-=-． ∵2121224xDM y OD x x==+-，1422x =，或1422x =（舍）．（ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ．∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC ，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO =α．∵∠CAO ＞∠M ，∠M =90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA =2α＞90°．∵∠BOA ≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC 为等腰三角形时，x 的值为142-．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．3．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4 【解析】试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切（2）如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．4．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A 作出直径BC 所在射线的垂线．【答案】画图见解析. 【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.5．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF = 【解析】分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解. 详解：⑴证明：连结OC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠B+∠BAC=90° ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠B=∠FCA ∴∠FCA+∠OCA=90° 即∠OCF=90° ∵C 在⊙O 上 ∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD 12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E ∴AD AC = ∵∠FCA ＝∠B ∴∠B=∠ACD=∠FCA ∴∠EOC=∠ECA ∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE∽△CFE∴OC OECF CE=即106=8 CF∴40CF3=点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.6．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根（k为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .【解析】试题分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．试题解析：（1）证明：如图，∵PB切⊙O于点B，∴∠PBD=∠A，∵PF平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∴△PBD∽△PAE，∴PB：PA=BD：AE，∴PA•BD=PB•AE；（2）证明：如图，∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，∴∠BED=∠BDE．∴BE=BD．∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），∴AE+BD=k，∴AE+BD=AE+BE=AB=k，即⊙O直径为常数k．（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．∴∠PBA=90°．∵∠A=60°．∴PB=PA•sin60°=PA，又∵PA•BD=PB•AE，∴BD=AE，∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数）．∴AE•B D=2，即AE2=2，解得：AE=2，BD=，∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．在Rt△PBE中，tan∠BPF===2﹣，∵∠FPA=∠BPF，∴tan∠FPA=2﹣．【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．7．在O中，AB为直径，C为O上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小. 【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27° 【解析】【分析】（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．【详解】（1）连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA ＝28°， ∴∠POC ＝56°， ∵CP 是⊙O 的切线， ∴∠OCP ＝90°， ∴∠P ＝34°；（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径， ∴OD ⊥AC ， ∵∠CAB ＝12°， ∴∠AOE ＝78°， ∴∠DCA ＝39°， ∵∠P ＝∠DCA ﹣∠CAB ， ∴∠P ＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ．【详解】解：（1）AB 是O 的直径，且D 为O 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠，321∴∠=∠.42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥，OC CF ∴⊥.又OC 为O 的半径，CF ∴为O 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．9．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ，（1）求证：△PCM 为等边三角形；（2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积．【答案】（1）见解析；（21534【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH=30°，∴332∴S 梯形PBCM =12（PB+CM ）×PH=12×（2+3）331534【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．10．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ +=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）．已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<．【解析】【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ =计算即可解决问题； ②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可； ②如图3中，若直线QM 与C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ ，推出2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C 经过点Q ，此时2r ，因为点Q 早C 外，推出r 的取值范围是12r <；（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <．当2r 时，C 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C 的切线，12222QA k QC ∴=== ②2(12,0)A +在C 上，2212122k +∴==，2A ∴是C 的“2相关依附点”．2（2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．(1,0)Q -，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ ==； ②如图3中，若直线QM 与C 不相切，设直线QM 与C 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C 经过点Q ，此时2r ，点Q 早C 外，r ∴的取值范围是12r <．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <．当2r 时，C 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

初三数学圆的对称性练习题

初三数学圆的对称性练习题圆是我们数学学习中重要的概念之一，它具有许多特殊的性质和定理。

其中之一就是对称性。

掌握了圆的对称性，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。

本文将介绍一些初三数学中关于圆的对称性练习题，希望能帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、平面内的对称性1. 在平面直角坐标系中，有一个圆的圆心坐标为(2, 3)，半径为5。

请问圆上哪些点关于x轴对称？哪些点关于y轴对称？解析：首先，我们知道与x轴对称的点的坐标形式为(x, -y)，与y 轴对称的点的坐标形式为(-x, y)。

对于给定的圆心坐标和半径，我们可以通过根据对称性来确定关于x轴和y轴对称的点。

关于x轴对称的点：圆心坐标为(2, 3)，半径为5。

所以关于x轴对称的点具有相同的y坐标，而x坐标的正负号互为相反数。

因此，关于x轴对称的点有(2, -3)和(2, 8)。

关于y轴对称的点：圆心坐标为(2, 3)，半径为5。

所以关于y轴对称的点具有相同的x坐标，而y坐标的正负号互为相反数。

因此，关于y轴对称的点有(-2, 3)和(7, 3)。

综上所述，关于x轴对称的点有(2, -3)和(2, 8)，关于y轴对称的点有(-2, 3)和(7, 3)。

2. 在平面上，有一个圆的圆心坐标为(4, 5)，半径为7。

如果一个点关于直线x=y对称，那么它一定在圆的什么位置？解析：如果一个点关于直线x=y对称，那么它的坐标形式应该是(x, x)。

根据对称性，该点也是关于该圆的圆心对称的。

因此，该点必然在圆的边上。

二、空间中的对称性1. 有一个圆的圆心坐标为(2, 3, 4)，半径为6。

请问圆上哪些点关于xy平面对称？哪些点关于xz平面对称？哪些点关于yz平面对称？解析：首先，我们知道与xy平面对称的点的坐标形式为(x, y, -z)，与xz平面对称的点的坐标形式为(x, -y, z)，与yz平面对称的点的坐标形式为(-x, y, z)。

根据对称性，我们可以确定关于不同平面对称的点。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，ACBAC 度数为_______．（黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，D C ，EF ．如果AB +D C =EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（）A ．AB +CD =EF B ．AB +CD >EFC ．AB +CD <EF D ．AB +CD 与EF 的大小关系不能确定（江苏省竞赛试题）解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．ABCD【例3】⑴ 如图1，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成， ⊙O 过A ，D ，E 三点，求⊙O 的半径．⑵ 如图2，若多边形ABDEC 是由等腰△ABC 和矩形BDEC 组成，AB =AC =BD =2，⊙O 过A ，D ，E 三点，问⊙O 的半径是否改变？（《时代学习报》数学文化节试题）解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从形式到结果依然完美的图形．三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．【例4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB >AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ．求证：BD 2-AD 2=AB AC ．（天津市竞赛试题）解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．【例5】在△ABC 中，M 是AB 上一点，且AM 2+BM 2+CM 2=2AM +2BM +2CM －3．若P 是线段AC 上的A BCD E图1图2一个动点，⊙O 是过P ，M ，C 三点的圆，过P 作PD ∥AB 交⊙O 于点D ．⑴ 求证：M 是AB 的中点；⑵ 求PD 的长．（江苏省竞赛试题）解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM ，BM ，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促成圆周角与弧、弦之间的转化．【例6】已知AD 是⊙O 的直径，AB ，AC 是弦，且AB =AC ．⑴ 如图1，求证：直径AD 平分∠BAC ；⑵ 如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，⊙O 的半径为1，求弦FG 的长；⑶ 如图3，在⑵中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧上一动点，连结PA ，PB ，PD ，PF ，求证：PA PFPB PD++的定值．（武汉市调考试题）解题思路：对于⑶，先证明∠BPA =∠DPF =300，∠BPD =600，这是解题的基础，由此可导出下列解题突破口的不同思路：①由∠BPA ==∠DPF =300，构建直角三角形；②构造PA +PF ，PB +PD 相关线段；③取BD 的中点M ，连结PM ，联想常规命题；等等．本例实质是借用了下列问题：⑴如图1，PA +PB； ⑵如图2，PA +PB =PH ；⑶进一步，如图3，若∠APB =α，PH 平分∠APB ，则PA +PB =2PHc o s2α为定值．图1A 600300300PHB PABH600 图2 PABH 图3C图1图2图3能力训练A 级1．圆的半径为5cm ，其内接梯形的两底分别为6cm 和8cm ，则梯形的面积为_______cm 2．2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，原轮片的直径是________cm ．第3题图第2题图C ABDA3．如图，已知CD 为半圆的直径，AB ⊥CD 于B ．设∠AOB =α，则BA BD ta n 2=_________．（黑龙江省中考试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC =2，BC =1，若BC =1，若以C 为圆心，CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP =___________. （江苏省宿迁市中考试题）5．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA —AB —BO 的路径运动一周.设OP 长为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间的关系是（）（太原市中考试题）6．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB =10cm ，CD =6cm ，那么AC 的长为（）A ．0.5c mB ．1c mC ．1.5c mD ．2c m7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若AB =10cm ，CD =8cm ，那么A ，B 两点到直线CD 的距离之和为（）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cmt sAt sBtssO DAOCD AE CD FBABC DFEP （第6题图）APB C（第4题图）（第7题图）（第8题图）8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龙江省竞赛试题）9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E．⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（重庆市中考试题）10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=1 2（AB-AC）．（河南省竞赛试题）11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的13．⑵如图2，若∠DOE保持0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的13．AB CDOEFM（第9题图）AHB MC（第10题图）图2图1D12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，D 和正方形JKLM 的顶点K ，L 在一个以5为半径的⊙O 上，点J ，M 在线段BC 上．若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长．（上海市竞赛试题）B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A ，B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ．若AB =10，AE =3，BF =5，则EC =__________．2．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC =5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为________．（宁波市中考试题）3．如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为960，BD 的度数为360．动点P 在AB 上，则CP +PD 的最小值为__________．（陕西省竞赛试题）AD CB NOJ MK L（第12题图）O A E CD FBABCD E A ′ABCDPO （第1题图）（第2题图）（第3题图）4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（） ABC ．54D5．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC 的中点，MN ⊥AB 于N ，则有（）A ．MN =12AC B ．MN=2AC C ．MN =35AC D ．MN=3AC （武汉市选拔赛试题）第4题图第5题图A C O6．已知，AB 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE =3．求AC 的长度．7．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的⊙O ；对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB =BD ，且PC =0.6，求四边形ABCD 的周长．（全国初中数学联赛试题）ADOB E GFN AC BDO P （第7题图）（第6题图）C8．如图，已知点A ，B ，C ，D 顺次在⊙O 上，AB BD =，BM ⊥AC 于M ．求证：AM =DC +CM ．（江苏省竞赛试题）9．如图，在直角坐体系中，点B ，C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，CD AO =，如果AB =10，AO >BO ，且AO ，BO 是x 的二次方程0482=++kx x 的两个根．⑴ 求点D 的坐标；⑵ 若点P 在直径AC 上，且AP =14AC ，判断点(－2，10)是否在过D ，P 两点的直线上，并说明理由．（河南省中考试题）10．⑴如图1，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，求证：AE =PE +PB ． ⑵如图2，已知PA ，PB 为⊙O 的弦，C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，问：AE ，PE 与PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．AB CD O M （第8题图）A图1CP BDEO A 图2CPBD EOx（第9题图）11．如图，已知弦CD 垂直于⊙O 的直径AB 于L ，弦AE 平分半径OC 于H ．求证：弦DE 平分弦BC 于M ． (全俄奥林匹克竞赛试题)12．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD =DC +CB ，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ．求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．AC O LE BDMH（第11题图）AC M N OD B（第12题图）专题18 圆的对称性例1 15°或75° 提示：分AB 、AC 在圆心O 同侧、异侧两种情况讨论．例2 B例3 (1)解法一：如图，将正方形BDEC 上的等边△ABC 向下平移，使其底边与DE 重合，得等边△ODE ．∵A 、B 、C 的对应点是O 、D 、E ，∴OD ＝AB ，OE ＝AC ，AO ＝BD ．∵等边△ABC 和正方形BDEC 的边长都是2，∴AB ＝BD ＝AC ＝2，∴OD ＝OA ＝OE ＝2．∵A 、D 、E 三点确定一圆，O 到A 、D 、E 三点的距离相等．∴O 点为圆心，OA 为半径，∴该圆的半径为2．解法二：如图，将△ABC 平移到△ODE 位置，并作AF ⊥BC ，垂足为F ，延长交DE 于H ．∵△ABC 为等边三角形，∴AF 垂直平分BC ，∵四边形BDEC 为正方形，∴AH 垂直平分正方形边DE ．又∵DE 是圆的弦，∴AH 必过圆心，记圆心为O 点，并设⊙O 的半径为r ．在Rt △ABF 中，∵∠BAF ＝30°，∴AF ＝AB ·cos 30°＝2×3＝3，∴OH ＝AF ＋FH －OA ＝3＋2－r ．在Rt △ODH 中，OH 2＋DH 2＝OD 2，∴(32r +-)2＋12＝r 2，解得r ＝2．(2)⊙O 的半径不变，因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题求法和(1)一样，⊙O 的半径为2．例4 提示：BD 2－AD 2＝(BE 2＋ED 2)－(AE 2＋ED 2)＝(BE ＋AE )(BE －AE )＝AB (BE －AE )，只需要证明AC ＝BE －AE 即可．在BA 上截取BF ＝AC ．连DF 可证明△DBF ≌△DCA ，则DF ＝AD ，AE ＝EF ．例5 (1)由条件，得(AM －1)2＋(BM －1)2＋(CM －1)2＝0，∴AM ＝BM ＝CM ＝1．因此，M 是AB 中点，且∠ACB ＝90°． (2)由(1)知，∠A ＝∠PCM ，又PD ∥AB ，∴∠A ＝∠CPD ，∠PCM ＝∠CPD ，因此，,CD PM CPM DCP ==，于是有DP ＝CM ＝1．例6 (1)连结BD 、CD ，∵AD 是直径，所以∠ABD ＝∠ACD ＝90°，又∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠BAC ．(2)连结OB 、OC ，则OA ⊥BC ，又AE ＝OE ，得AB ＝BO ＝OA ＝OC ，△AOB ，△AOC 都为等边三角形，连结OG ，则∠GOF ＝90°，FG ＝2．(3)取BD 的中点M ，过M 作MS ⊥P A 于S ，MT ⊥PF 于T ，连AM ，FM ．∠BPM ＝∠DPM ＝30°，∠APM ＝∠FPM ＝60°，则MS ＝MT ，MA ＝MF ，Rt △ASM ≌Rt △FTM ，Rt △PMS ≌Rt △PMF ．∴PS ＝12PM ．∴P A ＋PF ＝2PS ＝2PT ＝PM ．同理可证：PB ＋PD ＝3PM ．∴333PA PF PB PD PM +===+为定值．A 级 1．49或7 2.85 3．1 4．35．C 6．D 7．D 8．过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF ，∵OE 2＝AO 2－AE 2＝(4214AB -)，OF 2＝OD 2－FD 2＝414-CD 2，∴OE 2＋OF 2＝(4214AB -)＋(4214CD -)＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12，即4214AB -＋4214CD -＝1，故AB 2＋CD 2＝28．得x 1＝－3(舍去)，x 2＝75，∴正方形JKLM 的边长为145.B 级1.26－3 提示:作OM ⊥CD 于M ，则EC ＝12(EF －CD). 2.103 3.3R 提示:设D'是D 点关于直径AB 对称的点，连结CD'交AB 于P ，则P 点使CP ＋PD 最小，∠COD'＝120°，CP ＋PD ＝CP ＋PD'＝CD'＝3R.4.D 提示：如图：，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2(2－a)2＋(12)2＝r 2 ，解得a ＝1316，r ＝517165.A 提示:连结OM ，则OM ⊥AC.6.解法一:连结OD 交AC 于点F ，∵D 为⌒AC 的中点，∴AC ⊥OD ，AF ＝CF.又DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠AFO.∴△ODE ≌△OAF.∴AF ＝DE.∵DE ＝3∴AC ＝6.解法二:延长DE 交⊙O 于点G ，易证⌒AC ＝2⌒AD ＝⌒AD ＋⌒AG ＝⌒DG ，则DG ＝AC ＝2DE ＝6.7.连结BO 并延长交AD 于H ，因AB ＝BD ，故BH ⊥AD ，又∠ADC ＝90°，则BH ∥CD ，从而△OPB ∽△CPD ，得CD BO ＝CP PO ，即CD 1.5＝0.61.5－0.6，解得CD ＝1.于是AD ＝AC 2－CD 2＝22，又OH ＝12CD ＝12，则AB ＝AH 2＋BH 2＝2＋4＝6，BC ＝AC 2－AB 2＝9－6＝ 3.∴四边形ABCD 的周长为1＋22＋3＋ 6.8.提示:延长DC 至N ，使CN ＝CM ，连结BN ，则∠BCN ＝∠BAD ＝∠BDA ＝∠BCA ，可证得△BCN ≌△BCM ，Rt △BAM ≌Rt △BDN.9.⑴AO ＝8，BO ＝6，AB ＝BC ＝10，AD ＝CO ＝16，DB ＝AD －AB ＝6，过D 作DE ⊥BC 于E ，由Rt △DEB∽Rt △AOB ，得DE ＝245，BE ＝185，EO ＝6＋185＝485.∴D(－485，245).⑵A(0，－8)，C(－16，0)，P(－4，－6)，经过D ，P 两点的直线为y ＝－2714x －967，点(2，－10)不在直线DP 上.10.⑴在AE 上截取AF ＝BP ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CAF ≌△CBP ，CF ＝CP .又CD ⊥PA ，则PE ＝FE ，故AE ＝PB ＋PE.⑵AE ＝PE －PB ，在PE 上截取PF ＝PB ，连结AC ，BC ，FC ，PC ，可证明△CPF ≌△CPB ，CF ＝CB ＝CA.又CD ⊥AP ，则FE ＝AE ，故AE ＝PE －PB.11.连结BD ，∠CBA ＝∠DBA ，CB ＝BD ，由∠AOC ＝∠CBD ，∠A ＝∠BDE ，得△AOH ∽△DBM ，∴OH OA ＝BM BD＝12，即BM ＝12BC.12.延长AC 至点E ，使CE ＝BC ，连结MA ，MB ，ME ，BE.∵AD ＝DC ＋BC ＝DC ＋CE ＝DE ，又MD ⊥AE ，∴MA ＝ME ，∠MAE ＝∠MEA.∵∠MAE ＝∠MBC ，，又由CE ＝BC 得∠CEB ＝∠CBE ，∴∠MEB ＝∠MBE ，得MA ＝ME ＝MB ，即M 为优弧⌒AB 的中点，而MN⊥AB ，∴MN 是⊙O 的直径.。

初三数学圆的对称性试题

初三数学圆的对称性试题1.圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.【答案】2cm【解析】根据这条弦把圆分为5: 1 两部分可得这条弦所对的圆心角为60°，再结合圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结果.由题意得这条弦所对的圆心角为360°÷（5+1）=60°则这条弦与半径围成的三角形为等边三角形所以这条弦的长等于半径的长，是2cm.【考点】圆的基本性质点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.2.如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=" CE," 则与弧长的大小关系是_________.【答案】相等【解析】由CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE,再结合公共边CO可得△COD≌△COE，即可得到∠COD=∠COE，从而得到结果.∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE，CO=CO∴△COD≌△COE∴∠COD=∠COE∴与弧长的大小关系是相等.【考点】全等三角形的判定和性质，圆的基本性质点评：全等三角形的判定和性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.3.如图,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.【答案】【解析】由题意可得四边形ADOE为正方形，再根据正方形的性质结合勾股定理即可求得结果. ∵AB⊥AC，OD⊥AB,OE⊥AC∴四边形ADOE为矩形，AE=1cm∵AB=AC∴OD=OE∴矩形ADOE为正方形∴⊙O的半径【考点】圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理点评：特殊四边形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.如图,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C【解析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得AC的长，根据三角函数可得∠A的度数，即可求得结果.作OC⊥AB于点C则∵∴∠A=30°∵OA=OB∴∠AOB=120°故选C.【考点】垂径定理，三角函数点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.5.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A．0条B．1条C．2条D．4条【答案】A【解析】由题意当过点A的弦垂直于OA时，弦长最短，求得此时的弦长即可得到结果.由题意得垂直于OA时的弦长则过点A且长小于8的弦有1条故选B.【考点】垂径定理，勾股定理点评：垂径定理是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，往往与勾股定理结合使用，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.6.如图,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.【答案】OC=OD【解析】过O作OM⊥AB于M，AM=BM，再由AC=BD可得CM=DM，即可得到结果.过O作OM⊥AB于M,则AM=BM.又AC=BD,故AM-AC=BM-BD,即CM=DM,又OM⊥CD,故△OCD是等腰三角形,即OC=OD.【考点】垂径定理，等腰三角形的判定点评：垂径定理是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，往往与勾股定理结合使用，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.7.如图,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA="1:4," 求工件半径的长.【答案】10cm【解析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理可得BC的长，由MB:MA=1:4可得BM的长，再根据勾股定理即可求得结果.过O作OC⊥AB于C,则BC=cm.由BM:AM=1:4,得BM=×5="3" ,故CM=-3="4.5" .在Rt△OCM中, OC2=.连接OA，则OA=即工件的半径长为10cm.【考点】垂径定理，勾股定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.8.如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,,试比较线段PC、PD的大小关系.【答案】PC=PD【解析】连接OC、OD，由可得∠BOC=∠BOD，再结合∠CPB=∠DPB，OP=OP即可证得△OPC≌△OPD，从而证得结果.连接OC、OD∵∴∠BOC=∠BOD,∵∠CPB=∠DPB∴∠CPO=∠DPO又OP=OP∴△OPC≌△OPD∴PC=PD.【考点】圆的基本性质，全等三角形的判定和性质点评：全等三角形的判定与性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.9.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.【答案】O为圆心,4cm长为半径的圆【解析】先根据垂径定理及勾股定理求得OC的长，即可得到结果.可求得OC=4cm,故点C在以O为圆心,4cm长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O为圆心,4cm 长为半径的圆.【考点】垂径定理，勾股定理点评：垂径定理是圆中非常重要的知识点，是中考的热点，往往与勾股定理结合使用，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需多加注意.10.如图,点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.【答案】【解析】作点B关于直线MN的对称点B′,则可得B′必在⊙O上,且.由已知得∠AON=60°,即可得到∠B′ON="∠BON=" ∠AON=30°,∠AOB′=90°连接AB′交MN于点P′,则P′即为所求的点.作点B关于直线MN的对称点B′,则B′必在⊙O上,且.由已知得∠AON=60°,故∠B′ON="∠BON=" ∠AON=30°,∠AOB′=90°连接AB′交MN于点P′,则P′即为所求的点.此时AP′+BP′=AP′+P′B′=,即AP+BP的最小值为.【考点】轴对称-最短路径的应用点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.。

圆-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题3.1圆姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•南开区期中）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm2．（2020秋•拱墅区校级月考）下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D．长度相等的弧是等弧3．（2020春•单县期末）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．4B．8C．10D．124．（2020春•诸城市期末）下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆5．（2019秋•相城区期中）到圆心的距离大于半径的点的集合是（）A．圆的内部B．圆的外部C．圆D．圆的外部和圆6．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部7．（2020秋•兴化市月考）半径为10的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（8，6）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定8．（2020秋•南岗区校级月考）已知⊙O的半径是10cm，根据下列点P到圆心O的距离可判断点P在圆外的是（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm9．（2020•鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2F A3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B D．无法确定10．（2020•浉河区校级一模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（）A．1B．2−√52C．1−√32D．258−√58二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•北京期末）参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都，这个距离就是这个圆的．12．（2020•张店区一模）若⊙A半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P与⊙A 位置关系为．13．（2020•梁溪区一模）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（3，3）都在⊙M上，则圆心M的坐标为．。

初三培优专题18 圆的对称性

AC
DB
（第 6 题图）
O
B
A
EC
DF
（第 7 题图）
A
E CP F D
B （第 8 题图）
7．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦．若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A，B 两点到直线 CD 的距离之和
为（）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
8．如图，半径为 2 的⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P，连结 OP．若 OP=1，求 AB2+CD2 的
AP
BE
C
O
F
D 图3
⑵ 如图 2，若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，F 是 C»D 的中点，G 是 F»B 的中点，⊙O 的半径为 1，求弦
FG 的长； ⑶ 如图 3，在⑵中若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，P 为劣弧上一动点，连结 PA，PB，PD，PF，求证：
PA PF
的定值．
PB PD
【例 4】如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC，D 为 B¼AC 的中点，DE⊥AB 于 E．求证：BD2-AD2=AB g
AC．（天津市竞赛试题）
解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明． D A E C
B
圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直线形
⑴如图 1，PA+PB= 3 PH；
⑵如图 2，PA+PB=PH；
⑶ 进一步，如图 3 ，若 ∠ APB=α ， PH 平分 ∠ APB ，则 PA+PB=2PHcos 为定

对称图形—圆单元测试(培优卷)-2020-2021学年上学期九年级数学尖子生同步培优题典(原卷版)【苏科版】

2020-2021学年上学期九年级数学尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.10对称图形—圆单元测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道．填空8道、解答8道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•南岸区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C和D是⊙O上两点，连接AC、BC、BD、CD，若∠CDB＝36°，则∠ABC＝（）A．36°B．44°C．54°D．72°2．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．（2020•碑林区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°4．（2020•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2√2，则弦BD的长为（）A．2√5B．3√5C．√10D．2√10̂=3BĈ，5．（2020•雁塔区校级一模）如图，B、C两点在以AD为直径的半圆O上，若∠ABC＝4∠D，且CD 则∠A的度数为（）A．60°B．66°C．72°D．78°6．（2020•山西）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（）A．80πcm2B．40πcm2C．24πcm2D．2πcm27．（2020•南岗区校级四模）点P为⊙O外一点，P A为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，BP＝4，则线段AP的长为（）A．4B．8C．4√3D．4√28．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r=√34a D．R=√3 3a9．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为BĈ上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°10．（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2020•东莞市校级二模）如图，E是半径为2cm的圆O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝OD，则阴影部分的面积是．12．（2020•铜山区二模）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB ＝70°，则∠DBI＝°．13．（2020•铜山区二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝．（π取3.14，结果精确到0.01）14．（2020•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知P A＝6，AC＝8，则CD 的长为．15．（2020•泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为．16．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为．17．（2020•包河区校级一模）如图，AB是⊙O半径OC的垂直平分线，点P是劣弧AB上的点，则∠APB 的度数为．18．（2020•连云港）如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•包河区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且AÊ=CÊ，连接OA、OF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．20．（2020•淮南二模）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是BĈ的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．21．（2020•柯桥区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4√5，在BC上取一点D，连结AD，作△ACD的外接圆⊙O，交AB于点E．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）小明编制题目是：若AD＝BD，求证：AE＝BE．请你解答．（2）在小明添加条件的基础上请你再添加一条线段的长度，编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案．（根据编出的问题层次，给不同的得分）22．（2020•雨花区模拟）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2√3，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点D．（1）当OP⊥AB时，求OP；（2）当∠AOP＝30°时，求AP．23．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．24．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．25．（2020•思明区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂⾜为F，交BC于点G．若AD＝2，CD＝3，求GF的长．26．（2020•樊城区模拟）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．。

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲关于圆的基本知识(含答案)

第十二讲关于圆的基本知识趣题引路】20世纪40年代美国数学家冯•诺伊曼等人编写了一本研究取胜对策的书.在这本书中有一个有趣的问题: 一只鼠在圆形的湖边碰上了猫，鼠连忙纵身跳到水里，猫不会游水，于是紧紧地盯住鼠，在湖边跟着鼠跑动，打算在鼠爬上岸时抓住它•已知猫奔跑的速度是鼠游水速度的2. 5倍.聪明的读者，你知道鼠怎样才能逃脱猫的追捕？解析如图12-1,鼠在点A碰上了猫，若鼠跳到湖里后径宜游到对岸点C；则猫从A到C要跑半个圆周，由于半圆长是直径的-^1.58（倍）＜2.5（倍），因此猫还是能抓住鼠，所以，鼠若要逃脱猫的追捕，就必须（原文是经字，好像不通）利用猫环湖跑动这一特点，跳下水以后先游到圆心O,看准猫当时所在的位垃如立刻转身朝着B对岸的点£＞游去，这时鼠要游的距离是半径OD,猫要跑的距离是半圆BCD,也就是OD的兀倍，兀〜3. 14＞2.5,所以当猫到点D时，鼠已经逃之夭夭了.图12-1知识延伸】圆是初中数学中重要的内容，圆的基本性质虽然比较简单但具有较强的适用性•确定圆的条件就是通过三个点找到圆心和半径，然后画图.弧、弦和直径的关系（垂径左理）是研究有关圆的知识的基础，垂径左理指的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，立理的题设和结论共涉及5条：（1）过圆心；（2）垂直弦：（3）平分弦：（4）平分劣弧：（5）平分优弧.在这5条中只要2条成立，那么剩下3条也是成立的.这样理解和记忆垂径左理即揭示了定理中的条件和结论的内在联系.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性，这是圆的最基本最重要的性质，是证明其他定理的工具.例两人轮流在一个圆桌上放同样大小的硬币.每人每次只能放一枚，且任何两枚硬币不能有重叠部分，谁先放完最后一枚使得对方再也找不到空地可以放下一枚硬币时，谁就获胜•问谁一左能获胜？他要想获胜，必须采取怎样的策略？解析先放的那个人一左能获胜，他首先在圆心放一枚硬币，然后不论对方怎样放一枚硬币，他都在对方放硬币的位宜关于圆心对称的位巻上再放一枚硬币，由于圆是关于圆心对称的图形，故只要对方有放硬币的地方，他就有放硬币的地方，可见最后胜利一左属于先放硬币的人.（下页提上来的，保持语段的完整性）点评几何中，（X，刃一（一X，—刃是以原点为对称中心的映射，这种映射叫做对称变换•圆是中心对称图形，先耙硬币放在圆桌的正中央，以后不管对方放在哪里，他下一步都把硬币放在对方硬币关于中心对称的地方，先放硬币的肯左获胜.例2 如图12-2, AABC中，周长AB+BC+AC=2・求证：ZEC —定能被一个直径为1的圆盖住.证明设A、D两点将zMBC周长分成相等的两部分，即AB+BD=AC+CD=\.似钢笔改动的录入）以AD的中点0为圆心，丄为半径画圆，它一立能盖住△ABC.这是因为在三角形中.一边上的中线小于2另两边和的一半，即OB<1（AB+BD）=1, OC<1（AC+CD）=1 ,2 2 2 2・・・B、C两点均在圆O内.而A2XAB+BD=1・：.OA<L，点 A 在<90 内，2即OO盖住了/XABC.点评这一问题典型地反映了覆盖问题的证明思路，第一部分是设计，第二部分是运用了一个熟知的结论证明（即三角形一边上的中线小于另两边和的一半）.从表面上看，是先设汁后证明，苴实，只有证明在胸, 才能得出设计.例3在美国的亚利桑那州，有一个巨大的右坑，它的直径1280m,深180m,据说它是在数千年以前, 一个巨大的陨石落到地上砸出来的•请你估算一下，这个巨大的陨石直径有多大？因此，(OC-DC)2+DB2=OB2.即（片180）2+（竺）2=妙2X2-360X+18024-6402=JI2,解得x= 1228m.这个巨大的陨石直径为2456m.点评有关弦、弦心距、半径、弓高的计算或涉及到弦、弦的中点的问题，通常是构造直角三角形或运用垂径立理.好题妙解】佳题新题品味例1已知如图12-4, AB为00的弦，OC丄于C,问O C+AC何时取最大值?S12-4解析连04、0B,过A作AD丄OB于D,设0A = OB=R, ZAOB=a,则AD=0A• s in a=R• sin a.S DAOB=—AD • OB2= -R• Rsin a= 1 /?2sin a,2 2（OC+ACgOG+AU+LAO OC=OA2^2S AAOH=/?2+/?2sin a.当“=90°时，sin 有最大值1,即（OC+AC）有最大值2疋，因而，当ZAOB=90° , OC+AC取得最大值R.点评一般地，最大、最小值常在某个特殊点取得，经试验后猜测，点A运动到和圆心的连线垂直于OB 时，OC+AC 取得最大值.例2 一条60m宽的河上架有一座半径为55m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽12m且高出水而8m的船能否通过此桥，请说明理由.E@12-5解析假左该船恰能通过桥时，桥的半径为/?，如图12-5, 表示水而宽，EF为船宽，MP为船顶到水面AB的距离，设O P=x(O为圆心)，依题意得，在RtZkOBP中，R2=302+F,①在RtAOEM中，用=(8+X)2+62,②①、②求得 /?= 10^34 >55,即船恰能通过时，桥的半径为10炉m,但现在桥的半径为55m,所以该船不能通过此桥.点评可先假定该船恰能通过桥，则12m宽的船顶为圆弧形拱桥的一弦，作出垂径和一条过该弦端点的半径，运用垂径左理及勾股立理求出这条半径/?，就能解决此问题.中考真题欣赏例1 (重庆市中考题)如图12-6, AM是00的直径，过00上一点B作BN丄AM,垂足为N,其延长线交OO于点C,弦CD交AM于点E(1)如果CD丄/W,求证：EN=NW(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：C&=EF・ED；(3)如果弦CD、AB的延长线(根据网上2002年重庆中考数学试题添加，后而的解答也是这个意思)交于点F,且CD=AB.那么(2)的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.图12』证明(1)连结BW 9：AM是直径，•••ZABM=90°・•: CD丄AB, :.BM〃CD A ZECN=ZMBN.9：AM丄BC,:・CN=BN.ARtACE/V^RtABM/V,:・EN=NM・(2)连结BD, BE、AC.•••点E是BC垂直平分线AM上一点,:.BE=EC.I CD=AB9 :. CD =AB , :. AD =BC , ••• ZACD=ZBDC.9：AB=AC, AE=AE. :.AABE^AACE,:・ZABE=ZACD=ZBDC, ZBED是公共角，•••△BEDs△FEB,—EF BE:.BE2=EF • ED. :.CE2=EF • ED.(3)结论成立证明如图12-7仿⑵可证ZBEQ'ACE、:・BE=CE, ZABE= ZACE.•••AB=CD, :. ZACB=ZDBC:.BD//AC. ZBDE+ZACE=180°=ZFBE+ZABE,:・ZBDE=ZFBE, ZBED是公共角，•••△BEDs&EB, A—=—EF EB:.BE^EF • ED、:.CE2=EF • ED.点评本题利用直径AM垂直BC和弦CD=AB这两个条件，得到弧相等，角相等，再利用三角形全等, 相似来解决问题.例2 (黄冈市中考题)已知，如图12-8, C为半圆上一点，AC =CE ,过点C作直径AB的垂线QP, P为垂足，弦AE分别交PC, CB于点D, F.(1)求证：AD=CD；气2(2)若DF=二，tanZ£C5=- > 求的长.4 4cE@12-7证明（1）连结人（7, V AC =CE , :.ZCEA = ZCAE.9： ZCEA=ZCBA, •••ZCBA=ZCAE・VAB是直径，A ZACB=90°・•:CP丄AB, :.ZCBA=ZACP・:.ZCAE= ZACP,:・AD=CD・⑵解析：ZACB=90° , ZCAE=ZACP.:.ZDCF=ZCFD. ：・AD=CD=DF=-・4••• ZECB= ZDAP. tanZEC5=-,4DP 3A tan ZDAP=一 =-PA 49：OP2+PA2=DA2, :.DP= - , PA=1, CP=2・4A ZAC5=90° , CP丄AB.:.'APCs'CPB, , APB=4.PC PB点评（1）利用AC =CE ,把圆周角，互余的角联系起来，从而解决问题.⑵利用RtAACF和ZACP=ZCAD这两个条件得到CD=DF,再转化ZECB为ZDAP,问题便迎刃而解.竞赛样题展示例(2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题)已知如图12-9,在以O为圆心的圆中，弦CD 垂直于直径AB,垂足为H,弦BE与半径OC相交于点F,且OF=FC,弦DE与弦AC相交于点G.(1)求证：AG=GCx⑵若AG=* , AH:AB=\:3,求△CDG的面积与△BOF的而积.证明(1)连结AD. 9：AB 是直径，AB 丄CD ••• BC =BD , ••• ZCAB=ZDAB. :. ZDAG=2ZCAB.V ZBOF= ZCAB+ZOCA ,又9： ZCAB=ZOCA, :.ZB0F=2ZCAB, :. ZBOF= ZDAG.OBFs 厶DAG ,故竺=21•••ZOBF=ZADG,:仏r)A | •：0B=0C=20F, 9：AC=2AG,即 AG=GC.(2)解析连结 BC, A ZBCA=90° ,又••'CH 丄AB, :.A^AH - AB ・• •AH— — X AB= — X 6=2・ 3 3CH = J AC —AH 丄=J (2®-22 = 2迈.:.S^ACD =丄 CD • AH= - X4x/2 X2= 4迈.・・・AG=CG,：皿心沁=尹心= 由•: HBOF S HDAG点评由垂径左理处BC =BD ,从而得到孤所对的圆周角相等，将已始与未知之间的关系联系起来，再通过三角形相似、射影定理等解决问题.OF AGAG 2團 12-9过关检测】4级1 •如图12-10, 00的直径AB和弦CD相交于点& 已知AE=\ cm. EB=5 cm, ZDEB=60c,,求仞的长.2•如图12-11,公园里大观览车半径为25m,已知观览车绕圆心O顺时针匀速转动，旋转一周用12mim 某人从观览车的最低处（地面A处）乘车，问经过4min后，此人距地而CD的髙度是多少米？（观览车最低处距地而的髙度忽略不讣）3•如图12-12, AB是OO的直径，P是OA上一点,C是00上一点，求证:D4•已知AB是00的直径，M是OA上的点，弦P0经过点M,且PM=M0•求证：3AP =B（）.5.如图12-13, 一根木棒(AB )长为么“斜靠在与地而(0M)垂直的墙壁(ON)上，与地而的倾角为60° , 若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，于是木棒的中点P也随之运动.已知A端下滑到A'时，Af =(筋-血)心则中点P随之运动的路线有多长？6.当湖泊结冰时，有一只球浮在湖而上，将球取岀后在冰上留下一个球形凹洞，深8cm,洞口直径为24cm, 球的半径是多少厘米？B级1・已知点P到00的最小距藹为4cm,最大距离为8cm,求00的半径.2 •如图12-14,已知00的直径为4cm, M是劣弧AB的中点，从M作弦且MN=2苗cm, MN、AB交于点P,求ZAPM的度数.3•已知OO的半径为乩C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96° , BD的度数为36。

人教中考数学圆的综合培优练习(含答案)含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB，在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E(1) 求证：BE是⊙O的切线(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA3 5【解析】分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD∵BD＝BA，OA＝OD∴BF为线段AD的垂直平分线∵AC为⊙O的直径∴∠ADC＝90°∵BE⊥DC∴四边形BEDF为矩形∴BE是⊙O的切线(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点∴OF＝12CD＝32∵BF＝DE＝1＋3＝4∴OB＝OD＝35422-=∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝332552OFOD==点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.3．已知：AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析12105【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB=90°，再证明△ABD≌△ACD即可得到结论；（2）连接BE．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB=∠BEG．再证△KFE≌△BFE，得到BF =KF =BK ．由OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，即可得到结论．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．先证CM 垂直平分AG ，得到AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．再证∠GAF =∠GCM =α．通过证明△AGB ≌△CMG ，得到BG =GM =12AG ．再证明∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ，可得GF =2a ，AF =4a ．由OK =1，得到OF =a +1，AK =2（a +1），AF = 3a +2，得到3a +2=4a ，解出a 的值，得到AF ，AB ，GF ，FC 的值．由tanα=tan ∠HAK =12HK AH =， AK =6，可以求出 AH 的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠=，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°． ∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ． ∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ． ∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°． ∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°． ∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12AG ．在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6． ∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK =22(2)m m +=6，解得：m =655，∴AH =2m =1255．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL =2AH =1210．4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．（2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【答案】（1）2；（2）AD ﹣DC=2BD ；（3）BD=AD=2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，由BD AD =即可得出答案. 【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌， ∴AE=CD ，BE=BD ， ∴CD+AD=AD+AE=DE ， ∵BDE ∆是等腰直角三角形， ∴DE=2BD ， ∴DC+AD=2BD ，故答案为2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠， ∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠， ∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =， ∴CDB AEB ∆∆≌， ∴CD AE =，EB BD =， ∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =．∵DE AD AE AD CD =-=-， ∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，∴21BD AD ==+．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.5．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO. (1)求⊙M 的半径； (2)求证：BD 平分∠ABO ；(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．【答案】（1）M 的半径r 2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为(2632)．【解析】试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 6，0），点B 为（02） ∴62 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：2∴M 的半径r=122. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴2∴2－22在Rt △AOB 中，3OAOB=∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，2633=∴点E 的坐标为（2632）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，BC＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6 4【解析】【分析】（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程2223)6)x x-=，解此方程即可求得⊙O的半径．【详解】解：（1）直线CE与⊙O相切．…理由：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DAC，又∠DCE＝∠ACB，∴∠DEC+∠DAC＝90°，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠DAC，∴∠DEC +∠OEA ＝90°， ∴∠OEC ＝90°， ∴OE ⊥EC ， ∵OE 为圆O 半径， ∴直线CE 与⊙O 相切；…（2）∵∠B ＝∠D ，∠DCE ＝∠ACB ， ∴△CDE ∽△CBA ， ∴BC ABDC DE=，又CD ＝AB ＝2，BC ＝2， ∴DE ＝1根据勾股定理得EC ＝3，又226AC AB BC =+=，…设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-，解得6x =， ∴⊙O 的半径为6．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．7．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）22；（2）224r ≤≤；（3）25252t --<<--或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4， ∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0， ∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635, ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252-）；∵0<d <2，∴25252t -<<-；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8；综上，25252t --<<--或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．8．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD ，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O 的半径为R ，则FO=4+R ，FA=4+2R ，OD=R ，连接OD ，由△FOD ∽△FAE ，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．9．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过O点作OD⊥BC，交⊙O的切线CD于点D，交⊙O于点E，连接AC、AE，且AE与BC交于点F．（1）连接BD，求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF：EF=2：1，求tan∠CAF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，根据平行线分线段成比例定理得到AC ：EG=2：1，EG=12AC ，根据三角形的中位线的性质得到OG=12AC 于是得到AC=OE ，求得∠ABC=30°，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵OC=OB ，OD ⊥BC ，∴∠COD=∠BOD ，在△COD 与△BOD 中， OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△COD ≌△BOD ，∴∠OBD=∠OCD=90°，∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，AC ⊥BC ，∵OD ⊥CB ，∴AC ∥DE ，设OD与BC交于G，∵OE∥AC，AF：EF=2：1，∴AC：EG=2：1，即EG=12AC，∵OG∥AC，OA=OB，∴OG=12AC，∵OG+GE=12AC+12AC=AC，∴AC=OE，∴AC=12AB，∴∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∵CE BE，∴∠CAF=∠EAB=12∠CAB=30°，∴tan∠CAF=tan30°=3．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．10．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=DP，OB=3，求BD的长度；（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．【答案】（1）证明见解析（2）π（3）13【解析】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）易得∠BOD=60°，再由弧长公式求解即可；（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°，∴BD的长度=（3）解：连接DG，如图2所示：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，设OD=OA=x，则OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG=90°，∴DG=2222-=-=6，108CG CD∴EG=2222+=+=213.DG DE64。

2023-2024学年九年级上册数学专题2.2圆的对称性(原卷版)尖子生章节专项能力提升卷(苏科版)

九年级数学上册尖子生章节专项能力提升卷（苏科版）专题2.2圆的对称性班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试时间：45分钟；总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（·广东金平）下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦2．（·全国初三课时练习）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．10C．D．3．（·广西南丹初三一模）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．B．cm C．或D．cm或44．（·全国初三课时练习）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为（）．A．30°B．40°C．50°D．60°5．（·全国初三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M 与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（﹣5，4）C．（5，﹣4）D．（4，﹣5）6．（·广西蒙山县二中初三月考）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误．．的是( )A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C．弧AE=弧BE D．OD=DE二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（·江苏武进?中考模拟）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为_____度．8．（·广东潮南?初三期末）⊙O的半径为10cm，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=16cm,CD=12cm．则AB与CD 之间的距离是cm．9．（·江苏建邺?初三月考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为_____．10．（·山东垦利?初三期中）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为________．11．（·广西蒙山县二中初三其他）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______．12．（·河北沧县?初三期末）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于______度．13．（·集贤县第七中学初三期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．14．（·全国初三单元测试）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD ⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则P A+PC的最小值为______．15．（·全国初三课时练习）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ，当点P在BC上移动时，则PQ长的最大值为__________．16．（·全国初三课时练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB=8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．三、解答题（本大题共7小题，共58分）17．（·内蒙古呼伦贝尔?初三期中）已知：如图，∠P AC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．18．（·全国初三课时练习）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？19．（·安徽初三三模）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E(1)求线段DE的长；(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．20．（·广西河池?初三期末）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．21．（·安徽淮南?初三一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E．（1）求证：E为BC的中点；（2）若BC=8，DE=3，求AB的长度．22．（·仪征市新集初级中学初三月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？23．（·天津和平?初三二模）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．（1）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；（2）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求BDAC的值．24．（·全国初三课时练习）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．（1）求证：△AFO≌△CEB；（2）若BE＝4，CD＝，求：①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．。

中考数学知识点过关培优训练∶圆的综合及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．2．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．【答案】发现： 90°，102；思考：（1）103π=；（2）25π−1002+100；（3）点O 到折痕PQ 的距离为30. 【解析】分析：发现：先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（2）先在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2，解得OP=102−10，最后用面积的和差即可得出结论．探究：先找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B ，从而求出OO′的长，则OM=12OO′=30．详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点， ∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102；思考：（1）如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP=12OB=12OQ ． ∵QP ⊥OB ， ∴∠OPQ=90°在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=12OP OQ =， ∴∠QOP=60°， ∴l BQ =6010101803ππ⨯=；（2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝2，在Rt △B'OP 中，OP 2+(102−10)2=（10-OP ）2 解得OP=102−10，S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602π⨯-⨯⨯⨯-＝25π−1002+100；探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，∴O′C=OB=10，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点， ∴O′C ⊥AO ， ∴O′C ∥OB ，∴四边形OCO′B 是矩形，在Rt △O′BP 中，226425-= 在Rt △OBO′K ，2210(25)=230-， ∴OM=12OO′=12×23030 即O 到折痕PQ 30点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180n Rπ（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，过点C 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，连接DC ，AC ．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A ，O ，C ，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．4．问题发现．(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______．(2)如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．(3)如图③，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则ADCACGAGCD S SS=+四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由AEM ACB ∽求得GM 的值，再由ACDACGAGCD S SS=+四边形求解即可.试题解析：（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，22ABCCD AB AC BCS ⋅⋅==，∴341255AC BC CD AB ⋅⨯===，（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，则CM MN +的最小值为C N '的长，设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥，∴BMC BCD ∽，且125CH =，∴C CB BDC ∠=∠'，245CC '=， ∴C NC BCD '∽，∴244965525CC BC C N BD ⨯⋅===''，即CM MN +的最小值为9625．（3）连接AC ，则ADCACGAGCD S SS=+四，321GB EB AB AE ==-=-=，∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ， ∵AEM ACB ∽， ∴EM AEBC AC=， ∴24855AE BC EM AC ⋅⨯===， ∴83155GM EM EG =-=-=，∴ACDACGAGCD S SS=+四边形，113345225=⨯⨯+⨯⨯， 152=．【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．5．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M 点开始（即M 点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB ＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 重合，现有射线C 绕点C 从CA 开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB ，在旋转过程中，射线CP 与量角器的半圆弧交于E ．连接BE ．（1）当射线CP 经过AB 的中点时，点E 处的读数是，此时△BCE 的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∠AOE＝15°，∴∠ECA＝12∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACE＝12∠ACB＝60°，∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则DA DBDC+＝；（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当92PDAC=时，求DEOA的值．【答案】（1）2；（2）①DA+DB ＝2DC ，②S ＝12t 2﹣14m 2 ；（3）24235DE OA =. 【解析】【分析】（1）首先证明当DC ⊥AB 时，DC 也为圆的直径，且△ADB 为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A ，B 作CD 的垂线，连接AC ，BC ，分别构造△ADM 和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC 和△MCA 两个全等的三角形，容易证出线段DA ，DB ，DC 之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB 的变形及将已知条件AB ＝m 代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD 的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【详解】解：（1）如图1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵C 为AB 的中点，∴AC BC =，∴∠ADC ＝∠BDC ＝45°，∵DC ⊥AB ，∴∠DEA ＝∠DEB ＝90°，∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，∴AE ＝BE ，∴点E 与点O 重合，∴DC 为⊙O 的直径，∴DC ＝AB ，在等腰直角三角形DAB 中，DA ＝DB ＝2AB ， ∴DA+DB ＝2AB ＝2CD ，∴DA DB DC+＝2；（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ，由（1）知AC BC =，∴AC ＝BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°，∴∠NBC ＝∠MCA ，在△NBC 和△MCA 中，BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBC ≌△MCA （AAS ），∴CN ＝AM ，由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，AM ＝2DA ，DN＝2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝22DB+22DA ＝22（DB+DA ），即DA+DB ＝2DC ；②在Rt △DAB 中，DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，且由①知DA+DB 2DC 2t ，∴2t ）2＝m 2+2DA•DB ，∴DA•DB ＝t 2﹣12m 2， ∴S △ADB ＝12DA•DB ＝12t 2﹣14m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝12t 2﹣14m 2；（3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ，则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形，由（1）知AC BC =，∴AC ＝BC ，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴AB ＝2AC ， ∵9220PD AC =，设PD ＝92，则AC ＝20，AB ＝202，∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ，∴△ABD ∽△PBA ，∴AB BD AD PB AB PA ==， ∴20292202DB =+， ∴DB ＝162， ∴AD ＝22AB DB -＝122，设NE ＝ME ＝x ，∵S △ABD ＝12AD•BD ＝12AD•NE+12BD•ME ， ∴12×122×162＝12×122•x+12×162•x ， ∴x ＝482， ∴DE ＝2HE ＝2x ＝967，又∵AO ＝12AB ＝102， ∴96242735102DE OA =⨯=．【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．7．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ．【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42． ∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ，又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯，解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14．（3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点，设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=C 2，∴NF=b c 2-，CK=a c 2-，又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-）×c 2，化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴2==，即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．8．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，AB ⊥CB 于点B ，tanD=3，BC=2，H 为CE 延长线上一点，且，CH =.（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）102【解析】【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是CE的中点，可得∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得EH=2，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10-2．【详解】（1）如图1所示：连接AC．∵AB⊥CB，∴AC是⊙O的直径，∵∠C=∠D，∴tanC=3，∴AB=3BC=3×2=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又∵AH2=10，CH2=50，∴AC2+AH2=CH2，∴△ACH为直角三角形，∴AC⊥AH，∴AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE、BE，∵AH是圆O的切线，∴∠ABD=∠HAD，∵D是CE的中点，∴CD ED，∴∠CED=∠EBD，又∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED，∴∠ABD=∠AFE，∴∠HAF=∠AFH，∴AH=HF；（3）由切割线定理可知：AH2=EH•CH10）22EH，解得：2，∵由（2）可知10，∴EF=FH﹣102．【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.9．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=DP，OB=3，求BD的长度；（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．【答案】（1）证明见解析（2）π（3）213【解析】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）易得∠BOD=60°，再由弧长公式求解即可；（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°，∴BD的长度=（3）解：连接DG，如图2所示：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，设OD=OA=x，则OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG=90°，∴DG=2222-=-=6，CG CD108∴EG=2222+=+=213.DG DE6410．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．。

15.中考数学专题复习圆的对称性尖子生同步培优题典(解析版)

专题2.2圆的对称性姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共21题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•金平区期末）下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；故选：B．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．2．（2019秋•江阴市校级期中）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角、弧、弦的相关知识进行解答．【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．点评：本题涉及的知识点有：圆周角定理的推论，等弧的概念和性质，以及圆心角、弧、弦的关系等．3．（2019•东台市模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若BĈ的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得到AĈ=BĈ，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．【解答】解：∵BĈ的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴AĈ=BĈ，∴∠ADC=12∠BOC＝25°．故选：B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．4．（2019秋•玄武区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【分析】如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．在Rt△OCM中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．设OA＝OB＝OC＝r．∵AB⊥CD，∴CN＝MD=12CD＝4cm，在Rt△OCM中，∵OC2＝CM2+OM2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴AB＝2OA＝10，故选：B．点评：本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．5．（2019秋•江阴市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE ＝AO+OE即可得出AE的长度．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE=12CD＝4cm．在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE=√OC2−CE2=√52−42=3（cm），∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故选：D．点评：本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．6．（2019秋•仪征市期末）如图，在⊙O中，分别将AB̂、CD̂沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8B．16 √3C．32D．32√3【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OH=12OA，推出△AOD是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，得到四边形ABCD 是矩形，于是得到结论．【解答】解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵分别将AB̂、CD̂沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH=12OA，∴∠HAO＝30°，∴∠AOH＝60°，同理∠DOG＝60°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOD+∠AOB＝180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝AO＝4，AB=√3AD＝4√3，∴四边形ABCD的面积是16√3，故选：B．点评：本题考查了垂径定理，圆周角定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2019秋•泗阳县期末）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP 为整数，即可得到OP所有可能的长．【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，根据勾股定理得：OP=√OA2−AP2=3，即OP的最小值为3；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，∴3≤OP≤5，则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，5，共5个．故选：C．点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．8．（2019秋•连云港期中）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD ，BC ＝3．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ．当对角线BD 最大时，则弦AB 的长是（）A ．√6B ．2√3C ．32D ．2√2【分析】作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，如图，利用垂径定理得到BH =12BC =32，再根据折叠的性质得到OH =12OB ，则∠OBH ＝30°，于是可计算出OH =√32，OB =√3，接着利用BD 为直径时，即BD ＝2√3时，对角线BD 最大，根据圆周角得到此时∠BAD ＝90°，再判断△ABD 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算出AB 的长．【解答】解：作OH ⊥BC 于H ，连接OB ，如图，则BH ＝CH =12BC =32，∵劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ，∴OH =12OB ，∴∠OBH ＝30°，∴OH =√33BH =√32，∴OB ＝2OH =√3，当BD 为直径时，即BD ＝2√3时，对角线BD 最大，则此时∠BAD ＝90°，∵AB ＝AD ，∴此时△ABD 为等腰直角三角形，∴AB =√22BD =√22×2√3=√6．故选：A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了折叠的性质和垂径定理．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2019秋•金湖县期末）长度等于6√2的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为6．【分析】由45度角直角三角形边角关系解答即可．【解答】解：如图AB＝6√2，∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴OA＝OB=√22AB=√22×6√2=6，故答案为6．点评：本题考查了特殊直角三角形边角关系，熟练掌握45度角直角三角形边角关系是解题的关键．10．（2019秋•大丰区期中）如图，在⊙O中，AĈ=BD̂，∠1＝30°，CD̂的度数为30°．【分析】根据圆心角的性质和等式的性质解答即可．【解答】解：∵在⊙O中，AĈ=BD̂，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°，̂的度数为30°，∴CD故答案为：30°点评：此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角的性质和等式的性质解答．11．（2018秋•宁津县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD所对的圆心角的度数72°．【分析】连接OD，由直角三角形的性质得出∠A＝54°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠A＝54°，由三角形内角和定理求出∠ACD即可．【解答】解：连接CD，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝90°﹣∠A＝54°，∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠A＝54°，∴∠ACD＝180°﹣54°﹣54°＝72°；故答案为：72°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系、直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，由等腰三角形的性质求出∠1ACD是解决问题的关键．12．（2020•常州模拟）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝8m．【分析】连接OA，根据垂径定理可知AD＝BD=12AB，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长，进而可得出AB的长，此题得解．【解答】解：连接OA，如图所示．∵CD⊥AB，∴AD＝BD=12AB．在Rt△ADO中，OA＝OC＝5m，OD＝CD﹣OC＝3m，∠ADO＝90°，∴AD=√OA2−OD2=√52−32=4（m），∴AB＝2AD＝8m．故答案为：8．点评：本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，利用勾股定理求出AD的长度是解题的关键．13．（2019秋•海陵区校级期末）如图，⊙O与矩形ABCD的边AB、CD分别相交于点E、F、G、H，若AE+CH ＝6，则BG+DF为6．【分析】作OM⊥GH于M，OM交EF于N，如图，先证明OM⊥EF，利用垂径定理得到EN＝FN，GM ＝HM，利用四边形ABMN和四边形MNDC为矩形得到AN＝BM，DN＝CM，然后根据等线段代换得到BG+DF＝AE+CH．【解答】解：作OM⊥GH于M，OM交EF于N，如图，∵EF∥GH，∴OM⊥EF，∴EN＝FN，GM＝HM，易得四边形ABMN和四边形MNDC为矩形，∴AN＝BM，DN＝CM，∴BG+DF＝BM﹣GM+DN﹣NF＝AN﹣HM+CM﹣EN＝AN﹣EN+CM﹣HM＝AE+CH＝6．故答案为6．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质．14．（2019秋•秦淮区期末）如图，⊙O是一个油罐的截面图．已知⊙O的直径为5m，油的最大深度CD＝4m（CD⊥AB），则油面宽度AB为4m．【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可．【解答】解：连接OA，由题意得，OA＝2.5，OD＝1.5，∵CD⊥AB，∴AD=2−OD2=2，∴AB＝2AD＝4m，故答案为：4．点评：此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15．（2019秋•泗阳县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CD⊥AB，垂足为D，CD＝4，OD ＝3，则DB＝2．【分析】连接OC，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：连接OC．∵CD⊥AB，∴∠ODC＝90°，∴OC＝OB=√OD2+CD2=√32+42=5，∴BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2，故答案为2．点评：本题考查勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16．（2019秋•镇江期末）有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、̂的度数等于120°B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧AB【分析】如图，延长BC交⊙O于点D，连接AD，OA．求出∠AOB即可解决问题．【解答】解：如图，延长BC交⊙O于点D，连接AD，OA．∵BD是直径，∴∠DAB＝90°，∵∠B＝30°，∴∠D＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OD，∴∠D＝∠OAD＝60°，∴∠AOB＝∠D+∠OAD＝120°，̂的度数等于120°，∴劣弧AB故答案为120°．点评：本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）̂=2AD̂，请说明AB 17．（2019秋•新北区期中）如图，A、B、C、D为⊙O上四点，若AC⊥OD于E，且AB ＝2AE．̂=2AD̂，AC＝2AE，再由，AB̂=2AD̂，可得∴AB̂=AĈ，即可得AB＝AC，【分析】由垂径定理可得，AC所以AB＝2AE．【解答】解：∵AC⊥OD，̂=2AD̂，AC＝2AE，∴AĈ=2AD̂，∵AB̂=AĈ，∴AB∴AB＝AC，∴AB＝2AE．点评：本题考查了垂径定理，正确运用垂径定理是解题的关键．18．（2020•武汉模拟）⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．【分析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．【解答】解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP＝PD，∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB=√3，∴PD=√OD2−OP2=√6，∴CD＝2PD＝2√6（cm）．点评：本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．̂的中点，求证四边形OACB 19．（2020•硚口区模拟）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧AB是菱形．̂的中点，∠AOB＝l20°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等【分析】连OC，由C是AB得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC＝OA＝OB＝BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．【解答】证明：连OC，如图，̂的中点，∠AOB＝l20°∵C是AB∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．20．（2019秋•东台市期中）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，若AB＝1．（1）求OD的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得DC＝BC＝AB＝1，则∠DCO＝∠ABC＝90°，又∠DCO＝45°，CO＝DC＝1，求出OD；（2）连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径．【解答】解：（1）如图，∵四边形ABCD为正方形，∴DC＝BC＝AB＝1，∠DCO＝∠ABC＝90°，∵∠DCO＝45°，∴CO＝DC＝1，∴OD=√2CO=√2×1=√2；（2）BO＝BC+CO＝BC+CD1+1＝2，．连接AO，则△ABO为直角三角形，于是AO=√AB2+BO2=√12+22=√5．即⊙O的半径为√5．点评：此题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据角的度数求出△DCO是等腰直角三角形，得出BO＝2AB，做出辅助线，利用勾股定理求解．21．（2019秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．̂为120°，BĈ为50°，求∠E的度数；（1）如图1，若AD（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE ＝DE．【解答】（1）解：连接AC．∵弧AD为120°，弧BC为50°，∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，∵∠ACD＝∠BAC+∠E∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；（2）证明：连接AD．∵AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∴弧AC＝弧BD，∴∠ADC＝∠DAB，∴AE＝DE．点评：本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．。