16-17版第1章 1.2.4 第2课时诱导公式(三)、(四)

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三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式一、知识要点：诱导公式（一）tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k诱导公式（三）)tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ诱导公式（二）)tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αααα诱导公式（四）tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=-=-诱导公式（五）=-=-)2cos( cos )2sin(απααπ诱导公式（六）=+=+)2cos( cos )2sin(απααπ方法点拨：把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限二、奇变偶不变，符号看象限将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变二、基础自测：1、求下列各三角函数值:①cos225° ②tan （-11π）2、sin1560°的值为( )A 、21-B 、23-C 、21D 、233、cos -780°等于( ) A 、21B 、21- C 、23 D 、23-三、典型例题分析：例1、求值（1）29cos()6π= __________．（2）0tan(855)-= _______ ___．（3）16sin()3π-= __________．变式练习1：求下列函数值：665cos)1(π )431sin()2(π-的值。

求：已知、例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+变式练习2：若1sin()22πα-=-，则tan(2)πα-=________．变式练习3：已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan ＝．四、巩固练习：1、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（） A ．α一定是锐角 B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-3、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．434、)2cos()2sin(21++-ππ （） A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为（）A ．332 B ．－2 C ． 332- D ． 332±6、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （） A 、21-B 、21C 、23-D 、237、α是第四象限角,1312cos =α,则sinα等于( ) A.135 B.135- C.125 D.125- 二、填空题1、计算：cos （－2640°）+sin1665°＝．2、计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝． 3、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___．4、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．5、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin οf 的值为。

苏教版2017高中数学(必修四)第1章1.2.3三角函数的诱导公式(一) PPT课件

第1章
三角函数
1＋2sin 280° · cos 440° 2.化简： . sin 260° ＋cos 800°
1＋2sin（ 360° － 80° ）· cos（ 360° ＋ 80° ）解：原式＝ sin（ 180° ＋80° ）＋ cos（ 720° ＋80° ） 1－2sin 80° · cos 80° ＝－ sin 80° ＋ cos 80° sin280° ＋ cos280° － 2sin 80° · cos 80° ＝－ sin 80° ＋ cos 80° （ sin 80° － cos 80° ）2 |sin 80° － cos 80° | ＝＝－ sin 80° ＋ cos 80° cos 80° － sin 80° sin 80° － cos 80° ＝＝－1. cos 80° － si归纳对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式二，化为正角的三角函数，若转化得到的正角大于 360° ，再利用诱导公式一，化为[0° ，360° )角的三角函数;若这时的角是 [90° ，360° )的角，再利用其余的诱导公式化为 [0° ，90° ]角的三角函数．
第1章
第1章
三角函数
1．2.3 三角函数的诱导公式(一)
第1章
三角函数
学习导航 1.了解诱导公式产生的背景及推导思路．(重点) 2．熟记α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α诱导公式． 3．掌握运用诱导公式进行计算与化简．(重点、难点)
学习
目标
第1章
三角函数
学法指导
1.本节将要学习的诱导公式既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，广泛应用于求任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题． 2．这组诱导公式的推导思路是：首先确定角180°＋ α、角－α的终边与角α的终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结论． 3．在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末．为什么确定180°＋α角为第一研究对象，－α角为第二研究对象，正是化归思想的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.

《诱导公式》课件

应用实例：如 sin(2x)=sin(x +x)=sinxcos
x+cosxsinx
化简技巧：利用诱导公式将三角函数转化为正弦或余弦形式，再进行
化简
在三角函数求值中的应用
诱导公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 应用：求解三角函数值示例：sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45° 注意事项：正确使用诱导公式，避免错误计算
基本形式：f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
重要性：在数学、物理、工程等领域有广泛应用
在三角函数化简中的应用
诱导公式： sin(a+b)=sina cosb+cosasin
b， cos(a+b)=cos
acosbsinasinb
化简三角函数：将三角函数转化为正弦或余
弦形式
第二类诱导公式
基本形式：f(x) = x^2 + bx + c
特点：二次函数，顶点在x轴上
应用：求解二次方程、二次函数最大值最小值等问题扩展：可以推广到更高次的多项式函数，如f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d
第三类诱导公式
特点：三次多项式，最高次项为x^3
应用：求解三次方程、研究函数性质等
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汇报人：PPT
目录
诱导公式是什么
诱导公式是数学中的一种公式，用于将复杂的函数转化为简单的形式
诱导公式可以帮助我们理解和计算复杂的函数

1.3 三角函数的诱导公式(第2课时) 精品教案

1.1.1 诱导公式（二）
【课题】：诱导公式（二）【教学三维目标】：一、知识与技能 1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与
2
π
α-，
2
π
α+等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从
三角函数定义得出相应的关系式）；
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程；二、过程与方法
1、理解诱导公式的推导方法；
2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；
3、培养学生化归、转化的能力；三、情感态度与价值观
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径．【教学重点】：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值、化简、证明，提高数学内部联系的认识．【教学难点】：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线y x =对称的点得性质与（
2
π
α±）的诱导公式的关系。

【课前准备】：三角板、圆规、多媒体．【教学过程设计】：
2
π。

人教版高中数学必修1《诱导公式二、三、四》PPT课件

＝cos 60°sin 30°＋tan 135°＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°)
＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
(3)原式＝sin 43π·cos2π＋76π·tan4π＋54π
＝sin 43π·cos 76π·tan 54π＝sinπ＋π3·cosπ＋π6·tanπ＋π4＝－sinπ3·－cosπ6·tanπ4
• cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)．
•(二)基本知能小试
•1．判断正误
• (1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．( )
• (2) 对于诱导公式中的角 α 一定是锐角．
()
• (3) 由公式三知 cos[ － (α － β)] ＝－ cos(α － β) ．
②当 n 为偶数，即 n＝2k(k∈Z )时，原式＝cos2kπ＋π4＋x＋cos2kπ－π4－x ＝cosπ4＋x＋cos－π4－x＝2cosπ4＋x. 故原式＝－2cosπ4＋x，n为奇数，
2cosπ4＋x，n为偶数.
二、应用性——强调学以致用 2．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos A＝－ 2cos(π－B)，
sinα－75°＝－5 解得
2626，
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 或
2626，
cosα－75°＝－
26 26
(舍去)．
所以
sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝5
26 26 .
•题型三化简求值问题

诱导公式(原卷版)

5．3 诱导公式【知识点梳理】知识点一：诱导公式诱导公式一： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 知识点诠释：（1）要化的角的形式为90k α⋅±（k 为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．知识点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为90(||45)k αα︒︒⋅+<的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±（k 为常整数）的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是： ①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为[0,2π]内的三角函数； ③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【题型归纳目录】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题题型二：利用诱导公式求解给值求值问题题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用题型五：诱导公式的综合应用题型六：利用互余互补关系求值【典型例题】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题例1．（2022·全国·高一专题练习）172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例2．（2022·全国·高一）()8cos330sin 30tan cos903π︒+-︒++︒=______．例3．（2022·西藏拉萨·高一期末）11cos6π=（）A 2B 3C ．12D ．1变式1．（2022·全国·高一课时练习）设sin 25a ︒=，则sin65cos115tan 205︒︒︒=（） A 221a-B ．221a- C ．2a - D ．2a变式2．（2022·全国·高一课时练习）()sin 660-的值是（） A ．12B ．12-C 3D ．3变式3．（2022·广西桂林·高一期末）sin 405=（） A ．1 B ．12-C 3D 2变式4．（2022·云南昆明·高一期末）35πsin 6=（） A ．12B ．12-C 3D ．3【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0︒到360︒间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于90︒的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．题型二：利用诱导公式求解给值求值问题例4．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知12cos 13θ=-，若θ是第二象限角，则()tan πθ+的值为（） A ．512B ．125C ．－512D ．－125例5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（）A ．45-B ．35 C ．35D ．45例6．（2022·广东·饶平县第二中学高一阶段练习）设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．45C ．35 D ．45-变式5．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，()7sin sin 2213A A ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则tan A 的值是（）A ．125- B ．125C ．512-D ．512变式6．（2022·全国·高一课时练习）若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（） A ．45-B ．35 C ．45D ．35变式7．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知5sin α=，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A 5B ．5C ．25D 25变式8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知()113sin cos 2013cos 22ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（）A ．2110 B ．32C 3D ．2变式9．（2022·河南南阳·高一期中）已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()cos 2021απ+=（） A ．14-B ．15C ．14D 15【方法技巧与总结】解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：203π13373cos πtan π1144tan π3⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅- ⎪⎝⎭；（2）已知4tan 3α=，求222sin 2sin cos 2cos sin ααααα+-的值.例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知α为第三象限角，且sin cos()tan()2()cos()f πααπααπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=-． (1)化简()f α； (2)若25()f α=，求cos α的值．例9．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）（1）化简()3sin()cos tan()2cos tan(2)2f ππααπααπαπα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；（2）已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求实数b 以及sin cos θθ-的值.变式10．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且sin(π)cos(2π)tan(2π)tan(π)sin(3π)()f αααααα---+-+-=.(1)化简()f α；(2)若3sin 5α=-，求()f α；(3)若1860α︒=-，求()f α.变式11．（2022·全国·高一课时练习）已知()1sin 1sin 1sin 1sin f ααααα+-=-+α为第二象限角.(1)若()3f α=，求224sin cos 3αα+的值；(2)若()21cos 2f αα=，求()3cos 2023cos 2ππαα⎛⎫+++⎪⎝⎭的值.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()()()()sin cos 2tan tan sin f πβπββπββππβ--+=----.(1)若角β是第三象限角，且()1sin 5βπ-=，求()f β的值； (2)若2220β=︒，求()f β的值.变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a -=--（0a >且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos αα-的值；(2)求()()()()πsin πcos 2tan 5πcos 2πsin ααααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+++-的值.【方法技巧与总结】三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成2k πα±，πα±，k Z ∈的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：221sin cos tan4παα=+=．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到k πα±的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用例10．（2022·全国·高一课时练习）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++；（2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.例11．（2022·全国·高一专题练习）求证：3πtan(2π)cos cos(6π)2tan 3π3πsin cos 22a a a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例12．（2022·上海·高一课时练习）已知A 、B 、C 是ABC 的三个内角，求证；（1）cos(2)cos 0A B C A +++=；（2）3πtan tan 044A B C+++=.变式14．（2022·上海·高一）若k ∈Z ，求证：sin(π)cos(π)1sin[(1)π]cos[(1)π]k k k k αααα-+=-+++-.变式15．（2022·全国·高一课时练习）求证：()()()()()()()()()sin 3cos 4sin 4cos 2cos cos sin tan sin απαππαπααππααπαπαπ-+---=--++---.【方法技巧与总结】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型五：诱导公式的综合应用例13．（2022·全国·高一课时练习）在①()3sin 2sin 2ππαα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②()2tan 3πα-=-这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.已知α为第一象限角，且___________，求sin α，cos α，tan α的值.例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)化简()f x ； (2)若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例15．（2022·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第二象限，且1OA OB ==，记AOB α=∠，满足4sin 5α=． (1)求点B 的坐标；(2)求()()()22cos 3cos 12sin cos παπααπα⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭--的值．变式16．（2022·陕西渭南·高一期末）已知α为第二象限角，π4sin 25α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若cos tan()cos(2)2()tan(19)sin(5)sin()f αααααααπ⎛⎫--π+π- ⎪⎝⎭=--π-π-π+，求()f α的值．变式17．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -.(1)求cos()cos 2ππαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin()cos sin()tan()2cos(2)sin cos()tan()2πααπαπαππααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫-++- ⎪⎝⎭的值.变式18．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角θ的终边经过点()(),220P m m m >. (1)求tan θ的值；(2)求()()()()()sin sin sin tan 2cos 2cos cos 2ππθθπθπθππθθπθ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.变式19．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知点(,22P m 是角α终边上的一点，且1cos 3α=-．(1)求tan α的值；(2)求()()sin cos 3cos sin 22αππαππαα--+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型六：利用互余互补关系求值例16．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知2sin 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2sin cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．例17．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知π3sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是___________.例18．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭__________．变式20．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________.变式21．（2022·江西省万载中学高一期中）若3sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_____.变式22．（2022·全国·高一课时练习）当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________．变式23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________.【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有3πα-，6πα+；3πα+，6πα-；4πα+，4πα-等．常见的互补关系有3πθ+，23πθ-；4πθ+，34πθ-等．【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知sin 37a =，则cos 593=（） A ．aB ．a -C 21a -D ．21a --2．（2022·全国·高一课时练习）设()()()sin πcos πx f x a b x αβ++=+，其中,,,a b αβ∈R ，若()20215f =，则()2022f =（） A ．4B ．3C ．－5D ．53．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知α为锐角，()2sin π3α-=，则cos α的值为（） A ．13B ．23-C 5D ．54．（2022·全国·高一专题练习）在ABC 中，下列等式一定成立的是（） A ．sin sin A B CB ．()cos cos A BC += C ．cossin 22B C A+= D ．sinsin 22B C A+= 5．（2022·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点734⎫-⎪⎪⎝⎭，则3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．34B ．34-C 7D ．76．（2022·全国·高一课时练习）已知()0,απ∈，()tan 3sin παα-=，则tan α=（） A ．22B 2C ．24-D ．22-7．（2022·陕西渭南·高一期末）若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（） A ．35B ．35 C ．45D ．45-8．（2022·北京市第十九中学高一期中）若α为任意角，则满足cos cos 2k παα⎛⎫+⋅=- ⎪⎝⎭的一个k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）下列与sin θ的值一定相等的是（）A ．πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．πcos 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()sin πθ-10．（2022·全国·高一课时练习）在ABC 中，下列等式一定成立的是（） A ．sincos 22A B C+=- B ．()sin 22cos2A B C +=- C ．()tan tan A B C +=-D ．()sin sin A B C +=11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()cos 2xf x =，则（）A ．()()f x f x -=B ．()()f x f x -=-C ．()()2f k x f x π+=，k ∈ZD ．()()()21kf k x f x π-=-，k ∈Z12．（2022·全国·高一课时练习）定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知()1sin 4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（）A ．15sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan 15β=D ．15tan β=三、填空题13．（2022·天津·高一期末）已知1tan 2α=，则cos()3cos 23sin sin()2ππααπαα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭_________． 14．（2022·天津·高一期末）已知函数3()sin 2(0)f x ax b x ab =++≠，若(2019)f k =，则(2019)f -=_________．15．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）若()()2sin πcos π2πsin 2ααα+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 1cos αααα+=+______． 16．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知角α的终边经过点()3,4，将角α的终边绕原点O 顺时针旋转2π得到角β的终边，则tan β=___________. 17．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．四、解答题18．（2022·江西省万载中学高一期中）（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+-- （2）已知()sin 3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值.19．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---- (1)化简()f α (2)若31cos()25πα-=，α为第三象限角，求()f α的值.20．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）（1）已知3sin 5α=-，求tan cos αα+的值（2()2382cos225sin tan 204033π⎛⎫---- ⎪⎝⎭21．（2022·全国·高一课时练习）已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，求证：ππsin cos 2424A B C +⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥．(1)求()()πsinπcos23πcosπsin2αββα⎛⎫++⎪⎝⎭⎛⎫-+⎪⎝⎭的值；(2)若点A的横坐标为35，求2sin cosαβ的值．。

诱导公式教案完整版

1.3 三角函数的诱导公式（第1课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）借助单位圆，推导出诱导公式。

（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题，并进行简单三角函数式的化简和证明。

2.过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。

（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。

（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。

3.情感、态度与价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。

（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。

二、教学重点、难点:1、重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。

2、难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。

三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：（一）复习引入师：问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？生：学生口述三角函数的单位圆定义：sin =y,cos =x,tan =xy (x ≠0) 师：问题2：试写出诱导公式（一），并说出诱导公式的结构特征；生：诱导公式一：()∂=∙+sin 2sin παk ；απαcos )2cos(=∙+k ；απαtan )2tan(=∙+k ；（其中Z k ∈）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值。

师：这节课咱们继续学习三角函数的诱导公式，看看今天的诱导公式是解决什么问题的。

高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.2.4 诱导公式(二)课件新人教B版必修4.pptx

23 解答
(2)若角 A 是△ABC 的内角，且 f(A)＝35，求 tan A－sin A 的值. 解因为 f(A)＝cos A＝35，又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得 sin A＝ 1－cos2A＝45，所以 tan A＝csoins AA＝43，所以 tan A－sin A＝43－45＝185.
α＝－csoins
α α
＝－tan
α＝右边.
∴原等式成立.
16 证明
反思与感悟
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.
8
知识点二角α与－α＋π2 的三角函数间的关系
以－α替代公式(四)中的α，可得到诱导公式(四)的补充： cos(－α＋π2 )＝sin α， sin(－α＋π2 )＝cos α， tan(－α＋π2 )＝cot α， cot(－α＋π2 )＝tan α.
9
梳理
π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
14
跟踪训练 1 已知 sinπ6＋α＝ 33，求 cosπ3－α的值. 解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴π3－α＝π2－π6＋α.
∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α
＝sinπ6＋α＝
3 3.
15 解答
类型二利用诱导公式证明三角恒等式
tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)

高中数学诱导公式教案docdoc

高中数学诱导公式教案docdoc
教学目标：学生能够理解数学诱导公式的概念及应用，能够运用数学诱导公式解决相关问题。

教学内容：数学诱导公式
教学步骤：
第一步：引入（5分钟）
通过举例说明数学诱导公式的应用，引发学生对该内容的兴趣。

第二步：讲解（15分钟）
1. 介绍数学诱导公式的定义和作用；
2. 讲解数学诱导公式的推导过程；
3. 展示一些数学诱导公式的应用实例。

第三步：练习（20分钟）
1. 让学生在课堂上完成一些练习题，加深对数学诱导公式的理解；
2. 指导学生如何使用数学诱导公式解决相关问题。

第四步：总结（5分钟）
总结本节课所学内容，强化数学诱导公式的应用方法。

教学反馈：学生可在课后完成相关练习，并在下节课上进行讲解和答疑。

教学资源：教科书、白板、黑板、练习题等。

教学延伸：学生可通过网上资源或相关书籍深入学习数学诱导公式的应用。

注：本教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据实际情况进行调整。

人教版高中数学必修四：1.2.4 诱导公式课件(共20张PPT)

三山东、省昌乐数及第学中学应用:求值
例 1 已知 s i n 4 ,且是第二象限角，求 c o s,t a n 的值 . 5 解： Q sin2co s2 1 先定象限,后定值
cos21sin21(4)29
5 25
又是第二象限角， c o s 0
cos 3 ,
注：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学思想．
崇德尚能励志笃行
育人为本质量至上彰显特色全面发展
山东省昌乐及第中学三、数学应用:求值
拓展延伸一
已知tan α=2,求:
化弦为切
(1) 2 sin 3 c o s 4 sin 9 cos
(2)
2 sin 2 4 sin 2
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简单应用
下列四个命题中可能成立的一个是（ B ）
A.sin 1 且 cos 1
2
2
B.sin 0且 cos 1
C. tan 1且 cos 1
D. 在第四象限时, tan sin cos
崇德尚能励志笃行
育人为本质量至上彰显特色全面发展
称为商数关系
角α 是否可以为任意角？可以证明吗？
崇德尚能励志笃行
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的终边
y
T
P(x,y)
1
A(1,0)
-1
o M1 x
-1
还可以用什么方法证明？
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2016年高中人教B版数学必修精品教案：1.2.4诱导公式

三角函数的诱导公式的教学设计一、指导思想与理论依据数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。

因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。

所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。

因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。

在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。

二.教材分析三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书(人教A版)数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式(二)至公式(六).本节是第一课时,教学内容为公式(二)、(三)、(四).教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式(一)的基础上，利用对称思想发现任意角与、、终边的对称关系，发现他们与单位圆的交点坐标之间关系，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式公式(二)、(三)、(四).同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位.三.学情分析本节课的授课对象是本校高一(1)班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容.四.教学目标(1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式;(2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简;(3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力;(4).个性品质目标：通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观.五.教学重点和难点1.教学重点理解并掌握诱导公式.2.教学难点正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式.六.教法学法以及预期效果分析“授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师,我们不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析.1.教法数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质.在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.2.学法“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情.如何能让学生最大程度的消化知识，提高学习热情是教者必须思考的问题.在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题共同探讨解决问题简单应用重现探索过程练习巩固.让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习.3.预期效果本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.七.教学流程设计(一)创设情景1.复习锐角300，450，600的三角函数值;2.复习任意角的三角函数定义;3.问题:由sin300，你能否知道sin2100的值吗?引如新课.设计意图自信的鼓励是增强学生学习数学的自信，简单易做的题加强了每个学生学习的热情，具体数据问题的出现，让学生既有好像会做的心理但又有迷惑的茫然，去发掘潜力期待寻找机会证明我能行，从而思考解决的办法.(二)新知探究1. 让学生发现300角的终边与2100角的终边之间有什么关系;2.让学生发现300角的终边和2100角的终边与单位圆的交点为(x,y) 、(-x,-y) 的坐标有什么关系;3.Sin2100与sin300之间有什么关系.设计意图由特殊问题的引入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度,为同学们探究发现任意角与的三角函数值的关系做好铺垫.(三)问题一般化探究一+的终边关于原点对称;1.探究发现任意角α的终边与πα+的终边与单位圆的交点坐标关于原点对称;2.探究发现任意角α的终边和角πα+的三角函数值的关系.3.探究发现任意角α与πα设计意图首先应用单位圆，并以对称为载体，用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合，问题的设计提问从特殊到一般，从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，一气呵成诱导公式二.同时也为学生将要自主发现、探索公式三和四起到示范作用，下面练习设计为了熟悉公式一，让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进(四)练习利用诱导公式(二),口答下列三角函数值.(1)sin2250. ;(2)sin2400. ;(3)sin2700. .喜悦之后让我们重新启航，接受新的挑战，引入新的问题.(五)问题变形由sin300=0.5 出发，用三角的定义引导学生求出 sin(-300)，Sin1500值,让学生联想若已知sin300 = 0.5,能否求出sin(-300 ),sin(-1500 )的值.学生自主探究1.探究任意角α与 -α的三角函数又有什么关系;-的三角函数之间又有什么关系.2.探究任意角α与πα设计意图遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题-观察发现-到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果诱导公式(三)、(四)给出本节课的课题三角函数诱导公式设计意图标题的后出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结.。

湘教版高中数学《诱导公式》同步课件

诱导公式
一诱导公式
在前面的学习中，为了求得任意角的三角函数值，我们依据三角函数的定义，在角α的终边上找到一点P 的坐标，进而求得. 还有一个办法，就是将角α转
化到[0， ) 范围内，用我们熟悉的锐角三角函数知识来求解. 如何将角进行转
2 化？这就是本节的主要内容.
一诱导公式
由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等. 即有：
公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.
你能借助单位圆的三角函数线来推导公式二至公式四吗？
一诱导公式
以上公式一至公式四可以概括为如下法则： kπ±α(k∈Z)的三角函数值，等于角α的同名函数值，前面添上一个把角α看成锐角时原函数值的符号．利用公式一至公式四，就可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算．转化过程一般按下列步骤进行：
(2)
sin(A＋B)＝sin C；
(3)cos
A
2
B
sin
C 2
.
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结束
一诱导公式
(2)如图5.2-8(2)，作点P(x，y)关于点O的对称点P1(－x，－y)，也就是将OP 旋转π到OP1，则∠xOP1＝π＋α，于是由三角函数的定义可得
sin(π＋α)＝－y＝－sin α， cos(π＋α)＝－x＝－cos α，
当x≠0时，tan(π＋α)＝ y y tan.
(2) tan 765°＝tan(2×360°＋45°)＝tan 45°＝1. 除了探究一些终边相同的角之间的转化，我们还可以利用单位圆的对称性来研究一些角的终边所具有的某些特殊的关系(如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点O对称等)，进而将这些角进行转化.

人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.3三角函数的诱导公式》教案(3)

三角函数的诱导公式（1）教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程；2.掌握公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简；3.了解、领会把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。

教学重、难点：1．诱导公式二、三的推导、记忆及符号的判断；2．应用诱导公式二、三的推导。

教学过程：（一）复习：1．利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值；2．诱导公式一及其用途：s i n (360)s i n ,c o s (360)c o s ,t a n (360)k k k k Z αααααα⋅+=⋅+=⋅+=∈．问：由公式一把任意角α转化为)0,360⎡⎣内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？我们对)0,90⎡⎣范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)90,360⎡⎣内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。

（二）新课讲解：1．引入：对于任何一个)0,360⎡⎣内的角β，以下四种情况有且只有一种成立（其中α为锐角）：所以，我们只需研究180,180,360αααα-+-与的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。

2．诱导公式二：提问：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标。

（3）任意角α与180α+呢？通过图演示，可以得到：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的。

则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=sin α-；cos(180)α+=-cos α．说明：①公式二中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α；③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-．（此公式要使等式两边同时有意义）3．诱导公式三：提问：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-； )))),0,90180,90,180180,180,270360,270,360αβαββαβαβ⎧⎡∈⎣⎪⎪⎡-∈⎣⎪=⎨⎡+∈⎪⎣⎪⎡-∈⎪⎣⎩当当当当（2）任何角α与α-的终边位置关系如何？对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，即得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式二中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；④可以导出正切：tan()tan αα-=-．4．例题分析：例1 求下列三角函数值：（1）sin960；（2）43cos()6π-．分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内角的三角函数的值。

1.4.3诱导公式PPT课件

函符数号名看不象变限
函符数号名看改象变限
思考
利用诱导公式，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的三角函数
公式1.8
公式1.9
任意正角的三角函数
公式1.8
锐角的三角函数
公式1.10~1.14
0～2π的角的三角函数
思考
k 诱导公式可统一为 k Z 的三角 2 函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办
余弦函数
正弦函数
余弦函数
正弦函数
单调性余弦函数
在 2k ,2k 1 k Z 上单调递增，在2k , 2k k Z 上单调递减 .
将0°~360°间的角转化成锐角
sin 2k sin k Z ,
cos 2k cos k Z .
M'

2

O
M
cos 2 , sin 2
1x
sin cos , 2
cos sin . 2
角α与

2
的正弦函数、余弦函数的关系
法记住这些公式？
奇变偶不变
符号看象限
例题
1.求下列各式的值： 11 15 1sin cos ; 4 4 55 2 sin . 6
2.化简： 3 sin(2 - )cos(3 )cos( ) 2 sin(- )sin(3 - )cos(- )
北师大版高中数学必修4 第一章三角函数
正弦函数、余弦函数的基本性质
定义域值域周期性正弦函数余弦函数正弦函数

高中数学1.2.4 诱导公式教案1 新人教B版必修4

1.2.4（第一课时）诱导公式
教学目标：
1．借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，并掌握其应用；
2．经历由几何特征发现数量关系的学习过程，培养数形结合的分析问题能力；通过独立探讨公式，培养抽象概括能力；了解对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯。

3．揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想
教学重点：诱导公式(一)、（二）的探究、推导及利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明。

教学难点：在单位圆中对所讨论角与a角终边位置关系特点发现对称性提出研究方法
教学方法与学习指导策略建议
这一部分知识的学习，建议主要以师生互动为主。

多给学生一些感性认识，通过讨论、辨析获得对知识更深层次的理解。

教学过程：。

2016-2017学年高一数学人教B版必修4教案1.2.4诱导公式(1)

1.2.4 诱导公式（一）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+πk2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程。

高中数学第1章基本初等函数(Ⅱ)1.2.4诱导公式第1课时诱导公式一、二教案(含解析)新人教B版必修4

第1课时诱导公式(一)、(二)1．诱导公式一⎭⎪⎬⎪⎫cos (α＋k ·2π)＝cos αsin (α＋k ·2π)＝sin αtan (α＋k ·2π)＝tan α (一)．2．诱导公式二⎭⎪⎬⎪⎫cos (－α)＝cos αsin (－α)＝－sin αtan (－α)＝－tan α (二)．思考：公式一、二该如何记忆？[提示] α＋k ·2π(k ∈Z )，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．sin(－30°)的值是( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32B [sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.]2．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－41π3的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．36A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－41π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14π＋π3＝cos π3＝12.]3．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝________.2 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π ＝cos 174π＋sin 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4＋sin π4＝22＋22＝2]计算：(1)3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376πtan 136π－cos 73π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－414π；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－136π＋cos 125π·tan 4π； (3)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π；(4)cos 7π4sin 9π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－136π. [思路探究] 先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果．[解] (1)原式＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 376π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－5×2π－π4＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π6·tan π6－cos π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－3×12×33－12×(－1)＝0.(2)原式＝－sin 136π＋cos 125π·tan 0＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋0＝－sin π6＝－12. (3)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3－tan 174π＝cos π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4 ＝12－tan π4＝12－1＝－12. (4)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4sinπ4＋sin π6cos π6＝cos π4·sin π4＋sin π6cos π6＝22×22＋12×32＝12＋34.1．解决本类问题的一般规律是：先用公式二将负角的三角函数值化为正角的三角函数值，再用公式一将其转化为[0,2π)内角的三角函数值．2．求值问题要用到0～2π上特殊角的三角函数值来表达结果，一定要把特殊角的三角函数值记牢．1．计算：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.[解] (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.[思路探究] 应用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数的正负． [解] 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)－sin 70°＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.1．三角函数式的化简常用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． 2．化简时要特别注意“1”的变形应用．2．化简：1＋2sin (－θ)cos (2π－θ)sin (－6π＋θ)－cos (－θ＋4π).[解] 原式＝1－2sin θcos θsin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2sin θ－cos θ＝|sin θ－cos θ|sin θ－cos θ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k π＋π4＜θ＜2k π＋54π，k ∈Z ，－1，2k π－34π＜θ＜2k π＋π4，k ∈Z .利用诱导公式证明恒等式有哪些方法？[提示] 利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【例3】已知tan(2π－α)＝－2，求证：4sin 2(4π－α)－3sin α·cos(－α)－5cos 2α＝1.[思路探究] 可以先对所证明的等式的左边利用诱导公式化简，再根据条件求值即可． [解]左边＝4sin 2(－α)－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α1＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1. 因为tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2，所以tan α＝2，所以左边＝4×22－3×2－522＋1＝16－6－55＝1，所以4sin 2(4π－α)－3sin α·cos(－α)－5cos 2α＝1.1．证明恒等式问题，实质上就是三角函数式的化简问题．2．证明三角恒等式的一般思路是：先分析角的特点及角之间的关系，再将角变形，然后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式来完成证明．3．求证：tan (2π－α)cos (－4π－α)cos (6π－α)sin (α－2π)cos (α－4π)＝－1.[证明] 左边＝tan (－α)cos (－α)cos (－α)sin αcos α＝－tan αcos αcos αsin αcos α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1＝右边，∴原等式成立．(教师用书独具)1．诱导公式的记忆诱导公式(一)、(二)的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．2．利用诱导公式(一)和(二)，还可以得出如下公式 sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α， tan(2π－α)＝－tan α.1．sin 690°的值为( ) A ．12 B ．32 C ．－12D ．－32C [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－12.]2．点P (cos 2 019°，sin 2 019°)落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [2 019°＝6×360°－141°，∴cos 2 019°＝cos(－141°)＝cos 141°<0， sin 2 019°＝sin(－141°)＝－sin 141°<0， ∴点P 在第三象限．] 3.cos (360°＋α)·sin (360°－α)cos (－α)·sin (－α)的化简结果为________．1 [原式＝cos α·sin (－α)cos α·sin (－α)＝1.]4．求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. [解] (1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4 ＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°1 2＝5 2.＋tan 45°＋co s 60°＝1＋1＋。