线性代数课件--3.1行列式的概念和性质

行列式含有两个 相同的行, 值为 0 .
综上所述,得公式
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain D 当k i
当k i a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj D 当l j 0 当l j
0
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并 不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一 行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义， 但展开定理在理论上是重要的． 利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质, 可简化行列式计算： 方法 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列)化 为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列 式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.
M 44 M 44
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个 代数余子式. 根据该定义，可重新表达行列式的值
a11 a1n det A an1 ann
def
a 1
k 1 1k
n
1 k
det S1k
a1k A1k
k 1
n
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式. 相当于把行列式按第一行展开
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31a12a21a33 a11 a23 a32
说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列 的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每 一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.
若写出计算3 阶行列式值的公式为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 11 a 22 a 23 a11 1 a 32 a 33
1 2
a 23 a 33 a 22 a 32
a12 1
a 21 a 31
a 23 1 3 a 21 a13 1 a 33 a 31
§3.3 若干应用(逆阵公式、克拉默法则等) 重点内容 行列式的计算
§3.1 行列式的概念和性质
1、概念
2、性质
一、 概念
a11 a1n 用式子 对任一n阶矩阵 A a n1 a nn
a11 a1n 表示一个与 A 相联系的数， a n1 a nn
定义 对 n 阶行列式 det A，称 det Sij 为元 aij 的余子式 ,
称 Aij 1 例如
D
i j
det S ij为元 aij 的代数余子式.
a11 a 21 a 31 a41
A23 1
2 3
a12 a 22 a 32 a42
a13 a 23 a 33 a43
a14 a 24 a 34 a44
a11 det S 23 a 31 a41
A44 1
4 4
a12 a 32 a42
a14 a 34 a44
det S 23 det S23
a11 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
det S 44 M 44 a 21 a 31
把删去第i 行及第j 列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元 aij 的余子矩阵，并以Sij 记之.
定义 一阶矩阵 [a11 ]的行列式之值定义为数a11 ，即 def det [ a11 ] a11
对 n = 2, 3, … , 用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：
a11 a1n det A an1 ann
定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和, 即
D a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 a in Ain i 1,2,, n
或表达为
det A aij Aij
j 1
n
( i 1,, n)
若行列式按列展开，有
行列式的展开定理
a11
例如
a1i
a1 j
a1n a2 n ann
行列式等值 变形法则
a21 a2 i an1 ani
k
a2 j anj
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n ci kc j a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 n an1 (ani kanj ) anj ann
2、性质
a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n a12 a22 T det A det A , an1 an 2 ann a1n a2 n
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
a n1 an 2 ann
de t A de t A
则 D 等于下列两个行列式之和
a11 a1i a1n a21 a2i a2n a21 a2i a2n D an1 ani ann an1 ani ann a11 a1i a1n
性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一 列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．
3
1 1 0 5
1 3 1 3
2 4 1 3 .
例 计算行列式 D
5 2 1
3
1 1 0 5
1 3 1 3
2
5
1 1 0 5
1 3 1 3
1 1 0 0
解
D
5 2 1
4 c1 2 c3 11 1 c 4 c 3 3 0 5
5 ( 1)
3 3
n
det A a ij Aij
i 1
( j 1, , n)
定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零, 即
ak1 Ai1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0, k i .
证
将行列式按第 i 行展开,有
a11 ai1 ak1 a n1 a12 ai 2 ak 2 an2 a1 n a in a kn a nn
det L det A det B
注意 公式中C 的元之具体值对结果无影响. 在 A、B 是方阵时也成立
de tU
定理
A C O B
de t A de t B
若A、B是两个同阶矩阵，则
det( AB) det A det B
a11 a1k 0 b11 b1n bn1 bnn
n
推论 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零． 证
a11
a12 a1n
a11
a12 a1n
a i 1 a i 2 a in
a i 1 a i 2 a in
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
a11 a22a33 a23a32 a12 a31a23 a21a33 a13 a21a32 a31a22 a11a22a33 a11a23a32 a12a23a31 a12a21a33 a13a21a32 a13a22a31
以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式
1 1 5
1 1 0
11 5
r2 r1
5 6 5
1 2 5
1 0 ( 1) 0
1 3
6 5
2 5
40
定理 设 L 是有如下分块形式的 ( n +p ) 阶矩阵
A L C
O [l ij ] B
其中 A 是 n 阶矩阵， B 是 p 阶矩阵，则有
推论
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式.
a11 kai 1 a12 a1n a11 a12 a1n
def
a 1
k 1 1k
n
1 k
det S1k
a11 a1n det A an1 ann
例 设
def
a 1
k 1 1k
n
1 k
det S1k
a11 D a21
a12 ，计算该行列式的值 a22
a12 a 22
解 因有 S11 = [ a22 ], S12 = [ a21 ], 故
ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain
如果将行列式中的aij换成akj，那么自然有
ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain
a11 ak1 ak1 a n1 a12 ak 2 ak 2 an2 a1 n a kn a kn a nn
第三章
行 列 式
行列式是个有用的工具，利用行列式不仅可表述n 阶矩阵为非退化阵的条件；而且可导出逆阵公式以及著 名的克拉默(Cramer)法则等；今后还将用来定义许多重 要的概念. 本章用展开方式定义n阶行列式的概念，介绍常用的 性质、计算方法并较为集中地概述它的一些应用.
本章的主要内容
§3.1 行列式的概念和性质 §3.2 行列式值的计算